determinan - Mas`ud Effendi

DETERMINAN
Matematika Industri I
TIP – FTP – UB
Mas’ud Effendi
Matematika Industri I
Pokok Bahasan
• Determinan
• Determinan orde-ketiga
• Persamaan simultan dengan tiga
bilangan tidak diketahui
• Konsistensi suatu set persamaan
• Sifat-sifat determinan
Matematika Industri I
Pokok Bahasan
• Determinan
• Determinan orde-ketiga
• Persamaan simultan dengan tiga
bilangan tidak diketahui
• Konsistensi suatu set persamaan
• Sifat-sifat determinan
Matematika Industri I
Determinan
• Suatu determinan
orde n terdiri dari n2
bilangan yang disebut
elemen-elemen yang
tersusun dalam n
baris dan n kolom,
dan dibatasi oleh dua
buah garis vertikal.
– Huruf = kolom
– Subskrip = baris
Matematika Industri I
D1  a1
a1
D2 
a2
b1
b2
a1
D3  a 2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
Determinan
Matematika Industri I
Determinan
• Memecahkan dua persamaan linier
simultan: a1x  b1 y  d1  0
a2 x  b2 y  d2  0
• Menghasilkan:
b1 d 2  b2 d1
x
a1b2  a 2 b1
a1 d 2  a 2 d1
y
a1b2  a 2 b1
• Mempunyai sebuah solusi yang tersedia
a1b2  a2b1  0
Matematika Industri I
Determinan
• Notasi singkat untuk pernyataan a1b2  a2b1
a1b2  a2b1 
• Simbol:
a1
b1
a2
b2
a1
b1
a2
b2
a1
b1
• (dievaluasi dengan perkalian silang) a2
b2
• Disebut determinan orde-kedua (karena determinan ini
punya 2 baris dan 2 kolom)
Matematika Industri I
Determinan
• Sehingga:
x
• dimana:
b1
b2
d1
d2
a1
b1
a2
b2
x
b1
b2
and y  
a1
a2
d1
d2
a1
b1
a2
b2
y

 1
d1 a1 d1 a1 b1
d 2 a2 d 2 a2 b2
Matematika Industri I
Determinan
b1
b2
d1 a1
,
d2 a2
a1
d1
and
a2
d2
b1
• Ketiga determinan:
b2
dapat diperoleh dari kedua persamaan
a1x  b1 y  d1  0
sebagai berikut:
a2 x  b2 y  d2  0
a1
omit the constant terms to form 0 
a2
b1
b2
b1
omit the x terms to form 1 
b2
d1
d2
a1
omit the y terms to form 2 
a2
d1
d2
Matematika Industri I
Determinan
• Persamaan:
x
b1
b2
d1
d2

y
 1
a1 d1 a1 b1
a2 d 2 a2 b2
• Dapat ditulis sebagai:
x y 1
 
1  2  0
Matematika Industri I
Contoh
• Perhatikan
persamaan:
3x+2y-5=0
4x+3y-7=0
• a1b2-a2b1=1
• Ingat!
a1x  b1 y  d1  0
a2 x  b2 y  d2  0
x y 1


1 1 1
x  y 1
Matematika Industri I
a1b2  a2b1 
x
b1
b2
d1
d2

a1
b1
a2
b2
y
 1
a1 d1 a1 b1
a2 d 2 a2 b2
Pokok Bahasan
• Determinan
• Determinan orde-ketiga
• Persamaan simultan dengan tiga
bilangan tidak diketahui
• Konsistensi suatu set persamaan
• Sifat-sifat determinan
Matematika Industri I
Determinan Orde-Ketiga
• Sebuah determinan orde-ketiga punya 3 baris dan 3
kolom.
• Setiap elemen determinan dikaitkan dengan minornya
yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom
yang berisi elemen yang bersangkutan.
• Sebagai contoh:
the minor of a1 is
b2 c2
b3 c3
a1 b1 c1
obtained thus
Matematika Industri I
a2 b2 c2
a3 b3 c3
Determinan Orde-Ketiga
• Menentukan nilai determinan orde-ketiga
– Untuk menguraikan determinan orde-ketiga, kita
dapat menulis masing-masing elemen di sepanjang
baris atas, mengalikannya dengan minornya, dan
memberi suku-sukunya tanda plus dan minus secara
bergantian
a1
b1
c1
a2
a3
b2
b3
c2  a1
b3
c3
b2
c2
c3
Matematika Industri I
 b1
a2
c2
a3
c3
 c1
a2
b2
a3
b3
Determinan Orde-Ketiga
• Menentukan nilai determinan dengan
mengekspansi pada sebarang baris dan kolom
   
   
   
   
Matematika Industri I
Contoh
• Contoh 1
1 3 2
5 7
4 7
4 5
4 5 7 1
3
2
 12  54  12  30
4 8
2 8
2 4
2 4 8
• Contoh 2
1 3 2
5 7
3 2
3 2
4 5 7 1
4
2
 12  64  22  30
4 8
4 8
5 7
2 4 8
Matematika Industri I
Pokok Bahasan
• Determinan
• Determinan orde-ketiga
• Persamaan simultan dengan tiga
bilangan tidak diketahui
• Konsistensi suatu set persamaan
• Sifat-sifat determinan
Matematika Industri I
Persamaan Simultan Dengan Tiga
Bilangan Tidak Diketahui
• Persamaan: a1x  b1 y  c1z  d1  0
a2 x  b2 y  c2 z  d2  0
a3 x  b3 y  c3 z  d3  0
• Punya solusi:
b1
x
c1
d1
b2
c2
d2
b3
c3
d3

z
b1
d1
a2
y

c1 d1 a1
c2 d 2 a2
b2
a3
c3
a3
b3
a1
d3
• Lebih mudah diingat sebagai:
Matematika Industri I
a1
1
b1 c1
d2
a2
b2
c2
d3
a3
b3
c3

x  y z 1
  
1  2 3  0
Contoh
• Cari nilai x dari persamaan:
2x+3y-z-4=0
3x+y+2z-13=0
x+2y-5z+11=0
x
y
z
1



1  2  3  0
3
x
1

1  4
2 3 1
1
2
2 5
 13
3 1
11
1 2 5
x
1

 56 28
x  2
Matematika Industri I
2
Pokok Bahasan
• Determinan
• Determinan orde-ketiga
• Persamaan simultan dengan tiga
bilangan tidak diketahui
• Konsistensi suatu set persamaan
• Sifat-sifat determinan
Matematika Industri I
Konsistensi Suatu Set Persamaan
Matematika Industri I
Konsistensi Suatu Set Persamaan
• Tiga persamaan simultan dengan dua
bilangan tidak diketahui akan konsisten
jika determinan koefisiennya adalah nol
a1x  b1 y  d1  0
a1 b1 d1
a2 b2 d 2  0
a2 x  b2 y  d2  0
a3 b3 d3
a3 x  b3 y  d3  0
Matematika Industri I
Konsistensi Suatu Set Persamaan
Matematika Industri I
Pokok Bahasan
• Determinan
• Determinan orde-ketiga
• Persamaan simultan dengan tiga
bilangan tidak diketahui
• Konsistensi suatu set persamaan
• Sifat-sifat determinan
Matematika Industri I
Sifat-sifat Determinan
1. Nilai suatu
determinan tetap
tidak berubah jika
barisnya diubah
menjadi kolom dan
kolom menjadi baris
2. Jika dua baris (atau
kolom) disalingtukarkan, tanda
determinan tersebut
berubah
Matematika Industri I
a1 a2
b1
b2
a2
b2
a1
b1

a1
b1
a2 b2

a1
b1
a2
b2
Sifat-sifat Determinan
3.
4.
Jika dua baris (atau
kolom) identik, nilai
determinan tersebut
sama dengan nol
Jika elemen sebarang
satu baris (atau kolom)
semuanya dikalikan
dengan faktor
persekutuan,
determinannya dikalikan
dengan faktor tsb
Matematika Industri I
a1
a1
a2
a2
ka1 kb1
a2
b2
k
0
a1
b1
a2 b2
Sifat-sifat Determinan
5. Jika elemen dari suatu baris atau kolom bisa
dinyatakan sebagai penjumlahan dari dua
atau lebih bilangan, maka determinannya
dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari
dua atau lebih determinan
Matematika Industri I
Sifat-sifat Determinan
6. Jika elemen sebarang baris (atau kolom)
diperbesar (atau dikurangi) oleh kelipatan
elemen yang sama dari elemen yang
bersesuaian dari baris (atau kolom) lain, nilai
determinan tersebut tidak berubah
a1  kb1
b1
a2  kb2 b2

a1
b1
a2
b2
and
Matematika Industri I
a1
b1
a2  ka1 b2  kb1

a1
b1
a2 b2
Hasil Pembelajaran
• Mengekspansi suatu determinan 2x2
• Menyelesaikan pasangan persamaan linier simultan
dengan dua variabel menggunakan determinan 2x2
• Mengekspansi suatu determinan 3x3
• Menyelesaikan tiga persamaan linier simultan dengan
tiga variabel menggunakan determinan 3x3
• Menentukan konsistensi dari set-set persamaan linier
simultan
• Menggunakan sifat-sifat determinan untuk
menyelesaikan persamaan yang ditulis dalam bentuk
determinan
Matematika Industri I
Referensi
• Stroud, KA & DJ Booth. 2003. Matematika
Teknik. Erlangga. Jakarta
• Ayres, Frank and Philip A Schimidt. 2003.
Matematika Universitas. Erlangga.
Jakarta.
Matematika Industri I