metode beda hingga untuk solusi numerik persamaan diferensial

METODE BEDA HINGGA UNTUK SOLUSI NUMERIK
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Sangadji1
ABSTRACT
There are many problems in applied sciences, physics, and engineering that are
mathematically modeled by using differential equations and boundary conditions. Sometimes, to find
analytic or exact solutions of ordinary differential equations are very difficult. Other solutions besides
analytic or exact solutions are numerical solutions or approximations. Article discusses numerical
solutions of ordinary differential equations using finite difference method.
Keywords: ordinary differential equations, numerical solutions, finite difference method
ABSTRAK
Terdapat banyak masalah dalam ilmu terapan, fisika, dan rekayasa teknik yang dimodelkan
secara matematika dengan persamaan diferensial dan syarat-syarat batas. Kadang-kadang untuk
mencari solusi analitik atau eksak dari persamaan diferensial biasa merupakan hal yang sangat sulit.
Cara lain di samping solusi analitik atau eksak adalah solusi numerik atau pedekatan. Artikel
membahas solusi numerik persamaan diferensial biasa dengan syarat-syarat batas menggunakan
metode beda hingga.
Kata kunci: persamaan diferensial biasa, solusi numerik, metode beda hingga
1
Staf Peneliti PPIN BATAN, Kompleks PUSPIPTEK Serpong
Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara,
Jl. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480, [email protected]
132
Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. 2 Juli 2008: 132-137
PENDAHULUAN
Diberikan persamaan diferensial linier tingkat dua dan yang akan dicari adalah fungsi
x = x(t ) dengan t ∈ [a, b] dengan syarat batas x(a) = α , x(b) = β . Pada umumnya, solusi
analitiknya sulit dicari, mengingat persamaan diferensial yang diberikan tersebut masih bersifat
umum. Dalam hal ini, akan dicari solusi numeriknya dengan metode beda hingga. Instrumen untuk
solusi itu adalah formula pendekatan beda hingga untuk turunan fungsi sebagai berikut.
x ' (t j ) =
x" (t j ) =
x (t j +1 ) − x (t j −1 )
2h
+ O ( h 2 ),
x(t j +1 ) − 2 x(t j ) + x(t j −1 )
h
2
(1)
+ O(h 2 ),
(2)
dan
f (t ) = g (t ) + O(h n ) bila
f (t ) − g (t )
≤M
hn
(3)
untuk suatu konstanta positif M dan untuk h cukup kecil.
Bila solusi eksak dari suatu persamaan differensial biasa sulit sekali atau bahkan tidak dapat
diselesaikan maka biasanya solusi pendekatannya secara numerik dapat dicari dengan metode beda
hingga. Banyak buku teks standar tentang metode beda hingga untuk mendapatkan solusi pendekatan
secara numerik persamaan differensial. Salah satu di antaranya adalah Finite Difference Methods for
Ordinary and Partial Differential Equations: Steady State and Time Dependent Problems, Randall J.
LeVeque, SIAM, July 2007.
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL
Diberikan persamaan diferensial linier tingkat dua sebagai berikut.
x" (t ) = p (t ) x' (t ) + q(t ) x(t ) + r (t ) ,
(4)
Dengan fungsi p (t ), q (t ) dan r (t ) kontinu pada interval [a, b] dari t. Akan dicari solusi numerik atau
pendekatan x(t ) yang memenuhi syarat batas x(a ) = α , x(b) = β dari persamaan diferensial tersebut
P = {t 0 , t1 , t 2 ,K , t N } dan
a = t 0 < t1 < L < t N = b, dengan t j = a + hj , h = (b − a) / N untuk j = 0,1, 2,K, N .
pada pada interval terkait. Pada interval [a, b] , dibuat partisi
Metode Beda Hingga … (Sangadji)
133
Dengan formula pendekatan beda hingga untuk derivatif pertama dan derivatif kedua dari
x(t ), yaitu
x(t j +1 ) − x(t j −1 )
x ' (t j ) =
+ O(h 2 ),
(5)
2h
dan
x" (t j ) =
x (t j +1 ) − 2 x (t j ) + x (t j −1 )
h
2
(6)
+ O (h 2 ),
kemudian ruas kanan formula tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial di atas,
diperoleh
x j +1 − 2 x j + x j −1
h2
⎛ x j +1 − x j −1
⎞
+ O(h 2 ) = p (t j )⎜⎜
+ O(h 2 ) ⎟⎟ + q (t j ) x j + r (t j ) .
2h
⎝
⎠
Kemudian O(h 2 ) di ruas kiri dan
(7)
ruas kanan bisa eliminir dan diperkenalkan notasi baru
p j = p(t j ), q j = q(t j ) dan r j = r (t j ). Setelah persamaan yang terjadi disederhanakan, ternyata
menjadi
x j +1 − 2 x j + x j −1
h2
⎛ x j +1 − x j −1 ⎞
⎟⎟ + q j x j + r j ,
= p j ⎜⎜
2h
⎠
⎝
(8)
atau
⎛h
⎞
⎛−h
⎞
p j − 1⎟ x j −1 + (2 + h 2 q j ) x j + ⎜ p j − 1⎟ x j +1 = − h 2 r j , untuk j = 1, 2, K, N − 1
⎜
⎝2
⎠
⎝ 2
⎠
dan
x j = x(t j ), j = 0 ,1, 2, K, N , x0 = α dan x N = β .
(9)
(10)
Dalam bentuk matriks, N − 1 buah persamaan tersebut ekivalen dengan persamaan matriks
tridiagonal berikut.
134
Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. 2 Juli 2008: 132-137
h
⎡
2
p1 − 1
⎢2 + h q1
2
⎢
⎢ − h p − 1 2 + h 2q
2
2
⎢ 2
⎢
− h
⎢
pj −1
2
⎢
⎢
⎢ O
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
h
p2 − 1
2
2 + h 2q
j
O
h
p
2
j
−1
− h
p N −2 − 1 2 + h 2 q N −2
2
h
p N −2 − 1
2
− h
p N −1 − 1
2
2 + h 2 q N −1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥ ⎡ x1
⎥⎢x
⎥⎢ 2
⎥⎢x j
⎥⎢
⎥ ⎢ x N −2
⎥⎢x
⎥ ⎣ N −1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
⎡ − h 2 r1 + e 0
⎤
⎢ 2
⎥
⎢ h r2
⎥
⎥ = ⎢h 2r j
⎢
⎥
⎢− h 2r
⎥
N −2
⎢
⎥
⎢⎣ − h 2 r N − 1 + e N
⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
11)
⎛h
⎞
⎛ h
⎞
p1 + 1⎟α dan e N = ⎜ − p N −1 + 1⎟ β . Dengan bantuan aplikasi program komputer,
⎝2
⎠
⎝ 2
⎠
dan e0 = ⎜
sistem persamaan linier tersebut dapat diselesaikan. Berikut ini diberikan hasil studi kasus dalam
mencari solusi numerik persamaan diferensial
x" (t ) =
2t '
2
x −
x + 1 pada interval [0, 4]
2
1+ t
1+ t2
(12)
dengan syarat-syarat batas
x(0) = 1.25 dan x(4) = −0.95
(13)
dan nilai h: h1 = 0,2, h2 = 0,1 h3 = 0,05, h4 = 0.025. Perlu dicatat bahwa solusi eksak persamaan
diferensial tersebut adalah
x(t ) = 1.25 + 0.4860896526 t − 2.25t 2
1
1
+ 2t arctan(t ) − ln(1 + t 2 ) + t 2 ln(1 + t 2 ).
2
2
Metode Beda Hingga … (Sangadji)
(14)
135
2t
2
x' −
x + 1 untuk Nilai H
2
1+t
1 + t2
yang Bermacam-Macam Dibandingkan dengan Solusi Eksak
Tabel 1 Pendekatan Numerik untuk x" =
tj
x j ,1
x j ,2
x j ,3
x j ,4
x(t j )
h1 = 0.2
h2 = 0.1
h3 = 0.05
h4 = 0.025
eksak
----------------------------------------------------------------------------------------------0.0
1.250000
1.250000
1.250000
1.250000
1.250000
0.2
1.314503
1.316646
1.317174
1.317306
1.317350
0.4
1.320607
1.325045
1.326141
1.326414
1.326505.
0.6
1.272755
1.279533
1.281206
1.281623
1.281762
0.8
1.177399
1.186438
1.188670
1.189227
1.189412
1.0
1.042106
1.053226
1.055973
1.056658
1.056886.
1.2
0.874878
0.887823
0.891023
0.891821
0.892086
1.4
0.683712
0.698181
0.701758
0.702650
0.702947
1.6
0.476372
0.492027
0.495900
0.496865
0.497187
1.8
0.260264
0.276749
0.280828
0.281846
0.282184
2.0
0.042399
0.059343
0.063537
0.064583
0.064931
2.2
-0.170616
-0.153592
-0.149378
-0.148327
-0.147977
2.4
-0.372557
-0.355841
-0.351702
-0.350669
-0.350325
2.6
-0.557565
-0.541546
-0.537580
-0.536590
-0.536261
2.8
-0.720114
-0.705188
-0.701492
-0.700570
-0. 700262
3.0
-0.854988
-0.841551
-0.838223
-0.837393
-0.837116
3.2
-0.957250
-0.945700
-0.942839
-0.942125
-0.941888
3.4
-1.022221
-1.012958
-1.010662
-0.010090
-1.009899
3.6
-1.045457
-1.038880
-1.037250
-1.036844
-1.036709
3.8
-1.022727
-1.019238
-1.018373
-1.018158
-1.018086
4.0
-0.950000
-0.950000
-0.950000
-0.950000
-0.950000
y
y = u(t)
1.0
0.5
t
0.0
1
2
3
4
-0.5
-1.0
Gambar 1 Grafik Solusi Numerik untuk Persamaan Diferensial
x" =
136
2t
2
x'−
x +1
2
1+ t
1 + t2
dengan h = 0.2
Jurnal Mat Stat, Vol. 8 No. 2 Juli 2008: 132-137
PENUTUP
Instrumen untuk solusi ini adalah formula pendekatan beda hingga untuk turunan pertama dan
turunan ke dua dari fungsinya, yaitu
x' (t j ) =
x" (t j ) =
x(t j +1 ) − x(t j −1 )
+ O(h 2 ),
2h
x(t j +1 ) − 2 x(t j ) + x(t j −1 )
h2
+ O(h 2 ),
Dengan formula pendekatan beda hingga untuk derivatif pertama dan derivatif kedua dari
x(t ) tersebut dan kemudian ruas kanan dari formula tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan
diferensialnya dengan memperhatikan syarat batas yang ada maka diperoleh sistem persamaan dari
N − 1 buah persamaan linier untuk diselesaikan dalam mendapatkan nilai dari x(t ) di t j = a + hj
untuk j =1, 2, K , N − 1 sebagai solusi numerik untuk persamaan diferensialnya dengan syarat batas
yang ada.
Metode tersebut tidak hanya digunakan pada persamaan diferensial linier tingkat dua dengan
syarat batas tetapi juga dapat digunakan untuk persamaan diferensial linier tingkat n dengan syarat
batas.
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, Robert G. and Donald R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis. 3rd Edition. John
Wiley & Sons, Inc.
Hollis, Selwyn. 2002. Differential Equations with Boundary Value Problems. Upper Saddle River,
New Jersey, USA: Prentice Hall.
Leader, Jeffrey J. 2004. Numerical Analysis and Scientific Computation. Pearson International Edition.
Mathews, John H. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering. 2nd Edition.
New Jersey: Prentice Hall International Inc.
Simmons, George F. dan Steven G. Krantz. 2007. Differential Equations Theory, Technique, and
Practice. McGraw-Hill International Edition.
Metode Beda Hingga … (Sangadji)
137