pemodelan sirps untuk penyakit influenza dengan
advertisement
PEMODELAN SIRPS UNTUK PENYAKIT INFLUENZA DENGAN VAKSINASI PADA POPULASI KONSTAN KELOMPOK 9: HASANATUL IFTITAH (1301423) NONI ARYANTI (1301399) ZARA ANISYA FAHMI (1301405) MASALAH ALASAN LATAR BELAKANG ALAT PENYELESAIAN SEBAB AKIBAT RUMUSAN MASALAH Bagaimana model matematika SIRPS pada penyakit influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan? Bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan analisis kestabilan penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan? Bagaimana simulasi model dan interpretasi perilaku model pada penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi menggunakan program Maple? Bagaimana menentukan proporsi vaksinasi minimum? BATASAN MASALAH Pada makalah ini, permasalahan dibatasi dengan laju kelahiran yang terjadi pada populasi diasumsikan sama dengan laju kematian, artinya jumlah populasi yang dipakai konstan. Analisis kestabilan terhadap endemik dilakukan saat π = 0 artinya diasumsikan masa wabah lebih pendek dari masa kehilangan kekebalan. Dan program software yang digunakan adalah Maple 17. TUJUAN 1 Menentukan model matematika SIRPS pada penyakit influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan. 2 Mengetahui titik kesetimbangan dan analisis kestabilan penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan. 3 Mengetahui simulasi model dan interpretasi perilaku model pada penyebaran penyakit influenza dengan vaksinasi menggunakan program Maple 17. 4 Mengetahui proporsi penyakit influenza. vaksinasi minimum MANFAAT 1. Bagi Penulis. Penulis dapat mengetahui pemodelan matematika SIRPS penyakit influenza dengan vaksinasi pada populasi konstan. 2. Bagi pihak lain. Dengan adanya makalah ini diharapkan dapat memberikan sumbangsih kepada mahasiswa untuk melakukan penelitian selanjutnya. LANDASAN TEORI Influenza Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear Penularan dan Gejala Influenza Solusi Persamaan Diferensial Pemodelan Matematika Titik Kesetimbangan Pendekatan pada Pemodelan Matematika Nilai Eigen dan Vektor Eigen Tahapan Pemodelan Kestabilan Titik Tetap Persamaan Diferensial Kriteria Routh-Hurwitz Mapel HASIL DAN PEMBAHASAN FAKTA PENYAKIT INFLUENZA Virus yang menyebabkan epidemi flu dapat dibedakan dalam tiga tipe berbeda yaitu tipe A, B, dan C. Vaksinasi memberikan konstribusi besar dalam penurunan jumlah pasien flu. Terjadi penurunan pasien flu pada orang dewasa setelah dilakukan vaksinasi. vaksinasi mempunyai potensi yang lebih tinggi dalam mengurangi jumlah penderita flu dibandingkan dengan penggunaan antibiotik. vaksinasi direkomendasikan sebagai salah satu strategi untuk mencegah wabah influenza pada orang usia lanjut dalam jangka waktu yang panjang. vaksinasi pada orang usia produktif (< 65 tahun) dapat mengurangi tingkat penularan influenza (jumlah penderita flu). Pada orang tua, vaksinasi terhadap influenza dikaitkan dengan penurunan risiko rawat inap untuk penyakit jantung, penyakit serebrovaskular, dan pneumonia atau influenza serta resiko kematian dari semua penyebab selama musim influenza. ASUMSI DALAM PENYEBARAN PENYAKIT INFLUENZA Individu yang terinfeksi penyakit Influenza dapat disembuhkan. Penyakit menular melalui kontak langsung antara individu rentan dengan penderita. Individu yang rentan diberikan vaksinasi dengan ukuran vaksinasi tertentu sehingga dapat menyebabkan individu yang diberikan vaksin kebal terhadap penyakit. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar Tidak ada masa inkubasi apabila terjadi proses penularan. Penyaki tidak fatal ( tidak terjadi kematian karena infeksi). Setiap individu yang belum terserang penyakit masuk ke subpopulasi susceptibles (rentan terserang). Individu yang sudah sembuh dapat menjadi rentan kembali terserang virus yang baru. ASUMSI TERHADAP VAKSIN Pemberian vaksin diasumsikan tidak terkendala oleh faktor biaya. Kekuatan vaksinasi 100%, berarti setiap individu yang mendapat vaksin akan kebal dari penyakit Influenza. Kekebalan yang terjadi karena vaksin bersifat permanen. Hal tersebut berarti individu yang mendapat vaksin tidak dapat terinfeksi oleh penyakit yang sama sampai waktu tertentu. Terdapat virus baru yang kebal terhadap vaksin VARIABEL PARAMETER SKEMA MODEL MODEL SIRPS TITIK KESETIMBANGAN ANGKA RASIO REPRODUKSI DASAR Teorema 3.1 Dipunyai π 0 = ππ½π π+π π+1−π Dari sistem persamaan (3.7). Berdasarkan nilai π 0 tersebut diperoleh: 1. Jika π 0 <1 maka sistem persamaan (3.7) hanya mempunyai 1 titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit. 2. Jika π 0 >1 maka sistem persamaan (3.7) mempunyai 2 titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan Endemik. ANALISIS KESTABILAN SIMULASI MODEL Pada kondisi setimbang tersebut, penyakit akan selalu ada sampai waktu tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit tersebut bersifat endemik. Maka kondisi setimbang tersebut dicapai saat πΈπ = π∗ , π∗ , π∗ , π∗ = (0.175,0.634, 0.126,0.063). Titik πΈπ tersebut merupakan titik kesetimbangan endemik karena nilai π∗ ≠ π. Selanjutnya, akan ditentukan kestabilan dari titik kesetimbangan endemik πΈπ . Besarnya rasio reproduksi dasar pada saat π − π= 0 adalah πΉπ =5.714. Nilai πΉπ > π mengakibatkan keempat nilai eigen matriks Jacobian pada model ini berupa bilangan real negatif. Oleh karena itu, titik kesetimbangan endemik πΈπ bersifat stabil asimtotik. Agar penyebaran penyakit dapat dicegah dengan sukses, maka tingkat vaksinasi yang dilakukan harus cukup lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum. Oleh karena itu, selanjutnya dilakukan simulasi untuk 1 − π > 0.3 Berdasarkan Gambar 3.4 untuk 1 − π > 0.3, π(π‘) → 0 artinya penyakit akan menghilang dari populasi dalam waktu tertentu. Semakin tinggi tingkat vaksinasi, penyakit akan menghilang dari populasi dalam waktu yang semakin cepat. Titik kesetimbangan yang dicapai adalah π0 = π , π, π, π = (0.25, 0, 0.50, 0.25) Titik kesetimbangan yang dimaksud adalah titik kesetimbangan bebas penyakit karena proporsi individu infectious (i) bernilai nol. Besarnya rasio reproduksi dasar adalah π 0 = 0.685. Titik kesetimbangan bebas penyakit π0 tersebut bersifat stabil asimtotik karena π 0 < 1. Pada tabel 3.6 nilai 1 − π akan diubah-ubah untuk mendapatkan kapan saat π 0 berubah dari < 1 sampai dengan > 1 artinya akan ditentukan nilai minimum dari 1 − π sehigga penyakit akan hilang. Dari table 3.6 sampai dengan 3.8 terlihat bahwa nilai 1 − π minimum untuk menanggulangi penyakit influenza apabila diberikan nilai-nilai parameter lain dengan π½ yang diberikan antara 0.8 sampai 1 adalah 0.36 artinya minimal harus ada 36% yang divaksinasi dari seluruh individu yang rentan agar penyakit tidak meluas.
