materi 1 - E-learning Amikom

LOGIKA dan ALGORITMA
Materi kuliah
Dosen Pengampu: Heri Sismoro, S.Kom.,M.Kom.
MATERI 2
COMBINATIONAL LOGIC
Pengantar : : .
ƒ Rangkaian digital adalah mrp komponen perangkat keras
(hardware) yang memanipulasi informasi biner.
ƒ Rangkaian diimplementasikan dengan menggunakan
transistor-transistor dan antarhubungan dalam peralatan
semikonduktor kompleks yang disebut IC
ƒ Masing-masing rangkaian dasar disebut gerbang lojik
ƒ Masing-masing gerbang menyelenggarakan operasi lojik
tertentu.
ƒ Keluaran dari gerbang diterapkan sebagai masukan dari
gerbang lain untuk membentuk suatu rangkaian digital
Logika Biner dan Gerbang : : .
Logika Biner:
ƒ Logika biner berurusan dengan variabel-variabel biner yg
mempunyai dua nilai diskrit
ƒ Variabel biner dinyatakan dengan huruf A, B, C, . . .dst
ƒ Nilai diskrit yaitu 0 dan 1
Tiga operasi lojik dasar:
1. AND
ƒ Dinyatakan dengan titik (dot) atau tanpa operator
ƒ Misal: Z = X.Y atau Z = XY (dibaca = X AND Y)
ƒ Z = 1, bhb X dan Y adalah 1
2. OR
ƒ Dinyatakan dengan tambah (+)
ƒ Misal: Z = X+Y (dibaca = X OR Y)
ƒ Z = 0, bhb X dan Y adalah 0
3. NOT
ƒ Dinyatakan dengan petik tunggal (‘)
ƒ Misal: Z = X’ (dibaca = not X )
Materi 2. Combinational Logic
1
LOGIKA dan ALGORITMA
Materi kuliah
Dosen Pengampu: Heri Sismoro, S.Kom.,M.Kom.
Tabel Kebenaran untuk Operasi Lojik Dasar:
X
1
1
0
0
AND
Y
Z=X.Y
1
1
0
0
1
0
0
0
X
1
1
0
0
OR
Y
Z=X+Y
1
1
0
1
1
1
0
0
NOT
X
X’
1
0
0
1
Gerbang Lojik:
ƒ Gerbang Lojik adalah rangkaian elektronik yang beroperasi
pada 1 atau lebih sinyal-sinyal masukan untuk menghasilkan
sinyal-sinyal keluaran.
ƒ Berikut adalah gerbang lojik dijital
X
1
1
0
0
Y
1
0
1
0
(AND) X.Y
1
0
0
0
(OR)
1
1
1
0
0
0
1
1
X+Y
(NOT) X’
ƒ Digambarkan dengan simbol grafik:
Materi 2. Combinational Logic
2
LOGIKA dan ALGORITMA
Materi kuliah
Dosen Pengampu: Heri Sismoro, S.Kom.,M.Kom.
Aljabar Boolean : : .
Aljabar Boolean:
ƒ Aljabar yang berhubungan dengan variabel2 biner dan
operasi2 lojik.
ƒ Fungsi boolean Æ terdiri dari variabel2 biner yang
menunjukkan fungsi
ƒ Fungsi boolean bisa sama dengan 1 atau 0
ƒ Contoh: F = X + Y’Z
ƒ X dan Y’Z disebut suku-suku (term) dari fungsi F
ƒ X, Y’, dan Z disebut literal
ƒ Fungsi F sama dengan 1 jika term X=1 atau term Y’Z=1
ƒ Term Y’Z=1 terjadi bila Y=0 dan Z=1
ƒ Kesimpulannya, term F=1 jika term X=1 atau jika Y=0 dan Z=1
ƒ Tabel kebenaran untuk fungsi F = X + Y’Z
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
F = X + Y’Z
0
1
0
0
1
1
1
1
ƒ Ada 8 kombinasi biner yg mungkin dg meng-assign ke
masing-masing tiga variabel X, Y dan Z
ƒ Berikut gambar diagram rangkaian lojik F = X + Y’Z
Materi 2. Combinational Logic
3
LOGIKA dan ALGORITMA
Materi kuliah
Dosen Pengampu: Heri Sismoro, S.Kom.,M.Kom.
Identitas Dasar Aljabar Boolean:
2. X.1=X
1. X+0=X
4. X.0=0
3. X+1=1
6. X.X=X
5. X+X=X
8. X.X’=0
7. X+X’=1
9. X’’=X
10. X+Y=Y+X
11. X.Y=Y.X
12. X+(Y+Z) = (X+Y)+Z
13. X.(Y.Z)=(X.Y).Z
14. X.(Y+Z)=X.Y+X.Z
15. X+Y.Z=(X+Y).(X+Z)
16. (X + Y) = X’.Y’
17. (X.Y)’=X’+Y’
Æ Komutatif
Æ Asosiatif
Æ Distributif
Æ De Morgan
Manipulasi Aljabar:
ƒ Dengan aljabar boolean maka rangkaian digital bisa
disederhanakan.
ƒ Contoh:
F = X’YZ + X’YZ’ + XZ
= X’Y(Z+Z’) + XZ
[dg identitas 14]
= X’Y.1 + XZ
[dg identitas 7]
= X’Y + XZ
[dg identitas 2]
ƒ Tabel kebenaran untuk dua fungsi ekuivalen di atas:
X
Y
Z
X’
Z’
XZ
X’Y
X’YZ
X’YZ’
X’YZ + X’YZ’ + XZ
X’Y + XZ
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
ƒ Bila digambarkan fungsi boolean tersebut dengan gerbang lojik:
Materi 2. Combinational Logic
4
LOGIKA dan ALGORITMA
Materi kuliah
Dosen Pengampu: Heri Sismoro, S.Kom.,M.Kom.
LATIHAN : : .
ƒ Buktikan identitas dari pesamaan Boolean berikut,
menggunakan manipulasi aljabar:
1. X + XY = X
2. XY + XY’ = X
3. X + X’Y = X + Y
4. (X+Y)(X+Y’) = X
5. X’Y’ + X’Y + XY = X’ + Y
6. A’B + B’C’ + AB + B’C = 1
7. Y + X’Z + XY’ = X + Y + Z
Bentuk Standar:
Bentuk standar memuat product terms dan sum terms.
Contoh:
ƒ Product term: XYZ’ (terdiri dari suatu operasi AND dan 3 literal)
ƒ Sum term: X+Y+Z’ (terdiri dari suatu operasi OR dan 3 literal)
Minterms dan Maxterms
Minterm
ƒ Suatu product term dimana semua literal (variabel) tepat
muncul 1 kali, baik terkomplemen atau tak terkomplemen,
disebut minterm.
ƒ Untuk fungsi dengan n variabel, ada 2n minterm yang berbeda:
X
Y
Z
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Product
Symbol m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
Term
X’Y’Z’
X’Y’Z
X’YZ’
X’YZ
XY’Z’
XY’Z
XYZ’
XYZ
Materi 2. Combinational Logic
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
5
LOGIKA dan ALGORITMA
Materi kuliah
Dosen Pengampu: Heri Sismoro, S.Kom.,M.Kom.
ƒ Sebuah fungsi:
F = X’Y’Z’ + X’YZ’ + XY’Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
dapat ditulis dengan:
F(X,Y,Z) = Σm(0,2,5,7)
Maxterm
ƒ Suku jumlah yang memuat semua variabel dalam
terkomplemen atau tak terkomplemen, disebut maxterm.
ƒ Untuk fungsi dengan n variabel, ada 2n maxterm yang
berbeda:
Sum
Term
X
Y
Z
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0 X+Y+Z
1 X+Y+Z’
0 X+Y’+Z
1 X+Y’+Z’
0 X’+Y+Z
1 X’+Y+Z’
0 X’+Y’+Z
1 X’+Y’+Z’
Symbol M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
ƒ Maxterm merupakan minterm yang dikomplemenkan.
ƒ Contoh: m3’ = (X’YZ)’ = X+Y’+Z’ = M3
ƒ Sebuah fungsi:
F = X’Y’Z’ + X’YZ’ + XY’Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
dapat ditulis dengan:
F(X,Y,Z) = Σm(0,2,5,7)
Materi 2. Combinational Logic
6
LOGIKA dan ALGORITMA
Materi kuliah
Dosen Pengampu: Heri Sismoro, S.Kom.,M.Kom.
Fungsi:
F(X,Y,Z) = Σm(0,2,5,7)
Jika kita komplemenkan, F’
F’ = X’Y’Z + X’YZ + XY’Z’ + XYZ’
= m1 + m3 + m4 + m6
F’(X,Y,Z) = Σm(1,3,4,6)
F = F’’
F = (X’Y’Z + X’YZ + XY’Z’ + XYZ’)’
= (X+Y+Z’) (X+Y’+Z’) (X’+Y+Z) (X’+Y’+Z)
= M1.M3.M4.M6
dapat ditulis dengan:
F(X,Y,Z) = ΠM(0,2,5,7)
Sum of Product
ƒ Adalah ekspresi aljabar standar dimana fungsi merupakan
jumlah dari perkalian.
ƒ Contoh:
F = Y’ + X’YZ’ + XY
G = AB + CD + CE
dll
Product of Sum
ƒ Adalah ekspresi aljabar standar dimana fungsi merupakan
perkalian dari penjumlahan.
ƒ Contoh:
F = X(Y’ + Z)(X + Y + Z’)
Materi 2. Combinational Logic
7
LOGIKA dan ALGORITMA
Materi kuliah
Dosen Pengampu: Heri Sismoro, S.Kom.,M.Kom.
Menyederhanakan dengan K- MAP
ƒ Map adalah diagram yang dibentuk dari bujursangkarbujursangkar dengan masing-masing bujursangkar mewakili 1
minterm dari fungsi
ƒ Map ini dikenal dengan Karnaugh Map
ƒ Ekspresi-ekspresi tersederhana yang dihasilkan oleh Map
selalu dalam bentuk sum of product atau product of sum.
• Map dengan dua variabel
ƒ Fungsi boolean dengan 2 variabel maka ada 4 minterm
ƒ Ada 4 bujursangkar
ƒ Contoh:
X\Y 0
1
X\Y 0
1
0
m0 M1
0 X’Y’ X’Y
1
m2 M3
1 XY’ XY
X\Y
0
1
0
1
1
F(X,Y) = Σm(3)
F = XY
X\Y
0
1
0
1
1
1
1
F(X,Y) = Σm(1,2,3)
F=X+Y
Pada Map tersebut, merupakan jumlahan lojik untuk 3
minterm:
= m1 + m2 + m3
= X’Y + XY’ + XY
=X+Y
• Map dengan tiga variabel
ƒ Fungsi boolean dengan 3 variabel maka ada 8 minterm
ƒ Ada 8 bujursangkar
ƒ Contoh:
X\YZ
00
01
11
10
m0 m1 m3 m2
0
X’Y’Z’ X’Y’Z X’YZ X’YZ’
m4 m5 m7 m6
1
XY’Z’ XY’Z XYZ XYZ’
Materi 2. Combinational Logic
8
LOGIKA dan ALGORITMA
Materi kuliah
Dosen Pengampu: Heri Sismoro, S.Kom.,M.Kom.
X\YZ
0
1
00
01
1
1
11
1
10
1
11
10
1
1
F(X,Y,Z) = Σm(2,3,4,5)
F = X’Y + XY’
X\YZ
0
1
00
1
1
01
F(X,Y,Z) = Σm(0,2,4,6)
F = XZ’ + X’Z’
F = Z’
• Map dengan empat variabel
ƒ Fungsi boolean dengan 4 variabel maka ada 16 minterm
ƒ Ada 16 bujursangkar
ƒ Digambarkan:
AB\CD 00
01
11
10
00
m0 m1 m3 m2
01
m4 m5 m7 m6
11
m12 M13 m15 m14
10
m8 m9 m11 m10
• Catatan
ƒ Fungsi boolean dengan 2 variabel (4 minterm)
• 1 bujursangkar Æ 2 literal
• 2 bujursangkar Æ 1 literal
ƒ Fungsi boolean dengan 3 variabel (8 minterm)
• 1 bujursangkar Æ 3 literal
• 2 bujursangkar Æ 2 literal
• 4 bujursangkar Æ 1 literal
• 8 bujursangkar Æ nilai lojik 1
ƒ Fungsi boolean dengan 4 variabel (16 minterm)
• 1 bujursangkar Æ 4 literal
• 2 bujursangkar Æ 3 literal
• 4 bujursangkar Æ 2 literal
• 8 bujursangkar Æ 1 literal
• 16 bujursangkar Æ nilai lojik 1
Materi 2. Combinational Logic
9
LOGIKA dan ALGORITMA
Materi kuliah
Dosen Pengampu: Heri Sismoro, S.Kom.,M.Kom.
LATIHAN : : .
1. Perlihatkan dengan menggunakan tabel kebenaran, validitas
identitas-identitas berikit:
a. (XYZ)’ = X’ + Y’ + Z’
b. X + YZ = (X+Y)(X+Z)
2. Sederhanakan ekspresi-ekspresi boolean berikut:
a. ABC + ABC’ + A’B
b. (A + B)’(A’ + B’)
c. BC + B(AD + AD’)
d. (A + B’ + AB’)(AB + A’C + BC)
3. Kurangi ekspresi-ekspresi Boolean ke sejumlah literal yang
ditentukan:
a. X’Y’ + XYZ + X’Y ke tiga literal
b. X + Y(Z + (X + Z)’) ke dua literal
c. W’X(Z’+Y’Z) + X(W + W’YZ) ke satu literal
d. (AB + A’B’)(C’D’ + CD) + (AC)’ ke empat literal
4. Menggunakan teorema DeMorgan, nyatakan fungsi:
F = ABC + A’C’ + A’B’
a. hanya dengan menggunakan operasi AND dan
komplemen
b. hanya dengan menggunakan operasi OR dan
komplemen
5. Sederhanakan fungsi-fungsi boolean berikut menggunakan
Karnaugh-map:
a. F(A,B,C) = Σm(1,3,6,7)
b. F(X,Y,Z) = Σm(0,1,2,4,6)
c. F(A,B,C,D) = Σm(1,5,9,12,13,15)
d. X’Z’ + XZ + X’YZ
e. XZ + W’XY’ + WXY + W’YZ + WY’Z
Materi 2. Combinational Logic
10