fungsi trigonometri dalam geometri taksi

FUNGSI TRIGONOMETRI DALAM GEOMETRI TAKSI
Al Kausar dan Oki Neswan
Program Studi Magister Pengajaran Matematika FMIPA-ITB, Kelompok
Keahlian Matematika Geometri FMIPA - ITB
E-mail: [email protected], [email protected]
ABSTRAK : Geometri taksi (taxicab geometry) adalah salah satu geometri nonEuclid, dimana jarak antara dua titik
dan
bukan merupakan
panjang dari segmen garis ̅̅̅̅ seperti dalam geometri Euclid, tetapi jumlah dari nilai
mutlak selisih koordinat dari A dan B yaitu
.
Pada makalah ini kami membahas konsekuensi penggunaan konsep jarak tersebut
pada pengertian sudut, relasi trigonometri, fungsi trigonometri khususnya fungsi
sinus dan cosinus. Kami memberikan deskripsi rumus fungsi sinus dan cosinus
jumlah dan selisih dua sudut. Selanjutnya diberikan rumus jumlah dan selisih sinus
dan cosinus.
Kata Kunci : Jarak taksi, sudut, kuadran, lingkaran satuan, fungsi sinus dan
cosinus.
Geometri taksi (taxicab geometry)
pertama kali diperkenalkan oleh Herman
Minkowski (1864-1909) yang berkebangsaan Jerman. Geometri taksi pada dasarnya
menyiratkan tentang studi sebuah kota
yang ideal dengan semua jalan adalah
horizontal atau vertikal. Misalkan seorang
sopir taksi berangkat dari kota A ke kota
B, dimana semua jalan dapat digunakan
maka sopir taksi mulai dari A dapat
mengambil cara yang berbeda, yang
memiliki jarak yang sama untuk sampai
ketujuan B. Geometri taksi mendapat
perhatian kembali pada tahun 1975, ketika
Krause menerbitkan sebuah buku “Taxicab
Geometry”. Dalam bukunya, Krause
(1986) mendefinisikan jarak antara dua
titik
dan
adalah
|
| |
|. Akibat
dari
fungsi
jarak
tersebut,
sifat
kekongruenan SAS (sisi sudut sisi) tidak
berlaku.
Karena
keunikannya
itu,
penelitian tentang geometri taksi terus
dikembangkan. Akca dan Kaya (1997)
dan Thompson dan Dray (2011) telah
mengembangkan/menuliskan
masalah
trigonometri dalam geometri taksi.
Berdasarkan tulisan mereka, kami mencoba mengembangkan fungsi trigonometri
dalam geometri taksi khususnya fungsi
sinus dan cosinus sampai pada rumus
jumlah dan selisih sinus dan cosinus yang
tidak termuat dalam tulisan mereka.
1. Teori Dasar
2.1 Jarak antara Dua Titik
Jarak taksi antara titik
didefinisikan sebagai
dan
.
Adapun hubungan jarak antara dua titik di
geometri Euclid dan di geometri taksi,
Colakoglu dan Kaya (2008) memberikan
teorema dan pada makalah ini diberikan
bukti yang lebih detail.
Teorema 2.1
Misalkan diberikan 2 titik berbeda yaitu
dan
, maka
1.
, jika
906
907, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
√
2.
[a,b]
, jika
dengan m adalah gradien ruas
garis AB.
Bukti :
Misalkan
dan
maka
√
dan
dengan
dan
1. Jika
, maka
√
(√
)
√
⁄√
oleh
∫ √
Untuk menemukan formula dari panjang
kurva pada geometri taksi, digunakan
metode tradisional yakni membagi kurva
menjadi n bagian, (Thompson , 2011).
Pertama, pandang suatu partisi P dari
selang [a,b] menjadi n selang bagian (tidak
perlu panjangnya sama) memakai titik-titik
dan
andaikan
.
Selanjutnya, nilai-nilai fungsi f untuk titiktitik
berturut-turut
dimisalkan
seperti
pada gambar berikut :
maka
√
2. Jika
diberikan
⁄√
⁄√
⁄√
√
(
)
√
⁄
⁄
Pada tiap selang bagian
menurut
geometri taksi diperoleh panjang kurva
sebab √
bentuk terakhir
. Kemudian kalikan
dengan bentuk satu
lainnya, yaitu
untuk mem-
peroleh
√
⁄|
|
√
|
|
|
|
|
|
√
| |
2.2 Panjang Kurva
Pada geometri Euclid, panjang kurva dari
suatu fungsi f yang terdefinisi pada selang
.
Menurut teorema nilai rata-rata, terdapat
titik
diantara
dan
sedemikian
sehingga
.
Dengan demikian panjang kurva dari
ke
menjadi
(
)
sehingga diperoleh panjang kurva
adalah
∑
∑ (
)
.
Selanjutnya, tetapkan │P│ menyatakan
panjang selang bagian yang terpanjang dari
partisi P. Jika │P│semakin kecil atau
dapat ditulis │P│→ 0 maka panjang
kurva
menjadi
∑
(
)
.
Kausar dan Neswan, Fungsi Trigonometri, 908
Ruas kanan dari persamaan ini memenuhi
definisi dari integral tentu, sehingga
panjang kurva fungsi
pada interval
adalah
∫ (
)
Teorema 2.2 (Thompson, 2011) Jika
suatu fungsi monoton naik atau turun
dan terdeferensialkan pada titik-titik
dalam selang
, maka panjang kurva
pada interval
adalah
Bukti: Panjang kurva dari fungsi
interval
adalah
∫ (
Grafik dari lingkaran terdiri dari empat
ruas garis dengan persamaan :
pada
)
∫ (
)
Jika
monoton naik maka
sehingga diperoleh
,
Jika
monoton turun maka
sehingga diperoleh
,
Dari kedua kasus diperoleh
2.3 Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan semua titik
yang berjarak tetap terhadap titik tertentu
(pusat lingkaran). Lingkaran taksi dengan
pusat P dan jari-jari r dapat dituliskan
dalam bentuk
.
Jika
dan
maka
.
Khususnya, bila
maka
dapat digambarkan sebagai berikut :
Keliling lingkaran yang berjari-jari r dapat
ditentukan dengan menggunakan rumus
jarak taksi diantara dua titik, sebagai
berikut :
Dapat juga menghitung panjang
dengan menggunakan rumus dari panjang
kurva. Garis
dipandang sebagai fungsi
dengan persamaan
Sehingga panjang
adalah
∫ (
∫
)
|
|
∫
Diperoleh panjang
satuan.
Dengan demikian keliling lingkaran taksi
yang berjari-jari
satuan adalah
satuan.
Lingkaran yang berjari-jari 1 satuan
dengan pusat O(0,0) akan dinamakan
sebagai lingkaran satuan.
909, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Ada yang menarik/aneh dari panjang kurva
yang diberikan oleh Thompson (2011).
Sebagai contoh, lingkaran taksi
dan
lingkaran Euclid yang berjari-jari satuan
memiliki keliling yang sama.
Telah diketahui bahwa lingkaran taksi
berjari-jari pada kuadran I adalah kurva
atau garis dengan persamaan
Bukti : Dengan menggunakan lingkaran
satuan, misalkan α adalah sebuah sudut
Euclid pada posisi standar di kuadran I,
diperoleh garis dari titik pusat sehingga
berpotongan dengan lingkaran yaitu garis
terminal dengan persamaan
seperti pada gambar berikut :
Maka panjang kurva adalah
∫ (
)
|
∫
|
Adapun hubungan sudut taksi dan sudut
Euclid, Thompson dan Dray (2011)
memberikan teorema berikut :
Teorema 2.3 Misalkan α adalah sebuah
sudut Euclid pada posisi standar di
kuadran I dan t adalah sudut taksi, maka
∫
Sedangkan pada lingkaran Euclid yang
berjari-jari
, diketahui bahwa pada
kuadran I memiliki kurva dengan
√
persamaan
sehingga panjang kurva adalah
∫ (
)
∫ (
(
)
√
)
Diperoleh bahwa kurva dengan persamaan
dan
√
memiliki panjang
yang sama. Akibatnya, lingkaran taksi dan
lingkaran Euclid yang berjari-jari satuan
memiliki keliling yang sama yaitu
satuan.
2.4 Sudut
Sebuah sudut pada pusat lingkaran satuan
yang dibentuk oleh penyadapan busur
lingkaran sepanjang
satuan memiliki
besar sudut -radian. Thompson dan Dray
(2011) menyatakan bila sudut Euclid ,
dan π dalam posisi standar, di geometri
taksi sekarang memiliki ukuran masingmasing 1, 2, dan 4.
Misalkan t adalah sudut taksi, diperoleh
(
)
Dengan proses yang sama seperti pada
pembuktian Teorema 2.3 diperoleh
hubungan dan untuk di kuadaran II,
III atau IV yakni :
Kausar dan Neswan, Fungsi Trigonometri, 910
sama dengan
dipahami bahwa
. Dengan mudah dapat
Selanjutnya, misalkan diketahui sudut
seperti pada gambar berikut :
{
atau
|
|
| |
| |
|
|
|
|
| |
| |
|
|
{
Maka
dinamakan sebagai sudut dengan
referensi , dengan
adalah sudut pada
posisi standar. Pada pembahasan selanjutnya, sudut yang akan dibahas adalah
sudut dengan referensi
.
3. Fungsi Trigonometri
Misalkan
adalah suatu pemetaan dari
| |
ke lingkaran taksi
| |
seperti gambar berikut :
Pada pemetaan di atas merupakan fungsi
1-1 dan pada, selanjutnya dikatakan
sebagai fungsi trigonometri (Akca dan
Kaya, 1997).
3.1 Fungsi Sinus dan Cosinus pada
Bidang Geometri Taksi
Misalkan
sebuah sudut pada posisi
standar dan sebuah titik di luar lingkaran
| | | |
dengan
̅̅̅̅
, maka didefinisikan perbandingan (rasio) trigonometri
dan
.
Untuk tiap
adalah titik
| |
pada lingkaran taksi
| |
sehingga total panjang kurva dari
ke dalam arah berlawanan jarum jam
911, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Diperoleh empat sistem persamaan yaitu
1.
dan
2.
dan
3.
dan
4.
dan
Pada
sistem
mengeliminasi
(
persamaan
1,
maka diperoleh
) dan jika mengeliminasi
diperoleh
jika
maka
( ). Dengan cara yang
serupa untuk sistem persamaan 2, 3 dan 4.
Selanjutnya, semua solusi dari keempat
sistem persamaan di atas disubstitusi pada
perbandingan trigonometri
dan
diperoleh nilai fungsi sinus dan
Asumsikan titik bayangan
merupakan
pencerminan dari
terhadap sumbu .
Akibatnya, bila
) maka
Sehingga
dan
Selanjutnya, dengan menggunakan aturan
sudut negatif dan nilai fungsi trigonometri
diperoleh relasi trigonometri. Thompson
dan Dray (2011) menuliskan relasi trigonometri seperti pada tabel berikut :
Tabel 1: Relasi Trigonometri
cosinus sebagai berikut :
{
dan
{
Untuk sudut negatif, pandang jari-jari
pada lingkaran satuan berputar searah
jarum jam maka sudut yang terbentuk
adalah negatif, seperti pada gambar berikut
:
Fungsi sinus dan cosinus merupakan
fungsi periodik dengan perioda 8 sehingga
dapat dituliskan
dan
, untuk setiap
bilangan bulat. Sehingga grafiknya
Kausar dan Neswan, Fungsi Trigonometri, 912
berulang setiap satu putaran, yaitu setiap 8
radian. dapat dilihat pada gambar berikut :
(
)
(
)
{
3.2 Fungsi Cosinus Jumlah Dua Sudut
Misalkan ada dua sudut dan maka akan
ada 10 situasi, salah satunya di kuadran
II dan di kuadran I yang dapat dinotasikan
dan
. Karena kekongruenan SAS (sisi sudut sisi) tidak berlaku,
maka untuk membuktikan rumus fungsi
cosinus jumlah dua sudut digunakan
situasi-situasi dari dan , dimana dan
sudut dengan referensi 0. Thompson dan
Dray (2011) memberikan teorema berikut
:
Teorema 3.1
(
), dimana akan dipenuhi untuk
tanda positif ketika t dan s berada pada
sisi yang berbeda dari sumbu X dengan
sumbu Y yang sama atau t dan s pada
kuadran yang sama, jika tidak maka
memenuhi tanda negatif.
Bukti : Tanpa mengurangi keumuman,
asumsikan
karena jika sebuah
sudut terletak di luar
maka terdapat
sehingga
dan
dapat digunakan relasi
.
Untuk tanda positif
,
berarti ada 6 kasus yaitu
dan
;
;
;
.
Kasus : t
II, s
I berarti
, sehingga
;
;
dan
Cara yang serupa untuk kasus yang lain.
Untuk tanda negatif
,
berarti ada 4 kasus yaitu
dan
;
dan
dan
.
Kasus : t
dan
;
;
III, s I berarti
, sehingga
(
)
(
)
Cara yang serupa untuk kasus yang lain.
Sehingga untuk semua kasus dapat
dideskripsikan rumus fungsi cosinus
jumlah dua sudut secara lengkap melalui
tabel berikut :
Tabel 2: Rumus
t
I
II
IV
s
I
I
III
IV
IV
II
II
III
I
II
III
IV
III
t+s
913, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
t
III
III
IV
III
s
I
II
I
II
IV
I
IV
II
Tabel 3: Rumus dari
t+s
t
II
II
III
IV
Sebagai akibat dari Teorema
diperoleh aturan untuk sudut ganda.
3.1
Akibat 3.2
s
I
II
I
IV
II
III
III
II
I
II
IV
III
IV
IV
I
III
I
III
IV
I
IV
II
I
III
I
III
IV
II
t+s
Bukti :
3.3 Fungsi Sinus Jumlah Dua Sudut
Berdasarkan Teorema 3.1 serta relasi
dapat diturunkan
rumus fungsi sinus jumlah dua sudut
sebagai berikut :
(
(
)
(
)
(
(
Akibat 3.3
)
)
)
3.4 Fungsi Cosinus Selisih Dua Sudut
Selanjutnya
dengan
menggunakan
informasi dari tabel 2 dan relasi
, diperoleh deskripsi rumus
fungsi sinus jumlah dua sudut untuk
semua kondisi dari t dan s sebagai berikut:
Berdasarkan
Teorema
3.1
dapat
diturunkan rumus fungsi cosinus selisih
dua sudut sebagai berikut :
(
karena
),
maka
(
)
Adapun rumus
, untuk semua
kondisi dari t dan s dideskripsikan pada
tabel berikut :
Kausar dan Neswan, Fungsi Trigonometri, 914
Tabel 4: Rumus
t
I
s
I
II
II
II
I
III
III
IV
IV
IV
III
III
I
IV
I
IV
II
III
I
III
II
IV
II
(
)
Adapun rumus
kondisi dari dan
tabel berikut :
, untuk semua
dideskripsikan pada
Tabel 5: Rumus
t
s
I
IV
I
I
III
IV
IV
III
I
II
(
)
II
I
III I
III II
IV III
IV IV
Dapat dilihat bahwa rumus dari
memiliki bentuk yang sama dengan
rumus
,
namun pada
penggunaannya perlu diperhatikan kuadran
letak sudut sebab akan berbeda untuk
setiap kondisi dan .
3.5 Fungsi Sinus Selisih Dua Sudut
Berdasarkan rumus fungsi cosinus selisih
dua sudut dan relasi
, dapat diturunkan
rumus fungsi sinus selisih dua sudut
sebagai berikut :
II
II
III
IV
I
II
II
III
3.6 Jumlah dan Selisih Cosinus
(
karena
)
maka
(
).
Rumus jumlah dan selisih cosinus,
ditentukan
dengan
menggunakan
informasi dari tabel 2 dan tabel 4.
Misalkan :
dan
, jika
keduanya dijumlahkan maka diperoleh
915, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
dan jika
diperoleh
dikurangkan maka
{
.
Dalam hal ini, perlu diselidiki semua
kemungkinan dari kondisi t dan s yang
memenuhi
dan
yaitu yaitu
;
dan
;
;
dan
;
dan
;
dan
.
Untuk kasus
, diperoleh
tanda positif berlaku jika
dan
pada
kuadran yang sama, atau
dan berada
pada sisi yang berbeda dari sumbudengan sumbuyang sama. Untuk
kondisi yang lain memenuhi tanda negatif.
Sedangkan rumus selisih
cosinus
dideskripsikan pada tabel berikut :
;
dan
Tabel 7 : Rumus
;
Jika kedua
diperoleh
persamaan
dijumlahkan
⟺
Jika kedua
diperoleh
persamaan
dikurangkan
⟺
Dengan cara yang serupa untuk kasus yang
lain sehingga untuk semua kondisi
dan
, rumus jumlah
cosinus dapat
dideskripsikan pada tabel berikut :
I
II
II
I
I
II
III
III
IV
I
II
I
III
IV
IV
II
I
II
III
IV
IV
III
III
IV
Tabel 6 : Rumus
a
B
I
I
II
I
II
II
III
III
IV
III
IV
IV
III
I
III
II
IV
I
IV
II
Sehingga untuk semua kondisi a dan b,
rumus dari
dapat ditulis
Dari tabel 7 di atas, tampak 2 hasil yang
berbeda pada saat
dan pada
saat
tergantung dari kuadran
letak
.
Pada kondisi
, baik pada saat
maupun pada saat
, diperoleh
.
Sedangkan pada kondisi
baik pada saat
pada saat
,
maupun
, diperoleh
.
Kausar dan Neswan, Fungsi Trigonometri, 916
Sehingga untuk semua kondisi
dan
rumus dari
dapat ditulis
,
2.
Rumus selisih sinus
(
), masing-masing untuk tanda yang
sama.
{
3.7 Jumlah dan Selisih Sinus
Dengan cara yang serupa seperti pada
penyelidikan rumus jumlah dan selisih
cosinus, menggunakan informasi dari tabel
3 dan tabel 5 diperoleh :
Untuk semua kondisi dari a dan b
dideskripsikan melalui tabel berikut :
Tabel 9 : Rumus
a
B
I
IV
I
IV
II
I
Untuk semua kondisi dari a dan b
dideskripsikan melalui tabel berikut :
II
III
III
II
II
III
Tabel 8 : Rumus
II
III
I
I
IV
I
IV
IV
II
III
IV
III
1.
Rumus jumlah sinus
{
a
I
II
III
III
IV
B
I
II
II
III
IV
II
III
I
I
IV
I
IV
IV
II
III
Dari tabel 9 di atas, tampak 2 hasil yang
berbeda pada saat
dan pada
saat
sama halnya seperti
pada tabel 7 tergantung dari kuadran letak
.
kondisi
Untuk
,
pada
diperoleh
, tetapi pada
kondisi
diperoleh
.
917, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Sedangkan untuk
kondisi
, pada
4. Kesimpulan
diperoleh
,
tetapi pada kondisi
diperoleh
.
Fungsi sinus dan cosinus merupakan
fungsi periodik dengan perioda 8 sehingga
dapat dituliskan
dan
, untuk setiap
bilangan bulat.
Selanjutnya dalam penggunaan rumus
fungsi sinus dan cosinus jumlah dan selisih
dua sudut, serta rumus jumlah dan selisih
sinus dan cosinus perlu diperhatikan
kuadran letak sudut.
DAFTAR RUJUKAN
Akca, Z. dan Kaya, R. 1997. On The
Taxicab Trigonometry. Jour. of
Inst. of Math. & Comp. Sci. [Math.
Ser.] Vol. 10, No. 3 (1997) 151159.
Colakoglu, H. B. dan Kaya, R. 2008.
Taxicab Versions of the Pythagorean Theorem. ΠME. Journal.
Vol. 12. No. 9, pp 535 – 539.
Krause, F. E. 1986. Taxicab Geometry.
Dover Publications, Inc., New
York.
Thompson, K. 2011. The Nature of
Length, Area, and Volume in
Taxicab Geometry. arXiv:1101.
2922v1 [math.MG] 14 Jan 2011.
Thompson, K. dan Dray, T. 2011. Taxicab
Angles and Trigonometry. arXiv:
1101.2917v1 [math.MG] 14 Jan
2011.