kalin 11_02

KS091206
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Ruang Vektor
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan
mahasiswa diharapkan :
pertemuan
ini
– Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari
ruang vektor
– Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari
subruang vektor
– Dapat menghitung kombinasi linier dan span
– Dapat mengetahui contoh aplikasinya
RUANG VEKTOR
Surabaya, 3 September 2012
2
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 2
Ruang Vektor
(bentuk Umum)
RUANG VEKTOR
3
Ruang Vektor
V adalah himpunan tidak kosong
Didefinisikan 2 operasi terhadap obyekobyek di V:
penjumlahan, notasi u + v
perkalian skalar, notasi kv
Catatan: perlu diingat bahwa
•penjumlahan tidak selalu seperti (2, 1) + (1, 3) = (3, 4)
•perkalian skalar tidak selalu seperti 5( 2, 1) = (10, 5)
RUANG VEKTOR
4
Ruang Vektor
V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut:
1.
Jika u, v ∈ V maka (u + v) ∈ V
2.
u+v=v+u
3.
u+(v+w)=(u+v)+w
4.
Ada vektor nol 0 ∈ V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u
5.
Untuk tiap u ∈ V, ada vektor –u ∈ V yang dinamakan negatif u
sedemikian sehingga u + (– u) = (– u) + u = 0
6.
Jika k adalah skalar dan u ∈ V, maka ku ∈ V
7.
k (u + v) = ku + kv
8.
(k+m)u = ku + mu
9.
k(mu) = (km) u
10. 1u = u
RUANG VEKTOR
5
Ruang Vektor
perhatikan aksioma 1, 4, 5, 6 berikut:
1.
Jika u, v ∈ V maka (u + v) ∈ V
4.
Ada vektor nol 0 ∈ V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u
5.
Untuk tiap u ∈ V, ada vektor –u ∈ V yang dinamakan negatif u
sedemikian sehingga u +(-u) = (-u) + u = 0
6.
Jika k adalah skalar dan u ∈ V, maka k u ∈ V
ruang vektor
u -u
v
-v
0
u+v
1
RUANG VEKTOR
bukan ruang vektor
ruang vektor
bukan ruang vektor
0
u
0
u
v
0
u
ku
ku
u+v
6
6
Teorema 5.1.1:
V merupakan ruang vektor, u ∈ V dan k adalah skalar.
Maka
1) 0u = 0
2) k0 = 0
3) (–1)u = -u
4) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0
RUANG VEKTOR
7
Subruang
(subspace)
RUANG VEKTOR
8
Subruang :
W merupakan subset dari V.
W disebut subruang dari V jika dan hanya jika
W adalah ruang vektor, di bawah operasi penjumlahan dan
perkalian skalar yang didefinisikan di V, artinya
RUANG VEKTOR
1.
Jika u, v ∈ W maka (u + v) ∈ W
6.
Jika k adalah skalar dan u ∈ W, maka ku ∈ W
9
V
V
–u
W
W
0
u
0
v
(u+v)
–u
v
– (u+v)
–v
(u+v)
–v
W subspaceV
RUANG VEKTOR
u
– (u+v)
W bukan subspace V
10
Catatan:
Setiap Ruang Vektor memiliki paling sedikit 2 subruang
yakni; V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0}
yang merupakan vektor 0 yang dinamakan sebagai subruang
nol.
RUANG VEKTOR
11
Contoh Subruang (1)
(Sumber: Howard Anton, Aljabar Linear 5e, “Subspace”, 1997)
RUANG VEKTOR
12
Contoh Subruang (2)
RUANG VEKTOR
13
Contoh Subruang (3)
RUANG VEKTOR
14
Contoh Subruang (4)
Tinjaulah vektor-vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) di R3.
Perlihatkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah kombinasi linear u
dan v serta w, = (4, -1, 8) bukanlah kombinasi linear u dan v.
Pemecahan:
RUANG VEKTOR
Kombinasi
Linear?
15
Sub
Ruang
Hasil
Jawaban
SPL
Himpunan dari semua vektor yang merupakan
jawaban dari sistem persamaan homogen
merupakan subruang di Rn, dengan orde A adalah
m x n.
Contoh :
Diberikan SPL homogin,
x1 + 3x2 – 5x3 + 7x4 = 0
x1 + 4 x2 – 19x3 + 10x4 = 0
2x1 + 5x2 – 26x3 + 11x4 = 0
RUANG VEKTOR
Surabaya, 3 September 2012
16
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 16
Matriks Eselon-nya :
x3 

x4 
1 0 −3 −2 
0 1 −4 3 


0 0 0 0 
variable bebas, misal : x3 = s dan x4 = t x2 = 4s – 3t dan
x1 = 3s + 2t
Jawaban dalam bentuk vektor :
 x1  3s + 2t 
3   2 
x  

 4   −3
4
s
−
3
t
2

 = s  +t  
x=
=
 x3   s 
1  0 
  

   
t
x


0  1 
 4
x = su + tv
u = (3, 4,1, 0) dan v = (2, −3, 0,1)
Subruang dari jawaban SPL Homogin disebut Ruang Jawab.
RUANG VEKTOR
Surabaya, 3 September 2012
17
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 17
Kombinasi Linier
(Linear Combination)
&
Rentang
(Span)
RUANG VEKTOR
18
Definisi:
Vektor w disebut kombinasi linier dari v1, v2, …, vn jika
w = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kn vn
k1 , k2 , ….. kn adalah skalar
Teorema 5.2.3.:
Jika v1, v2, …, vn merupakan himpunan vektor di V, maka
1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vn,
disebut himpunan W, adalah subspace V
2. W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vn
RUANG VEKTOR
19
Teorema 5.2.3.:
Jika v1, v2, …, vr merupakan himpunan vektor di V, maka
1.
Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vr, disebut himpunan
W, adalah subspace V
2.
W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vr
Bukti 1: W adalah subspace
jika u, v ∈ W, maka (u + v) ∈ W
Vektor u, v ∈ W; ki, ci, ai adalah skalar
u = c1 v1 + c2 v2 + ….. + cr vr
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr
v = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kr vr
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr
(u + v) = (c1 + k1)v1 + (c2 + k2)v2 + ….. + (cr + kr)vr
= a1 v1 + a2 v2 + ….. + ar vr
RUANG VEKTOR
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr
20
Teorema 5.2.3.:
Jika v1, v2, …, vr merupakan himpunan vektor di V, maka
1.
Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vr, disebut himpunan
W, adalah subspace V
2.
W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vr
Bukti 1: W adalah subspace
jika u ∈ W, maka ku ∈ W
Vektor u ∈ W; k, ci, di adalah skalar
u = c1 v1 + c2 v2 + ….. + cr vr
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr
ku = kc1 v1 + kc2 v2 + ….. + kcr vr
= d1 v1 + d2 v2 + ….. + dr vr
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr
RUANG VEKTOR
21
Contoh Subruang (4)
Penyelesaian:
(9,2,7) = k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)
SPL nya :
k1 + 6 k2 = 9
2k1 + 4 k2 = 2
-k1 + 2 k2 = 7
Jika diselesaikan, didapatkan k1 = -3 dan k2 = 2
Sehingga w = -3u + 2v
Bagaimana dengan w’?
RUANG VEKTOR
Surabaya, 3 September 2012
22
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 22
Contoh :
Nyatakanlah a=(7,7,9,11) sebagai kombinasi linier dari
u1=(2,0,3,1), u2 = (4,1,3,2) dan u3 = (1,3,-1,3)
Jawab :
Tentukanlah s1,s2, dan s3 yang memenuhi : a = s1 u1 + s2 u1 + s3 u3
Dalam bentuk matriks dinyatakanlah sebagai :
2
4
1  7 
0 
1 
3   7 
s1   + s2   + s3   =  
3 
3 
 −1 9 
 
 
   
1 
2
3  11
ATAU
2s1 + 4s2 + s3 = 7
4s2 + 3s3 = 7
3s1+ 3s2 – s3 = 9
s1 + 2s2 + 3s3 = 11
RUANG VEKTOR
Surabaya, 3 September 2012
23
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 23
Matriks lengkapnya :
2
0

3

1
7
1 3 7 
3 −1 9 

2 3 11
Matriks Eselonnya :
2
0

0

0
7 
1 3
7 
0 13 39 
2
2
0 0
0 
4
4
1
1
s3 = 3, s2 = -2, dan s1 = 6
Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linear dari :
a = 6u1 − 2u1 + 6u3
RUANG VEKTOR
Surabaya, 3 September 2012
24
KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 24
Rentang:
Jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear v1, v2, …, vr maka kita mengatakan bahwa
vektor-vektor tersebut merentang V
Diketahui suatu Ruang Vektor V
S = {v1, v2, …, vr } dan S ⊆ V
W = { x | x merupakan kombinasi linier vektor-vektor S
artinya: x = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kn vr }
maka S adalah rentang (span) W
RUANG VEKTOR
25
Contoh (1):
Tentukan apakah v1=(1,1,2), v2=(1,0,1), dan v3=(2,1,3)
merentang pada R3
Contoh (2):
Misalkan u=(2,0,-1,4) dan v=(2,-1,0,2). Tentukan
apakah w=(-2,4,-3,4) merupakan span {u,v}
Contoh (3):
Diketahui u1=(2,0,-1,2,4), u2=(1,0,0,-1,2), dan
u3=(0,1,0,0,-1). Apakah vektor-vektor tersebut span
(merentang) w=(1,12,3,-14,-1)?
RUANG VEKTOR
26
Latihan:
1. Nyatakanlah persamaan berikut sebagai Kombinasi Linear:
p1=2 + x + 4x2, p2=1 – x + 3x2, p3=3 + 2x + 5x2
a. 5x2 + 9x + 5
b. 3x2 + 2x + 2
2. Nyatakanlah vektor berikut sebagai kombinasi linear dari:
3. Tunjukkan apakah polinomial berikut merentang P2
p1=1 + 2x- x2
p2=3 + x2
p3=5 + 4x -x2
p4=-2 + 2x - 2x2
RUANG VEKTOR
27