Matriks random

Pertemuan 6 & 7
• VEKTOR & MATRIKS RANDOM
• PARTISI MATRIKS RANDOM
• FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
VEKTOR RANDOM DAN MATRIKS RANDOM
Vektor random adalah sebuah vektor yang komponen-komponennya
merupakan variabel random
Matriks random adalah matriks yang elemen-elemennya merupakan
variabel random
Vektor random X
berukuran p x 1
Matriks random X
berukuran n x p
NILAI HARAPAN (EXPECTED VALUE)
Nilai harapan (expected value) dari sebuah vektor atau matriks random
adalah sebuah vektor atau matriks yang memuat nilai harapan dari
setiap elemen/entrinya
Ilustrasi 1
Misalkan
.
adalah matriks random berukuran
Maka nilai harapan (expected value) dari
dimana setiap elemen dari matriks
, dinotasikan
didefinisikan sebagai
Sifat-sifat Ekspektasi
Misal X dan Y adalah variabel random berdimensi sama , serta
A dan B matriks konstan, maka berlaku
a)
b)
c)
Ilustrasi 2 (Menghitung nilai ekspektasi dari variabel random diskret)
Misalkan
.
dan
, serta vektor random
Misalkan pula variabel random diskret
dan
msing-msding
mempunyai fungsi probabilitas sebagai berikut
maka
Jadi
-1
0
1
0.3
0.3
0.4
0
1
0.8
0.2
.
Vektor mean dan Matriks Covarians
Misalkan
adalah vektor random, maka
Dengan menggunakan ekspektasi, diperoleh
Vektor mean
Matriks Covarians
Koefisien korelasi populasi antara variabel Xi dan Xk diberikan oleh
Matriks korelasi populasi merupan matriks simetri berukuran (pxp)
Matriks Standar Deviasi
Hubungan
Jadi
dapat diperoleh melalui
diperoleh dari
Kebalikannya tidak berlaku
dan
,
sedangkan
dapat
Ilustrasi 3
Dari soal ilustrasi 2, akan dihitung matriks covarians untuk dua variabel
random X1 dan X2, dengan joint probability function
sbb
x2
x1
-1
0
1
p2(x2)
0
1
p1(x1)
0.24
0.16
0.40
0.06
0.14
0.00
0.3
0.3
0.4
0.8
0.2
1
Dari soal sebelumnya telah dihitung
dan
maka
Akibatnya, untuk vektor random
Vektor mean
Matriks Covarians
, maka
Ilustrasi 4
Diberikan
Maka matriks standar deviasi
dan
Matriks koefisien korelasi
Rangkuman
Populasi
Vektor mean
Matriks Covarians
Matriks Korelasi
Matriks Standar
Deviasi
Hubungan
Sampel
Matriks Partisi
Pandang
(X berdistribusi normal p variat)
Jika vektor X dipartisi menjadi dua bagian, yaitu
dimana vektor
berdimensi (q x 1) dan vektor
yang dapat digambarkan sebagai berikut
berdimensi (p-q) x1
Maka vektor mean juga terbagi dua yaitu
Dan matriks Covariannya terpartisi menjadi empat bagian
,
Maka
berdistribusi normal q variat dengan mean
matriks covarians
dan dinotasikan
berdistribusi normal (p-q) variat dengan mean
matriks covarians
dan dinotasikan
: matriks covarians antara
dan
dan
dan
Sifat-Sifat
1
2
Jika
dan
Jika
berdistribusi
maka
dan
independen, maka
Independen jika
Teorema (Sifat-Sifat)
i
ii
iii
iv
v
Jika
dan
independen maka
Ilustrasi 1
Diketahui
,
Carilah distribusi dari
Solusi
Tuliskan
Jadi
, maka
dan
Secara keseluruhan:
,
atau
,
i
ii
Penjelasan
Maka vektor meannya adalah
dan matriks varians-Covarians adalah
Ilustrasi
,
(The distribution of two linier combinations of the componen of a
normal random vektor )
Solusi
a
Maka menurut teorema bahwa
dengan vektor mean
dan matriks varian covarians
b
TUGAS PR (lihat Revisi Modul 3)
dengan
Var. random
dan
Jelaskan apakah variabel-variabel random berikut independen ?
dan
e.
dan
b.
dan
f.
dan
c
dan
a.
d.
dan
g.
dan
h.
dan
maka
i
ii
iii
iv
,
Fungsi Pembangkit Momen (mgf) Multivariat
Misal
maka mgf :
Teorema
Jika VR
maka mgf adalah
Ilustrasi
,
Tentukan distribusi
,
,
jika
dan
dengan
Solusi
Karena X dan Y independen, maka
, X dan Y independen,