olimpiade sains nasional smp seleksi tingkat

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA
TAHUN 2011
KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
A. PILIHAN GANDA
1. Nilai
a.
b.
c.
d.
e.
1 2 3
= ….
− +
8! 9! 10!
113/10!
91/10!
73/10!
71/10!
4/10!
JAWAB : C
1 2 3 9.10 2 × 10 3
− +
=
−
+
8! 9! 10! 10!
10! 10!
90 − 20 + 3
=
10!
73
=
10!
2. Menggunakan angka-angka 1, 2, 5, 6 dan 9 akan dibentuk bilangan genap yang
terdiri dari lima angka. Jika tidak ada angka yang berulang, maka selisih
bilangan terbesar dan terkecil adalah ...
a. 70820
b. 79524
c. 80952
d. 81236
e. 83916
JAWAB : E
Bilangan genap terbesar yang mungkin 96512
Bilangan genap terkecil yang mungkin 12596
Jadi selisih kedua bilangan tersebut = 96512 – 12596 = 83916
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 1
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
3. Pada gambar berikut tabung berisi air, tinggi dan diameter tabung tersebut
adalah 18 cm dan 6 cm. Kemudian ke dalam tabung dimasukkan 3 bola pejal yang
identik (sama bentuk) sehingga bola tersbut menyinggung sisi tabung dan a i r
d a l a m tabung keluar, maka sisa a i r di dalam tabung adalah ... cm .
a. 51 π
b. 52 π
c. 53 π
d. 54 π
e. 55 π
JAWAB : D
V Sisa air dalam tabung = V Tabung – 3 . V bola
4
3
2
3
V = π .r .t − 3. .π .r
4
3
2
3
V = π .3 .18 − 3. .π .3
V = 33 π (6 − 4)
V = 54 π
Jadi sisa ai r di dalam tabung adalah V = 54 π cm
4. Seorang ilmuwan melakukan percobaan terhadap 50 ekor kelinci. dan
melaporkan hasilnya sebagai berikut:
• 25 ekor diataranya kelinci jantan.
• 25 ekor d i l a t i h menghindari jebakan, 10 ekor diantaranya jantan.
• 20 ekor(dari total 50 ekor) berhasil menghindari jebakan, 4 ekor diantaranya
jantan.
• 15 ekor yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan, 3 ekor
diantaranya jantan.
Berapa ekor kelinci betina yang t i d a k pernah dilatih, tidak dapat menghindari
jebakan?
a. 5
b. 6
c. 7
d. 8
e. 9
JAWAB : B
•
25 jan tan
 25 betina
Banyaknya kelinci = 50 ekor 
Misalkan n(S) banyaknya kelinci betina, maka n(S) = 25 ekor
•
10 jan tan
 15 betina
Banyaknya kelinci yang pernah dilatih menghindari jebakan= 25 ekor 
Misalkan n(A) banyaknya kelinci betina yang pernah dilatih menghindari
jebakan, maka n(A) = 15 ekor
•
4 jan tan
16 betina
Banyaknya kelinci yang berhasil menghindari jebakan = 20 ekor 
Misalkan n(B) banyaknya kelinci betina yang berhasil menghindari jebakan,
maka n(B) = 16 ekor
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 2
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
•
Banyaknya kelinci yang pernah dilatih dan berhasil menghindari jebakan
3 jan tan
12 betina
= 15 ekor 
Maka banyaknya kelinci betina yang pernah dilatih dan berhasil menghindari
jebakan = n( A ∩ B ) = 12 ekor
n( A ∪ B ) = n( A) + n( B ) − n( A ∩ B )
n( A ∪ B ) = 15 + 16 − 12
n( A ∪ B ) = 19
Misalkan x banyaknya kelinci betina yang tidak pernah dilatih, dan tidak dapat
menghindari jebakan , maka
x = n ( S ) − n( A ∪ B )
x = 25 − 19
x=6
Jadi banyaknya kelinci betina yang ti d a k pernah dilatih, tidak dapat menghindari
jebakan adalah 6 ekor
5. Banyaknya bilangan bulat m sehingga
...
a.
b.
c.
d.
e.
1
1
merupakan bilangan bulat adalah
+
2+ x 2− x
2
3
5
6
7
JAWAB : D
1
1
2− x +2+ x
+
=
2 + x 2 − x ( 2 + x )( 2 − x )
4
=
4− x
Agar bentuk terakhir merupakan bilangan bulat maka 4- m harus merupakan faktor dari 4
yaitu; -1, 1, -2 , 2, -4, 4
Jadi ada 6 bilangan bulat x yang memenuhi
6.
a.
b.
c.
d.
e.
Urutan tiga bilangan 24444 , 33333 , dan 42222 dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah ….
24444 , 42222 , 33333
24444 , 33333 , 42222
33333 , 42222 , 24444
42222 ,33333, 24444
33333 ,24444 , 42222
JAWAB : A
24444 = (24)1111 = 161111
33333 = (33)1111 = 271111
42222 = (42)1111 = 161111
Jadi urutan tiga bilangan tersebut dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah 24444 , 4 2222 , 33333
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 3
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
7. Lima pasang suami istri akan duduk di 10 kursi secara memanjang. Banyaknya
cara mengatur tempat duduk mereka sehingga setiap pasang suami istri duduk
berdampingan adalah
a. 3800
b. 3820
c. 3840
d. 3900
e. 3940
JAWAB : C
Posisi duduk suami istri dapat digambarkan sebagai berikut:
SAIA
SBIB
SCIC
SDID
SEIE
Banyak cara untuk mengatur pasangan suami istri = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Karena posisi duduk masing-masing suami dan istrinya dapat dipertukarkan maka
banyak cara = 25 = 32
Jadi banyaknya cara seluruhnya adalah = 120 x 32 = 3840 cara
8. Dalam sebuah kotak berisi 15 telur, 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan
telur baik dan telur yang rusak dilakukan pengetesan satu persatu tanpa
pengembalian. Peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5 adalah ...
a.
b.
c.
d.
e.
80
1001
90
1001
100
1001
110
1001
120
1001
JAWAB : B
Banyaknya telur = 15
Banyaknya telur baik (B) = 10
Banyaknya telur rusak (R) = 5
Peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5 kemungkinannya:
10 9 5 4 3
15
. . . . =
15 14 13 12 11 1001
5 4 10 9 3
15
Kasus II : P(RRBBR) = . . . . =
15 14 13 12 11 1001
10 5 9 4 3
15
Kasus III : P(BRBRR) = . . . . =
15 14 13 12 11 1001
5 10 4 9 3
15
Kasus IV : P(RBRBR) = . . . . =
15 14 13 12 11 1001
10 5 4 9 3
15
Kasus V : P(BRRBR) = . . . . =
15 14 13 12 11 1001
5 10 9 4 3
15
Kasus VI : P(RBBRR) = . . . . =
15 14 13 12 11 1001
Kasus I : P(BBRRR) =
Jadi peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5 adalah 6 ×
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
15
90
=
1001 1001
HAL 4
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
9. Diketahui limas T.ABCD. panjang Rusuk AB 2 cm dan TA 4 cm. Jarak titik M dan rusuk
TD adalah ...
a.
b.
5
6
c.
7
T
T
E
d. 2 5
e. 2 6
E
D
C
JAWAB : C
BD =
TF =
2 2 + 22 = 2 2
A
B
D
F
B
2
4 2 − 2 = 16 − 2 = 14
L segitiga TBD = ½ . BD . TF = ½ . 2 2 . 14
L segitiga TBD =. 24 = 4.7 = 2 7
L segitiga TBD = 2 7
½ . TD . BE = 2 7
½ . 4 . BE = 2 7
BE =
7
Jadi jarak dari titik M dan rusuk TD adalah
7
10. Sembilan lingkaran kongruen terletak di dalam persegi seperti terlihat pada gambar. jika
keliling sebuah lingkaran 62,8 cm dengan π = 3,14, maka luas daerah yang diarsir adalah
…cm2
a. 344
b. 364
c. 484
d. 688
e. 728
JAWAB : A
Keliling lingkaran = 62,8
π .D = 62,8
D=
62,8
= 20
3,14
r = 10
Perhatikan potongan gambar berikut!
Luas A = L persegi – 4 . ¼ Luas lingkaran
Luas A = 400 - π .10
Luas A = 400 - 3,14×100
2
A
Luas A =86
Luas arsiran pada gambar = 4 . Luas A
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 5
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
Luas arsiran pada gambar = 4 .86
Luas arsiran pada gambar = 344
Jadi Luas arsiran pada gambar 344 cm2
11. Suatu jam dinding selalu menghasilkan keterlambatan lima menit untuk setiap jamnya.
Jika saat sekarang jam tersebut menunjukkan waktu yang tepat, maka jam tersebut
akan menunjukkan waktu yang tepat setelah ...jam.
a. 105
b. 110
c. 114
d. 124
e. 144
JAWAB : E
Suatu jam akan menunjukkan waktu yang sama setelah 12 jam.
12 jam = 12 × 60 menit
Karena setiap jam mengalami keterlambatan 5 menit, maka jam tersebut akan
menunjukkan waktu yang tepat lagi setelah
12 × 60
= 144 jam
5
12. Di dalam kotak terdapat 18 bola identik (berbentuk sama), 5 berwarna hitam, 6 berwarna
putih dan 7 berwarna hijau. Jika diambil dua bola secara acak, maka peluang yang terambil
bola berwarna sama adalah ...
a.
b.
c.
d.
e.
46
153
13
36
4
105
55
162
55
152
JAWAB : A
Dari 18 bola terdiri 5 h (hitam), 6p (putih), dan 7j (hijau)
Kejadian terambil 2 bola berwarna sama: {hh, pp, jj)
Banyaknya kejadian = 5C2 . 6C0 . 7C0 + 5C0 . 6C2 . 7C0 + 5C0 . 6C0 . 7C2
5!
6!
7!
+
+
3!.2! 4!.2! 5!.2!
5.4 6.5 7.6
+
+
= 10 + 15 + 21 = 46
Banyaknya kejadian =
2
2
2
18! 18.17
=
= 153
Banyaknya ruang sampel = 18C2 =
16!.2!
2
46
Jadi peluang terambil 2 bola berwarna sama=
153
Banyaknya kejadian =
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 6
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
13. Perhatikan gambar di atas, persegi ABCD dengan panjang sisi 14 cm
menyinggung Lingkaran. Masing-masing sisi persegi dibuat setengah lingkaran
dengan diameter sisi persegi tersebut. Jika π = 3,14, maka luas daerah yang
diarsir adalah ... cm 2
a. 49
b. 56
c. 112
d. 178
e. 196
JAWAB : E
AB = 14 cm, AC = 14 2 cm
L arsiran = 4 . ½ .L. lingkaran (D=AB) – L. lingkaran (D = AC) + L. Persegi
L arsiran = 2. π .r1
2
– π .r2 + 142
L arsiran = 2. π .7
2
– π (7 2 ) 2 + 196
2
L arsiran = 98 π – 98 π +196
L arsiran = 196
Jadi Luas arsiran = 196 cm2
14. Diketahui 2 2 x + 2 −2 x = 2 . Nilai 2 x + 2 − x = .....
a. 1
b. 2
c.
2
d. 3
e.
3
JAWAB : B
(2x+2-x)2 = 22x+2.2x.2-x+2-2x
(2x+2-x)2 = 22x+2.20+2-2x
(2x+2-x)2 = (22x+2-2x) + 2
(2x+2-x)2 = 2+2
(2x+2-x)2 = 4
2x+2-x = ± 2
Karena 2x > 0 , 2-x > 0, maka jawaban yang memenuhi 2x+2-x = 2
15. Rataan usia kelompok guru dan profesor adalah 40 tahun. Jika rataan kelompok guru
adalah 35 tahun sedangkan rataan kelompok profesor adalah 50 tahun, perbandingan
banyaknya guru dengan profesor adalah . ..
a. 2 : 1
b. 1 : 2
c. 3 : 2
d. 2 : 3
e. 3 : 4
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 7
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
JAWAB : A
Misalkan x: banyaknya kelompok guru
y: banyaknya kelompok profesor
Rataan usia kelompok guru adalah 35 tahun , maka jumlah usianya =35x
Rataan usia kelompok profesor adalah 50 tahun , maka jumlah usianya =50y
Rataan usia kelompok guru dan profesor 40 tahun, maka
40.(x+y) = 35x+50y
40x+40y = 35x+50y
40x+40y = 35x+50y
40x-35x = 50y – 40y
5x = 10y
x:y = 10:5
x:y = 2:1
Jadi perbandingan banyaknya guru dengan profesor adalah 2:1
16. Diketahui jajargenjang ABCD. T i t i k P dan Q terletak pada AC sehingga DP dan
BQ tegak lurus AC. Jika panjang AD = 13 cm, AC = 25 cm dan luas jajargenjang
tersebut adalah 125 cm2, maka panjang PQ adalah ... cm
a.
1
2
b. 1
c.
2
3
d.
e.
4
3
JAWAB : B
D
C
Q
13
P
A
B
AC = 25 cm
L. Jajar genjang = 125
L. ADC = ½ . L. ABCD
½ . AC . DP =
125
2
25 . DP = 125
DP = 5
Karena BQ kongruen dengan DP maka BQ = DP = 5 cm
Pada segitiga ADP berlaku teorema pythagoras sehingga AP = 12 cm
Karena QC kongruen dengan AP maka QC = AP = 12 cm
PQ = AC – 2 (AP)
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 8
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
PQ = 25 – 2 (12)
PQ = 1 cm
Jadi panjang PQ = 1 cm
54 + 14 5 + 12 − 2 35 + 32 − 10 7 = ...
17.
a. 10
b. 11
c. 12
d. 5 6
e. 6 6
JAWAB : C
( x + y) + 2 x × y = x + y
( x − y ) + 2 x × y = x − y , dengan x > y
54 + 14 5 = ( 49 + 5) + 2 49.5 = 49 + 5
12 − 2 35 = (7 + 5) − 2 7.5 = 7 − 5
32 − 10 7 = ( 25 + 7 ) − 2 25.7 = 25 − 7
54 + 14 5 + 12 − 2 35 + 32 − 10 7 =
49 + 5 + 7 − 5 + 25 − 7 = 7 + 5 = 12
18. Hasil penju mlahan 1! + 2' + 3! + ... + 2 0 1 1 ! adalah suatu bilangan yang angka
satuannya adalah ...
a. 3
b. 4
c. 5
d.
e.
6
7
JAWAB : A
5! = 120
6!=720
7!=1440, DST
Ternyata angka satuan dari 5!, 6!, 7!, ….,dan 2011! Selalu 0
Akibatnya angka satuan dari 1! + 2' + 3! + ... + 2011! Hanya ditentukan oleh angka satuan dari 1! +
2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33
Jadi angka satuan yang dimaksud adalah 3
19. Lima orang akan pergi ke pantai menggunakan sebuah mobil berkapasitas 6 tempat
duduk. Jika hanya ada dua orang yang bisa menjadi sopir. maka banyaknya cara
mengatur tempat duduk di dalam mobil adalah ...
a. 60
b. 120
c. 180
d. 240
e. 280
JAWAB : D
Karena hanya ada2 orang yang bisa menjadi sopir maka banyak cara mengatur tempat
duduk sopir = 2 cara
Banyak cara mengatur 4 orang penumpang dengan sisa 5 tempat duduk = 5C4 . 4! = 5 × 24
Jadi banyak cara mengatur tempat duduk di dalam mobil = 2 × 5 × 24=240 cara
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 9
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
20. Sebuah bingkai foto yang berbentuk persegi diputar 45o dengan sumbu putar titik
perpotongan diagonal-diagonalnya. Jika panjang sisi persegi adalah 1 cm. Luas irisan
antara bingkai foto sebelum dan sesudah diputar adalah ... cm2.
a. 1 + 2 2
b. 2 + 2 2
c. 1
d. 2 − 2 2
e. 2 2 − 2
JAWAB : E
A
B
D
C
F
E
Diagonal persegi = AE =
2AD = AE – DF
2
2AD = 2 – 1
Segitiga ADC siku-siku samakaki sehingga DC = AD,
Akibatnya:
BC = 2 DC
BC = 2 AD
BC = ( 2 – 1)
L segitiga ABC = ½ .BC . AD
L segitiga ABC = ½ . ( 2 – 1) . ½ . ( 2 – 1)
L segitiga ABC = ¼ ( 2 – 1)2
Luas arsiran = L persegi – 4 . L segitiga ABC
Luas arsiran = 1 × 1 – 4 . ¼ ( 2 – 1)2
Luas arsiran = 1 – (2 - 2 2 + 1)
Luas arsiran = – 2 + 2 2
Luas arsiran = 2 2 – 2
Jadi luas irisan antara bingkai foto sebelum dan sesudah diputar adalah 2 2 – 2 cm2
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 10
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
B. ISIAN SINGKAT
1. Lima permen identik (berbentuk sama). satu rasa apel. dua rasa jeruk dan dua rasa jahe akan
dibagikan kepada lima sekawan Anto, Bono, Carli, Dodo dan Edo, sehingga masing-masing
mendapat satu permen. Peluang Anto mendapat permen rasa jahe adalah ...
JAWAB :
Banyak cara menyusun 5 permen dengan 1 rasa apel, 2 rasa jeruk, dan 2 rasa jahe adalah
permutasi 5 unsur dengan ada unsur yang sama.
n(S) =
5!
= 30
1!. 2!.2!
Jika Anto mendapat satu permen rasa jahe maka sisa 4 permen (1 rasa apel, 2 rasa jeruk, dan 1
rasa jahe) harus dibagi kepada 4 kawannya. Banyak cara menyusun adalah permutasi 4 unsur
dengan ada unsur yang sama.
n(A)=
4!
= 12
1!.2!.1!
Jadi peluang Anto mendapat permen rasa jahe adalah =
n( A) 12 2
=
=
n( S ) 30 5
2. Jumlah angka-angka dari hasil kali bilangan 999999999 dengan 12345679 adalah ...
JAWAB :
999999999 × 12345679 = 111111111 × 9 × 12345679
999999999 × 12345679 = 111111111 × 111111111
999999999 × 12345679 = 12345678987654321
Jumlah angka-angkanya = 2(1+2+3+4+5+6+7+8)+9 = 2(36) + 9 = 81
3. Perhatikan gambar berikut. ABCD persegi dengan panjang sisi sisinya adalah 2 cm. E adalah
titik tengah CD dan F adalah titik tengah AD. Luas daerah EDFGH adalah ...
A
B
G
F
H
D
C
E
JAWAB :
2
A
1
B
G
Q
F
H
1
P
D
1
E
1
C
EDFQ merupakan persegi dengan panjang sisi 1 cm
EF = DQ = BQ =
2
QP=FP=DP=PE = ½ 2
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 11
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
BP = BQ + QP =
2 +½ 2 =
Pada segitiga BPE berlaku :
3
2
2
BQ QH
=
BP PE
2
QH
=
3
1
2
2
2
2
1
QH =
2
3
GH = 2QH = 2.
1
2
2=
2
3
3
Luas daerah EDFGH = L segitiga DEF + L trapesium EFGH
Luas daerah EDFGH = ½ 1 . 1 + ½ .QP(GH + EF)
1 1 1
2

+ .
2 + 2
2
2 2 2
3

1 1
2
1
2.
2+
2. 2
Luas daerah EDFGH = +
2 4
3
4
1 1 1 1
Luas daerah EDFGH = + + = 1
2 3 2 3
1 2
Jadi luas daerah EDFGH= 1 cm
3
Luas daerah EDFGH =
4. Nilai jumlahan bilangan berikut adalah …
12 – 22 + 32 –42 + 52 –….–20102 + 20112
JAWAB:
S =12 – 22 + 32 –42 + 52 –….–20102 + 20112
S = (1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+…..+(2009-2010)(2009+2010) + 20112
S = –3 + (–7 )+(–11)+…+(–4019) + 20112
S = –1(3+7+9+….+4019) + 20112
Perhatikan bahwa 3 + 7 + 9 + ….+ 4019 adalah deret aritmetika, maka
Un = a + (n – 1)b
4019 = 3 + (n – 1).4
4n – 4 = 4016
4n = 4020
n = 1005
1005
(3 + 4019)) + 20112
2
S = − 1(
S= –1005 . 2011 + 20112
S= 2011(–1005 + 2011)
S= 2011 . 1006
S= 2023066
Jadi Nilai jumlahan bilangan tersebut adalah 2023066
5. Jika barisan x1, x2, x3, …. Memenuhi: x1+ x2+ x3 +…..+xn = n3 untuk semua n bilangan asli,
maka x100 = ...
JAWAB :
x1+ x2+ x3 +…..+xn = n3
x1+ x2+ x3 +………..+x100 = 1003
(x1+ x2+ x3 +………..+x99) + x100 = 1003
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 12
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
993 + x100 = 1003
x100 = 1003 - 993
x100 = (100 – 99)(1002 + 100 . 99 + 992)
x100 = (10000 + 9900 + (100 – 1)2 )
x100 = 19900 + (1002 –2 . 100 +12 )
x100 = 19900 + (10000 –200 + 1 )
x100 = 19900 + 9801
x100 = 29701
6. Semua pasangan bilangan bulat (a,b) yang memenuhi 2a = b2 – 1 adalah ...
JAWAB :
Untuk a=3, dan b = 3, maka 23 = 8,dan 32 – 1 = 8
Untuk a=3, dan b = –3, maka 23 = 8,dan (–3)2 – 1 = 8
Jadi semua pasangan bilangan bulat yang memenuhi 2a = b2 – 1 adalah (3,3) , dan (3, –3)
7. Tersedia beberapa angka 2. 0, dan 1. Angka dua ada sebanyak lima buah masing-masing
berwarna merah, hijau, kuning, biru dan nila. Angka nol dan satu masing-masing ada sebanyak
empat buah dengan warna masing-masing merah, hijau, kuning dan biru. Selanjutnya
menggunakan angka -angka tersebut akan dibentuk bilangan 2011 sehingga angka-angka
yang bersebelahan tidak boleh sewarna. Contoh pewarnaan yang dimaksud: 2 (merah) 0
(hijau) 1(merah) 1 (biru). contoh bukan pewarnaan yang dimaksud: 2 (merah) 0 (hijau) 1 (hijau 1
(biru). Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi pewarnaan tersebut adalah ...
JAWAB :
Diketahui beberapa angka berwarna yang terdiri dari :
5 angka 2 berwarna, misalkan ditulis : 2M,2H,2K,2B,2N
4 angka 0 berwarna, misalkan ditulis : 0M,0H,0K,0B
4 angka 1 berwarna, misalkan ditulis : 1M,1H,1K,1B
Banyak cara menyusun bilangan 2011 dapat kita hitung sbb :
2M
0H/K/B
1
3
2H
0M/K/B
1
3
2K
0M/H/B
1
3
2B
0M/H/K
1
3
2N
1
1../../.. 1../../..
3
3
Banyak cara
27
1../../.. 1../../..
3
3
27
1../../.. 1../../..
3
3
27
1../../.. 1../../..
3
3
27
0M/H/K/B 1../../.. 1../../..
4
3
3
JUMLAH
36
144
Jadi banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi pewarnaan tersebut adalah 144 bilangan
8. Sebuah kotak berisi 500 kelereng berukuran sama yang terdiri dari 5 warna dimana masingmasing kelereng sewarna berjumlah 100. Minimum banyaknya kelereng yang harus diambil
secara acak sedemikian sehingga kelereng yang terambil dijamin memuat sedikitnya 5
kelereng yang berwarna sama adalah ...
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 13
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
JAWAB :
Diketahui:
• 500 kelereng berukuran sama
• terdiri 5 warna yang berbeda. Misalkan warna merah (M), kuning (K), hijau (H), biru (B),
dan putih (P)
• Banyaknya kelereng sewarna masing-masing 100 buah.
Paling sedikit kita harus mengambil 21 kelereng secara acak sehingga dijamin memuat
sedikitnya 5 kelereng yang berwarna sama. Kemungkinan terkecil yang terjadi adalah M = 4, K =
4, H = 4, B = 4, dan P = 5. Pengambilan kurang dari 21 buah tidak dijamin .Misalkan mengambil
20 buah maka dimungkinkan terjadi M = 4, K = 4, H = 4, B = 4, dan P = 4, sehingga paling sedikit
terambil 4 kelereng berwarna sama.
9. Jika (3 + 4 ) (32 + 42 ) (34 + 44 ) (38 + 48 ) (316 + 416 ) (332 + 432 ) = (4x – 4y ). Maka x – y = …
JAWAB :
(3 + 4 ) (32 + 42 ) (34 + 44 ) (38 + 48 ) (316 + 416 ) (332 + 432 )
= (4 + 3 ) (42 + 32 ) (44 + 34 ) (48 + 38 ) (416 + 316 ) (432 + 332 )
32
(4 2 − 32 ) 2
(4 8 − 38 ) 8
− 332 ) 32
8 (4
.( 4 + 332 )
.( 4 + 3 2 ) 4
.(
4
+
3
)
4 −3
4 − 34
416 − 316
(4 4 − 34 ) (416 − 316 ) (4 64 − 364 )
=
. 4
. 16 16
4−3
4 − 34
4 −3
64
64
(4 − 3 )
=
4 −3
=
= 464 − 364 = 4x − 3 y
Diperoleh x = 64, dan y = 64
x – y = 64 – 64 = 0
Jadi nilai x – y = 0
10. Suatu himpunan disebut berjenis H jika memenuhi sifat:
a) Himpunan tersebut beranggotakan tiga bilangan bulat tak negatif.
b) Rata-rata ketiga bilangan anggota himpunan tersebut adalah 15.
Banyaknya semua Himpunan berjenis H ini adalah ...
JAWAB :
H = {a, b, c} ; a>0, b>0, c>0
a+b+c
= 15
3
⇔ a + b + c = 45
Semua anggota himpunan H dapat didaftar sebagai berikut:
0,1,44 
0,2,43 
22 buah
.......... 
0,22,23
1,1,43 
2,3,43 
3,4,38 


1,2,42 
2,4,42 
3,5,37 
21 buah
19 buah
17 buah
..........
.......... 
.......... 
1,21,23
2,21,22
3,20,22
5,6,34 
6,7,32 

5,7,33 
6,8,31 
14 buah
13 buah
.......... 
.......... 
5,19,21
6,19,20
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
7,8,30 
7,9,29 
11 buah
.......... 
7,18,20
8,9,28 
8,10,27
10buah
.......... 
8,18,19 
4,5,36 
4,6,35 
16 buah
.......... 
4,20,21
9,10,16
9,11,15 
8 buah
.......... 
9,17,19
HAL 14
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
10,11,24
11,12,22
12,13,20
13,14,18
14,15,16





10,12,23
11,13,21
12,14,19 
13,15,17

7buah
5 buah
4 buah
2 buah
1 buah
.......... 
.......... 
.......... 







10,17,18
11,16,18 
12,16,17 

Banyaknya himpunan berjenis H seluruhnya =
22 + 21 + 19 + 17 + 16 + 14 + 13 + 11 + 10 + 8 + 7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 169 buah
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 15