Aljabar Linear Elementer ( )3

Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
I
Matriks dan Operasinya
II Determinan Matriks
III Sistem Persamaan Linear
IV Vektor di Bidang dan di Ruang
V Ruang Vektor
VI Ruang Hasil Kali Dalam
VII Transformasi Linear
VIII Ruang Eigen
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
1
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
Pokok Bahasan :
1. Notasi dan Operasi Vektor
2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal
3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :
• Proses Grafika Komputer
• Kuantisasi pada proses kompresi
• Least Square pada Optimasi
• Dan lain-lain
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
2
Notasi dan Operasi
Vektor Î besaran yang mempunyai arah
Notasi vektor
⎛ c1 ⎞
⎜ ⎟
c = ⎜ c2 ⎟ = c1iˆ + c2 ˆj + c3kˆ = (c1 , c2 , c3 )
⎜c ⎟
⎝ 3⎠
Notasi panjang vektor
adalah
⎛ c1 ⎞
⎜ ⎟
c = ⎜ c2 ⎟
⎜c ⎟
⎝ 3⎠
c = c1 + c2 + c3
2
2
2
Vektor satuan Î Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
3
1
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
4
Penjumlahan Vektor
Misalkan u dan v adalah vektor – vektor
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka u + v didefinisikan
v
u +v
u
{
u
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
Perkalian vektor dengan skalar
Perkalian vektor
5
( )
u dengan skalar k, k u
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang vektor u dengan arah
Jika k > 0 Æ searah dengan u
Jika k < 0 Æ berlawanan arah dengan
u
2u
u
− 2u
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
6
2
Scaling
P’
P
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
7
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas
dapat dijelaskan sebagai berikut :
Misalkan a = (a11 a 2 , a 3 ) dan
b = (b1 , b 2 , b 3 )
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
maka
1. a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
2. a − b = (a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 )
3. k a = (ka1 , ka2 , ka3 )
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
8
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik (dot product)
Î Hasil kali titik merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang yang sama
yang menghasilkan skalar
Hasil kali silang (Cross product)
Î Hasil kali silang merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
9
3
Dot Product
Misalkan a, b
adalah vektor pada ruang yang sama
maka hasil kali titik antara dua vektor :
a • b = a b cosα
dimana
a
: panjang a
b
: panjang b
α
: sudut keduanya
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
10
Ilustrasi dot product vektor A dan B
A• B = A
B cosα
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
11
Contoh 2 :
Tentukan hasil kali titik dari dua vektor
a = 2iˆ dan b = 2iˆ + 2 ˆj
Jawab :
Karena tan α = 1 , artinya = 450
a • b = a b cosα
=2 8
1
2
=4
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
12
4
Ingat aturan cosinus
c
a
α
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos α
b
Perhatikan
a
b−a
a
−b
α
b
2
−2 a
b
b −a
2
= a
2
+ b
05/04/2007 10:38
b cos α
MA-1223 Aljabar Linear
13
Selanjutnya dapat ditulis
b cos θ =
a
1
2
⎡ a
⎢⎣
2
+ b
2
− b −a
2
⎤
⎥⎦
Ingat bahwa :
1. a • b = a b cosα
2.
a
3.
b
4.
a • b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
2
= a 1 + a 2 + ... a n
2
= b 1 + b 2 + ... + b n
b−a
2
2
2
2
2
2
2
= (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) + ... + (bn − an )
2
2
2
= b1 + b 2 + ... + b n + a 1 + a 2 + ... + a n
2
2
2
2
2
2
− 2 b1 a 1 − 2 b n a n − ... − 2 b n a n
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
14
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
a • b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada
contoh sebelumnya
a • b = a1b1 + a 2 b2
= 2 (2) + 0 (2)
=4
Beberapa sifat hasilkali titik :
1. a • b = b • a
(
) ( )
2. a • (b + c ) = a • b + a • c
(
)
3. k a • b = k a • b = a • kb , dimana k ∈ R
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
15
5
Proyeksi Ortogonal
a
w
terlihat bahwa
c =k b
b
k=
c = proyb a
Karena
a •b
b
2
a • b = (w + c ) • b
a = w+c
= w •b + c •b
= kb • b
=k b
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
16
Jadi,
rumus proyeksi diperoleh :
Pr oyb a =
a •b
b
2
b
Contoh 4 :
Tentukan proyeksi ortogonal
⎛ − 2⎞
⎜ ⎟
vektor u = ⎜ − 4 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
terhadap vektor v = ⎜ 3 ⎟
⎜ − 4⎟
⎝ ⎠
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
17
Jawab :
Pr oy v w =
w •v
v
2
v
⎛− 2⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎜− 4⎟ • ⎜ 3 ⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜ − 4 ⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
=
⎜ 3 ⎟
12 + 3 2 + ( − 4 ) 2 ⎜ − 4 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 ⎞
⎟
− 2 + ( − 12 ) + ( − 12 ) ⎜
⎜ 3 ⎟
26
⎜− 4⎟
⎝
⎠
⎛ 1 ⎞
⎟
− 26 ⎜
3
=
⎜
⎟
26 ⎜
⎟
⎝− 4⎠
⎛ − 1⎞
⎜
⎟
= ⎜ − 3⎟
⎜ 4 ⎟
⎝
⎠
=
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
18
6
Cross Product (hasilkali silang)
Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor
di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak
lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
ˆj
kˆ
C = A x B = A1 B2
A3
B3
iˆ
=
B1
B2
A2
B2
A3
A
iˆ − 1
B3
B1
05/04/2007 10:38
A3
A
ˆj + 1
B3
B1
A2 ˆ
k
B2
MA-1223 Aljabar Linear
19
Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)
C = A xB
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
20
Contoh :
Tentukan w = u × v ,
dimana u = (1, 2, − 2) v = (3, 0, 1)
Jawab :
ˆj
iˆ
w = u1 u2
kˆ
u3
v1
v3
v2
iˆ ˆj kˆ
= 1 2 −2
3 0 1
= (2.1 − 0(−2) ) iˆ + (3(−2) − 1.1) ĵ + (1.0 − 3.2) k̂
= 2 iˆ − 7 ˆj − 6 kˆ
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
21
7
Beberapa sifat Cross Product :
a. u • ( u x v ) = 0
b. v • ( u x v ) = 0
c. u × v
2
= u
2
− (u • v )
2
v
2
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
22
Dari sifat ke-3 diperoleh
u ×v
2
= u
2
v
− (u • v )
2
2
= u ⋅ v − ( u ⋅ v ⋅ cos α )
2
2
2
(
= u ⋅ v − u ⋅ v ⋅ cos 2 α
2
2
2
2
= u ⋅ v
2
2
)
(1 − cos α )
2
= u ⋅ v ⋅ sin 2 α
2
2
Jadi, u x v = u ⋅ v ⋅ sin α
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
23
Perhatikan ilustrasi berikut :
v
v sin α
α
u
u
Luas Jajaran Genjang = u x v = u ⋅ v ⋅ sin α
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut
adalah
1
Luas segitiga = u × v
2
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
24
8
Contoh :
Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)
B = (4, 1, 0)
C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas
segitiga ABC !
Jawab :
Tulis
AB = B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)
= (3, 2, 2)
AC = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)
= (1, 4, 5)
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
AB × AC =
25
kˆ
iˆ
ˆj
3
2
2
1
4
5
= 2iˆ − 13 ˆj + 10kˆ
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
1
4 + 169 + 100
2
Luas =
1
273
2
=
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
26
Orientasi pada titik B
BA = a − b = (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
BC =
c − b = (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
BA × BC =
iˆ
− 3
ˆj
− 2
kˆ
− 2
− 2
2
3
= − 2 iˆ + 13 kˆ − 10 ˆj
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
1
= BA x BC = 1 4 + 169 + 100
2
2
=
05/04/2007 10:38=
1
273
2
MA-1223 Aljabar Linear
27
9
Latihan Bab 4
1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh
pasangan vektor berikut :
6
a. u = ⎛⎜⎜ 1 ⎞⎟⎟ dan v = ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟
⎝ − 8⎠
⎝ 2⎠
b.
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
u = ⎜ − 3⎟
⎜ ⎟
⎝ 7 ⎠
dan
⎛ 8 ⎞
⎜ ⎟
v = ⎜ − 2⎟
⎜ − 2⎟
⎝ ⎠
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor
dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:
a. a = ⎛⎜⎜ 2 ⎞⎟⎟ dan b = ⎛⎜ − 3 ⎞⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
⎝1⎠
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
b. a = ⎜ − 1⎟ dan b = ⎜ 2 ⎟
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
28
3. Tentukan dua buah vektor satuan
yang tegak lurus terhadap
⎛ 3 ⎞
⎟⎟
u = ⎜⎜
⎝ − 2⎠
4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
⎛ − 7⎞
⎜ ⎟
u =⎜ 3 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
dan v = ⎜ 0 ⎟
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik
sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)
05/04/2007 10:38
MA-1223 Aljabar Linear
29
10