bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari satu
atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan
diferensial merupakan salah satu bagian matematika yang dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang. Terdapat dua macam persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Kajian tentang persamaan
diferensial khususnya persamaan diferensial parsial terus berkembang baik secara teori maupun aplikasi. Persamaan diferensial parsial banyak digunakan dalam
pemodelan fenomena-fenomena yang ada dalam bidang kimia, fisika, biologi, maupun bidang-bidang lainnya.
Persamaan gelombang air dangkal berbentuk sistem persamaan diferensial
parsial (PDP) nonlinear orde satu [Zhang, 1996]. Dinamika dari fenomena gelombang air dangkal dapat diketahui melalui solusi dari sistem PDP tersebut. Solusi
yang diperoleh bermanfaat untuk memprediksi kemana air akan mengalir, kecepatan aliran air, dan ketinggian gelombang. Namun terkadang sulit untuk memperoleh
solusi analitik dari sistem PDP nonlinear orde satu. Oleh karena itu, digunakan
metode-metode numerik dari persamaan gelombang air dangkal.
Model gelombang air yang sudah ada salah satunya model gelombang air
dangkal (Shallow W ater W ave Equations). Dangkal dalam arti matematis adalah amplitudo gelombang jauh lebih kecil dibandingkan panjang gelombangnya.
Secara garis besar, terdapat 3 kelompok metode numerik yang dapat digunakan untuk memperoleh solusi numerik dari persamaan gelombang air dangkal yang merupakan sistem PDP non linear orde satu. Metode-metode tersebut adalah metode
1
2
beda hingga, metode elemen hingga, dan metode volume hingga.
Dalam skripsi ini penulis mengkaji persamaan gelombang air dangkal beserta solusi numeriknya dengan menggunakan metode beda hingga. Metode beda
hingga dipilih karena metode tersebut dapat digunakan untuk persamaan gelombang air dangkal 1D. Dengan menggunakan metode beda hingga, akan diperoleh beberapa skema penyelesaian numerik untuk persamaan adveksi. Metode beda
hingga juga dapat digunakan dan bekerja dengan baik jika koefisien dari persamaan adveksi kontinu. Namun jika koefisien dari persamaan adveksi diskontinu maka
penyelesaian yang dihasilkan tidak smooth atau diskontinu.
1.2. Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana mengkonstruksi persamaan gelombang air dangkal?
2. Bagaimana penyelesaian numerik pada persamaan adveksi menggunakan metode beda hingga?
3. Bagaimana menentukan solusi numerik dari persamaan gelombang air dangkal dengan menggunakan metode beda hingga?
1.3. Batasan Masalah
Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada permodelan
yang mempresentasikan fenomena gelombang air dangkal, maka diperlukan beberapa asumsi atau batasan yaitu gelombang yang dimodelkan merupakan :
1. Gelombang air dangkal dalam satu dimensi
2. Gelombang air dangkal dengan topografi mendatar (rata).
1.4. Tujuan dan Manfaat
Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program
Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk
3
memberikan wawasan bagi pembaca antara lain :
1. mengkaji penurunan persamaan gelombang air dangkal.
2. untuk mengetahui skema penyelesaian numerik pada persamaan adveksi menggunakan metode beda hingga.
3. menentukan solusi numerik persamaan gelombang air dangkal dengan menggunakan metode beda hingga.
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah memberikan kontribusi
terhadap perkembangan ilmu pengetahuan tentang solusi numerik dari persamaan
gelombang air dangkal dan menambah wawasan dalam bidang matematika terapan.
1.5. Tinjauan Pustaka
Dalam penulisan Tugas Akhir ini, penulis mengacu pada literatur-literatur
yang tersebut dalam daftar pustaka. Persamaan gelombang air dangkal (shallow
water equations) terdiri dari dua persamaan yang diperoleh dari konservasi massa
dan konservasi momentum. Dalam skripsi ini penulis menjabarkan kedua hukum
konservasi tersebut untuk mendapatkan persamaan gelombang air dangkal satu dimensi. Penurunan dan penjabaran hukum konservasi secara matematis diberikan
lebih tuntas oleh LeVeque (1992). Selain itu, penelitian lain yang mengkaji penurunan persamaan gelombang air dangkal adalah Mungkasi (2011).
Selanjutnya, Jakeman (2006) dalam tulisannya yang berjudul ”On N umerical
Solutions of T he Shallow W ater Equations”menjelaskan tentang penurunan
persamaan gelombang air dangkal tanpa memperhatikan topografi, dan solusi numerik menggunakan metode U pwind yang diterapkan pada kasus Dam-break atau
bendungan bobol.
Roberts (2013) dalam artikel yang berjudul ”N umerical Solution of Conservation Laws Applied to T he Shallow W ater W ave Equations”mengkaji
tentang solusi numerik dari hukum konservasi yang diaplikasikan pada persamaan
gelombang air dangkal. Dalam artikel tersebut, diuraikan secara detail terkait penurunan persamaan gelombang air dangkal baik satu-dimensi maupun dua-dimensi.
4
Pada artikel yang ditulis oleh Crowhurst (2013) dapat dilihat bahwa solusi
numerik dari persamaan gelombang air dangkal dimensi satu dengan menggunakan metode beda hingga. Kestabilan dari beberapa metode tersebut dapat dianalisa
dengan menggunakan analisis kestabilan von Neumann seperti yang ditulis oleh
Basaruddin (1994).
1.6. Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai gelombang air dangkal dimensi satu. Selanjutnya, memahami sifat-sifat fluida, dalam hal ini air. Kemudian, mencari
kaitan hukum-hukum fisis yang berlaku dengan adanya sifat yang dimiliki. Mengkonstruksi persamaan gelombang air dangkal dari hukum-hukum konservasi yang
berlaku. Setelah itu, ditentukan solusi pendekatannya menggunakan metode beda
hingga dengan mengambil contoh dari hukum konservatif linear yaitu persamaan
adveksi.
Simulasi dilakukan dengan bantuan program Matlab menggunakan algoritma beda hingga untuk mencari penyelesaian numerik dari persamaan gelombang
air dangkal.
1.7. Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang permasalahan, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat, tinjauan pustaka dan metode penelitian penulisan skripsi ini. Bab ini memberikan gambaran secara umum topik yang
dibahas.
BAB II
DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang menjadi dasar dalam proses peme-
5
cahan masalah dari permasalahan yang telah dirumuskan sebelumnya. Beberapa
teori yang dibahas, diantaranya teori persamaan diferensial parsial yang beberapa
merupakan akibat dari teori permasalahan diferensial biasa, masalah syarat awal
dan syarat batas, sistem persamaan linear.
BAB III KONSTRUKSI PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL
Pada bab ini dibahas mengenai penurunan persamaan gelombang air dangkal 1D
yang diperoleh dari hukum konservasi massa dan konservasi momentum.
BAB IV PERSAMAAN ADVEKSI
Pada bab ini dibahas mengenai penyelesaian eksak dari persamaan adveksi. Selain
itu dibahas penyelesaian numeriknya dengan menggunakan metode FTCS (f orward
in time central in space) dan metode upwind.
BAB V
METODE NUMERIK PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANG-
KAL
Pada bab ini dibahas mengenai solusi dari persamaan non-linear dari persamaan
diferensial numerik.
BAB VI
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini memuat kesimpulan dan saran terkait dengan pembahasan yang diberikan pada BAB III, IV dan bab V.