trigonometri - Kamasian Unswagati

TRIGONOMETRI
Andini tresnaningsih
Untuk XI IPA
sylvia nopiani risa p.
+CD
Interaktif
Judul Buku : Trigonometri
Penyusun : Andini Tresnaningsih dan Sylvia Nopiani Risa Prihatini
Koordinator/
Editor : Andini Tresnaningsih dan Sylvia Nopiani
Penilai : Dede Trie Kurniawan, S.Si, M.Pd.
Hak Cipta@
Pada Penerbit AS – Universitas Swadaya Gunung Jati
Cirebon – Indonesia
Dilarang mengutip, menjiplak atau memfotokopi sebagian ataupun seluruh buku
ini dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari penulis dan penerbit.
Kutipan
UNDANG – UNDANG HAK CIPTA TAHUN 1987
Pasal 72
1. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau
memperbanyak suatu ciptaan atau memberikan izin untuk itu, dipidana
dengan pidana penjara paling singkat 1 bulan dan/atau denda paling sedikit
Rp. 1.000.000,00, atau pidana penjara paling lama 7 tahun dan/atau denda
paling banyak Rp. 5.000.000.000,00
2. Barang siapa dengan sengaja menyerahkan, menyiarkan, memamerkan,
mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil
pelanggaran hak cipta atau hak terkait sebagaimana dimaksud pada ayat (1),
dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 tahun dan/atau denda paling
banyak Rp. 500.000.000,00
ii
Dalam paradigma modern, matematika tidak hanya sekedar
aritmatika atau berhitung. Akan tetapi lebih menitikberatkan pada
proses penalaran, artinya dengan belajar matematika peserta didik
dapat berfikir kreatif serta sistematis bukan untuk berhitung cepat
di dalam kepala.
Penulisan dalam buku ini dimulai dengan beberapa ulasan
pada materi Trigonometri terdahulu. Lalu dilanjutkan dengan
bagaimana cara dari suatu pendapatan rumus-rumus Trigonometri.
Buku ini terdiri dari 5 pembahasan, yaitu rumus trigonometri
untuk jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudut
ganda, rumus perkalian, rumus penjumlahan dan pengurangan
pada trigonometri, serta aplikasi trigonometri dalam kehidupan
sehari-hari. Lalu ada pula contoh-contoh soal pada setiap
pembahasan agar peserta didik lebih mudah untuk memahami
materi yang disediakan. Pada akhir bab, kami memberikan soalsoal untuk melatih sejauh mana peserta didik telah mempelajari
bab Trigonometri ini.
Akhirnya penulis mengucapkan terimakasih pada pihakpihak yang telah sukarela membantu dalam pembuatan buku
Trigonometri ini. Terimakasih untuk segala bantuan dan
sumbangan sarannya sehingga buku ini dapat terselesaikan. Saran
dan kritik dari pembaca selalu kami tunggu untuk perbaikan
kualitas buku ini.
Penyusun
iii
Prakata dari Penyusun ..............................................................................................
iii
Daftar Isi ..................................................................................................................
iv
Motivasi untuk Siswa ...............................................................................................
vi
TRIGONOMETRI....................................................................................................
1
Pengantar dan Ulasan ...............................................................................................
2
A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Sudut .........................................
3
1. Rumus Penjumlahan Cosinus............................................................................
3
2. Rumus Pengurangan Cosinus............................................................................
4
3. Rumus Penjumlahan Sinus ...............................................................................
4
4. Rumus Pengurangan Sinus ...............................................................................
5
5. Rumus Penjumlahan Tangen ............................................................................
5
6. Rumus Pengurangan Tangen ............................................................................
6
Contoh Soal ..........................................................................................................
7
B. Rumus Trigonometri Sudut Ganda .......................................................................
8
1. Rumus Sudut Ganda untuk Sinus ......................................................................
8
2. Rumus Sudut Ganda untuk Cosinus ..................................................................
8
3. Rumus Sudut Ganda untuk Tangen ...................................................................
9
4. Rumus Sudut Ganda untuk Sin
, cos
dan tan
......................................
10
Contoh Soal ..........................................................................................................
11
C. Rumus Perkalian Trigonometri ............................................................................
11
1. Perkalian Cosinus dan Cosinus .........................................................................
11
2. Perkalian Sinus dan Sinus .................................................................................
12
iv
3. Perkalian Cosinus dan Sinus .............................................................................
12
Contoh Soal ..........................................................................................................
13
D. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Trigonometri...........................................
14
1. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus ................................................
14
2. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus....................................................
15
3. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangen.................................................
15
Contoh Soal ..........................................................................................................
16
E. Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-Hari ................................................................
17
UJI LATIH PEMAHAMAN ....................................................................................
19
DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................................
23
Deskripsi Petunjuk Penggunaan CD Interaktif ..........................................................
24
Biodata Penulis .........................................................................................................
25
v
vi
TRIGONOMETRI
1
PENGANTAR
Konsep trigonometri banyak diterapkan dalam bidang navigasi dan astronomi.
Yang secara umum masalah utamanya adalah menentukan jarak yang sulit dicapai
seperti jarak antara bumi dan bulan atau jarak yang tidak dapat diukur secara
langsung seperti lebr sebuah danau, tinggi sebuah bukit atau gedung. Penerapan
lainnya ditemukan dalam fisika, kimia, dan hampir semua cabang teknik.
Di kelas X kita telah mempelajari beberapa rumus perbandingan trigonometri,
aturan sinus dan kosinus, persamaan dan fungsi trigonometri, serta identitas
trigonometri. Rumus-rumus tersebut sangat membantu kita dalam mempelajari
materi yang akan dibahas pada bab ini.
ULASAN
 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
sin  
sisi di hadapan sudut 
BC

hipotenusa
AC
sisi di dekat sudut 
AB

hipotenusa
AC
sisi di hadapan sudut  BC
tan  

sisi di dekat sudut 
AB
cos  
 ATURAN SINUS
 ATURAN KOSINUS
2
A. RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK JUMLAH DAN
SELISIH DUA SUDUT
1. Rumus Untuk
Amati
gambar
di
samping
ini,
menunjukkan lingkaran yang berpusat di O
dan berjari-jari r. Amati lagi gambar
tersebut dengan saksama. Dari gambar
tersebut, diperoleh OC = OB = OD = OA = r
dan koordinat titik A, titik B, titik C, dan
titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, r sin α), C(r
cos(α + β), r sin(α + β)), dan D(r cos β, –r sin β).
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,diperoleh
sehingga Anda dapat menentukan ( AC)2 dan (DB)2, yaitu
a. (AC) 2 = [r cos (α + β) – r]2 + [r sin (α + β) – 0 ]2
= r2 cos2 (α + β) – 2r2 cos (α + β) + r2 + r2 sin2 (α + β)
= r2 [cos2 (α + β) + sin2 (α + β)] + r2 – 2r2cos (α + β)
= r2 · 1 + r2 – 2r2 cos (α + β)
= 2r2 – 2r2 cos (α + β)
Jadi, (AC) = 2r2 – 2r2 cos (α + β)
b. (DB) 2 = (r cos α – r cos β) 2 + (r sin α +
r sin β) 2
= r 2cos2 α – 2r2 cos α cos β + r2 cos2 β + r2sin2 α + 2 r2sin α sin β
+ r2 sin2 β
= r2 (cos2 α + sin2 α) + r2 (cos2 β + sin2 β ) – 2r2 cos α cos β + 2r2
sin α sin β
= r2 + r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
= 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
Jadi, (DB) 2 = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
3
ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC = DB.
Jadi, AC2 = DB2.
2r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
–2r2 cos (α + β) = –2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
Jadi Rumus Untuk Cos     , yaitu
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
2. Rumus Untuk Cos    
Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus cos (α + β),
yaitu
cos(α – β) = cos (α + (–β))
= cos α cos(–β) – sin α sin(–β)
= cos α cos β + sin α sin β
Jadi Rumus Untuk Cos     , yaitu
cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β
3. Rumus Untuk Sin
Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang sudut
komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (α + β) dengan
menggunakan
rumus
perbandingan
trigonometri
dua
sudut
komplemen berikut :
4
Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut
komplemen, diperoleh :
sin (α + β) = cos [90° – (α + β)]
= cos [(90° – α) – β ]
= cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β
= sin α · cos β + cos α · sin β
Sehingga Rumus Untuk Sin    
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
4. Rumus Untuk Sin
Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β), yaitu
sin (α – β) = sin (α + (–β))
= sin α cos (–β) + cos α sin (–β)
= sin α · cos β – cos α · sin β
Jadi rumus selisih sinus dua sudut :
sin (α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β
5. Rumus untuk tan
Anda telah mempelajari bahwa :
Kemudian anda telah mempelajari bahwa :
cos (α + β) = cos α . cos β – sin α . sin β
dan
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
5
Sekarang pelajari uraian berikut :
Jadi, rumus jumlah tangen dua sudut adalah:
6. Rumus untuk Tan
Rumus tan
diperoleh dari rumus tan
, sebagai berikut:
Jadi , rumus selisih tangen dua sudut adalah:
6
CONTOH SOAL !!!
1. Diketahui
dan
tentukan nilai
. jika sudut A dan B lancip,
!
Pembahasan : Karena A dan B lancip, maka:
2. Tentukan nilai sin 75o !
Pembahasan :
3. Tunjukkan bahwa
!
Pembahasan :
(terbukti)
7
4. Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul.
Hitunglah sin (A + B) dan sin (A – B)!
Pembahasan : cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)
sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
= 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13
= –36/65 – 20/65
= – 56/65
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
= 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13
= –36/65 + 20/65
sin (A – B) = – 16/65
B. RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT GANDA
1. Rumus untuk sin 2α
Anda telah mengetahui bahwa:
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
Untuk β = α, diperoleh:
sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α
sin 2 α = 2 sin α cos α
Jadi, rumus sudut ganda untuk sinus adalah:
sin 2 α = 2 sin α cos α
1. Rumus untuk cos 2α
Anda juga telah mempelajari bahwa:
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.
Untuk β = α, diperoleh:
8
cos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α
cos 2α = cos2α – sin2α
Jadi, rumus sudut ganda untuk kosinus adalah:
cos 2α = cos2α – sin2α
Untuk rumus cos 2α dapat juga ditulis:
cos 2α = cos 2α – sin 2α
cos 2α = (1 – sin2α) – sin2α
cos 2α = 1 – 2 sin2α
2. Rumus untuk tan 2α
Dari rumus:
Untuk β = α, diperoleh:
Jadi, rumus sudut ganda untuk tangen adalah:
9
3. Rumus sudut ganda untuk Sin
, cos
dan tan
Berdasarkan rumus cos 2α = 1 – 2 sin2α dan cos 2α = 2 cos2α – 1
maka dapat digunakan menentukan rumus sudut ganda untuk Sin
, cos
dan tan
Begitu pula untuk cos
:
Dengan cara yang sama didapat:
10
CONTOH SOAL !!!
1. Nyatakan sin 6x dalam sudut 3x!
Pembahasan :
2. Buktikan bahwa
!
Pembahasan :
(terbukti)
3. Hitung nilai
!
Pembahasan :
tidak negatif, maka:
C. RUMUS PERKALIAN TRIGONOMETRI
1. Perkalian Cosinus dan Cosinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus
sebagai berikut:
11
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A cos B
Jadi, rumus perkalian cosinus dan cosinus adalah:
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
2. Perkalian Sinus dan Sinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus
sebagai berikut:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B _
cos (A + B) – cos (A –B) = –2 sin A sin B
Jadi, rumus perkalian antara sinus dengan sinus adalah:
2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)
3. Perkalian Cosinus dan Sinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus
sebagai berikut.
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A cos B
sin (A + B) - sin (A – B) = 2 cos A sin B
12
Jadi, rumus perkalian antara cosinus dan sinus adalah:
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A – B)
CONTOH SOAL!!!
1. Nyatakan bentuk
ke jumlah atau selisih kosinus!
Pembahasan :
2. Hitung nilai dari
!
Pembahasan :
3. Berapakah nilai dari 2 Cos (45°+x) Cos (135°+x) ?
Pembahasan :
2 Cos (45°+x) Cos (135°+x) = Cos {(45°+x)+(135°+x)}+Cos {(45°+x)-(135°+x)}
= Cos (180°+2x) + Cos (-90°)
= Cos 180°+ Cos 2x + Cos 90°
= -1 + Cos 2x + 0
2 Cos (45°+x) Cos (135°+x) = - Cos 2x
13
D. RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
TRIGONOMETRI
1. Penjumlahan dan Pengurangan cosinus
Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan
penjumlahan dalam cosinus yaitu sebagai berikut.
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
Misalkan:
+
-
Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan.
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
Dari rumus 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B), dengan
memisalkan A + B = α dan A – B = β, terdapat rumus:
14
2. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
Dari rumus 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B), dengan memisalkan
A + B = α dan A – B = β, maka didapat rumus:
3. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangen
Jadi, rumus penjumlahan untuk tangen adalah:
Dengan cara yang sama didapat rumus:
15
CONTOH SOAL!!!
1. Buktikan bahwa:
Pembahasan :
(terbukti)
2. Cos 55° + Cos 25°=......
Pembahasan : Cos 55° + Cos 25° = 2 Cos ½ (55° + 25°) Cos ½ (55° - 25°)
= 2 Cos ½ (80°) Cos ½ (30°)
= 2 Cos 40° Cos 15°
= 2. 0,76 . 0,96
Cos 55° + Cos 25° = 1,48
16
E. APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
1.) Berikut trigonometri digunakan dalam navigasi untuk menemukan
jarak dari pantai ke suatu titik di laut.
2.) Trigonometri umumnya digunakan dalam mencari ketinggian menara
dan pegunungan.
3.) Trigonometri digunakan dalam oseanografi dalam menghitung
ketinggian gelombang air laut
17
4.) Digunakan untuk mengukur ketinggian suatu pohon
5.) Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik
seperti pada gelombang suara dan cahaya.
18
UJI LATIH PEMAHAMAN
A. Pilihlah jawaban yang benar!
1. cos 105⁰=........
a.
d.
b.
e.
c.
2. Diketahui tan A =
a.
b.
3. Fungsi sin
dan sin B = , A dan B sudut lancip. Nilai cos (A-B)=......
c.
d.
e.
dapat ditulis dalam bentuk
untuk setiap
harga , apabila....
a.
dan
d.
b.
dan
e.
c.
dan
dan
4. Bila
a.
dan
, maka
b. 1
c.
d.
=....
e.
5.
a.
b.
c.
d.
e.
19
6. Jika
dan
a.
c.
b.
d.
, maka
e.
7. Jika
dan
a.
d.
b.
e.
, maka
=.....
c.
8.
= , maka sin2x = ....
a.
c.
b.
d.
e.
9. Bila sin x ‒ cos x = ƿ, maka harga dari sin 2x = ....
a. 2ƿ2
d
‒ ƿ2
b ƿ2 + 1
e.
‒ ƿ2
ƿ2 ‒1
10. Jika tan x = t, maka tan 3x = ....
a.
b.
–
c.
e.
d.
20
⁰‒
3
⁰
e ‒
b.
12. Sin 22
d ‒
⁰=
....
a.
d.
b.
e.
‒
c.
13. A, B, dan C adalah sudut – sudut sebuah segitiga. Jika A – B = 30° dan sin C =
maka cos A sin B = ....
a.
c.
b.
d.
e. 1
14. sin2 А cos2 А = ....
a.
cos 4A
b.
d.
e.
c.
15.
= ....
a.
d.
b.
e.
c.
16.
= ....
21
a.
c.
b.
d.
17.
e.
= ....
a.
c.
b.
d.
Jk αd
β udu l
maka
e.
p
β
dan
β
,
= ....
a. 2 －
d. 1 －
b. 1 －
e.
－1
c. 3 － 2
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan tepat!
1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di C berlaku cos ( A + C ) = k. Tentukanlah
nilai sin A + cos B.
2. α β d
ϒ adalah sudut- udu ebu h eg g J k
tentukanlah nilai
3. J k α udu l
α
pd
4. Tentukanlah nilai dari
α
ϒ
β
ϒ.
α
e uk
l h
α
.
5. Tentukanlah nilai dari sin 10O sin 50o sin 70o.
22
Handayani, Elyas. (2012). Kupas Tuntas UN Matematika IPA SMA/MA.
Sindunata: Sukoharjo
Rokhman, Nur. (2012). Rumus-Rumus Trigonometri Jumlah dan Pengurangan.
[online]. Tersedia: http://matematika-lovers.blogspot.com/2012/10/rumusrumus-trigonometri-jumlah-dan.html. [12 Oktober 2013]
Rbaryan. (2013). Aplikasi Trigonometri dalam Kehidupan Nyata. [online].
Tersedia: http://rbaryans.wordpress.com/2013/01/29/aplikasitrigonometri-dalam-kehidupan-nyata/. [12 Oktober 2013]
Sembiring, Suwah dkk. (2008). Pelajaran Matematika untuk SMA/MA. Penerbit
Yrama Widya: Bandung
23
PETUNJUK PENGGUNAAN CD INTERAKTIF
Oke guys, materi sudah selesai kalian baca, contoh soal pun sudah
kami berikan. Sekarang kalian dapat menguji kemampuan dengan
menjawab soal-soal yang ada pada CD Interaktif. Adapun petunjuk
penggunaan CD Interaktif adalah sebagai berikut:
1. Masukkan CD Interaktif ke laptop atau komputer anda.
2. Nah ketika kalian menemukan column password, isilah column
tersebut dengan "AndinSylvi". Perhatikan besar kecilnya huruf ya,
kalau nanti passwordnya salah kalian tidak dapat melanjutkan Quis ini.
3. Setelah masuk ke Quis, klik Start.
4. Kalian harus menjawab semua pertanyaan terlebih dahulu. Untuk
melanjutkan ke pertanyaan selanjutnya, kalian klik Next. Kalau kalian
ragu pada jawaban pertanyaan sebelumnya, kalian klik Previous.
5. Setelah kalian selesai menjawab semua pertanyaan, klik Submit.
6. Kalian akan mendapatkan hasil apakah kalian sudah lulus atau belum.
7. Apabila kalian ingin melihat pembahasan, klik Review lalu Review
Feedback.
8. Waktu yang kami berikan adalah 90 menit untuk menjawab semua
soal. Dan passing score adalah 80.
Selamat Mencoba :)
24
Nama Lengkap
: Andini Tresnaningsih
Tempat, Tanggal Lahir : 21 September 1994
Jenis Kelamin
: Perempuan
Golongan Darah
: B
Alamat
: Jl. Kandang Perahu Gg. Delima No. 6 RT o4 Rw 11 Kel.
Karya Mulya Kec. Kesambi Kota Cirebon
Agama
: Islam
Riwayat Pendidikan :
1. TK Pelita Ibu Cirebon (1999-2000)
2. SD Negeri Karya Mulya 1 Cirebon (2000-2006)
3. SMP Negeri 5 Cirebon (2006-2009)
4. SMA Negeri 6 Cirebon (2009-2012)
5. Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon
(2012-sekarang)
Deskripsi Kerja Kelompok :
Saya bertugas mengerjakan segala hal yang
berurusan
dengan
pembuatan
Booklet
Trigonometri ini. Mulai dari mencari bahan untuk
mengisi Booklet, pengetikan isi Booklet, hingga
mengedit Booklet agar menarik perhatian dari
pembaca. Pengerjaan soal untuk pembahasan pada
Quis Maker saya kerjakan bersama-sama dengan
rekan saya, Sylvia Nopiani Risa Prihatini.
25
Nama Lengkap
: Sylvia Nopiani Risa Prihatini
Tempat, Tanggal Lahir : 19 April 1994
Jenis Kelamin
: Perempuan
Golongan Darah
: B
Alamat
: Jl. ByPass Komp. Korem 063/SGJ Cirebon
Agama
: Islam
Riwayat Pendidikan :
1. TK Kartika 30 Bandung (1999-2000)
2. SD Negeri Soka 34/1 Bandung (2000-2006)
3. SMP Negeri 7 Cirebon (2006-2009)
4. SMA Negeri 6 Cirebon (2009-2012)
5. Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon
(2012-sekarang)
Deskripsi Kerja Kelompok :
Saya bertugas mengerjakan segala hal
yang berurusan dengan pembuatan Quis Maker
Trigonometri ini. Mulai dari mencari bahan untuk
soal pada Quis Maker, pengetikan isi Quis Maker,
hingga mengedit Quis Maker agar menarik
perhatian dari pembaca. Pengerjaan soal untuk
pembahasan pada Quis Maker saya kerjakan
bersama-sama dengan rekan saya, Andini
Tresnaningsih.
26