PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 2011
BIDANG STUDI MATEMATIKA
WAKTU : 150 MENIT
A. ISIAN SINGKAT
1.
Jika x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011 dan y adalah jumlah 99
bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x + y = ...
SOLUSI :
Asumsi I : 99 bilangan yang dimaksud boleh sama.
Misalkan x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011, maka
x = 99 . 2013= 199287
Misalkan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka
y = 99 . 8= 792
Nilai x + y = 199287 + 792 = 200079
Asumsi II : 99 bilangan yang dimaksud berbeda.
Misalkan x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011, maka
x = 2013 + 2015 + 2017 + ….. + U99
merupakan deret aritmetika dengan a = 2013 dan b = 2
Sn = ½ .n(2 × a + (n – 1)b)
x = S99 = ½ .99(2 × 2013 + 98 × 2)
x = S99 = ½ . 99 . 4222
x = S99 = 208989
Misalkan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka
x = 8 + 10 + 12 + ….. + U99
merupakan deret aritmetika dengan a = 8 dan b = 2
y = S99 = ½ .99(2 × 8 + 98 × 2)
y = S99 = ½ . 99 . 212
y = S99 = 10494
x + y = 208989 + 10494 = 219483
Catatan : Penulis lebih memilih asumsi II
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 1
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
2.
Jika f adalah fungsi sehingga f(xy)= f(x–y) dan f(6) =1, maka f(–2) – f(4) =….
SOLUSI :
f(xy)= f(x–y)
Diketahui f(6) =1
f(6) = f(3.2) =f(3–2)= 1, maka f(1) = 1
f(2) = f(2.1) =f(2–1)=f(1)=1
f(3) = f(3.1) = f(3–1) = f(2) = 1
f(4) = f(4.1) = f(4–1) = f(3) = 1
Selanjutnya
f(–2) = f(2(–1)) = f(2– (–1)) = f(3) = 1
Jadi f(–2) – f(4) = 1 – 1 = 0
3.
Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4, maka bersisa 3. Jika bilangan x–3y dibagi 4, maka bersisa…..
SOLUSI :
x dibagi 4 bersisa 3 maka x = 4m + 3
y dibagi 4 bersisa 3 maka y = 4n + 3
Sehingga :
x – 3y = 4m + 3 – 3(4n + 3)
x – 3y = 4m + 3 – 12n – 9
x – 3y = 4m – 12n – 6
x – 3y = 4(m – 3n) – 6
x – 3y = 4(m – 3n + 2 – 2) – 6
x – 3y = 4(m – 3n – 2) + 8 – 6
x – 3y = 4(m – 3n – 2) + 2
Ini berarti x – 3y dibagi 4 bersisa 2
4.
Perhatikan gambar berikut. Suatu lingkaran berjari-jari 2 satuan berpusat di A. Suatu persegi
memiliki titik sudut di A dan satu titik sudut yang lain di lingkaran. Di dalam persegi tersebut
terdapat lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi. Di dalam lingkaran terdapat persegi
yang keempat titik sudutnya berada di lingkaran tersebut. Di dalam persegi ini terdapat lingkaran
yang menyinggung keempat sisi persegi. Luas daerah yang diarsir sama dengan....
SOLUSI :
Gambar kita batasi seperlunya dan kita buat titik dan garis bantu yang diperlukan sbb:
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 2
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
G
B
D F
I
O
C
E
Q
P
A
J
H
AB = r (lingkaran besar berpusat A) = 2
AO = OG = 1
Pada segitiga AGO berlaku Teorema Pythagoras sehingga
AG =
AO 2 + OG 2
AG = 12 + 12
AG = 2
Selanjutnya
OC = OD = OP = ½ AG = ½ 2
Pada segitiga CDO berlaku Teorema Pythagoras sehingga
CD2 =2OC2
CD2 =2(½ 2 )2
CD2 = 1
CD = 1
Berikutnya kita peroleh
OE = OQ = ½CD
OE = ½
Luas arsiran = L persegi AHBG – L lingkaran (r = OC) + L persegi CDIJ – L lingkaran (r = OE)
Luas arsiran = AG2 – π . OC2 + CD2 – π . OE2
Luas arsiran = ( 2 )2 – π . (½ 2 )2 + 12 – π . (½)2
Luas arsiran = 2 – ½ π + 1 – ¼ π
3
Luas arsiran = (3 – π ) satuan luas
4
5.
Banyak bilangan 3 digit (angka) yang terdiri dari angka-angka 0,2,3,5,7,8 yang lebih dari 243 dan
kurang dari 780 adalah…..
SOLUSI :
Kita akan menghitung banyaknya bilangan 3 digit (angka) yang terdiri dari angka-angka
0,2,3,5,7,8 yang lebih dari 243 dan kurang dari 780 . Asumsikan bilangan yang dimaksud boleh
menggunakan angka berulang.
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 3
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
Untuk angka ratusan 2
Angka puluhan Angka satuan
{5,7,8}
{0,2,3,5,7,8}
3
6
Untuk angka ratusan 3 atau 5
Angka ratusan Angka puluhan
{3,5}
{0,2,3,5,7,8}
2
6
Untuk angka ratusan 7
Angka puluhan Angka satuan
{0,2,3,5,7}
{0,2,3,5,7,8}
5
6
Banyak bilangan
3 x 6 = 18
Angka satuan
{0,2,3,5,7,8}
6
Banyak bilangan
2 x 6 x 6 = 72
Banyak bilangan
5 x 6 = 30
Jadi banyaknya bilangan seluruhnya 18 + 72 + 30 = 120 bilangan
6.
Diketahui Budi adalah siswa laki-laki dan Wati adalah seorang siswa perempuan. Saat ini mereka
duduk di kelas IX pada suatu sekolah. Mereka mencatat banyak siswa kelas IX di sekolah mereka.
Wati mencatat, 3/20 dari total siswa di kelas IX adalah laki-laki, sedangkan menurut catatan Budi,
1/7 dari total siswa dikelas IX selain dirinya adalah laki-laki. Banyak siswa laki-laki kelas IX di
sekolah mereka adalah…
SOLUSI :
Misalkan x adalah banyak seluruh siswa, dan p adalah banyak siswa laki-laki di kelas IX.
3
dari total siswa dikelas IX adalah laki-laki
20
3
x=p
20
1
Menurut Budi dari total siswa dikelas IX selain dirinya adalah laki-laki
7
1
(x – 1) = p – 1
7
1
(x – 1) + 1= p
7
3
1
x = (x – 1) + 1
20
7
Kedua ruas dikalikan 140 diperoleh :
21x = 20(x – 1) + 140
21x = 20x – 20 + 140
x = 120
3
3
p=
x=
. 120 = 18
20
20
Jadi banyaknya siswa laki-laki di kelas tersebut adalah 18
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 4
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
7.
Diketahui luas persegi ABCD adalah 25 m2. Jika E, F, dan G masing-masing adalah titik tengah
AB, AD, dan CD seperti pada gambar berikut, maka luas trapesium BHFE adalah.... m2 .
D
G
C
E
B
H
F
A
SOLUSI :
Perhatikan gambar di bawah:
Luas persegi ABCD = 25 m2
Maka panjang sisi persegi = 5 m
Karena E, F, dan G masing-masing adalah titik tengah AB, AD, dan CD maka gambar dapat kita
lengkapi sebagai berikut:
C
D 2,5 G
2,5
F
H
I
5
2,5
A
2,5 E 2,5
B
Gambarlah titik I yang merupakan titik tengah BD. Selanjutnya tarik garis GI // AD, dan
garis FI // DC. Perhatikan bahwa DGIF berupa persegi sehingga ∠ DHF siku-siku
Luas Trapesium BHFE = L ∆ ABD – L ∆ AEF – L ∆ DHF
Luas Trapesium BHFE = ½ × AB × AD – ½ × AE × AF – ¼ L.DGIF
1
1 5 5 1 5 5
×5×5 – × × – × ×
Luas Trapesium BHFE =
2
2 2 2 4 2 2
25 25
25
–
–
Luas Trapesium BHFE =
2
8
16
200 − 50 − 25 125
Luas Trapesium BHFE =
=
= 7.8125
16
16
Jadi Luas Trapesium BHFE adalah 7,8125 m2
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 5
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
8.
Tiga bilangan a, b, dan c dipilih sehingga ketika setiap bilangan ditambahkan ke rata-rata dua
bilangan lainnya maka berturut-turut hasilnya adalah 80,90, dan 100. Rata-rata dari a, b, dan c
adalah ...
SOLUSI :
a + 12 (b + c) = 80 ⇔ 2a + b + c = 160 ……………(1)
b + 12 (a + c) = 90 ⇔ 2b + a + c = 180 ……………(2)
c + 12 (a + b) = 100 ⇔ 2c + a + b = 200 ……………(3)
Kedua ruas persamaan (1) + (2) + (3) menghasilkan :
4a + 4b + 4c = 540
4(a + b + c) = 540
a + b + c = 135
Rata-rata a, b, c adalah 13 (a + b + c) = 13 .135 = 13 .135 = 45
9.
Sebuah bilangan bulat x diambil secara acak dari { x − 5 ≤ x ≤ 10 , x bilangan bulat }. Peluang
bahwa x adalah penyelesaian pertidaksamaan
x 2 − 3x ≤ 2 adalah….
SOLUSI :
Sebuah bilangan bulat x diambil secara acak dari { x − 5 ≤ x ≤ 10 , x bilangan bulat }
Banyaknya seluruh kemungkinan x adalah 16
2
Selanjutnya kita cari banyaknya penyelesaian bulat dari x − 3 x ≤ 2 sbb:
x 2 − 3x ≤ 2
x2–3x ≤ 4
x2 – 3x – 4 ≤ 0
(x– 4)(x + 1) ≤ 0
− 1 ≤ x ≤ 4 ………………….. (1)
Disamping itu syarat lain x2 – 3x > 0 juga harus dipenuhi sehingga
x(x – 3) > 0
x< 0 atau x > 3……………..(2)
Irisan antara (1) dan (2) adalah – 1< x < 0 atau 3< x < 4
Untuk x bilangan bulat maka yang memenuhi adalah – 1, 0, 3, 4 . Artinya ada 4 penyelesaian bulat
Jadi nilai peluang yang dimaksud adalah 4/16 = ¼
10. Misalkan n adalah suatu bilangan asli dan x adalah bilangan riil positif.
Jika 2 x n +
3
x
n
−
2
− 2 = 0 , maka nilai
2
1
x +
4
sama dengan ....
n
SOLUSI :
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 6
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
2xn +
3
x
−
n
2
−2=0
n
2 x n + 3x 2 − 2 = 0
1
n 2
2( x ) + 3( x ) − 2 = 0
Misalkan : x n = a , maka
n
1
2a + 3a 2 − 2 = 0
1
2
3a = 2 − 2a
Kedua ruas dikuadratkan diperoleh
9a = 4 – 8a + 4a2
4a2 – 17a + 4 = 0
(4a – 1)(a – 4) = 0
4a = 1 atau a = 4
a = ¼ atau a = 4
x n = 1 4 atau x n = 4
Selanjutnya kita lakukan pengujian ke persamaaan:
1
n 2
2( x ) + 3( x ) − 2 = 0 ⇔ 2( x n ) + 3 x n − 2 = 0
n
1
1
− 2 = 0 (Memenuhi)
untuk x n = 1 4 , maka 2( ) + 3
4
4
untuk x n = 4 , maka 2(4) + 3 4 − 2 ≠ 0 (Tidak memenuhi)
2
2
2
Jadi nilai
=
= =4
1 1 1 1
xn +
+
4 4 4 2
B. SOAL URAIAN
1.
Saat ini umur Agus dan umur Fauzan kurang dari 100 tahun. Jika umur Agus dan umur Fauzan
ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan empat digit (angka) yang merupakan
kuadrat sempurna. Dua puluh tiga tahun kemudian, jika umur mereka ditulis dengan cara yang
sama, maka diperoleh bilangan empat digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna. Jika umur
mereka diasumsikan merupakan bilangan bulat positif, berapakah umur mereka saat ini?
SOLUSI :
Kejadian saat ini :
Misalkan: umur Agus = [pq] < 100 , dan umur Fauzan = [rs] < 100 ,dengan
[pq] = 10p + q, dan [rs] = 10r + s
Jika umur keduanya ditulis secara berurutan diperoleh bilangan 4 digit yang merupakan kuadrat
sempurna. Atau dapat ditulis sbb:
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 7
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
[pqrs] = x2 , sehingga
1000p + 100q + 10r + s = x2 ……………….(1)
Yang terjadi 23 tahun kemudian :
umur Agus = 10(p+2)+ (q+3) < 100 , dan umur Fauzan = 10(r+2)+ (s+3) < 100
Jika umur keduanya ditulis secara berurutan maka diperoleh bilangan 4 digit lain yang juga
merupakan kuadrat sempurna, sehingga:
1000(p+2) + 100(q + 3) + 10(r + 2) + (s + 3) = y2
1000p + 2000 + 100q + 300 + 10r + 20 + s + 3 = y2
1000p + 100q + 10r + s + 2323= y2 …………………(2)
Jika kedua ruas persamaan (2) dikurangi persamaan (1) diperoleh :
y2 – x2 = 2323
(y + x)(y – x) = 101 × 23
Karena 101 dan 23 relatif prima maka nilai x dapat dicari sbb:
y + x = 101
y – x = 23 –
2x = 78
x = 39
[pqrs] = [x2] = [392] = [1521]
umur Agus = [pq] = [15] dan umur Fauzan = [rs] = [21]
Jadi umur mereka saat ini adalah 15 tahun dan 21 tahun.
2.
Pada sebuah segiempat ABCD, sudut ABC dan sudut DAC adalah sudut siku-siku. Jika keliling segi
empat ABCD adalah 64 cm, keliling ABC adalah 24 cm, dan keliling ACD adalah 60 cm,
berapakah luas segiempat ABCD?
SOLUSI :
B
q
p
A
s
C
t
r
D
Keliling ABCD = 64
p + q + r + s = 64…………….(1)
Keliling ABC = 24
p + q + t = 24 ………………..(2)
Keliling ACD = 60
r + s + t = 60 ………………...(3)
Kedua ruas persamaan (2) + (3) – (1) menghasilkan:
2t = 24 + 60 – 64
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 8
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
t = 10
p + q + t = 24
p + q + 10 = 24
p + q = 14 ……………(4)
Pada segitiga ABC berlaku teorema Pythagoras:
p2 + q2 = t2
p2 + q2 = 102 ……………..(5)
Dari persamaan (4) dan (5) , maka diperoleh nilai p = 6 dan q = 8
r + s + t = 60
r + s + 10 = 60
r + s = 50 …………………(6)
Pada segitiga ACD berlaku teorema Pythagoras:
s2 + t2 = r2
s2 + 102 = r2 ……………..(7)
Dari persamaan (6) dan (7) , maka diperoleh nilai s = 24 dan r = 26
Luas segiempat ABCD = L. ABC + L. ACD
Luas segiempat ABCD = ½ .p.q + ½ .s.t
Luas segiempat ABCD = ½ .6.8 + ½ .24.10
Luas segiempat ABCD = 24 + 120 = 144
Jadi luas segiempat ABCD adalah 144 cm2
3.
Diketahui bil.bulat positif n memiliki sifat-sifat berikut.
2 membagi n, 3 membagi n+1, 4 membagi n+2, 5 membagi n+3, 6 membagi n+4, 7 membagi n+5,
8 membagi n+6. Bilangan bulat positif pertama yang memiliki sifat-sifat ini adalah 2. Tentukan
bilangan bulat positif ke-5 yang memenuhi sifat-sifat diatas.
SOLUSI :
Berdasar informasi pada soal maka n dapat dituliskan sbb:
n = 2a
n + 1 = 3b ⇔ n = 3b – 1 ⇔ n = 3(b–1) + 3 –1 ⇔ n = 3(b–1) + 2 ⇒ n = 3p + 2
n + 2 = 4c ⇔ n = 4c – 2 ⇔ n = 4(c–1) + 4 –2 ⇔ n = 4(c–1) + 2 ⇒ n = 4q + 2
n + 3 = 5d ⇔ n = 5d – 3 ⇔ n = 5(d–1) + 5 –3 ⇔ n = 5(d–1) + 2 ⇒ n = 5r + 2
n + 4 = 6e ⇔ n = 6e – 4 ⇔ n = 6(e–1) + 6 –4 ⇔ n = 6(e–1) + 2 ⇒ n = 6s + 2
n + 5 = 7f ⇔ n = 7f – 5 ⇔ n = 7(f–1) + 7 –5 ⇔ n = 7(f–1) + 2 ⇒ n = 7t + 2
n + 6 = 8g ⇔ n = 8g – 6 ⇔ n = 8(g–1) + 8 –6 ⇔ n = 8(g–1) + 2 ⇒ n = 8u + 2
Bilangan bulat positif pertama n yang memiliki sifat-sifat ini adalah 2 . Selanjutnya n dapat
dinyatakan sbb:
n = k × KPK (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) + 2
n = 840k + 2 , dengan k = 0,1,2,3,….
Bilangan bulat positif pertama adalah n = 2 diperoleh untuk k = 0.
Bilangan bulat positif kedua adalah n = 840 × 1 + 2 = 840+ 2 = 842, diperoleh untuk k = 1
……………………………………………………………………………………..
Bilangan bulat positif kelima adalah n = 840 × 4 + 2 = 3360+ 2 = 3362, diperoleh untuk k = 4 Jadi
Bilangan bulat positif kelima yang bersifat seperti tersebut adalah 3362.
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 9
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
4.
Tiga garis lurus l1, l2, dan l3 mempunyai gradien berturut-turut 3, 4, dan 5. Ketiga garis tersebut
memotong sumbu -Y dititik yang sama. Jika jumlah absis titik potong masing-masing garis dengan
47
sumbu -X adalah
, tentukan persamaan garis l1
60
y
l3 l
2
l1
SOLUSI :
k
k
p qr
x
=3⇔ r =−
l1 bergradien 3 melalui (r,0) dan (0,k), sehingga
−r
3
k
k
l2 bergradien 4 melalui (q,0) dan (0,k), sehingga
=4⇔q=−
4
−q
k
k
k
l3 bergradien 5 melalui (p,0) dan (0,k), sehingga
=5⇔r =−
5
−p
47
,maka
Karena jumlah absis titik potong masing-masing garis dengan sumbu -X adalah
60
47
p+q+r =
60
k  k   k  47
− + −  + −  =
3  4   5  60
20k  15k   12k  47
−
+ −
 + −
=
60  60   60  60
47k 47
−
=
60 60
k = −1
Sehingga persamaan garis l1 bergradien 3 melalui (0,k) = (0, –1) adalah :
y – y1 = m (x – x1)
y – (–1) = 3(x – 0)
y + 1 = 3x
y = 3x – 1
5.
Data akhir suatu kompetisi yang diikuti oleh tiga tim sepakbola, masing-masing tim saling
berhadapan, dituliskan pada berikut.
Tim
Elang
Garuda
Merpati
Menang
1
1
0
Kalah
0
0
2
Seri
1
1
0
Gol (Memasukkan-Kemasukan)
5
2
4
3
3
7
Berapakah skor pertandingan antara Tim Garuda melawan Tim Merpati?
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 10
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2011
OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
SOLUSI :
Perhatikan diagram skor dan tabel di bawah
Elang
seri x − x
Garuda
Tim
Menang
Kalah
Seri
Elang
Garuda
Merpati
1
1
0
0
0
2
1
1
0
menang
a −b
Merpati
menang
c−d
Gol(MemasukkanKemasukan)
5-2
4-3
3-7
Elang dan Garuda bertanding seri dan keduanya menang atas Merpati.
Total Elang dan Garuda memasukkan gol 5 + 4 = 9. Sedangkan total Merpati kemasukan gol dari
Elang dan Garuda adalah 7. Artinya selisih 2 gol terjadi saat Elang dan Garuda bertanding seri atau
dengan skor 1 - 1 . Pada tabel diketahui jumlah Gol (Memasukkan-Kemasukan) Garuda 4 – 3.
Karena 1 gol memasukkan ke Elang maka sisanya (4 – 1 = 3 gol) pasti memasukkan ke Merpati.
Disamping itu Garuda juga kemasukan 1 gol dari Elang, maka sisanya kemasukan (3 – 1=2 gol)
dari Merpati.
Jadi skor akhir Garuda melawan Merpati adalah 3 – 2.
http://olimatik.blogspot.com
e-mail: [email protected]
HAL 11