Logika Predikat

Logika Predikat
Contoh Soal
Toni Bakhtiar
Departemen Matematika IPB
September 2012
Toni Bakhtiar (m@thipb)
Logika Predikat
September 2012
1 / 11
Example
Diberikan predikat berikut: "Ada makhluk hidup yang bukan burung tetapi
menderita ‡u burung." Dengan mengambil himpunan semesta semua
makhluk hidup,
lambangkan predikat di atas dengan menggunakan suku
pengkuanti…kasi khusus,
tentukan negasi predikat di atas dengan menggunakan suku
pengkuanti…kasi umum dan tuliskan dalam kalimat verbal.
Jawab
Himpunan semesta: S = fx j x makhluk hidupg.
Misalkan: B (x ) : x burung, F (x ) : x menderita ‡u burung.
Predikat:
(9x 2 S )[ B (x ) ^ F (x )].
Toni Bakhtiar (m@thipb)
Logika Predikat
September 2012
2 / 11
Negasi:
(9x 2 S )[ B (x ) ^ F (x )] =
=
=
=
(8x
(8x
(8x
(8x
2 S ) [ B (x ) ^ F (x )]
2 S )[B (x ) _ F (x )]
2 S )[ B (x ) ! F (x )]
2 S )[F (x ) ! B (x )].
Dalam kalimat verbal:
Semua makhluk hidup adalah burung atau ia tidak menderita ‡u
burung.
Semua makhluk hidup, jika ia bukan burung maka ia tidak menderita
‡u burung.
Semua makhluk hidup, jika ia menderita ‡u burung maka ia burung.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
Logika Predikat
September 2012
3 / 11
Example
Diberikan proposisi: ”Ada orang yang mengunjungi peternakan unggas,
kemudian dia menderita ‡u burung.” Jika semestanya adalah himpunan
orang, maka
Nyatakan proposisi tersebut dalam lambang matematika dengan
menggunakan suku pengkuanti…kasi khusus.
Tuliskan negasi proposisi tersebut dengan menggunakan suku
pengkuanti…kasi umum, dan nyatakan dalam kalimat verbal.
Jawab
Misalkan S = fx j x orangg,
U (x ) : x mengunjungi peternakan unggas, F (x ) : x menderita ‡u burung.
Proposisi:
(9x 2 S )[U (x ) ^ F (x )]
Toni Bakhtiar (m@thipb)
Logika Predikat
September 2012
4 / 11
Negasi:
(9x 2 S )[U (x ) ^ F (x )] = (8x 2 S ) [U (x ) ^ F (x )]
= (8x 2 S )[ U (x ) _ F (x )]
= (8x 2 S )[U (x ) ! F (x )].
Dalam kalimat verbal:
"Setiap orang tidak ke peternakan unggas atau tidak menderita ‡u
burung."
"Setiap orang, jika ia mengunjungi peternakan unggas maka ia tidak
menderita ‡u burung."
Toni Bakhtiar (m@thipb)
Logika Predikat
September 2012
5 / 11
Example
Diketahui proposisi: "Semua mahasiswa TPB yang mengikuti kuliah
Pengantar Matematika belajar logika predikat dan induksi matematik."
Lambangkan proposisi di atas dengan semesta himpunan mahasiswa
TPB.
Nyatakan bentuk kesetaraannya dalam lambang dan kalimat verbal.
Jawab
Misalkan S = fx j x mahasiswa TPBg, P (x ) : x mengikuti kuliah
Pengantar Matematika, L(x ) : x belajar logika predikat, I (x ) : x belajar
induksi matematik.
Proposisi:
(8x 2 S )[P (x ) ! (L(x ) ^ I (x ))].
Toni Bakhtiar (m@thipb)
Logika Predikat
September 2012
6 / 11
Kesetaraan:
(8x 2 S )[P (x ) ! (L(x ) ^ I (x ))]
=
(9x 2 S ) [P (x ) ! (L(x ) ^ I (x ))]
=
(9x 2 S ) [ P (x ) _ (L(x ) ^ I (x ))]
=
(9x 2 S )[P (x ) ^ ( L(x ) _ I (x ))].
Kalimat verbal: "Tidak ada mahasiswa TPB yang mengikuti kuliah
Pengantar Matematika yang tidak belajar logika predikat atau induksi
matematik."
Toni Bakhtiar (m@thipb)
Logika Predikat
September 2012
7 / 11
Example
Diketahui himpunan semesta S = f1, 2, 3, 4g dan predikat-predikat
P (x ) :
x +2
Q (x ) :
x genap.
4,
Tentukan nilai kebenaran dari (9x 2 S ) (P (x ) ^
Q (x )) .
Tentukan negasi dari (9x 2 S ) (P (x ) ^ Q (x )) dengan
menggunakan suku pengkuanti…kasi umum.
Jawab
Predikat berkuanti…kasi di atas bernilai benar karena x = 1 2 S
membuat P (1) : 1 + 2 4 bernilai benar dan Q (1) : 1 ganjil
bernilai benar, sehingga P (1) ^ Q (1) benar. Dengan demikian
(9x 2 S ) (P (x ) ^ Q (x )) bernilai benar.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
Logika Predikat
September 2012
8 / 11
Negasi:
(9x 2 S ) (P (x ) ^ Q (x )) = (8x 2 S ) (P (x ) ^ Q (x ))
= (8x 2 S ) ( P (x ) _ Q (x ))
= (8x 2 S ) (P (x ) ! Q (x )) .
Example
Misalkan diberikan pernyataan: "Ada warga Jakarta yang memunyai hak
pilih tetapi tidak menggunakan hak pilihnya dalam Pemilukada DKI 2012."
Dengan mengambil semesta himpunan warga Jakarta,
nyatakan pernyataan tersebut dalam bentuk lambang,
tuliskan negasi pernyataan tersebut dengan menggunakan suku
pengkuanti…kasi umum (dalam bentuk lambang dan kalimat verbal).
Toni Bakhtiar (m@thipb)
Logika Predikat
September 2012
9 / 11
Jawab
Misalkan S = fx j x warga Jakartag dan misalkan P (x ) : x memunyai
hak pilih, Q (x ) : x menggunakan hak pilih dalam Pemilukada DKI 2012.
Predikat di atas dilambangkan dengan
(9x 2 S ) [P (x ) ^ Q (x )].
Negasi:
(9x 2 S ) [P (x ) ^ Q (x )] = (8x 2 S ) [P (x ) ^ Q (x )]
= (8x 2 S ) [ P (x ) _ Q (x )]
= (8x 2 S ) [P (x ) ! Q (x )] .
Dalam kalimat verbal:
"Semua warga Jakarta tidak memunyai hak pilih atau menggunakan
hak pilihnya dalam Pemilukada DKI 2012."
"Semua warga Jakarta, jika ia memunyai hak pilih maka ia
menggunakan hak pilihnya dalam Pemilukada DKI 2012."
Toni Bakhtiar (m@thipb)
Logika Predikat
September 2012
10 / 11
Example
Diketahui proposisi sebagai berikut: "Setiap mahasiswa pastilah lulus SD."
Lambangkan proposisi di atas dengan memilih semesta himpunan
manusia dan tentukan nilai kebenarannya.
Tentukan negasi proposisi di atas dan nyatakan dalam kalimat verbal.
Jawab
Misalkan S = fx j x manusiag, M (x ) : x mahasiswa, L(x ) : x lulus SD.
Proposisi:
(8x 2 S )[M (x ) ! L(x )].
Proposisi di atas bernilai benar.
Negasi:
(8x 2 S )[M (x ) ! L(x )] = (9x 2 S ) [M (x ) ! L(x )]
= (9x 2 S ) [ M (x ) _ L(x )]
= (9x 2 S )[M (x ) ^ L(x )].
Dalam kalimat verbal: "Ada mahasiswa yang tidak lulus SD."
Toni Bakhtiar (m@thipb)
Logika Predikat
September 2012
11 / 11