Analisa Kestabilan dan Penyelesaian Numerik Model

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
1
Analisa Kestabilan dan Penyelesaian Numerik
Model Dinamik SIRC pada Penyebaran
Virus Influenza
Ika Novitasari, M. Setijo Winarko dan Lukman Hanafi
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
Email: [email protected]
Abstrak— Penyakit Influenza termasuk salah satu jenis
penyakit menular yang disebabkan oleh virus influenza. Model
SIRC merupakan salah satu model matematika untuk influenza.
Pada penulisan ini dianalisa kestabilan dari model SIRC. Analisa
model dilakukan untuk mengetahui penyebaran virus influenza
yaitu dengan menentukan bilangan reproduksi dasar (𝑹𝟎 ).
Bilangan reproduksi dasar merupakan bilangan yang menyatakan
rata-rata terjadinya penularan penyakit yang berlangsung di dalam
populasi susceptible. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa
masih terjadi penyebaran virus influenza saat 𝑹𝟎 > 𝟏 dan tidak
terjadi penyebaran virus influenza saat 𝑹𝟎 < 𝟏. Penyelesaian
numerik untuk model SIRC dapat diselesaikan menggunakan
metode Runge-Kutta Orde 4 (RK4). Metode ini digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial yang bergantung pada nilai
awal dengan ukuran langkah waktu (𝒉) yang bervariasi, sehingga
dapat memenuhi stabilitas lokal dari titik kesetimbangan.
Kata kunci— Bilangan Reproduksi Dasar, Influenza, Metode
Runge-Kutta Orde 4 (RK4), Model SIRC.
I. PENDAHULUAN
B
ERBAGAI jenis penyakit saat ini semakin banyak. Salah
satu penyebabnya adalah gaya hidup dan lingkungan yang
semakin tidak sehat. Secara umum ada dua jenis penyakit
yaitu penyakit menular dan tidak menular. Influenza adalah
salah satu jenis penyakit menular yang disebabkan oleh virus
influenza pada saluran pernapasan dari hidung sampai
trachea. Ada tiga tipe serologi virus influenza yaitu A, B dan
C [1]. Adapun beberapa kasus penyakit influenza yang
disebabkan oleh beberapa tipe virus di antaranya pada tahun
1918 “Spanish flu” yang menyebabkan 50-100 juta kematian
oleh virus influenza A subtipe H1N1, tahun 1957 “Asian flu”
yang menyebabkan 1-1,5 juta kematian oleh virus influeza A
subtipe H2N2,tahun 1968 “Hongkong flu” yang menyebabkan
1 juta kematian oleh virus influenza A subtipe H3N2 dan
tahun 1997 “Avian Influenza” yang menyebabkan 79-189 juta
kematian oleh virus influenza A subtipe H5N1 [9].
Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika
juga turut memberikan peranan dalam mencegah meluasnya
penyebaran penyakit influenza. Peranan tersebut berupa model
matematika yang mempelajari penyebaran penyakit influenza
yang bersifat endemik dengan memperhatikan faktor kelahiran
dan kematian. Model dinamik SIRC adalah salah satu model
matematika yang menyatakan pola penyebaran virus influenza
dengan empat sub-populasi manusia yang terdiri individu
susceptible, infected, recovered dan cross-immune [3].
Pada Tugas Akhir ini, dianalisa stabilitas dari model
dinamik SIRC pada penyebaran virus influenza dan
penyelesaian secara numerik dengan menggunakan metode
Runge-Kutta Orde 4 (RK4). Metode ini digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial yang menyangkut nilai
awal dengan ukuran langkah waktu yang bervariasi, sehingga
dapat memenuhi stabilitas lokal dari titik kesetimbangan [4].
II. METODE PENELITIAN
A. Tahap Studi Literatur
Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dengan
mencari referensi yang menunjang penelitian. Referensi yang
dipakai adalah jurnal ilmiah, Tugas Akhir maupun artikel dari
internet.
B. Tahap Mengkaji Model Dinamik SIRC pada Penyebaran
Virus Influenza
Pada tahap ini dilakukan kajian model SIRC terlebih
dahulu dengan menyusun asumsi-asumsi tertentu sehingga
dapat dibuat model kompartemen dengan 4 kelompok individu
yaitu individu susceptible (individu yang rentan terhadap
penyakit), infected (individu yang terjangkit dan dapat
menularkan penyakit), recovered (individu yang telah sembuh
dari penyakit) dan cross-immune (individu dengan imunitas
silang).
C. Tahap Menganalisa Kestabilan Lokal
Pada model dinamik SIRC akan ditentukan titik
kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan
endemik. Kemudian untuk menentukan kestabilan lokal yaitu
dengan membentuk matriks Jacobian pada titik kesetimbangan
bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik yang
selanjutnya dapat ditentukan nilai eigen matrik Jacobian dari
model SIRC. Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan bebas
penyakit akan didapatkan bilangan reproduksi dasar (𝑅0 ).
D. Tahap Menyusun Simulasi Numerik Runge-Kutta Orde 4
(RK4)
Pada tahap ini dilakukan penyusunan simulasi numerik
skema Runge-Kutta Orde 4 (RK4) dari model dinamik SIRC
pada penyebaran virus influenza. Simulasi menggunakan
software pemrograman yaitu MATLAB yang menggambarkan
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
grafik kestabilan dan penyelesaian numerik model dinamik
SIRC pada penyebaran virus influenza.
E. Tahap Kesimpulan dan Saran
Setelah dilakukan analisa dan pembahasan maka akan
diambil suatu kesimpulan dan saran sebagai masukan untuk
pengembangan penelitian lebih lanjut.
III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
A. Model Dinamik SIRC pada Penyebaran Virus Influenza
Model dinamik SIRC pada penyebaran virus influenza
mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut :
a. Populasi dibagi menjadi 4 kelompok yaitu :
𝑆 adalah populasi susceptible yaitu individu-individu yang
rentan terhadap penyakit , 𝐼 adalah populasi infected yaitu
individu-individu yang terjangkit dan dapat menularkan
penyakit, 𝑅 adalah populasi individu recovered yaitu
individu yang telah sembuh dari penyakit, dan 𝐶 adalah
populasi individu cross-immune yaitu individu yang telah
sembuh (recovered) setelah terinfeksi (infected) oleh galur
(strain) yang berbeda dari subtipe virus yang sama pada
tahun-tahun yang lalu.
b. Diasumsikan 𝜇 adalah laju kelahiran yang sama dengan
laju kematian. Berdasarkan asumsi tersebut, maka jumlah
populasi yang mati pada setiap kelompok proposional
dengan jumlah populasi pada masing-masing kelompok.
Oleh karena itu, jumlah kematian pada kelompok 𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝐶
masing-masing sebesar 𝜇𝑆, 𝜇𝐼, 𝜇𝑅, 𝜇𝐶.
c. 𝛽𝑆𝐼 adalah laju besarnya populasi yang terinfeksi dimana
𝛽 adalah koefisien transmisi yang merupakan konstanta
yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi
penularan penyakit, individu rentan memperoleh infeksi
pada per kapita 𝛽𝐼.
d. 𝛽𝐶𝐼 adalah laju besarnya populasi cross-immune yang
terinfeksi dimana 𝛽 adalah koefisien transmisi yang
merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak
sehingga terjadi penularan penyakit, individu crossimmune memperoleh infeksi pada per kapita 𝛽𝐼. 𝜎𝛽𝐶𝐼
adalah besarnya populasi cross-immune yang terinfeksi
yang di pengaruhi oleh laju 𝜎 yaitu individu cross-immune
menjadi infected.
e. 𝛼, 𝛿, 𝛾, 𝜎 masing-masing adalah laju individu infected
menjadi recovered, laju individu recovered menjadi crossimmune, laju individu recovered menjadi susceptible dan
laju individu cross-immune menjadi infected.
Dari asumsi-asumsi tersebut diperoleh model dinamik SIRC
pada penyebaran virus influenza
𝑑𝑆
= 𝜇 − 𝜇𝑆 − 𝛽𝑆𝐼 + 𝛾𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝐼
𝑑𝑡
𝑑𝑅
𝑑𝑡
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= 𝛽𝑆𝐼 + 𝜎𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛼)𝐼
= (1 − 𝜎)𝛽𝐶𝐼 + 𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛿)𝑅
= 𝛿𝑅 − 𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛾)𝐶
(1)
2
Jika 𝑁 adalah proporsi jumlah seluruh populasi 𝑆, 𝐼, 𝑅 dan 𝐶,
maka 𝑁 = 𝑆 + 𝐼 + 𝑅 + 𝐶, dan diasumsikan total populasi
sama dengan 1 yaitu 𝑆 + 𝐼 + 𝑅 + 𝐶 = 1
𝑑𝑁 𝑑𝑆 𝑑𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝐶
=
+ +
+
=0
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
Berdasarkan persamaan (1) maka daerah penyelesaiannya
yaitu,
Ω = {(𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝐶) ∈ 𝑅+4 : (𝑆 + 𝐼 + 𝑅 + 𝐶) ≤ 1 }
B. Titik Kesetimbangan Model
Titik kesetimbangan model dapat diperoleh dengan
𝑑𝑆
𝑑𝐼
𝑑𝑅
𝑑𝐶
mengambil = 0, = 0, = 0, = 0 sehingga didapat:
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜇 − 𝜇𝑆 − 𝛽𝑆𝐼 + 𝛾𝐶 = 0
(2)
𝛽𝑆𝐼 + 𝜎𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛼)𝐼 = 0
(3)
(1 − 𝜎)𝛽𝐶𝐼 + 𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛿)𝑅 = 0
(4)
𝛿𝑅 − 𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛾)𝐶 = 0
(5)
Titik kesetimbangan bebas penyakit (disease free
equilibrium) adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi
penyebaran penyakit dalam populasi. Titik tersebut didapatkan
saat 𝐼 = 0.
Dari persamaan (2)-(5) dan subtitusi 𝐼 = 0 maka
persamaan (3) terpenuhi, sedangkan persamaan (2),(4) dan (5)
menjadi
𝜇
𝑆= =1,𝑅=0,𝐶 =0
𝜇
Dari uraian diatas diperoleh titik kesetimbangan bebas
penyakit yaitu 𝑃0 = �𝑆𝑓 , 𝐼𝑓 , 𝑅𝑓 , 𝐶𝑓 � = (1, 0, 0, 0)
Titik kesetimbangan endemik (endemic equilibrium)
adalah suatu keadaan dimana terjadi penyebaran penyakit di
dalam populasi.
Dari persamaan (4) dan (5) dipeoleh
𝛿𝑅 − 𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛾)𝐶 = 0
𝑅∗ =
𝐶∗
(𝛽𝐼1
𝛿
+ 𝜇 + 𝛾)
(1 − 𝜎)𝛽𝐶𝐼 + 𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛿)𝑅 = 0
𝑅∗ =
𝛼𝐼1 +(1−𝜎)𝛽𝐶 ∗ 𝐼1
(𝜇+𝛿)
(6)
(7)
Mengeliminasi persamaan (6) dan (7) diperoleh
𝐶 ∗ = 𝛽𝐼
𝛿𝛼𝐼1
1 (𝜇+𝜎𝛿)+(𝜇+𝛿)(𝜇+𝛾)
(8)
Persamaan (8) disubtitusikan ke (6) diperoleh
𝛼𝐼1 (𝛽𝐼1 +𝜇+𝛾)
(𝜇+𝜎𝛿)+(𝜇+𝛿)(𝜇+𝛾)
1
𝑅 ∗ = 𝛽𝐼
Dari persamaan (3) diperoleh
⇔ 𝐼�𝛽𝑆 + 𝜎𝛽𝐶 − (𝜇 + 𝛼)� = 0 dengan 𝐼∗ ≠ 0
sehingga
𝛽𝑆 ∗ + 𝜎𝛽𝐶 ∗ − (𝜇 + 𝛼) = 0
Persamaan (8) disubtitusikan ke (10) diperoleh
𝑆∗ =
𝜇+𝛼
𝛽
𝛿𝜎𝛼𝐼
1
− �𝛽𝐼∗ (𝜇+𝜎𝛿)+(𝜇+𝛿)(𝜇+𝛾)
�
Dari persamaan (4) diperoleh
𝜇 − 𝜇𝑆 ∗ − 𝛽𝑆 ∗ 𝐼 ∗ + 𝛾𝐶 ∗ = 0
𝑆∗ =
𝛾𝐶 ∗ +𝜇
(9)
(10)
(11)
(12)
𝜇+𝛽𝐼 ∗
Persamaan (11) disubtitusikan ke (12), kemudian dilakukan
eliminasi diperoleh
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
𝜇+𝛼
𝛿𝜎𝛼𝐼1
−� ∗
�� −
𝛽𝐼 (𝜇 + 𝜎𝛿) + (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝛾)
𝛽
𝛼𝛿𝛾𝐼1 + 𝜇𝛽𝐼1 (𝜇 + 𝜎𝛿) + 𝜇(𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝛾)
�=0
�
(𝜇 + 𝛽𝐼1 )�𝛽𝐼1 (𝜇 + 𝜎𝛿) + (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝛾)�
�
𝐼1 2 (𝛽 2 𝜇 + 𝛽 2 𝛼 + 𝛽 2 𝜎𝛿) + 𝐼1 (𝛽𝜇2 + 𝛽𝜇𝜎𝛿 + 𝛽𝜇𝛼 + 𝛽𝜇 2 +
𝛽𝜇𝛾 + 𝛽𝜇𝛿 + 𝛽𝛿𝛾 + 𝛽𝜇𝛼 + 𝛽𝛼𝛾 + 𝛽𝛼𝛿 − 𝜇𝛽 2 − 𝜎𝛿𝛽 2 ) +
(𝜇3 + 𝜇 2 𝛾 + 𝜇 2 𝛿 + 𝜇𝛿𝛾 + 𝜇 2 𝛼 + 𝜇𝛼𝛾 + 𝜇𝛼𝛿 + 𝛼𝛿𝛾 −
(13)
𝛽𝜇 2 − 𝛽𝜇𝛾 − 𝛽𝜇𝛿 − 𝛽𝛿𝛾) = 0
Dari persamaan (13) dapat dibentuk menjadi persamaan
kuadrat
(14)
𝑎𝐼1 2 + 𝑏𝐼1 + 𝑐 = 0
dengan
• 𝑎 = 𝛽 2 𝜇 + 𝛽 2 𝛼 + 𝛽 2 𝜎𝛿
= 𝛽 2 (𝜇 + 𝛼 + 𝜎𝛿)
• 𝑏 = 𝛽𝜇2 + 𝛽𝜇𝜎𝛿 + 𝛽𝜇𝛼 + 𝛽𝜇 2 + 𝛽𝜇𝛾 + 𝛽𝜇𝛿 + 𝛽𝛿𝛾 +
𝛽𝜇𝛼 + 𝛽𝛼𝛾 + 𝛽𝛼𝛿 − 𝜇𝛽 2 − 𝜎𝛿𝛽 2
= 𝛽�(𝜇 + 𝛼)(2𝜇 + 𝛿 + 𝛾) + 𝛿(𝜇𝜎 + 𝛾) − 𝛽(𝜇 − 𝛿𝜎)�
• 𝑐 = 𝜇3 + 𝜇 2 𝛾 + 𝜇 2 𝛿 + 𝜇𝛿𝛾 + 𝜇 2 𝛼 + 𝜇𝛼𝛾 + 𝜇𝛼𝛿 + 𝛼𝛿𝛾 −
𝛽𝜇2 − 𝛽𝜇𝛾 − 𝛽𝜇𝛿 − 𝛽𝛿𝛾
𝛽
= (𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝛿) �1 −
�
𝜇+𝛼
= (𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝛿)(1 − 𝑅0 )
dengan 𝑅0 =
𝛽
𝜇+𝛼
adalah bilangan reproduksi dasar. Bilangan
reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan rata-rata
penularan penyakit.
Titik kesetimbangan endemik adalah 𝑃∗ = (𝑆 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑅∗ , 𝐶 ∗ )
dengan
𝜇+𝛼
𝛿𝜎𝛼𝐼1
𝑆∗ =
−�
�
𝛽𝐼1 (𝜇 + 𝜎𝛿) + (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝛾)
𝛽
𝛼𝐼1 (𝛽𝐼1 + 𝜇 + 𝛾)
𝑅∗ =
𝛽𝐼1 (𝜇 + 𝜎𝛿) + (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝛾)
𝛿𝛼𝐼1
𝐶∗ =
𝛽𝐼1 (𝜇 + 𝜎𝛿) + (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝛾)
dan 𝐼 ∗ adalah akar dari persamaan 𝑎𝐼1 2 + 𝑏𝐼1 + 𝑐 = 0
dengan
𝑎 = 𝛽 2 (𝜇 + 𝛼 + 𝜎𝛿);
𝑏 = 𝛽�(𝜇 + 𝛼)(2𝜇 + 𝛿 + 𝛾) + 𝛿(𝜇𝜎 + 𝛾) − 𝛽(𝜇 + 𝛿𝜎)�;
𝑐 = (𝜇 + 𝛾)(𝜇 + 𝛿)(1 − 𝑅0 );
Dari persamaan kuadrat 𝑎𝐼1 2 + 𝑏𝐼1 + 𝑐 = 0 diperoleh akar
persamaan kuadrat yaitu 𝐼1,1 dan 𝐼1,2 .
• 𝑐 < 0 jika dan hanya jika 𝑅0 > 1
• 𝐼1,1 + 𝐼1,2 < 0
𝑏
𝐼1,1 + 𝐼1,2 = −
𝑎
sehingga berlaku 𝑏 < 0 dan 𝑎 > 0
• 𝐼1,1 ∙ 𝐼1,2 < 0
𝑐
𝐼1,1 ∙ 𝐼1,2 =
𝑎
sehingga berlaku 𝑐 < 0 dan 𝑎 > 0
Berdasarkan uraian tersebut, eksistensi 𝐼 ∗ pada titik
kesetimbangan endemik terpenuhi jika 𝑅0 > 1 (terjadi
3
penyebaran penaykit) maka berlaku koefisien 𝑎 bernilai
positif, 𝑏 bernilai negatif dan 𝑐 bernilai negatif.
C. Kestabilan Lokal
Setelah didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit
𝑃0 dan titik kesetimbangan endemik 𝑃 ∗ selanjutnya akan
dianalisa kestabilan lokal dari masing-masing titik
kesetimbangan. Karena pada persamaan (1) dapat terlihat
bahwa persamaan tersebut adalah tak linear, maka untuk dapat
menentukan kestabilan titik kesetimbangan berdasar nilai
karakteristik (𝜆), maka persamaan (1) harus dilinearkan. Hasil
pendekatan linear diperoleh matriks jacobian,
−𝜇 − 𝛽𝐼
𝛽𝐼
𝐽=�
0
0
−𝛽𝑆
𝛽𝑆 + 𝜎𝛽𝐶 − (𝜇 + 𝛼)
(1 − 𝜎)𝛽𝐶 + 𝛼
−𝛽𝐶
0
0
−(𝜇 + 𝛿)
𝛿
𝛾
𝜎𝛽𝐼
�
(1 − 𝜎)𝛽𝐼
−(𝜇 + 𝛾)
Ksetabilan lokal pada titik kesetimbangan bebas penyakit
yaitu diperoleh dari nilai eigen matriks jacobiannya yaitu
−𝜇
−𝛽
0
𝛾
0
𝛽
−
(𝜇
+
𝛼)
0
0
�
𝐽(𝑃0 ) = �
0
𝛼
−(𝜇 + 𝛿)
0
0
0
𝛿
−(𝜇 + 𝛾)
|𝐽(𝑃0 ) − 𝜆𝐼| = 0
Sehingga didapatkan nilai eigen
𝜆1 = −𝜇
𝜆2 = 𝛽 − (𝜇 + 𝛼)
𝜆3 = −(𝜇 + 𝛿)
𝜆4 = −(𝜇 + 𝛾)
𝜆1 , 𝜆3 , 𝜆4 < 0, sedangkan untuk 𝜆2 = 𝛽 − (𝜇 + 𝛼) belum
dapat ditentukan tandanya (dapat bernilai positif atau negatif).
Berdasarkan nilai eigen 𝜆2 dapat dianalisa sebagai berikut:
𝜆2 akan bernilai negatif jika
⇔ 𝛽 − (𝜇 + 𝛼) < 0
𝛽
⇔ (𝜇 + 𝛼) �
− 1� < 0
𝜇+𝛼
𝛽
<1
⇔
𝜇+𝛼
Jadi bilangan reproduksi dasar (𝑅0 ) adalah :
𝛽
𝑅0 =
𝜇+𝛼
Jika 𝑅0 < 1 atau
𝛽
𝜇+𝛼
< 1 , didapatkan bahwa nilai eigen
𝜆1 < 0, 𝜆2 < 0, 𝜆3 < 0 dan 𝜆4 < 0maka berdasarkan sifat
stabilitas titik kesetimbangan 𝑃0 stabil asimtotik.
Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan endemik (𝑃∗ )
dapat dicari dengan mencari nilai eigen dari matriks
jacobiannya. Karena subpopulasi 𝑅 tidak muncul pada
persamaan 𝑆 dan 𝐼, tetapi hanya muncul pada persamaan 𝐶
maka subpopulasi 𝑅 dapat diabaikan dan persamaan model
SIRC dapat direduksi menjadi model tiga dimensi. Untuk
menentukan kestabilan lokal pada 𝑃∗ , akan disubtitusikan
𝑅 = 1 − 𝑆 − 𝐼 − 𝐶 untuk mengeliminasi 𝑅 pada persamaan
model SIRC dengan 𝑁 konstan. Sehingga diperoleh matriks
jacobian pada titik endemik yaitu
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
𝐽(𝑃 ∗ )
−(𝜇 + 𝛼)𝐴 − (𝜇 + 𝛼)𝐵 + 𝛽𝛿𝜎𝛼𝐼1
𝐴+𝐵
0
−𝛿𝐴 − 𝛿𝐵 − 𝛽𝛿𝛼𝐼1
𝐴+𝐵
−𝜇 − 𝛽𝐼1
⎛
= ⎜ 𝛽𝐼1
−𝛿
⎝
𝛾
𝜎𝛽𝐼1
−𝛿 − 𝛽𝐼1 − 𝜇 − 𝛾
⎞
⎟
⎠
dengan
𝐴 = 𝛽𝐼1 (𝜇 + 𝜎𝛿)
𝐵 = (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝛾)
Nilai eigen diperoleh dari det(𝐽(𝑃0 ) − 𝜆𝐼) = 0 maka
diperoleh nilai eigen berbentuk sebuah polinomial
karakteristik sebagai berikut:
𝜆3 + 𝑎1 𝜆2 + 𝑎2 𝜆 + 𝑎3 = 0
dengan
𝑎1 = 𝛿 + 2𝛽𝐼1 + 2𝜇 + 𝛾
𝑎2 = 𝛽𝐼1 (𝛽𝐼1 + 𝛼 + 3𝜇 + 𝛿𝜎 + 𝛾 + 𝛿) + 𝐵
𝛽𝐼1
𝑎3 =
�𝛽 2 𝐼1 2 𝐷1 + 𝛽𝐼1 𝐷2 + 𝐷3 �
𝐴+𝐵
dimana
𝐴 = 𝛽𝐼1 (𝜇 + 𝜎𝛿)
𝐵 = (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝛾)
𝐷1 = (𝜇 + 𝜎𝛿)(𝜇 + 𝛼 + 𝜎𝛿)
𝐷2 = 𝐵(𝜇 + 𝛼 + 𝜎𝛿) + (𝜇 + 𝜎𝛿)�(𝜇 + 𝛼)(𝛿 + 𝜇 + 𝛾 −
𝛿𝜎) + 𝛿(𝜇𝜎 − 𝛾)� + 𝛿 2 �𝜎𝛼(𝜎 − 1)� + 𝛿 �𝛼�𝛾 −
𝜎(𝜇 + 𝛾)��
𝐷3 = 𝐵�(𝜇 + 𝛼)(𝛿 + 𝜇 + 𝛾 + 𝛿𝜎) + 𝛿(𝜇𝜎 + 𝛾)�
Karena dalam menentukan akar-akar karakteristik dari
persamaan polinomial diatas tidak dapat diselesaikan dengan
cara biasa, maka dapat menggunakan kriteria kestabilan
Routh-Hurwitz untuk menentukan kestabilannya.
Tabel 1
Persamaan Karakteristik Routh-Hurwitz
1
𝑎2
0
𝜆3
𝑎1
𝑎3
0
𝜆2
1
𝜆
𝑏1
𝑏2
0
𝑐1
0
0
𝜆0
Polinomial orde 3 mempunyai akar negatif pada bagian
realnya jika dan hanya jika elemen-elemen dari kolom
pertama pada tabel Routh-Hurwitz mempunyai tanda yang
sama. Sehingga didapatkan:
(i) 𝑎1 > 0
(ii) 𝑎2 > 0
𝑎 𝑎 −𝑎
(iii) 𝑏1 = 1 2 3 > 0
𝑎1
Karena 𝑎1 > 0 maka 𝑎1 𝑎2 − 𝑎3 > 0
𝑎1 𝑎2 > 𝑎3 supaya memenuhi maka nilai 𝑎2 > 0
𝑏 𝑎
(iv) 𝑐1 = 1 3 = 𝑎3 > 0
𝑏1
Supaya 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0, 𝑎3 > 0, 𝑏1 > 0 dan 𝑐1 > 0 maka
𝐼1 > 0. 𝐼1 adalah akar dari persamaan 𝑎𝐼1 2 + 𝑏𝐼1 + 𝑐 = 0,
sehingga berlaku
𝑎𝐼1 2 + 𝑏𝐼1 + 𝑐 > 0
𝑐>0
𝛽
1
� − 1� > 0
𝜇+𝛼 𝑅
0
4
𝑅0 > 1
Dari hasil analisa diatas dapat disimpulkan jika 𝑅0 > 1 maka
berakibat 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0, 𝑎3 > 0, 𝑏1 > 0 dan 𝑐1 > 0, serta
titik kesetimbangan endemik 𝑃∗ adalah stabil asimtotik. Pada
kolom pertama Tabel 1 memiliki tanda yang sama yaitu
positif. Titik kesetimbangan endemik stabil asimtotik yang
berarti jumlah individu infected bertambah sehingga virus
influenza akan meningkat dan terjadi penyebaran (endemik).
D. Penyelesaian Numerik
Untuk penyelesaian numerik menggunakan metode RungeKutta Orde 4 (RK4) yang merupakan salah satu metode
numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial yang menyangkut nilai awal dengan
ukuran langkah waktu yang bervariasi.
Misalnya diberikan persamaan diferensial
𝑑𝑆
= 𝑓(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝐶) ≡ 𝜇 − 𝜇𝑆 − 𝛽𝑆𝐼 + 𝛾𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝐼
𝑑𝑡
𝑑𝑅
𝑑𝑡
𝑑𝐶
= 𝑔(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝐶) ≡ 𝛽𝑆𝐼 + 𝜎𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛼)𝐼
= 𝑖(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝐶) ≡ (1 − 𝜎)𝛽𝐶𝐼 + 𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛿)𝑅
= 𝑗(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝐶) ≡ 𝛿𝑅 − 𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛾)𝐶
Integrasi numerik dari persamaan dengan metode RungeKutta orde empat dinyatakan sebagai berikut:
1
𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 )
6
dengan: 𝑘1,𝑆 = ℎ𝑓(𝑡𝑛 , 𝑆𝑛 )
𝑑𝑡
ℎ
1
ℎ
1
𝑘2,𝑆 = ℎ𝑓 �𝑡𝑛 + , 𝑆𝑛 + 𝑘1 �
2
ℎ
2
1
𝑘3,𝑆 = ℎ𝑓 �𝑡𝑛 + , 𝑆𝑛 + 𝑘2 �
2
2
𝑘4,𝑆 = ℎ𝑓(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑆𝑛 + 𝑘3 )
1
𝐼𝑛+1 = 𝐼𝑛 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 )
6
dengan: 𝑘1,𝐼 = ℎ𝑔(𝑡𝑛 , 𝐼𝑛 )
𝑘2,𝐼 = ℎ𝑔 �𝑡𝑛 + , 𝐼𝑛 + 𝑘1 �
2
ℎ
2
1
𝑘3,𝐼 = ℎ𝑔 �𝑡𝑛 + , 𝐼𝑛 + 𝑘2 �
2
2
𝑘4,𝐼 = ℎ𝑔(𝑡𝑛 + ℎ, 𝐼𝑛 + 𝑘3 )
1
𝑅𝑛+1 = 𝑅𝑛 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 )
6
dengan: 𝑘1,𝑅 = ℎ𝑖(𝑡𝑛 , 𝐼𝑛 )
ℎ
1
ℎ
1
𝑘2,𝑅 = ℎ𝑖 �𝑡𝑛 + , 𝑅𝑛 + 𝑘1 �
2
ℎ
2
1
𝑘3,𝑅 = ℎ𝑖 �𝑡𝑛 + , 𝑅𝑛 + 𝑘2 �
2
2
𝑘4,𝑅 = ℎ𝑖(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑅𝑛 + 𝑘3 )
1
𝐶𝑛+1 = 𝐶𝑛 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 )
6
dengan: 𝑘1,𝐶 = ℎ𝑗(𝑡𝑛 , 𝐶𝑛 )
𝑘2,𝐶 = ℎ𝑗 �𝑡𝑛 + , 𝐶𝑛 + 𝑘1 �
2
ℎ
2
1
𝑘3,𝐶 = ℎ𝑗 �𝑡𝑛 + , 𝐶𝑛 + 𝑘2 �
2
2
𝑘4,𝐶 = ℎ𝑗(𝑡𝑛 + ℎ, 𝐶𝑛 + 𝑘3 )
dengan ℎ adalah langkah waktu.
Selanjutnya membuat simulasi numerik menggunakan
software MATLAB. Nilai parameter yang digunakan sesuai
pada tabel 2 dan nilai awal yang digunakan adalah 𝑆(0) =
0.15, 𝐼(0) = 0.001, 𝑅(0) = 0.409, 𝐶(0) = 0.44.
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
5
Tabel 2
Parameter dengan Nilai Minimum (Min) dan Maksimum
(Max) pada Model Dinamik SIRC [2].
Parameter
𝜇
𝛼
𝛿
𝛾
𝜎
𝛽
Nilai Min
0.0125
52.14286
0.5
0.2
0
50
Nilai Max
0.025
182.5
1
0.5
1
100
Satuan
per tahun
per tahun
per tahun
per tahun
per tahun
per tahun
Dengan nilai input parameter pada Tabel 2 yaitu 𝜇 = 0.02,
𝛼 = 73, 𝛿 = 1, 𝛾 = 0.5, 𝜎 = 0.05, 𝛽 = 100 maka didapatkan
grafik berikut,
Gambar 1. Grafik masing-masing individu dalam populasi
terhadap waktu (tahun) dengan ℎ = 0.005
Pada Gambar 1 menunjukkan bahwa masing-masing
individu berada pada kondisi setimbang saat 𝑡 > 80 tahun.
Kondisi setimbang ini mengacu pada titik setimbang endemik
dari sistem yaitu 𝑆 ∗ =0.72090, 𝐼 ∗ =1.8473e-005, 𝑅 ∗ =0.0013,
𝐶 ∗ = 0.0025. Dari grafik tersebut didapatkan pula nilai
bilangan reproduksi dasar yaitu 𝑅0 = 1.369488. Hal ini
menunjukkan bahwa masih terjadi penyebaran virus influenza
karena nilai 𝑅0 > 1 yang menunjukkan bahwa titik
kesetimbangan endemik tersebut stabil.
Parameter yang sangat berpengaruh terhadap penularan
penyakit yang mana berkaitan dengan bilangan reproduksi 𝑅0
yaitu parameter 𝛽, 𝜇 dan 𝛼. Jadi untuk mengetahui seberapa
besar penularan virus influenza, maka akan dilakukan variasi
nilai input yaitu 𝛽 yaitu 50 dan 100, 𝜇 yaitu 0.0125 dan 0.02,
𝛼 yaitu 73 dan 182.5.
Gambar 2. Grafik Individu Infected terhadap Waktu (Tahun)
dengan Variasi 𝛽1 = 100 dan 𝛽2 = 50
Gambar 3. Grafik Individu Infected terhadap Waktu (Tahun)
dengan Variasi 𝜇1 = 0.02 dan 𝜇2 = 0.0125
Gambar 4. Grafik Individu Infected terhadap Waktu (Tahun)
dengan Variasi 𝛼1 = 73 dan 𝛼2 = 182.5
Pada Gambar 2-4 adalah hasil grafik variasi parameter 𝛽, 𝜇
dan 𝛼 yang berpengaruh terhadap penyebaran penyakit. Jika
nilai bilangan reproduksinya kurang dari 1 maka tidak terjadi
penyebaran penyakit, sedangkan jika nilai bilangan
reproduksinya lebih besar 1 maka terjadi penyebaran penyakit.
Dalam penyelesaian numerik tentunya variasi nilai ℎ
(ukuran langkah waktu) sangat berpengaruh terhadap
kestabilan numeriknya. Berikut akan diinputkan variasi nilai ℎ
untuk mengetahui apakah memenuhi kestabilan numeriknya,
dengan nilai ℎ yaitu 0.1, 0.05, 0.01, 0.005.
Gambar 5. Grafik masing-masing individu dalam populasi
terhadap waktu (tahun) saat ℎ = 0.005
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
6
IV. KESIMPULAN
3B
Gambar 5. Grafik masing-masing individu dalam populasi
terhadap waktu (tahun) saat ℎ = 0.01
Berdasarkan keseluruhan hasil analisa yang telah
dilakukan dalam penyusunan Tugas Akhir ini, dapat diperoleh
kesimpulan sebagai berikut :
1. Bilangan reproduksi dasar dari model SIRC pada
penyebaran virus influenza adalah
𝛽
𝑅0 =
𝜇+𝛼
Karena untuk menentukan terjadinya penyebaran penyakit
influenza bergantung terhadap nilai 𝑅0 , oleh karena itu
parameter yang berpengaruh adalah 𝛽 (koefisien transmisi
yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi
penularan penyakit), 𝜇 (laju kelahiran dan laju kematian
alami), dan 𝛼 (laju perpindahan individu infected menjadi
recovered). Titik setimbang bebas penyakit adalah stabil
asimtotik jika dan hanya jika 𝑅0 < 1, hal ini
menunjukkan bahwa tidak terjadi penularan penyakit
ketika 𝑅0 kurang dari satu. Sedangkan titik
kesetimbangan endemik adalah stabil asimtotik jika dan
hanya jika 𝑅0 > 1, hal ini menunjukkan bahwa terjadi
penularan penyakit ketika 𝑅0 lebih dari satu.
2.
Gambar 6. Grafik masing-masing populasi terhadap waktuv
(tahun) saat ℎ = 0.05
Kestabilan numerik model SIRC dengan metode RungeKutta Orde 4 (RK4) bergantung terhadap nilai ℎ(ukuran
langkah waktu). Hasil penyelesaian numerik dengan input
variasi nilai ℎ yaitu 0.005, 0.01, 0.05 dan 0.1, didapatkan
jika nilai ℎ ≤ 0.05 maka sistem stabil dengan ditunjukkan
hasil grafik yang bersifat konvergen ke titik
kesetimbangan. Sedangkan jika nilai ℎ > 0.05 maka
sistem tidak stabil dengan ditunjukkan hasil grafik yang
bersifat menjauhi titik kesetimbangan.
V. DAFTAR PUSTAKA
4B
[1]
[2]
[3]
[4]
Gambar 7. Grafik masing-masing populasi terhadap waktu
(tahun) saat ℎ = 0.1
Dari hasil simulasi pada Gambar 5-7 yang telah
dilakukan bahwa saat nilai ℎ kecil maka sistem akan stabil
dengan ditunjukkan hasil grafik yang konvergen dalam arti
menuju suatu titik yaitu titik kesetimbangan, maka memenuhi
kestabilan secara numerik. Sedangkan saat nilai ℎ besar maka
sistem menjadi tidak stabil dengan ditunjukkan hasil grafik
yang divergen dalam arti grafik tidak menuju suatu titik yaitu
titik kesetimbangan, maka tidak memenuhi kestabilan secara
numerik. Oleh karena itu nilai ℎ sangat berpengaruh terhadap
kestabilan numerik, sehingga skema numerik Runge-Kutta
Orde 4 (RK4) memenuhi sifat stabilitas model SIRC ketika
ukuran langkah waktu (ℎ) kecil.
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
El-Shahed, M. dan Eid, A. (2011).”The Fractional SIRC Model and
Influenza A”.Mathematical Problems in Engineering Vol 2011.
Hal 1-9
Casagrandi ,R. , Bolzoni, L. ,Levin, S.A dan Andreasen, V.
(2006).“The SIRC Model and Influenza A”. Mathematical with
Applications Vol 20. Hal 152-169.
Chinviriyasit, W. (2007).”Numerical Modelling of the
Transmission Dynamics of Influenza”. Optimization and System
Biology. Hal 52-59.
Lambret, J.D. (1991).”Numerical Methods for Ordinary Differential
Systems: The Initial Value Problem”. England : Wiley, Chichester.
Chinviriyasit, S dan Chinviriyasit, W. (2009). “Mathematical Study
of an Influenza Model with Seasonal Forcing in Transmission
Rate”. Mathematical Theory, Modeling and Computing Vol 3.
Hal 12-17.
Jodar L., Villanueva, R.J., Arenas, A.J., Gonzales, G.C. (2008).
“Nonstandard Numerical Methods for a Mathematical Model for
Influenza Disease”. Mathematics and Computers in Simulation
Vol 79. Hal 622-633.
Finizio N. dan Landas G. (1998). “Ordinary Differential Equation
With Modern Application”. California :Wasdsworth Publishing
Company.
Linda J.S. Allen. (2007). “An Introduction to: Mathematical
Biology”. United States: Prentice Hall.
Rahmalia, D. (2010).
Pemodelan Matematika dan Analisis
Stabilitas dari Penyebaran Penyakit Flu Burung. Tugas Akhir S1
Jurusan Matematika ITS Surabaya.
Rosydah, B.M. (2008). “Analisis Stabilitas dan Penyelesaian
Numerik Pada Model Sistem Brusselator Berpasangan”. Institut
Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Tugas Akhir S2 Jurusan
Matematika.