Sesi 6.indd

X
Kela
s
K-13
matematika WAJIB
FUNGSI
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami idefinisi fungsi.
2.
Memahami domain dan range fungsi linear.
3.
Memahami domain dan range fungsi kuadrat.
4.
Memahami domain dan range fungsi rasional linear-linear.
A. Definisi Fungsi
Fungsi adalah aturan yang merelasikan setiap elemen himpunan X dengan tepat satu
elemen himpunan Y. Perhatikan contoh berikut.
1
a
1
a
1
a
1
a
2
b
2
b
2
b
2
b
3
c
3
c
3
c
3
c
X
Y
X
Y
X
Y
Bukan fungsi
Fungsi
Fungsi
X
Y
Bukan fungsi
Notasi fungsi X ke Y dinyatakan dengan F : X → Y, F(x) = y (dibaca: fungsi F memetakan
semua anggota himpunan X tepat satu dengan anggota himpunan Y atau F memetakan
x ∈ X tepat satu dengan y ∈ Y). Perhatikan bentuk fungsi berikut.
1.
2.
F : R → R, F(x) = 3x – 5 (dibaca: fungsi F memetakan himpunan bilangan real ke himpunan
bilangan real, di mana bilangan real x dipetakan kepada bilangan real 3x – 5).
1 2
x + 6x – 2 (dibaca: fungsi G memetakan himpunan bilangan bulat
3
ke himpunan bilangan real, di mana bilangan bulat x dipetakan kepada bilangan real
1 2
x + 6x – 2).
3
G : Z → R, G(x) =
B. Domain dan Range Fungsi Linear
Domain adalah daerah asal suatu fungsi. Dengan kata lain, domain merupakan nilai
variabel yang boleh disubstitusikan pada suatu fungsi. Range adalah daerah hasil yang
diperoleh dengan mensubstitusikan anggota domain pada fungsinya.
Contoh Soal 1
Tentukan range dari H(x) = 5x – 2 dengan domain {–3, –2, –1, 0, 1, 2}.
Pembahasan:
Untuk menentukan rangenya, cukup substitusikan x∈ {–3, –2, –1, 0, 1, 2} pada H(x) = 5x – 2
H(–3) = 5(–3) – 2 = –17
H(–2) = 5(–2) – 2 = –12
H(–1) = 5(–1) – 2 = –7
H(0) = 5(0) – 2 = –2
H(1) = 5(1) – 2 = 3
H(2) = 5(2) – 2 = 8
Jadi, range dari H(x) = 5x – 2 dengan domain {–3, –2, –1, 0, 1, 2} adalah {–17, –12, –7, –2, 3, 8}.
Super "Solusi Quipper"
Range dari fungsi linear F(x) = ax + b dengan domain berurutan dapat ditentukan
dengan cara berikut.
1.
Tentukan nilai fungsi dari domain terkecil.
2.
Kemudian, selalu tambahkan hasilnya dengan a.
Sekarang, coba selesaikan contoh soal 1 dengan Solusi Quipper.
H(x) = 5x – 2 dengan domain {–3, –2, –1, 0, 1, 2}
2
Domain terkecil adalah –3, sehingga:
H(–3) = –17
Dengan demikian, range fungsi H(x) adalah sebagai berikut.
{–17, –12, –7, –2, 3, 8}
+5
+5
+5
+5 +5
Contoh Soal 2
Jika g : z → R, g(x) = 6x – 3, maka tentukan domain, range, dan grafik dari g(x)!
Pembahasan:
Berdasarkan notasi fungsinya, nampak jelas domain dari g(x) adalah semua x bilangan
bulat atau dapat ditulis dengan:
Dg = {x|x ∈ Z}
Range dari g(x) = 6x – 3 dapat ditentukan dengan memperhatikan domain dan operasi
yang ada pada fungsi tersebut. Jika bilangan bulat x dikalikan bilangan bulat 6, kemudian
dikurangkan oleh bilangan bulat 3, maka hasilnya pasti bilangan bulat. Berbeda halnya
bila ada operasi pembagian yang memungkinkan munculnya bilangan desimal dan
lain-lain. Dengan demikian, range dari g(x) adalah semua y bilangan bulat atau dapat
ditulis dengan:
Rg = {y|y ∈ Z}
Oleh karena domain dari g(x) adalah bilangan bulat, maka bentuk grafiknya hanyalah
berupa kumpulan titik pada bidang Cartesius. Untuk menggambarkannya, cukup ambil
beberapa titik, misalnya kita ambil x = 0, x =1, dan x = 2.
x
g(x) = 6x – 3
(x , y)
0
–3
(0, –3)
1
3
(1, 3)
2
9
(2, 9)
3
Dengan demikian, grafik dari g(x) = 6x – 3 adalah sebagai berikut.
10 y
8
6
4
2
x
–2
1
2
3
–4
Jika dalam soal dinyatakan x ∈ R, maka grafiknya bukan berupa titik-titik, melainkan
berupa garis lurus dengan titik-titik tersebutsebagai patokannya.
Contoh Soal 3
Diketahui fungsi h : R → R, h(x) = ax + 5 dengan domain Dh = {x|–1 ≤ x ≤ 3}. Jika h(2) = 11,
maka tentukan:
a.
nilai a;
b.
range dari h; dan
c.
grafik h(x).
Pembahasan:
a.
Oleh karena h(x) = ax + 5 dan h(2) = 11, maka:
h(2) = 11
⇔ 2a + 5 = 11
⇔ 2a = 6
⇔a=3
Dengan demikian, fungsinya menjadi h(x) = 3x + 5.
b.
Untuk domain berbentuk interval tertutup seperti –1 ≤ x ≤ 3, range fungsi linear
dapat ditentukan dari domainnya.
–1 ≤ x ≤ 3
⇔ –3 ≤ 3x ≤ 9 {ketiga ruas dikali 3}
⇔ 2 ≤ 3x + 5 ≤ 14
{ketiga ruas ditambah 5}
4
⇔ 2 ≤ y ≤ 14
Jadi, range dari h(x) = 3x + 5 adalah Rh = {y|y ∈ R, 2 ≤ y ≤ 14}.
Domain fungsi h(x) = 3x + 5 adalah bilangan real, sehingga bentuk grafiknya adalah
garis. Untuk menggambarnya, hanya dibutuhkan 2 titik sebagai patokan untuk
menarik garis pada bidang Cartesius.
c.
x
h(x) = 3x + 5
(x , y)
–1
2
(–1, 2)
3
14
(3, 14)
Dengan demikian, grafik dari h(x) = 3x + 5 adalah sebagai berikut.
14
y
12
10
8
6
4
2
–2
–1
–1
x
0
1
2
3
C. Domain dan Range Fungsi Kuadrat
Domain dan range dari sebuah fungsi kuadrat f(x) = y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 berlaku secara
umum, yaitu sebagai berikut.
1.
Domain fungsi kuadrat adalah Df = {x|x ∈ R}.
2.
Range fungsi kuadrat untuk a < 0 adalah Rf = {y|y ≤ yp}, sedangkan untuk a > 0 adalah
Rf = {y|y ≥ yp}. yp adalah ordinat titik puncak yang dirumuskan sebagai berikut.
yp =
( b2 − 4ac )
D
=−
−4 a
4a
5
Grafik fungsi kuadrat lebih mudah digambar dengan menemukan titik puncaknya (xp, yp).
xp merupakan absis titik puncak yang dirumuskan sebagai berikut.
xp =
−b
2a
Setelah menemukan titik puncaknya, tentukan titik-titik yang absisnya di sekitar xp. Kemudian,
buatlah plot titik-titik tersebut pada bidang Cartesius sehingga didapat grafiknya.
Contoh Soal 4
Jika f : R → R, f(x) = x2 + 4x + 3, tentukanlah:
a.
Df;
b.
Rf ; dan
c.
grafik f(x) = x2 + 4x + 3.
Pembahasan:
a.
Domain dari f(x) = x2 + 4x + 3 adalah Df = {x|x ∈ R}.
b.
Range dari f(x) = x2 + 4x + 3 dapat ditentukan berdasarkan ordinat titik puncaknya.
Oleh karena a = 1 > 0, maka y ≥ yp.
D
−4 a
b2 − 4 ac
=
−4 a
16 − 12
=
−4
= −1
yp =
Jadi, range dari f(x) = x2 + 4x + 3 adalah Rf = {y|y ≥ -1}.
c.
Untuk menggambar grafiknya, temukan dahulu koordinat titik puncaknya. Oleh karena
ordinat titik puncaknya telah diketahui, maka kamu tinggal menentukan absisnya.
−b
2a
−4
=
2 (1)
xp =
= −2
Dengan demikian, koordinat titik puncaknya adalah (–2, –1).
6
Setelah menemukan titik puncaknya, tentukan titik-titik yang absisnya di sekitar xp.
Kemudian, buatlah plot titik-titik tersebut pada bidang Cartesius sehingga didapat
grafiknya.
Titik-titik di sekitar xp:
x
f(x) = x2 + 4x + 3
(x , y)
0
3
(0. 3)
–1
0
(–1, 0)
–2
–1
(–2, –1)
–3
0
(–3, 0)
–4
3
(–4, 3)
Dengan demikian, grafik dari f(x) = x2 + 4x + 3 adalah sebagai berikut.
4
y
3
2
1
–4
–3
–2
–1
0
x
Contoh Soal 5
Diketahui fungsi f : R → R, f(x) = –x2 + 2x + 3, dengan Df = {x|x ≥ 0}. Tentukan:
a.
Rf; dan
b.
grafik f(x) = –x2 + 2x + 3.
Pembahasan:
a.
Perhatikan bahwa domain fungsi kuadrat tersebut tidak mencakup semua bilangan
real. Oleh karena itu, range fungsi untuk a = –1 < 0, y ≤ yp hanya akan berlaku jika xp
ada pada domain. Jika tidak ada pada domain, maka batas-batas domain digunakan
untuk menentukan range dari fungsi kuadrat tersebut.
7
xp =
−b
2a
−2
2( −1)
⇔ xp = 1
⇔ xp =
Oleh karena nilai xp = 1 > 0, maka xp merupakan salah satu anggota domain. Dengan
demikian, diperoleh:
yp = f(xp) = –12 + 2(1) + 3 = 4
Jadi, range dari f(x) = –x2 + 2x + 3 adalah Rf = {y|y ≤ 4}.
b.
Grafik f(x) = –x2 + 2x + 3 dengan domain Df = {x|x ≥ 0} dapat digambar dengan
menentukan dahulu titik-titik di sekitar xp. Kemudian, buatlah plot titik-titik tersebut
pada bidang Cartesius sehingga didapat grafiknya.
x
f(x) = –x2 + 2x + 3
(x , y)
–1
0
(–1, 0)
0
3
(0, 3)
1
4
(1, 4)
2
3
(2, 3)
3
0
(3, 0)
Dengan demikian, grafik dari f(x) = –x2 + 2x + 3 adalah sebagai berikut.
5
y
4
3
2
1
–2
0
–1
1
–1
8
2
3
x
D. Domain dan Range Fungsi Rasional Linear-Linear
Bentuk umum fungsi rasional linear-linear adalah sebagai berikut.
f (x) =
ax + b
cx + d
Untuk menentukan domain dan range dari fungsi tersebut, perhatikan ketentuan berikut.
1.
2.
−d
−d 

karena cx + d ≠ 0 merupakan
Domain dari f(x) adalah Df =  x ∈ R | x ≠
 . Nilai x =
c
c 

−d
disebut sebagai asimptot vertikal.
syarat agar fungsi terdefinisi. Garis x =
c
a
a

Range dari f(x) adalah Rf =  y ∈ R | y ≠  . Nilai y = tidak akan bisa dipenuhi oleh
c
c

ax + b
f (x) =
karena alasan berikut.
cx + d
ax + b a
=
cx + d c
acx + bc = acx + ad
bc = ad
Oleh karena tidak ada suku yang mengandung variabel x, maka nilai y =
pernah didapat oleh f ( x ) =
a
tidak akan
c
ax + b
a
. Garis y = disebut sebagai asimptot horizontal.
cx + d
c
Untuk menggambar grafik dari fungsi rasional linear-linear, gunakan ketentuan berikut.
−d
c
asimptot vertikal
x=
asimptot horizontal
9
y=
a
c
atau
asimptot vertikal
x=
−d
c
asimptot horizontal
y=
a
c
Agar mendapatkan grafik yang tepat, gunakan titik-titik yang absisnya dekat dengan x =
Contoh Soal 6
Tentukan domain, range, dan grafik dari f : R → R, f(x) =
Pembahasan:
Domain dari f(x): −d 

Df =  x ∈ R | x ≠

c 

− ( −2 ) 

Df =  x ∈ R | x ≠

1 

Df = { x ∈ R | x ≠ 2}
Range dari f(x):
a

Rf =  y ∈ R | y ≠ 
c

1

Rf =  y ∈ R | y ≠ 
1

Rf = { y ∈ R | y ≠ 1}
10
x +3
.
x −2
−d
.
c
Untuk menggambar grafik dari fungsi tersebut, tentukan titik-titik yang absisnya dekat
dengan asimptot vertikal x = 2 dan asimptot tegak y = 1.
f (x) =
x
x +3
x −2
(x , y)
0
−
3
2
3

 0, − 
2

1
–4
(1, –4)
2
–
–
3
6
(3, 6)
 7
 4, 
 2
 7
 4, 
 2
4
Kemudian, gambarlah asimptot-asimptotnya dan plot titik-titik tersebut pada bidang
Cartesius sehingga didapat grafik berikut.
14
y
12
10
8
6
4
2
–2
–1
–2
0
1
2
3
–4
–6
–8
11
4
5
6
7
x