barisan dan deret aritmetika

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
Barisan Aritmetika
a. Pengertian Barisan Aritmetika
Untuk memahami pengertian barisan aritmetika, perhatikan barisan bilangan pada
penggaris yang dimiliki Amir berikut ini.
0, 1, 2, 3, …, 19, 20
Suku pertama barisan di atas adalah U1 = 0 dan dapat dilihat bahwa tiap suku dari barisan
tersebut bertambah 1 dari suku sebelumnya. Dengan demikian pada barisan tersebut selisih dua
suku yang berurutan selalu sama, yaitu +1. Jenis barisan tersebut secara khusus disebut barisan
aritmetika.
Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih tiap dua suku yang berurutan
selalu tetap (konstan).
Selanjutnya selisih dua suku yang berurutan tersebut disebut beda dan disimbolkan
dengan b. Barisan aritmetika di atas memiliki beda
b = 1 – 0 = 2 – 1 = 3 – 2 = … = 20 – 19 = 1
Secara umum,
Pada barisan aritmetika U1, U2, U3, …, Un-1, Un mempunyai beda,
b = U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1
CONTOH 1
Tunjukkan bahwa barisan berikut merupakan barisan aritmetika !
a. 14, 17, 20, 23, …
b. 40, 35, 30, 25, …
c. x, x + 3, x + 6, x + 9, …
Jawab :
Untuk masing-masing barisan di atas tentukan nilai beda terlebih dahulu,
a. Dari barisan 14, 17, 20, 23, … diperoleh
U2 – U1 = 17 – 4 = 3
U3 – U2 = 20 – 17 = 3
Karena barisan tersebut mempunyai beda yang tetap, maka barisan tersebut merupakan
barisan aritmetika.
b. Dari barisan 40, 35, 30, 25, … diperoleh
U2 – U1 = 35 – 40 = –5
U3 – U2 = 30 – 35 = –5
Karena barisan tersebut mempunyai beda yang tetap, maka barisan tersebut merupakan
barisan aritmetika.
c. Dari barisan x, x + 3, x + 6, x + 9, … diperoleh
U2 – U1 = x + 3 – x = 3
U3 – U2 = x + 6 – x + 3 = 3
Karena barisan tersebut mempunyai beda yang tetap, maka barisan tersebut merupakan
barisan aritmetika.
Barisan dan Deret Aritmetika
1
b. Rumus Suku ke-n
Misalnya suku pertama dari suatu barisan aritmetika adalah a dan bedanya adalah b, maka
berdasarkan definisi barisan aritmetika yang mempunyai beda tetap, diperoleh
U1 = a
U2 – U1 = b
U2 = U1 + b
U2 = a + b
U3 – U2 = b
U3 = U2 + b
U3 = (a + b) + b
U3 = a + 2b
U4 – U3 = b
U4 = U3 + b
U4 = (a + 2b) + b
U4 = a + 3b
U5 – U4 = b
U5 = U4 + b
U5 = (a + 3b) + b
U5 = a + 4b
Un – Un-1 = b
Un = Un-1 + b
Un = a + (n -1) b
Dari pola di atas diperoleh bahwa barisan aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b dapat
dituliskan sebagai:
a, a + b, a + 2b, a + 3b, … , a + (n -1) b, …
Rumus suku ke – n dari barisan aritmetika yang mempunyai suku pertama a dan beda b
adalah Un = a + (n -1) b
CONTOH 2
Diketahui barisan aritmetika 1, 7, 13, 19, …
a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut !
b. Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 115 ?
Jawab:
a. Dari barisan aritmetika 1, 7, 13, 19, … diperoleh
a=1
b=7–1=6
Un
= a + (n – 1) b
U10
= 1 + (10 – 1) 6
= 1+ 9.6
= 55
Un
=
=
=
=
a + (n – 1) b
1 + (n – 1) 6
1 + 6n – 6
6n – 5
Barisan dan Deret Aritmetika
2
b. Misalnya 115 merupakan suku ke-n barisan tersebut, maka berlaku
Un = 115
6n – 5 = 115
6n = 120
n = 20
Jadi, dalam barisan tersebut 115 adalah suku ke-20
CONTOH 3
Pada suatu barisan aritmetika diketahui bahwa suku ke-4 adalah 18 dan suku ke-10 adalah 48.
a. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut !
b. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut !
Jawab:
a. Dengan menggunakan rumus suku ke-n, Un = a + (n – 1) b diperoleh
U4
= 18
a + 3b = 18 ……(1)
eliminasi
U10
= 48
a + 9b = 48 ……(2)
diperoleh a + 3b = 18
a + 9b = 48
-6b = -30
b = 5
Subtitusikan b = 5 ke persamaan (1), diperoleh
a + 3b = 18
a + 3.5 = 18
a + 15 = 18
a = 3
Jadi barisan tersebut mempunyai suku pertama a = 3 dan beda b = 5.
b. Berdasarkan hasil (a) diperoleh
Un = a + (n – 1) b
= 3 + (n – 1) 5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2
c. Suku Tengah
Perhatikan barisan bilangan berikut !
1, 5, 9, 13, 17
Banyaknya suku pada barisan di atas merupakan bilangan ganjil yaitu 5. Jika banyak suku
suatu barisan aritmetika adalah bilangan ganjil yang lebih dari satu, maka terdapat suku yang
berada di tengah (suku di tengah). Suku tengah tersebut disimbolkan dengan Ut .
Pada barisan di atas mempunyai suku tengah Ut = U3 = 9.
CONTOH 4
Tentukan suku tengah dari barisan aritmetika 5, 8, 11, 14, … , 77.
Barisan dan Deret Aritmetika
3
Jawab:
Barisan aritmetika tersebut mempunyai suku pertama a = 5 dan beda b = 3.
Untuk mengetahui suku tengah , terlebih dahulu tentukan banyaknya suku barisan tersebut
Un
= 77
a + (n – 1) b = 77
5 + (n – 1) 3 = 77
5 + 3n – 3 = 77
3n – 2 = 77
3n
= 75
n
= 25
Dengan demikian suku tengah barisan tersebut adalah suku ke-
(25 + 1) = 13
Jadi, nilai suku tengah barisan tersebut adalah
Ut
= U13
Ut
= a + (13 – 1) b
= 5 + 12 . 3
= 5 + 36
= 41
Rumus umum untuk menentukan suku tengah barisan aritmetika dapat dianalogikan dengan
contoh sederhana seperti di atas.
Misalnya
,
,
,…,
adalah barisan aritmetika dengan banyaknya suku bilangan
ganjil lebih dari satu, maka suku tengah barisan tersebut adalah
Jika rumus tersebut digunakan untuk Contoh 4, maka suku tengah dari barisan aritmetika
5, 8, 11, 14, ... , 17 adalah
=
=
= 41
CONTOH 5
Jika 13, x, 25, y, … merupakan barisan aritmetika, tentukan nilai x dan y.
Jawab:
a. Dengan memperhatikan barisan aritmetika 13, x, 25 dan dengan menggunakan rumus suku
tengah barisan aritmetika, maka diperoleh
b. Dengan memperhatikan barisan aritmetika x, 25, y dan dengan menggunakan rumus suku
tengah barisan aritmetika, maka diperoleh
25 =
, dengan mensubtitusikan x = 19, maka
50 = 19 + y
y = 31
Barisan dan Deret Aritmetika
4
d. Sisipan
Pada suatu barisan aritmetika dapat disisipan beberapa bilangan antara tiap dua suku yang
berurutan, sehingga bilangan semula bersama-sama dengan bilangan yang disisipkan tersebut
membentuk barisan aritmetika baru.
Misalnya :
Pada barisan 2, 11, 20 disisipkan 2 buah bilangan antara tiap dua suku yang berurutan
sehingga membentuk barisan aritmetika baru
Barisan aritmetika semula 2,
Barisan aritmetika baru
2,
11,
?
,
?
,
11,
20
?
,
?
, 20
Perhatikan bahwa suku pertama barisan aritmetika yang baru sama dengan suku pertama
barisan semula, yaitu a = 2, sedangkan suku ke-4 adalah 11, sehingga
U4 = 11
a + (4 – 1) b’ = 11 ( b’ menyatakan beda barisan yang baru)
2 + 3b’ = 11
3b’ = 9
b’ = 3
Jadi, barisan aritmetika yang baru adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20
Dengan analogi cara di atas diperoleh,
Jika antara dua suku yang berurutan dari suatu barisan aritmetika disisipkan k buah bilangan,
sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, maka berlaku
b’ =
dengan
b’ adalah beda barisan aritmetika baru
b adalah beda barisan aritmetika semula
k adalah banyaknya bilangan yang disisipkan
CONTOH 5
Diketahui barisan aritmetika 3, 19, 35, … dan antara tiap dua suku yang berurutan disisipkan
3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru
a. Tentukan beda barisan aritmetika baru!
b. Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmetika baru!
Jawab:
a. Dari barisan aritmetika 3, 19, 35, … diperoleh suku pertama a = 3 dan
beda b = 19 – 3 = 16
Dengan menggunakan rumus sisipan untuk k = 3, maka diperoleh
b’ =
b’ =
b’ = 4
Jadi, beda barisan aritmetika baru adalah 4.
Barisan dan Deret Aritmetika
5
b. Suku ke-10 barisan aritmetika yang baru ditentukan dengan rumus
U10 = a + (10 – 1) b’
= 3 + 9. 4
= 39
Jadi, suku ke-10 barisan aritmetika baru adalah 39.
Deret Aritmetika
Sebelumnya telah dipelajari tentang barisan bilangan aritmetika dan sekarang akan dipelajari
tentang jumlah dari bilangan-bilangan tersebut.
Sebagai contoh, jika ingin mengetahui berapa jumlah bilangan pada penggaris Amir, maka kita
jumlahkan saja bilangan-bilangan pada barisan tersebut yaitu:
0 + 1 + 2 + 3 + … + 20
Nilai peenjumlahan deret aritmetika di atas dapat dihitung dengan menggunakan rumus yang
akan diturunkan berikut ini
Misal U1, U2, U3, … , Un adalah suku-suku suatu barisan, maka deret yang bersesuaian dengan
barisan tersebut adalah U1 + U2 + U3 + … + Un . Penjumlahan tersebut disimbolkan dengan
Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un.
Untuk menentukan rumus Sn , nyatakan Sn kedalam dua cara :
a. Misalnya suku pertama barisan aritmetika adalah a dan beda b serta suku ke-n adalah Un ,
maka
Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un-2 + Un-1 + Un
Sn = a + (a + b) + (a +2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un … (1)
b. Dengan menuliskan Sn tersebut dengan urutan terbalik dari penjumlahan suku terakhir Un
sampai suku pertama a, diperoleh
Sn = (Un – 2b) + (Un – b) + Un + … + (a + b) + (a +2b) + a … (2)
Jumlahkan persamaan (1) dan (2), maka diperoleh
Sn = a + (a + b) + (a +2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un
Sn = (Un – 2b) + (Un – b) + Un + … + (a + b) + (a +2b) + a
+
2 Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + … + (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)
n suku
2 Sn = n (a + Un)
Sn =
(a + Un) dengan mengganti Un = a + (n – 1) b , maka diperoleh
Sn =
(a + a + (n – 1) b)
Sn =
(2a + (n – 1) b)
Barisan dan Deret Aritmetika
6
Dari hasil tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.
Jika U1, U2, U3, … , Un adalah barisan aritmetika, maka jumlah n suku pertama barisan
tersebut adalah
Sn =
dengan
(a + Un)
atau Sn =
(2a + (n – 1) b)
Un adalah suku ke-n
a adalah suku pertama, dan
b adalah beda
Dari pengertian jumlah n suku pertama barisan aritmetika diperoleh sifat berikut ini
Sn-1
= U1 + U2 + U3 + … + Un
Sn
= U1 + U2 + U3 + … + Un-1 + Un , sehingga
Sn
= Sn-1 + Un
Un = Sn – Sn-1
Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut,
Jika Un adalah suku ke-n suatu barisan aritmetika dan Sn adalah jumlah n suku pertama
barisan tersebut, maka berlaku Un = Sn – Sn-1
CONTOH 6
Diketahui deret aritmetika 2 + 6 + 10 + 14 + …
a. Tentukan rumus jumlah n suku pertama!
b. Tentukan jumlah 20 suku pertama
Jawab:
Dari deret tersebut diperoleh suku pertama a = 2 dan beda b = 6 – 2 = 4
a. Rumus jumlah n suku pertama adalah
Sn =
(2a + (n – 1) b)
=
(2 . 2 + (n – 1) 4)
=
(4 + 4n – 4)
=
(4n)
= 2n2
b. Jumlah 20 suku pertama adalah
Sn = 2n2
S20 = 2 (20)2
S20 = 800
Barisan dan Deret Aritmetika
7
CONTOH 7
Hitunglah nilai dari deret aritmetika 1 + 3 + 5 + … + 153
Jawab:
Dari deret di atas diperoleh suku pertama a = 1 dan beda b = 3 – 1 = 2, dan suku ke-n
adalah Un = 153. Banyaknya suku deret tersebut dicari dengan cara sebagai berikut.
Un = 153
a + (n – 1) b = 153
1 + (n – 1) 2 = 153
1 + 2n – 2 = 153
2n – 1 = 153
2n = 154
n = 77
Jumlah 77 suku pertamanya adalah
Sn
=
(a + Un)
S77
=
(1 + 153)
=
(154)
= 77 . 77
= 5929
Jadi jumlah deret tersebut adalah 5929
Barisan dan Deret Aritmetika
8