bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Persamaan diferensial merupakan ilmu matematika yang dapat digunakan
untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalah fisis merupakan masalah yang
berkaitan dengan hukum alam, yang dibahas dalam ilmu fisika. Namun hanya sistem fisis sederhana saja yang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial biasa. Beberapa bidang fisis lainnya dimodelkan dalam persamaan diferensial parsial,
salah satunya adalah masalah fluida.
Fluida merupakan salah satu dari sekian banyak masalah fisis yang sering
dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Masalah fluida yang menarik perhatian
penulis adalah bencana alam yang disebabkan oleh air. Contoh dari beberapa bencana alam yang terjadi di Indonesia misalnya Tsunami yang terjadi di Aceh tahun
2004 dan bobolnya tanggul Situ Gintung di Ciputat, Tangerang Selatan yang terjadi
pada tahun 2009. Kedua bencana alam tersebut disebabkan oleh aliran air yang dapat dimodelkan secara matematis. Salah satunya adalah dengan persamaan gelombang air dangkal.
Gelombang air dangkal adalah gelombang yang terjadi pada permukaan air
dangkal dimana panjang gelombangnya cukup besar dibandingkan kedalamannya
(Ridwan, 2007). Persamaan gelombang air dangkal merupakan sistem persamaan
diferensial parsial nonlinear orde satu. Dinamika dari fenomena gelombang air
dangkal dapat diketahui melalui solusi dari persamaan diferensial parsial tersebut.
Solusi yang diperoleh bermanfaat untuk memprediksi kemana air akan mengalir,
kecepatan aliran air, luas daerah dampak air yang datang dan rute penyelamatan
untuk lari ke daerah yang lebih aman (Mungkasi, 2012). Sehingga harapannya,
permodelan beserta solusi dari persamaan gelombang air dangkal bermanfaat untuk
1
2
ahli di bidang lain untuk membuat sistem peringatan dini (early warning systems)
untuk bencana yang disebabkan oleh aliran air.
Dalam skripsi ini akan dikaji permodelan gelombang air dangkal beserta
solusi analitiknya. Solusi analitik dari persamaan gelombang ini tersedia hanya
untuk beberapa masalah tertentu. Salah satunya adalah masalah bendungan bobol.
Oleh karena hal itu, dalam skripsi ini, persamaan gelombang air dangkal diterapkan
pada masalah bendungan bobol (dam break problem). Kemudian, solusi analitik
ditentukan melalui metode karakteristik.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan motivasi di atas, dapat dirumuskan beberapa permasalahan,
yaitu :
1. Bagaimana mengkonstruksi persamaan gelombang air dangkal?
2. Bagaimana menentukan kecepatan horizontal dan ketinggian lokal air pada
masalah bendungan bobol?
1.3. Batasan Masalah
Agar permodelan dapat merepresentasikan fenomena gelombang air dangkal, maka diperlukan beberapa asumsi atau batasan, yaitu gelombang air dangkal
yang dimodelkan merupakan :
1. Gelombang air dangkal dengan topografi mendatar (rata)
2. Gelombang air dangkal dalam satu dimensi.
1.4. Tujuan dan Manfaat
Tujuan dari penulisan skripsi ini, antara lain :
1. Mengkaji penurunan persamaan gelombang air dangkal.
3
2. Mengaplikasikan persamaan gelombang air dangkal pada masalah bendungan
bobol.
3. Mendapatkan solusi persamaan gelombang air dangkal secara analitik dengan
metode karakteristik.
Penyusunan skripsi ini bermanfaat bagi pengembangan penelitian bidang
terapan kaitannya dengan bencana alam yang disebabkan oleh aliran air. Selain
itu, bermanfaat untuk menambah kajian pustaka tentang penyelesaian persamaan
gelombang.
1.5. Tinjauan Pustaka
Skripsi ini tidak lepas dari kontribusi para peneliti sebelumnya yang telah
membahas Persamaan Gelombang Air Dangkal 1D. Penulis menggunakan beberapa
dari hasil kontribusi tersebut untuk tinjauan pustaka.
Persamaan gelombang air dangkal (shallow water equations) terdiri atas
dua persamaan yang diperoleh dari konservasi massa dan konservasi momentum.
Dalam skripsi ini penulis menjabarkan kedua hukum konservasi tersebut untuk
mendapatkan persamaan gelombang air dangkal satu dimensi. Penurunan secara
fisis telah dikaji melalui tulisan ilmiah yang berasal dari Massachusess Institute
of Technology (http://eaps.mit.edu/˜rap/courses/12333_notes/
A2%20SWeqs.pdf). Penurunan dan penjabaran hukum konservasi secara matematis diberikan lebih tuntas oleh LeVeque (1992) dan Liggett (1994). Selain itu,
peneliti lain yang mengkaji penurunan persamaan gelombang air dangkal adalah
Billingham and King (2000), Mungkasi (2011), Stoker (1957), dan Acheson (1990).
Sedangkan penurunan persamaan gelombang air dangkal dua dimensi diberikan
oleh Weiyan (1992).
Stoker (1957), Liggett (1994), Acheson (1990), dan Billingham and King
(2000) meneliti gelombang air dangkal pada topografi mendatar. Topografi mendatar membuat model gelombang tersebut menjadi lebih sederhana dibandingkan
pada topografi miring (sembarang). Gelombang air dangkal pada topografi sem-
4
barang telah diselesaikan oleh Bouchut and Westdickenberg (2004).
Solusi analitik dari persamaan gelombang air dangkal ada hanya untuk beberapa kasus tertentu seperti dam break problem, debris avalanche problems dan
waves on a sloping beach (Mungkasi, 2012). Oleh karena itu, penyelesaian persamaan gelombang air dangkal oleh Mungkasi (2012) didekati dengan metode volume hingga (finite volume methods). Sedangkan Stoker (1957), Liggett (1994),
Acheson(1990), dan Billingham and King (2000) menerapkan persamaan gelombang air tersebut pada masalah bendungan bobol (dam break problem). Beberapa tipe masalah bendungan bobol telah diselesaikan oleh Liggett(1994). Namun,
masalah bendungan bobol dengan suatu kondisi awal (Riemann Problem) diselesaikan secara lebih terperinci oleh Acheson (1990) dan Billingham and King
(2000). Ketiga peneliti tersebut mendapatkan solusi analitik persamaan gelombang
air dangkal pada masalah bendungan bobol dengan menggunakan metode karakteristik.
1.6. Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan oleh penulis adalah studi literatur. Diawali dengan mencari dan memahami literatur-literatur yang terkait dengan gelombang air dangkal satu dimensi. Kemudian secara logis dan sistematis, penulis mengkonstruksi model gelombang air tersebut yang kemudian diaplikasikan pada suatu
masalah dan selanjutnya dicari solusi analitisnya. Langkah-langkah yang dilakukan
adalah sebagai berikut :
1. Memahami sifat-sifat fluida, dalam hal ini air. Kemudian, mencari kaitan
hukum-hukum fisis yang berlaku dengan adanya sifat yang dimiliki.
2. Mengkonstruksi persamaan gelombang air dangkal dari hukum-hukum konservasi yang berlaku.
3. Mengaplikasikan persamaan gelombang air dangkal pada masalah bendungan
bobol (dam break problem).
5
4. Mencari penyelesaian analitik kasus yang diambil.
1.7. Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini memuat latar belakang permasalahan, perumusan masalah, batasan masalah,
tujuan dan manfaat, tinjauan pustaka dan metode penelitiaan penulisan skripsi ini.
Bab ini memberikan gambaran secara umum topik yang dibahas.
BAB II DASAR TEORI
Bab ini memuat teori-teori yang menjadi dasar dalam proses pemecahan masalah
dari permasalahan yang telah dirumuskan sebelumnya. Beberapa teori yang dibahas, diantaranya teori persamaan diferensial parsial yang beberapa merupakan akibat dari teori persamaan diferensial biasa, masalah syarat awal, teori karakteristik,
sistem persamaan, invers matriks, ekspansi kofaktor, aturan Cramer, nilai eigen dan
vektor eigen.
BAB III KONSTRUKSI PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL
Pada bab ini dibahas mengenai penurunan persamaan gelombang air dangkal yang
diperoleh dari hukum konservasi massa dan hukum konservasi momentum.
BAB IV MASALAH BENDUNGAN BOBOL
Pada bab ini persamaan gelombang air dangkal diaplikasikan pada masalah bendungan bobol. Penyelesaian masalah tersebut diselesaikan dengan metode karakteristik untuk mendapatkan solusi analitiknya.
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini memuat kesimpulan dan saran terkait dengan pembahasan yang diberikan
pada bab III dan IV.