plagiat merupakan tindakan tidak terpuji

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL DAN ELASTIK
TESIS
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Magister Pendidikan
Program Studi Magister Pendidikan Matematika
Oleh :
Paskalia Siwi Setianingrum
NIM: 151442011
PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL DAN ELASTIK
TESIS
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Magister Pendidikan
Program Studi Magister Pendidikan Matematika
Oleh :
Paskalia Siwi Setianingrum
NIM: 151442011
PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
TESIS
METODE ITERASI VARIASIONAL T]NTTJK MEI{YELNSAIKAN
PERSAMAAN GELOMBANG NRI}ANGKAL DAI\T ELASTIK
Oleh:
Pasknlia Siwi Setianingrum
1{Il}I: l5l4420ll
Telnh disetujui oleh :
Dosen Pembimbing
,f-x/-&"Sudl Mungkatin S.Si., ltlMeth.Sc- Ph.D.
Trn
alo 3
Februariz0l?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
TESIS :::,
uErom
rrERAsr V,anfl{srolr*l
ulriux
W
PERSAMAAN GELOMBAIIG AIR DANGKAL DAFI ELASTIK
Dipersiapkm
&n ditfis oleh
Paskalia Siwi Setianirgrum
Nllvt l5l4H,20ll
dip€rbhar*alr
Panitia Feryqii
rda
ilE
--*i
ir=
'!!
Stnman
P
G
:t
Ketua
inusAndy
Sekretaris
&Ae,M.si.
.
Anggota
.ga
--
1
3_tk-.,"
Anggota
Dr.
Anggota
Dr'Hmgki.Itdie,MSi
I
Yogy*rt4
t
24 Februari
20lz
I
Fakultas Kegmran dan
ff*t
i
!
Ilmupdidikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN MOTTO
If you want to find the secrets of the universe, think in terms of energy, frequency, and
vibration.
~ Nikola Tesla ~
“Seseorang yang berhenti belajar adalah orang lanjut usia meskipun umurnya masih
remaja. Seseorang yang tidak pernah berhenti belajar akan selamanya menjadi
pemuda”. – Henry Ford -
J.E.N.I.U.S
adalah 1% inspirasi dan 99% keringat.
“Hiduplah seakan kamu akan mati besok, belajarlah seakan kamu akan hidup selamanya”. –
Mahatma Gandhi –
Matematika adalah ratu dari ilmu dan ilmu hitung (aritmetika) adalah ratu dari matematika. Ia
sering berkenan merendahkan diri menyumbang kepada astronomi dan ilmu alam lainnya,
tetapi dalam semua hubungan ia berhak mendapat peringkat pertama.
~ C.F. Gauss ~
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur dan terima kasih, kupersembahkan tesis ini untuk
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertaiku
Bapakku dan Ibuku tercinta yang memberikan doa, dukungan dan cinta
Kakakku yang memotivasi diriku
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tesis yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 24 Februari 2017
Penulis,
Paskalia Siwi Setianingrum
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Paskalia Siwi Setianingrum, 2017. Metode Iterasi Variasional Untuk
Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air Dangkal Dan Elastik. Tesis.
Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan secara
matematis. Suatu model matematika perlu diselesaikan untuk menemukan solusi
dari masalah-masalah nyata. Solusi analitis model matematika umumnya sulit
ditemukan jika model matematika mengandung banyak variabel dan rumit. Oleh
karena itu, dengan metode pendekatan analitis dapat diperoleh solusi dari model
matematika.
Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode iterasi
variasional untuk menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal dan elastik.
Solusi iterasi dari metode iterasi variasional semakin lama akan konvergen
menuju solusi eksak. Solusi yang dihasilkan dari beberapa persamaan gelombang
berupa pendekatan analitis yang dihitung dengan bantuan Software Maple dan
Software MATLAB. Tujuan penelitian ini adalah untuk menghasilkan solusi
persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang elastik, dan mengetahui
analisis konvergensi solusi iterasi dari persamaan gelombang difusi.
Metode iterasi variasional telah berhasil menyelesaikan persoalan tentang
persamaan gelombang nonlinear dimensi satu karena memiliki nilai galat yang
semakin kecil (mendekati nol). Persamaan gelombang air dangkal dan
penyederhanaannya serta persamaan gelombang elastik dan penyederhanaannya
memiliki solusi yang konvergen menuju solusi eksak. Kekonvergenan masingmasing persamaan gelombang berbeda-beda karena persamaan gelombang yang
berbeda dan nilai awal yang dipilih berbeda. Persamaan gelombang difusi telah
terbukti konvergen berdasarkan analisis konvergensinya.
Kata kunci : metode iterasi variasional, gelombang, konvergensi, solusi eksak.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Paskalia Siwi Setianingrum, 2017. Variational Iteration Methods for Solving
Shallow Water and Elastic Wave Equations. Thesis. Master of Mathematics
Education Study Program, Mathematics and Science Education Department,
Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University,
Yogyakarta.
Real problems in daily life can be modelled mathematically. A
mathematical model needs to be solved in order to find solutions to the real
problems. Analytical solution of mathematical models are generally hard to find if
mathematical models consist of many variable and complicated. Therefore,
solution of mathematical models can be find using analytical approximation
method.
Variational iteration method can be used for solving one dimension of
nonlinear wave equations. The solution of variational iteration method will
convergent to exact solution. The iteration solution from some wave equations are
in form of approximation analyticly which can be calculated by Maple Software
and by MATLAB Sofware. The goals of this thesis is proceed solution shallow
water wave equation, the elastics wave equation and know convergence analytical
of iteration solution difussion wave equations.
Variational iteration method has been successful to solve one dimension of
nonlinear wave equation problems because has small error. The shallow water
wave equations and its simplification, the elastics equation and its simplification
has convergent solution to exact solution. Each wave equation has different
convergence because the wave equations and initial condition is different. The
diffusion wave equation has been give proceed of convergent based on
convergence analytical.
Keywords : variational iteration method, wave, convergence, and exact solution.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama
: Paskalia Siwi Setianingrum
Nomor Mahasiswa
: 151442011
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma suatu karya ilmiah yang berjudul :
METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL DAN ELASTIK
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma baik untuk menyimpan,
mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan
data, mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikan di internet atau
media lain untuk keperluan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun
memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai
penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 24 Februari 2017
Yang menyatakan
Paskalia Siwi Setianingrum
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS
Sebagian hasil tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi
internasional dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:
[1]. P. S. Setianingrum. dan S. Mungkasi, “Variational iteration method used to
solve steady state problems of shallow water flows,“ AIP Conference
Proceedings, Volume 1746, Nomor Artikel 020057, Tahun 2016, (terindeks
scopus), Laman Artikel: http://dx.doi.org/10.1063/1.4953982
[2]. P. S. Setianingrum dan S. Mungkasi, “Variational iteration method used to
solve the-one dimensional acoustics equation” diterima dan akan terbit
dalam Journal of Physics: Conference Series (terindeks scopus), Laman
Jurnal: http://iopscience.iop.org/journal/1742-6596
Selain
dikembangkan
itu,
sebagian
menjadi
hasil
artikel
lain
ilmiah
sedang dalam
yang
disusun
(Sudi Mungkasi) dan penulis (Paskalia Siwi Setianingrum).
x
persiapan
oleh
untuk
pembimbing
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus karena berkat
rahmat dan kasih-Nya sehingga tesis dengan judul “Metode Iterasi Variasional
untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air Dangkal dan Elastik” ini dapat
penulis selesaikan. Penulis menyusun tesis ini untuk memenuhi salah satu syarat
memperoleh gelar Magister Pendidikan pada Program Studi Magister Pendidikan
Matematika.
Selama penyusunan tesis ini penulis telah melalui berbagai macam kesulitan
yang dialami. Akan tetapi dari semua itu telah penulis lalui dengan adanya
dukungan dari banyak pihak sehingga kesulitan yang penulis alami dapat teratasi.
Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan sepenuh hati penulis ingin
mengucapkan terima kasih banyak kepada beberapa pihak yang telah membantu,
diantaranya :
1. Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang senantiasa menjaga dan menyertai setiap
perjalanan penulis dalam penyusunan tesis ini hingga selesai.
2. Universitas Sanata Dharma yang telah memberikan bantuan berupa beasiswa
kepada penulis untuk menempuh Program Magister Pendidikan Matematika
selama kuliah.
3. Kedua orang tua penulis yaitu Bapak Agustinus Sajimin, S.Pd. dan Ibu Sri
Lugiwiyatun, S.Pd. yang senantiasa memberi dukungan lewat doa, memberi
semangat, kasih sayang dan perhatian dari awal studi sampai selesai
penyusunan tesis ini.
4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing
tesis yang dengan kesabaran hati bersedia membimbing penulis dari awal
penyusunan hingga penyelesaian tesis ini. Terima kasih atas segala dukungan,
kritik maupun saran selama ini.
5. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku dekan FKIP Universitas Sanata Dharma yang
telah mengesahkan penulisan tesis ini.
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi Magister
Pendidikan Matematika yang telah bersedia memberikan bimbingan, masukan
dan saran selama penulis berkuliah di Universitas Sanata Dharma ini.
7. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si., selaku dosen penguji tesis yang telah
memberikan saran yang baik dan membangun untuk penulis.
8. Segenap dosen Magister Pendidikan Matematika, khususnya dosen-dosen yang
telah mengajar, mendidik, membagikan ilmu kepada penulis hingga penulis
kaya akan ilmu pengetahuan terkait dengan matematika selama masa kuliah.
9. Pendamping setia penulis yaitu Erasmus Jala, A.Md. yang telah mendoakan
penulis, membantu penulis dengan penuh kesabaran, mendukung, memotivasi,
mendampingi penulis selama kuliah dan pada saat penyusunan tesis sampai
selesai.
10. Segenap staf perpustakaan Universitas Sanata Dharma karena telah
memberikan pelayanan yang baik selama penulis meminjam referensi untuk
belajar selama kuliah dan selama penyusunan tesis ini.
11. Segenap staf sekretariat JPMIPA yang telah membantu memberikan
pelayanan dengan baik.
12. Teman baik penulis yaitu Mas Billy Arifa Tengger, M.Sc. karena telah
membantu penulis dalam memahami materi tesis ini.
13. Kakak Andreas Yudha Fery Nugroho, S.Psi. dan Mba Erlin yang memberi
semangat kepada penulis.
Penulis
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ......................................................................................
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................
ii
HALAMAN PENGESAHAN .........................................................................
iii
HALAMAN MOTTO .....................................................................................
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .....................................................................
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .........................................................
vi
ABSTRAK ......................................................................................................
vii
ABSTRACT ...................................................................................................... viii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ...........
ix
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS
..............................
x
KATA PENGANTAR ....................................................................................
xi
DAFTAR ISI .................................................................................................. xiii
DAFTAR SIMBOL ......................................................................................... xvi
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xviii
BAB I : PENDAHULUAN .............................................................................
1
A. Latar Belakang Masalah ......................................................................
1
B. Tinjauan Pustaka ...............................................................................
3
C. Rumusan Masalah ...............................................................................
5
D. Tujuan Penulisan ...............................................................................
5
E. Manfaat Penulisan ...............................................................................
6
F. Batasan Masalah ..................................................................................
6
G. Metode Penulisan ................................................................................
7
H. Sistematika Penulisan .........................................................................
9
I. Kebaruan Penelitian ..........................................................................
10
BAB II : LANDASAN TEORI ......................................................................
11
A. Fungsi
.............................................................................................
xiii
11
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
B. Kalkulus Variasi
...............................................................................
C. Pemodelan Matematika
12
...................................................................
13
D. Persamaan Diferensial Parsial ...........................................................
14
E. Gelombang .........................................................................................
16
F. Metode Iterasi Variasional
...............................................................
17
............................................................
20
G. Teorema Titik Tetap Banach
H. Ruang Metrik dan Ruang Vektor Bernorma
..................................
21
I. Ruang Hilbert ....................................................................................
22
J. Barisan Konvergen dan Deret Konvergen ........................................
22
K. Barisan Cauchy ..................................................................................
22
L. Ruang Hasil Kali Dalam
24
...............................................................
BAB III : METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN
BEBERAPA PERSAMAAN GELOMBANG ...............................
25
A. Persamaan Gelombang Air Dangkal ...................................................
25
B. Persamaan Gelombang Difusi
30
..........................................................
C. Persamaan Gelombang Gravitasi
...................................................
33
................................................
36
E. Persamaan Gelombang Elastik ..........................................................
39
F. Persamaan Gelombang Akustik ........................................................
43
BAB IV : KONVERGENSI METODE ITERASI VARIASIONAL .............
48
A. Pendekatan Alternatif Metode Iterasi Variasional .............................
48
B. Analisis Konvergensi ........................................................................
50
C. Pendekatan Metode Iterasi Variasional dan Hasil Konvergensi ........
55
D. Persamaan Gelombang Kinematik
D. Contoh Penggunaan Konvergensi Metode Iterasi Variasional pada
Persamaan Gelombang Difusi
...................................................
56
BAB V : ASPEK PENDIDIKAN ..................................................................
58
A. Pelajar SMA .........................................................................................
59
B. Mahasiswa S1
61
..................................................................................
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
C. Refleksi Pengalaman Penelitian Bidang Matematika ..........................
BAB V : PENUTUP
63
....................................................................................
68
D. Kesimpulan .........................................................................................
68
E. Saran ..................................................................................................
69
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................
70
xv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR SIMBOL
A, B, C, ..., Z
: suatu fungsi
a, b, c, ..., z
: suatu fungsi
𝛿
: turunan variasional
λ
: suatu pengali Lagrange yang dapat diidentifikasi secara
optimal dengan teori variasional
𝜏
: suatu fungsi
𝜌
: massa jenis
𝜀
: regangan
∞
: jumlah tak terhingga
∈
: elemen/anggota
≠
: tidak sama dengan
<
: lebih kecil dari
≤
: lebih kecil dari atau sama dengan
≥
: lebih besar dari atau sama dengan
>
: lebih besar dari
!
: faktorial
⋮
: dan seterusnya
∪
: gabungan
ũ
: suatu variasi terbatas
xvi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
𝑞̃
: suatu variasi terbatas
ℎ̃
: suatu variasi terbatas
ỹ
: suatu variasi terbatas
𝜕
: turunan parsial
∑
: jumlahan dari suatu deret atau barisan
ξ
: suatu fungsi
ℕ
: natural number (bilangan asli)
ℝ
: real number (bilangan real)
∀
: untuk semua, setiap
∃
: beberapa, ada, terdapat, sebagian
‖𝑣‖
: norm dari 𝑣
∎
: akhir dari suatu bukti
+
: operasi penjumlahan
-
: operasi pengurangan
∫
: integral
.
: perkalian
xvii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 3.1 Grafik hasil iterasi ℎ2 (𝑥, 𝑡) dan 𝑢2 (𝑥, 𝑡) pada
Persamaan Gelombang Air Dangkal. ........................................... 29
Gambar 3.2 Grafik hasil iterasi konsentrasi polutan 𝑞4 (𝑥, 𝑡) pada
Persamaan Gelombang Difusi. ................................................... 32
Gambar 3.3 Grafik hasil iterasi ℎ3 (𝑥, 𝑡) dan 𝑞3 (𝑥, 𝑡) pada
Persamaan Gelombang Gravitasi. ................................................ 35
Gambar 3.4 Grafik hasil iterasi ℎ2 (𝑥, 𝑡) pada Persamaan
Gelombang Kinematik.
........................................................ 39
Gambar 3.5 Grafik hasil iterasi 𝜀3 (𝑥, 𝑡) dan 𝑢3 (𝑥, 𝑡) pada Persamaan
Gelombang Elastik.
................................................................... 42
Gambar 3.6 Grafik hasil iterasi 𝜀3 (𝑥, 𝑡) dan 𝑢3 (𝑥, 𝑡) pada Persamaan
Gelombang Akustik.
................................................................. 46
xviii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan secara
matematis. Masalah nyata yang terjadi terkait dengan peristiwa alam yang
disebabkan oleh gelombang air dapat disimulasikan dan dicari solusinya. Suatu
model matematika perlu diselesaikan untuk menemukan solusi dari masalahmasalah nyata. Solusi eksak atau solusi analitis dari model matematika
umumnya sulit ditemukan jika model matematika mengandung banyak variabel
dan rumit. Oleh karena itu, dengan metode pendekatan analitis dapat diperoleh
solusi dari model matematika.
Sebagian besar fenomena yang muncul dalam matematika dapat
dijelaskan dengan persamaan diferensial terutama Persamaan Diferensial
Parsial (PDP). Banyak metode yang dapat menyelesaikan permasalahan
tentang persamaan diferensial parsial seperti metode volume hingga, metode
beda hingga, metode heun, metode deret taylor, metode euler dan lain-lain.
Hal-hal yang terkait tentang fenomena fisik yaitu masalah fluida dapat
dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial
menjadi alat yang berguna untuk merepresentasikan fenomena alam terkait
suatu model matematika. Oleh karena itu beberapa persamaan gelombang
dalam penulisan tesis ini berbentuk persamaan diferensial parsial.
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Fluida merupakan salah satu dari sekian banyak masalah fisis yang sering
dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Contoh bencana yang terjadi di
Indonesia yang terkait dengan masalah fluida misalnya bencana tsunami yang
terjadi di Aceh tahun 2004, bobolnya tanggul Situ Gintung di Ciputat,
Tangerang Selatan yang terjadi pada tahun 2009 dan bencana banjir yang kerap
terjadi di beberapa tempat di Indonesia. Bencana alam tersebut disebabkan oleh
gelombang air.
Gelombang air yang dapat dimodelkan secara matematis yaitu dengan
persamaan air dangkal serta penyederhanannya berupa persamaan gelombang
gravitasi, persamaan gelombang difusi dan persamaan gelombang kinematik.
Selain gelombang air, gelombang elastik dapat pula dimodelkan secara
matematis yaitu persamaan gelombang elastik dan penyederhanannya yaitu
persamaan gelombang akustik.
Salah satu metode yang dapat menyelesaikan persamaan gelombang air
dangkal serta penyederhanaannya dan persamaan gelombang elastik serta
penyederhanannya adalah Metode Iterasi Variasional (MIV) dikembangkan
oleh Ji-Huan He (2007). Dalam tesis ini, penulis hanya fokus pada
menyelesaikan persamaan air dangkal dan penyederhanaanya serta persamaan
gelombang elastik dan penyederhanaanya dengan menggunakan metode iterasi
variasional. Jadi, dalam sebagian tesis ini penulis membahas sesuatu yang baru
dan belum pernah dikerjakan oleh orang lain dengan menggunakan metode
iterasi variasional. Solusi yang dihasilkan dari persamaan-persamaan
gelombang tersebut berupa solusi pendekatan analitis menuju solusi eksak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
B. Tinjauan Pustaka
Berikut ini adalah diagram sebagai gambaran dari hal-hal yang dibahas dalam
penulisan tesis.
Metode iterasi variasional
Oleh He (2007)
Persamaan diferensial parsial dibagi dua jenis berdasarkan
ekspresi variabel bebas dan turunan-turunannya
Persamaan diferensial parsial
linear
Persamaan diferensial parsial
non linear
Persamaan diferensial parsial
non linear orde satu
Persamaan gelombang
Oleh LeVeque (2002)
Oleh Abdou dan Soliman (2005)
Persamaan gelombang
air dangkal
Persamaan gelombang
elastik
Oleh Setianingrum
dan Mungkasi (2016)
Oleh Setianingrum (2016)
Persamaan gelombang
difusi
Oleh Odibat
(2010)
Persamaan gelombang
kinematik
Persamaan
gelombang gravitasi
Analisis konvergensi dengan
menggunakan Teorema titik
tetap Banach
Persamaan
gelombang akustik
Oleh Martins, Leandro
dan Djordjevic (2002)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Keterangan diagram
1.
: pengelompokkan persamaan-persamaan
2.
: persamaan yang diselesaikan oleh penulis dalam tesis
3.
: orang yang menyelesaikan persamaan
4.
: hubungan antara persamaan yang satu dengan yang lain
Penelitian yang terkait dengan tujuan penulisan yaitu karya He (2007).
Penelitian ini membahas tentang konsep dasar dari metode iterasi variasional.
Konsep dasar yang dibahas dalam artikel jurnal ini terdiri dari konsep pengali
umum Lagrange, syarat stasioner dan variasi terbatas. Konsep dasar tersebut
menjadi hal penting dan mendasar dalam mempelajari metode iterasi
variasional. Metode yang digunakan dalam penulisan ini menggunakan metode
iterasi variasional. Konsep dasar metode iterasi variasional menjadi pedoman
penting dalam proses menemukan solusi iterasi yang dihasilkan dari suatu
persamaan gelombang.
Referensi lainnya yang terkait dengan tujuan penulisan adalah karangan
LeVeque (2002). Di dalam artikel ini terdapat persamaan gelombang elastik
dimensi satu dan persamaan gelombang akustik dimensi satu. Penulis
menggunakan persamaan gelombang tersebut dengan beberapa asumsi untuk
menemukan solusi dengan menggunakan metode iterasi variasional.
Referensi lainnya yang terkait dengan tujuan penulisan adalah karya
Martins, Leandro, dan Djordjevic (2002). Di dalam artikel ini terdapat
persamaan gelombang gravitasi dari permasalahan bendungan bobol. Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
menggunakan persamaan gelombang tersebut dengan beberapa asumsi untuk
menemukan solusi dengan menggunakan metode iterasi variasional.
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan di atas, maka
dapat dirumuskan pokok-pokok masalah yang akan dibahas dalam penulisan
ini adalah:
1. Bagaimana
solusi
persamaan
gelombang
air
dangkal
dan
penyederhanaannya dengan menggunakan metode iterasi variasional?
2. Bagaimana solusi persamaan gelombang elastik dan penyederhanaannya
dengan menggunakan metode iterasi variasional?
3. Bagaimana konvergensi metode iterasi variasional pada persamaan
diferensial parsial nonlinear?
D. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dipaparkan di atas, maka
tujuan penulisan ini adalah:
1. Untuk menghasilkan solusi persamaan gelombang air dangkal dan
penyederhanaannya dengan menggunakan metode iterasi variasional.
2. Untuk
menghasilkan
solusi
persamaan
gelombang
elastik
dan
penyederhanaannya dengan menggunakan metode iterasi variasional.
3. Untuk mengetahui konvergensi metode iterasi variasional pada persamaan
diferensial parsial nonlinear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
E. Manfaat Penulisan
Berdasarkan tujuan penulisan yang telah dipaparkan di atas, maka
manfaat penulisan ini adalah:
1. Manfaat bagi penulis sendiri adalah dapat mengetahui keberhasilan
metode iterasi variasional dalam menyelesaikan beberapa persamaan
gelombang dan mengetahui syarat agar suatu persamaan dapat konvergen
menuju solusi eksak.
2. Manfaat bagi mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika adalah dapat
mengenalkan dan memberikan informasi baru tentang penyelesaian
beberapa persamaan gelombang menggunakan metode iterasi variasional.
3. Manfaat untuk ilmu pengetahuan dan teknologi adalah dapat memberikan
kontribusi baru tentang penggunaan metode iterasi variasional dalam
menyelesaikan beberapa persamaan gelombang.
4. Manfaat bagi masyarakat adalah dapat mengetahui bahwa penelitian
bidang matematika dapat diterapkan dalam kehidupan nyata (tidak hanya
teori yang tergambar secara abstrak).
F. Batasan Masalah
Batasan masalah dari penulisan tesis ini adalah metode yang digunakan
untuk menyelesaikan beberapa persamaan gelombang berupa metode iterasi
variasional dengan nilai awal yang diberikan. Persamaan diferensial parsial
dalam penulisan ini berorde satu agar tidak terlalu luas dan lebih fokus. Dalam
hal ini, variabel bebas dalam x (variabel ruang) dan t (variabel waktu) yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
bertujuan agar pembahasan pada penulisan ini tidak terlalu luas dan
memfokuskan pada variabel x dan t saja sehingga dapat mempermudah bagi
para pembaca untuk memahami penulisan ini. Persamaan gelombang dalam
penulisan tesis ini berdimensi satu (bergantung pada variabel ruang dan waktu)
dan bersifat nonlinear (perkalian antara suatu fungsi dan turunannya).
G. Metode Penelitian
Metode penulisan yang digunakan oleh penulis adalah metode studi
pustaka yaitu mempelajari dan memahami materi yang diperoleh dari referensireferensi terkait dengan metode iterasi variasional, mengumpulkan informasi
dan menyusun tulisan ini menjadi suatu bentuk penulisan yang runtut dan jelas
sehingga dapat mempermudah pembaca. Langkah-langkah yang dilakukan oleh
penulis sebagai berikut
1. Mencari referensi tentang metode iterasi variasional, persamaan gelombang
air dangkal dan elastik.
2. Memahami materi tentang persamaan gelombang air dangkal. Mencari
solusi persamaan gelombang air dangkal dengan menggunakan langkahlangkah metode iterasi variasional.
Menghitung iterasi persamaan
gelombang air dangkal dengan bantuan Software Maple dan menggambar
grafik dengan bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat
dilihat perilaku gelombang air dangkal terhadap ruang dan waktu.
3. Meemahami materi tentang persamaan gelombang difusi. Mencari solusi
dari persamaan gelombang difusi dengan menggunakan langkah-langkah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang
difusi dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan
bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku
gelombang difusi terhadap ruang dan waktu.
4. Memahami materi tentang persamaan gelombang gravitasi. Mencari solusi
dari persamaan gelombang gravitasi dengan menggunakan langkah-langkah
metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang
gravitasi dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan
bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku
gelombang gravitasi terhadap ruang dan waktu.
5. Memahami materi tentang persamaan gelombang kinematik. Mencari solusi
dari persamaan gelombang kinematik dengan menggunakan langkahlangkah metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan
gelombang kinematik dengan bantuan Software Maple dan menggambar
grafik dengan bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat
dilihat perilaku gelombang kinematik terhadap ruang dan waktu.
6. Memahami materi tentang persamaan gelombang elastik. Mencari solusi
dari persamaan gelombang elastik dengan menggunakan langkah-langkah
metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang
elastik dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan
bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku
gelombang elastik terhadap ruang dan waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
7. Memahami materi tentang persamaan gelombang akustik. Mencari solusi
dari persamaan gelombang akustik dengan menggunakan langkah-langkah
metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang
akustik dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan
bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku
gelombang akustik terhadap ruang dan waktu.
8. Menganalisis kekonvergenan dari persamaan gelombang difusi karena
persamaan gelombang difusi telah terlihat solusi iterasinya konvergen
menuju solusi eksak dengan sangat cepat.
H. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tesis ini adalah sebagai berikut:
Bab pertama yaitu Pendahuluan yang memuat latar belakang masalah,
rumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, batasan masalah,
metode penelitian, sistematika penulisan, tinjauan pustaka dan kebaruan
penelitian.
Bab kedua yaitu Landasan Teori yang memuat teori-teori dasar yang
terkait dengan isi penulisan sehingga dapat memudahkan pembaca dalam
memahami pembahasan tesis ini.
Bab ketiga yaitu Metode Iterasi Variasional untuk menyelesaikan
persamaan gelombang air dangkal dan elastik. Pada bab ketiga dibahas
penyelesaian beberapa persamaan gelombang dengan menggunakan metode
iterasi variasional. Solusi iterasi yang dihasilkan oleh setiap persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
gelombang konvergen menuju solusi eksak dengan waktu yang berbeda-beda
karena bergantung pada nilai awal yang dipilih.
Bab keempat yaitu Konvergensi Metode Itrerasi Variasional pada
persamaan diferensial parsial nonlinear. Pada bab keempat ini terdapat tiga
teorema yang mendasari konvegensi metode iterasi variasional dan analisis
konvergensi sebagai bukti bahwa suatu persamaan gelombang konvergen
dengan beberapa syarat.
Bab kelima atau bab terakhir yaitu Penutup yang terdiri dari kesimpulan
saran penulis dan pembaca untuk mengembangkan topik tesis.
I. Kebaruan Penelitian
Dalam sebagian penulisan tesis ini, penulis membahas ide baru yang
belum pernah dikerjaan oleh orang lain yaitu menyelesaikan penyederhanaan
dari persamaan gelombang air dangkal yaitu persamaan gelombang gravitasi,
persamaan gelombang difusi, persamaan gelombang kinematik serta persamaan
gelombang elastik dan penyederhanaannya yaitu persamaan gelombang akustik
dengan menggunakan metode iterasi variasional. Selain membahas hal
tersebut, penulis menganalisis konvergensi metode iterasi variasional pada
persamaan gelombang difusi yang memiliki kekonvergenan sangat cepat
dibuktikan dengan galat yang menuju nol.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan dibahas pengertian dari fungsi, kalkulus variasi,
pemodelan matematika, konsep dasar persamaan diferensial parsial, gelombang,
dan metode iterasi variasional serta hal-hal yang mendukung pembahasan tesis
tentang persamaan-persamaan gelombang.
A. Fungsi
Bahasan tentang fungsi ini berasal dari referensi buku karangan Gelfand dan
Fomin (1963). Dalam bahasan ini akan dijelaskan definisi fungsi.
Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan
hubungan ketergantungan antara satu variabel dengan variabel lain. Suatu fungsi
dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel,
koefisien, dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap
bentuk fungsi tetapi tidak demikian halnya dengan konstanta. Suatu fungsi yang
secara konkret dinyatakan dalam bentuk persamaan dapat mengandung suatu
konstanta ataupun tidak. Walaupun suatu persamaan tidak mengandung konstanta,
tidak akan mengurangi arti dari suatu fungsi.
Fungsi banyak digunakan dalam beberapa cabang ilmu sains untuk
menyajikan model matematis dari fenomena di dunia nyata. Salah satu contoh
penggunaan fungsi untuk mendeskripsikan fenomena di dunia nyata adalah gerak
peluru. Dalam ilmu fisika, lintasan gerak peluru dilukiskan dalam bentuk parabola
11
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
yang merupakan bentuk dari fungsi kuadrat. Dengan memahami kemampuan
meriamnya dan pengetahuan tentang lintasan pelurunya, seorang prajurit dapat
menghitung posisi meriam atau sudut tembakan agar peluru tepat mengenai
sasaran.
Contoh jenis fungsi yang termasuk dalam fungsi aljabar yaitu fungsi
kuadrat. Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang memiliki pangkat terbesar
pada variabelnya adalah pangkat dua. Fungsi memiliki bentuk hampir sama
dengan persamaan tetapi berbeda pada bentuk penulisannya. Bentuk umum fungsi
kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 suatu bilangan real dan 𝑎 ≠ 0.
B. Kalkulus Variasi
Bahasan tentang kalkulus variasi ini berasal dari referensi buku karangan
Gelfand dan Fomin (1963). Dalam bahasan ini akan dijelaskan tentang kalkulus
variasi terkait dengan syarat stasioner dari metode iterasi variasional.
Kalkulus variasi adalah cabang matematika yang berhubungan dengan
fungsi dari fungsi-fungsi yang berbeda dari kalkulus biasa, yakni berhubungan
dengan fungsi-fungsi dari bilangan-bilangan. Fungsi yang demikian misalnya
dapat dibentuk sebagai integral yang melibatkan sebuah fungsi sembarang dan
turunannya. Hal yang ingin dicapai pada kalkulus variasi adalah fungsi-fungsi
yang dapat mencapai nilai maksimum atau minimum.
Kunci dari kalkulus variasi adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan
Euler-Lagrange berhubungan dengan syarat stasioner dari suatu fungsional
sebagaimana dapat dicari nilai maksimum dan
minimum dari suatu fungsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Analisis perubahan kecil yang terjadi yang mendekati solusi yang diduga haruslah
memenuhi sebuah syarat yakni turunan pertama bernilai nol. Syarat perlu itu
belum termasuk syarat cukup. Pengujian kedua dilakukan dengan melihat turunan
keduanya memiliki nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari nol.
C. Pemodelan Matematika
Bahasan tentang kalkulus variasi ini berasal dari referensi buku karangan
Haberman (1977). Dalam bahasan ini akan dijelaskan tentang pemodelan
matematika dan langkah-langkah untuk memodelkan masalah nyata.
Untuk keperluan analisis, biasanya suatu sistem digambarkan ke dalam
suatu model. Model adalah representasi dari suatu sistem yang dikembangkan
untuk tujuan pemecahan masalah dari sistem yang ada berdasarkan dasar teori.
Pemodelan dapat didefinisikan sebagai proses pembentukan model dari suatu
sistem tersebut dengan menggunakan bahasa formal tertentu. Pemodelan
matematika merupakan proses untuk menjelaskan suatu masalah nyata secara
matematis. Hasil dari pemodelan tersebut berupa persamaan matematika itu
sendiri. Dalam menurunkan model matematika diperlukan asumsi-asumsi agar
penurunan matematis lebih mudah dilakukan, tetapi faktor-faktor yang paling
dominan dari masalah nyata harus tetap dilibatkan.
Dalam pemodelan matematika terdapat langkah-langkah yang perlu
dilakukan agar suatu model sesuai terhadap masalah nyata. Langkah pertama yaitu
menemukan masalah nyata yang terdapat di sekitar kehidupan sehari-hari.
Langkah kedua yaitu mencatat faktor-faktor apa saja yang mempengaruhi masalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
nyata. Langkah ketiga yaitu memilih faktor-faktor yang paling dominan, dengan
bantuan dari bidang ilmu yang lain maka dicari hubungan matematika dengan
faktor-faktor yang paling dominan. Langkah keempat yaitu menyusun model
matematika dari masalah nyata. Langkah kelima yaitu menguji (validasi)
kesesuaian model terhadap masalah nyata. Jika model matematika sudah sesuai
terhadap masalah nyata maka dapat diperoleh solusi dari masalah nyata.
D. Persamaan Diferensial Parsial
Bahasan tentang persamaan diferensial parsial ini berasal dari referensi buku
karangan Wazwaz (2009) dan Aryati (2011). Dalam bahasan ini akan dijelaskan
tentang definisi persamaan diferensial parsial dan hal-hal yang terkait dengan
persamaan diferensial parsial.
Persamaan diferensial parsial telah berkembang pesat dalam menyelesaikan
permasalahan tentang fluida. Persamaan diferensial parsial memiliki bentuk
parsial di dalam persamaannya baik persamaan diferensial parsial linear maupun
nonlinear. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat variabel
terikat (variabel yang belum diketahui) dan turunan parsialnya (memuat lebih dari
satu variabel bebas). Berbeda dengan persamaan diferensial biasa, variabel terikat
pada persamaan diferensial parsial, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) atau 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) bergantung
lebih dari satu variabel terikat. Jika 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), maka fungsi u bergantung pada
variabel bebas x, dan pada variabel waktu t. Bagaimanapun juga, jika 𝑢 =
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡), maka fungsi u bergantung pada variabel ruang x, y, dan pada variabel
waktu t.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Diketahui bahwa sebagian besar fenomena yang muncul dalam bidang
fisika, matematika, dan bidang teknik dapat dijelaskan dengan persamaan
diferensial parsial. Seperti contoh berikut di bidang fisika yaitu aliran panas dan
fenomena perambatan gelombang dapat dijelaskan oleh persamaan diferensial
parsial. Dalam bidang ekologi, sebagian besar model dari populasi dapat
dijelaskan oleh persamaan diferensial parsial. Bahan reaktif dari dispersi kimia
pula dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial. Sebagai tambahan,
fenomena fisik dinamika fluida, mekanika kuantum, listrik, plasma fisika,
pergerakan gelombang air dangkal, dan beberapa model lainnya dapat dijelaskan
oleh persamaan diferensial parsial.
Persamaan diferensial parsial telah menjadi alat yang berguna untuk
menggambarkan fenomena alam yang berasal dari ilmu pengetahuan dan rekayasa
model. Dewasa ini telah terdapat metode yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan persoalan tentang persamaan diferensial parsial. Metode
dekomposisi
Adomian
dan
metode
iterasi
variasional
yang
baru-baru
dikembangkan telah terbukti handal, akurat dan efektif baik untuk solusi analitik
dan solusi numerik. Dalam beberapa kasus, kedua metode tersebut telah terbukti
dapat konvergen menuju solusi eksak. Kedua metode tersebut membutuhkan nilai
awal untuk mendapatkan solusinya.
Order suatu persamaan diferensial adalah order tertinggi dari semua turunan
yang terdapat pada persamaan diferensial. Berdasarkan variabel bebasnya,
persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi persamaan diferensial linear dan
nonlinear. Suatu persamaan diferensial dikatakan linear apabila variabel-variabel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
terikat dan semua turunan dalam persamaan diferensialnya muncul dalam bentuk
linear, memenuhi syarat berikut ini
1. variabel-variabel terikat dan semua turunannya muncul derajat satu.
2. tidak ada perkalian antara variabel-variabel terikat atau turunannya.
3. tidak ada fungsi transenden (fungsi non-aljabar) dari variabel-variabel terikat
atau turunannya.
Suatu persamaan diferensial dikatakan nonlinear apabila terdapat salah satu syarat
tersebut tidak dipenuhi.
E. Gelombang
Pada bahasan tentang gelombang berikut ini berasal dari referensi buku
karangan Prasetio, dkk (1992). Dalam bahasan ini akan dijelaskan tentang
gelombang dan perambatan gelombang.
Di negara kita, negara Indonesia kerap terjadi bencana alam yang
disebabkan oleh air. Misalnya bencana banjir, bencana tsunami, bencana bobolnya
waduk atau bendungan. Bencana yang disebabkan oleh air biasanya karena
pengaruh besarnya gelombang. Saat terjadi bencana tsunami, gelombang air laut
sangat tinggi sekali hingga menghantam daerah di sekitarnya.
Gelombang merupakan getaran yang merambat sehingga dapat dipandang
sebagai perpindahan momentum dari suatu titik di dalam ruang ke titik lain tanpa
perpindahan materi. Terdapat berbagai macam gelombang seperti gelombang air,
gelombang bunyi, gelombang cahaya, gelombang elektromagnetik, gelombang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
transversal, gelombang longitudinal, dan lain-lain. Dalam sebagian penulisan tesis
ini akan membahas perilaku dari gelombang air pada persamaan gelombang air
dangkal dan penyederhanaannya serta gelombang bunyi pada persamaan
gelombang elastik dan penyederhanaannya.
Dalam ilmu gelombang dikatakan bahwa gelombang itu merambat. Oleh
karena ciri khas suatu gerakan adalah hadirnya besaran kecepatan, maka dalam
hal ini gelombang memiliki kecepatan rambat (𝑣). Dengan demikian, gelombang
adalah getaran yang merambat. Gelombang memiliki panjang gelombang dan
memiliki arah rambat gelombang.
F. Metode Iterasi Variasional
Pada bahasan tentang metode iterasi variasional berikut ini berasal dari
referensi buku karangan Wazwaz (2009). Dalam bahasan ini akan dijelaskan
tentang keunggulan penggunaan metode iterasi variasional.
Metode iterasi variasional telah berkembang pesat baru-baru ini. Metode
iterasi variasional telah dikembangkan oleh Ji-Huan He (2007), seorang ahli
matematika dari China yang telah menangani berbagai macam rekayasa ilmiah
tentang permasalahan linear dan nonlinear, homogen dan nonhomogen. Hal ini
pula menunjukkan bahwa metode iterasi variasional efektif dan dapat diandalkan
untuk menemukan solusi analitik. Keunggulan dari metode ini adalah memberikan
hasil yang konvergen menuju solusi eksak. Metode iterasi variasional tidak perlu
penanganan khusus pada masalah nonlinear karena metode ini dapat
menyelesaikan persamaan yang panjang dan rumit dengan tingkat keakuratan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
yang tinggi. Pada kasus tertentu, penggunaan metode iterasi variasional dapat
memberikan solusi pendekatan analitis menuju solusi eksak dengan bantuan
beberapa iterasi. Tetapi dalam kasus tertentu pula, telah terlihat bahwa solusi
analitiknya konvergen menuju solusi eksak hanya dengan sedikit iterasi saja.
Terdapat beberapa konsep dasar dari metode iterasi variasional yaitu pengali
Lagrange umum, kondisi stasioner, fungsi koreksi dan variasi terbatas. Konsepkonsep dasar tersebut yang dapat membentuk rumus iterasi. Metode iterasi
variasional dapat menghasilkan solusi pendekatan analitik sehingga efektif dan
efisien digunakan dalam kondisi apapun bersama nilai awal yang diberikan.
Diberikan Persamaan Diferensial (PD) berikut:
𝐿𝑢 + 𝑁𝑢 = 𝑔(𝑡),
(2.1)
dimana 𝐿 adalah operator linear, 𝑁 adalah operator non-linear, dan 𝑔(𝑡) adalah
suatu bentuk suku non-homogen.
Dengan menggunakan metode iterasi variasional dapat dibentuk suatu fungsi
koreksi dari persamaan (2.1) yaitu sebagai berikut:
𝑡
𝑢𝑛+1 (𝑡) = 𝑢𝑛 (𝑡) + ∫0 𝜆(𝜉){ 𝐿𝑢𝑛 (𝜉) + 𝑁ũ𝑛 (𝜉) − 𝑔(𝜉 )}𝑑𝜉 , 𝑛 ≥ 0
(2.2)
dimana 𝜆 adalah suatu pengali Lagrange yang dapat diidentifikasi secara optimal
dengan teori variasional, dan 𝑢̃𝑛 adalah suatu variasi terbatas yang melambangkan
bahwa 𝛿𝑢̃𝑛 = 0.
Dengan menggunakan teknik integral parsial berikut ini, dapat diperoleh nilai
pengali Lagrange 𝜆(𝜉)
∫ 𝜆(𝜉)𝑢′ 𝑛 (𝜉)𝑑𝜉 = 𝜆(𝜉)𝑢𝑛 (𝜉) − ∫ 𝜆′ (𝜉)𝑢𝑛 (𝜉) 𝑑𝜉
(2.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
∫ 𝜆(𝜉)𝑢′′ 𝑛 (𝜉)𝑑𝜉 = 𝜆(𝜉)𝑢′𝑛 (𝜉) − 𝜆′ (𝜉)𝑢𝑛 (𝜉) + ∫ 𝜆" (𝜉)𝑢𝑛 (𝜉) 𝑑𝜉.
(2.4)
Berikut ini contoh penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan
persamaan diferensial parsial non-homogen
𝑢𝑦 + 𝑥𝑢𝑥 = 3𝑢,
𝑢(𝑥, 0) = 𝑥 2 ,
𝑢(0, 𝑦) = 0.
(2.5)
Solusi
Dari persamaan (2.5), dapat dibentuk suatu fungsi koreksi seperti pada persamaan
(2.2) sebagai berikut
𝑦
𝜕𝑢𝑛 (𝑥,𝜉)
𝑢𝑛+1 (𝑥, 𝑦) = 𝑢𝑛 (𝑥, 𝑦) + ∫0 𝜆(𝜉) (
𝜕𝜉
+𝑥
𝜕ũ𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
− 3ũ𝑛 (𝑥, 𝜉)) 𝑑𝜉. (2.6)
Dari persamaan (2.6), dapat diperoleh kondisi stasioner sebagai berikut
𝑢𝑛 (𝑥, 𝜉): {
𝜆′ (𝛿) = 0,
1 + 𝜆(𝛿) = 0,
(2.7a)
(2.7b)
dan memberikan nilai pengali Lagrange yaitu
𝜆(𝜉) = −1.
(2.8)
Sekarang, kita substitusikan persamaan (2.8) ke persamaan (2.6) sehingga
membentuk rumus iterasi sebagai berikut
𝑦
𝑢𝑛+1 (𝑥, 𝑦) = 𝑢𝑛 (𝑥, 𝑦) − ∫0 (
𝜕𝑢𝑛 (𝜉,𝑦)
𝜕𝜉
+𝑥
𝜕𝑢𝑛 (𝜉,𝑦)
𝜕𝑥
− 3𝑢𝑛 (𝜉, 𝑦)) 𝑑𝜉, 𝑛 ≥ 0. (2.9)
Kita dapat memilih 𝑢0 (𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥 2 dari persamaan (2.10). Substitusikan
𝑢0 (𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥 2 ke persamaan (2.9) dan kita peroleh pendekatan iterasi
sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
𝑢0 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 ,
𝜕𝑢0 (𝑥,𝜉)
𝑦
𝑢1 (𝑥, 𝑦) = 𝑢0 (𝑥, 𝑦) − ∫0 (
+𝑥
𝜕𝜉
𝜕𝑢0 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
− 3𝑢0 (𝑥, 𝜉)) 𝑑𝜉
= 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑦,
𝑦
𝜕𝑢1 (𝑥,𝜉)
𝑢2 (𝑥, 𝑦) = 𝑢1 (𝑥, 𝑦) − ∫0 (
= 𝑥2 + 𝑥2𝑦 +
1
2!
+𝑥
𝜕𝜉
𝜕𝑢1 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
− 3𝑢1 (𝑥, 𝜉)) 𝑑𝜉
𝑥2𝑦2,
𝑦 𝜕𝑢2 (𝑥,𝑠)
𝑢3 (𝑥, 𝑦) = 𝑢2 (𝑥, 𝑦) − ∫0 (
𝜕𝑠
1
+𝑥
𝜕𝑢2 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑥
− 3𝑢2 (𝑥, 𝑠)) 𝑑𝑠,
1
= 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑦 + 2! 𝑥 2 𝑦 2 + 3! 𝑥 2 𝑦 3
⋮ = ⋮
1
1
𝑢𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 (1 + 𝑦 + 2! 𝑦 2 + 3! 𝑦 3 + ⋯ ).
Jadi, secara umum hasil dari iterasi tersebut dapat dituliskan dalam bentuk
sebagai berikut
𝑢(𝑥, 𝑦) = lim 𝑢𝑛 (𝑥, 𝑦).
𝑛→∞
Solusi eksak dari persamaan (2.3) adalah
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑒 𝑦 .
G. Teorema Titik Tetap Banach
Bahasan tentang Teorema Titik Tetap Banach ini berasal dari referensi buku
karangan Kreyszig (1989). Dalam bahasan ini akan dibahas tentang definisi dari
Teorema Titik Tetap Banach.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Teorema Titik Tetap Banach merupakan teorema ketunggalan dari suatu
titik tetap pada suatu pemetaan yang disebut kontraksi dari ruang metrik lengkap
ke dalam dirinya sendiri. Ruang Banach sendiri memiliki arti yaitu ruang vektor
bernorma yang lengkap (jika barisan Cauchy konvergen).
Teorema Titik Tetap Banach memberikan syarat cukup suatu fungsi dari
ruang metrik lengkap terhadap dirinya sendiri yang memiliki titik tetap tunggal.
Teorema Titik Tetap Banach diterapkan untuk menjamin eksistensi dan
ketunggalan penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu. Setiap pemetaan
kontraksi di ruang metrik lengkap hanya mempunyai titik tetap tunggal.
H. Ruang Metrik dan Ruang Vektor Bernorma
Bahasan tentang ruang metrik dan ruang vektor bernorma ini berasal dari
referensi buku karangan Muslikh (2012).
Ruang metrik memperluas konsep jarak. Definisi dari metrik bermanfaat
untuk mengetahui aplikasi yang lebih umum dari konsep jarak.
Ruang metrik (X;d) adalah himpunan X dan metrik pada X (fungsi jarak
pada X) didefinisikan sebagai fungsi 𝑑 ∶ 𝑋×𝑋 → ℝ, yang memenuhi:
a. 𝑑(𝑥; 𝑦) ≥ 0 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, dengan 𝑥 ≠ 𝑦.
b. 𝑑(𝑥; 𝑥) = 0 untuk setiap 𝑥 𝜖 𝑋, jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑥.
c. 𝑑(𝑥; 𝑦) = 𝑑(𝑦; 𝑥) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
d. 𝑑(𝑥; 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥; 𝑦) + 𝑑(𝑦; 𝑧) untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.
Ruang metrik 𝑋 disebut ruang metrik lengkap jika setiap barisan Cauchy di 𝑋
merupakan barisan konvergen di 𝑋.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Ruang vektor bernorma adalah ruang vektor X dengan pemetaan ∥ ∥: 𝑋 → 𝑅+ ,
dengan sifat-sifat
a. ∥ 𝑥 ∥ ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋.
b. ∥ 𝑥 ∥ = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 0 (𝑥 ∈ 𝑋).
c. ∥ 𝑎𝑥 ∥ = |𝑎| ∥ 𝑥 ∥ untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 dan skalar a.
d. ∥ 𝑥 + 𝑦 ∥ ≤ ∥ 𝑥 ∥ +∥ 𝑦 ∥ untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
I. Ruang Hilbert
Bahasan tentang ruang Hilbert ini berasal dari referensi diktat Suryawan
(2014).
Ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam yang lengkap (ruang metriknya
lengkap). Ruang Hilbert pula merupakan suatu ruang vektor bernorma yang
lengkap yang normanya itu diinduksi dari hasil kali dalam. Ruang hasil kali dalam
seringkali disebut ruang pra-Hilbert.
J. Barisan Konvergen dan Deret Konvergen
Teori tentang barisan konvergen dan deret konvergen ini berasal dari
referensi diktat Sukarjono (2008). Dalam bahasan ini akan dipaparkan tentang
definisi barisan dan deret serta barisan konvergen dan deret konvergen.
Barisan adalah suatu pemetaan yang berkorespondensi satu-satu dari
himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real. Barisan dapat dikatakan
sebagai suatu aturan yang mengawankan setiap bilangan asli dengan bilangan real
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
secara tunggal. Barisan biasanya ditulis dengan lambang ⟨𝑎𝑛 ⟩ atau ⟨𝑥𝑛 ⟩ atau ⟨𝑦𝑛 ⟩
dan sebagainya. Barisan merupakan himpunan unsur-unsur yang telah diurutkan
menurut urutan bilangan asli seperti ⟨𝑎𝑛 ⟩ = ⟨𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , … ⟩.
Barisan ⟨𝑎𝑛 ⟩ dikatakan konvergen jika terdapat dengan sifat 𝑎 ∈ ℝ untuk
setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli ℕ sehingga untuk setiap bilangan asli
𝑛 𝜖 ℕ berlaku |𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜀.
Deret bisa dikatakan jumlahan dari suatu barisan. Misalkan terdapat suatu
barisan bilangan real ⟨𝑎𝑛 ⟩ = ⟨𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , … ⟩, kemudian bilangan-bilangan
tersebut dijumlahkan, hasilnya menjadi suatu deret yang biasanya ditulis dengan
lambang 𝑠𝑛 . Jadi, 𝑠𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ∑𝑛𝑛=0 𝑎𝑛 .
Deret ∑𝑛𝑛=0 𝑎𝑛 dikatakan konvergen apabila lim 𝑠𝑛 ada. Tetapi jika lim 𝑠𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
tidak ada (atau ∞) maka deret divergen. Jika lim 𝑠𝑛 = 𝑆, maka S disebut deret itu
𝑛→∞
konvergen ke jumlah S.
K. Barisan Cauchy
Bahasan tentang barisan Cauchy dan barisan konvergen ini berasal dari
referensi buku karangan Soematri (2012).
Barisan (𝑥𝑛 ) di ruang metrik 𝑋 = (𝑋; 𝑑) disebut barisan Cauchy jika untuk
setiap 𝜀 > 0 terdapat bilangan 𝑁 𝜖 ℕ sehingga untuk bilangan asli 𝑚, 𝑛 > 𝑁
berlaku 𝑑(𝑥𝑛 ; 𝑥𝑚 ) > 𝜀.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
L. Ruang Hasil Kali Dalam
Bahasan tentang ruang hasil kali dalam ini berasal dari referensi buku
karangan Anton (1987).
Untuk memahami definisi ruang hasil kali dalam maka perlu diketahui
definisi dari hasil kali dalam. Misalkan V adalah sebuah ruang vektor. Hasil kali
dalam (inner product) adalah suatu fungsi (operasi) yang memetakan sepasang
vektor 𝑢
⃗ , 𝑣 ∈ 𝑉 dengan sebuah bilangan real yang ditulis dengan ⟨𝑢
⃗ , 𝑣 ⟩ dan
memenuhi sifat-sifat berikut untuk setiap 𝑢
⃗ , 𝑣, 𝑤
⃗⃗ ∈ 𝑉
1. ⟨𝑢
⃗ , 𝑣 ⟩ = ⟨𝑣,
⃗⃗⃗ 𝑢
⃗ ⟩ (aksioma simetris)
2. ⟨𝑢
⃗ + 𝑣, 𝑤
⃗⃗ ⟩ = ⟨𝑢
⃗ ,𝑤
⃗⃗ ⟩ + ⟨𝑣, 𝑤
⃗⃗ ⟩ (aksioma aditif/penjumlahan)
3. ⟨𝛼𝑢
⃗ , 𝑣 ⟩ = 𝛼⟨𝑢
⃗ , 𝑣⟩ untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ (aksioma kehomogenan)
4. ⟨𝑢
⃗ ,𝑢
⃗ ⟩ ≥ 0 dan ⟨𝑢
⃗ ,𝑢
⃗ ⟩ = 0 jika dan hanya jika ⟨𝑢
⃗ ⟩ = ⃗0 (aksioma kepositifan)
Suatu ruang vektor 𝑉 disebut sebagai ruang hasil kali dalam (inner product
space) apabila V adalah sebuah ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu hasil
kali dalam. Suatu ruang hasil kali dalam adalah lengkap jika setiap barisan
Cauchy dalam V konvergen ke suatu titik dalam V.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK
MENYELESAIKAN BEBERAPA PERSAMAAN GELOMBANG
Pada bab ini akan dibahas tentang solusi pendekatan analitik dari persamaan
gelombang air dangkal serta penyederhanaannya yaitu persamaan gelombang
difusi, persamaan gelombang gravitasi dan persamaan gelombang kinematik serta
persamaan gelombang elastik serta penyederhanaannya yaitu persamaan
gelombang akustik.
A. Persamaan Gelombang Air Dangkal
Pada bab sebelumnya telah dipaparkan pengertian singkat tentang
gelombang, maka di bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik
dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang air
dangkal. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari Mungkasi dan Wiryanto
(2016), Setianingrum dan Mungkasi (2016) serta buku karangan Wazwaz (2009).
Suatu model matematika yang terkenal untuk aliran air di tempat terbuka
adalah persamaan Saint-Venant (sistem Saint-Venant), juga dikenal sebagai
persamaan gelombang air dangkal. Persamaan gelombang air dangkal diturunkan
dari hukum kekekalan massa dan momentum. Persamaan ini berpengaruh pada
gelombang air dan aliran air, seperti aliran air dalam suatu saluran, banjir,
gelombang laut, dan tsunami. Persamaan gelombang air dangkal tidak memiliki
25
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
solusi analitik yang dapat ditulis dalam bentuk eksplisit. Oleh karena itu, metode
pendekatan sangat diperlukan dalam menyelesaikan permasalahan tersebut.
Gelombang air dangkal adalah gelombang yang terjadi pada permukaan air
dangkal dimana panjang gelombangnya cukup besar dibandingkan kedalamannya.
Persamaan gelombang air dangkal merupakan suatu sistem persamaan diferensial
parsial nonlinear orde satu. Dinamika dari fenomena gelombang air dangkal dapat
diketahui melalui solusi persamaan diferensial parsial. Solusi yang diperoleh
bermanfaat untuk memprediksi arah aliran air, kecepatan aliran air, luas daerah
dampak air yang datang dan rute penyelamatan untuk lari ke daerah yang lebih
aman sehingga harapannya, pemodelan beserta solusi persamaan gelombang air
dangkal bermanfaat bagi penelitian di bidang lain untuk membuat sistem
peringatan dini (early warning systems) bencana yang disebabkan oleh aliran air.
Pemodelan persamaan gelombang air dangkal memiliki asumsi bahwa skala
vertikal lebih kecil dari skala horizontal, yaitu kedalaman air laut lebih kecil
dibandingkan dengan panjang perairan laut. Bidang aplikasi persamaan
gelombang air dangkal dapat dilakukan untuk melihat aliran pasang surut di
muara atau di daerah pantai, sungai, dan waduk. Persamaan air dangkal atau
Shallow Water Equation (SWE) berlaku untuk fluida homogen yang memiliki
massa jenis konstan, tidak kental, tidak dapat ditekan dan mengalir secara tidak
berotasi.
Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah dalam bahasan
penulisan ini adalah persamaan gelombang air dangkal dimensi satu (bergantung
pada variabel ruang dan waktu). Hal ini dilakukan untuk menyederhanakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
permasalahan sehingga mempermudah dalam perhitungan. persamaan gelombang
air dangkal dimensi satu sangat relevan untuk menentukan aliran sungai.
Diberikan persamaan gelombang air dangkal sebagai berikut
ℎ + 𝑢ℎ + ℎ𝑢 = 0,
𝑥
𝑥
{𝑢 𝑡 + ℎ +
𝑢𝑢
=
−𝑧𝑥 ,
𝑡
𝑥
𝑥
(3.1)
di sini fungsi ℎ(𝑥, 𝑡) adalah kedalaman atau ketinggian air, fungsi 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah
kecepatan aliran air, 𝑧(𝑥) adalah topografi, t adalah variabel waktu dan x adalah
variabel ruang.
Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.1) sebagai berikut
ℎ(𝑥, 0) = 2 +
exp⁡(−𝑥 2 )
1
exp⁡(−𝑥 2 )
,⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑢(𝑥,
0)
=
,⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑧(𝑥)
=
−
⁡.
1 + exp⁡(−𝑥 2 )
ℎ(𝑥, 0)
1 + exp⁡(−𝑥 2 )
(3.2)
Dari persamaan (3.2) berarti permukaan air mendatar secara horisontal memiliki
persamaan ℎ(𝑥, 0) + 𝑧(𝑥) = 2, dan debit air selalu konstan dimanapun memiliki
persamaan 𝑢(𝑥, 0). ℎ(𝑥, 0) = 1.
Dengan menggunakan metode iterasi variasional, dapat dibentuk suatu fungsi
koreksi dari sistem persamaan (3.1) sebagai berikut
𝑡
ℎ𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = ℎ𝑛 (𝑥, 𝑡) + ∫0 𝜆1 (𝜉)(ℎ𝑛𝑡 + ũ𝑛 ℎ𝑛𝑥 + ℎ𝑛 ũ𝑛𝑥 )𝑑𝜉,
𝑡
𝑢𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) + ∫0 𝜆2 (𝜉)(𝑢𝑛𝑡 + ℎ𝑛𝑥 + 𝑢𝑛 ũ𝑛𝑥 − 𝑧 ′ (𝑥))𝑑𝜉,
(3.3)
(3.4)
dimana 𝜆1 dan 𝜆2 adalah pengali Lagrange; ũ𝑛𝑥 dan ℎ̃𝑛𝑥 adalah variasi terbatas.
Teknik integral parsial seperti pada persamaan (2.3) dan (2.4) sangat diperlukan
untuk memperoleh kondisi stasioner sebagai berikut
dan
𝜆′1 (𝜉) = 0,
(3.5a)
1 + 𝜆1 (𝜉)|𝜉=𝑡 = 0,
(3.5b)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
𝜆′ 2 (𝜉) = 0,
(3.6a)
1 + 𝜆2 (𝜉)|𝜉=𝑡 = 0,
(3.6b)
Persamaan (3.5a) dan (3.6a) adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan
(3.5b) dan (3.6b) adalah syarat batas. Dari syarat batas tersebut diperoleh nilai
pengali Lagrange 𝜆1 = 𝜆2 = −1. Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi
koreksi persamaan (3.3) dan (3.4) sehingga memberikan rumus iterasi variasional
sebagai berikut
𝑡
ℎ𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = ℎ𝑛 (𝑥, 𝑡) − ∫0 (ℎ𝑛𝜉 + 𝑢𝑛 ℎ𝑛𝑥 + ℎ𝑛 𝑢𝑛𝑥 )𝑑𝜉,
(3.7)
𝑡
𝑢𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) − ∫0 (𝑢𝑛𝑡 + ℎ𝑛𝑥 + 𝑢𝑛 𝑢𝑛𝑥 − 𝑧 ′ (𝑥))𝑑𝜉.
(3.8)
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.7) dan (3.8) dapat
diperoleh nilai pendekatan pertama dan kedua dari solusi analitik berikut
exp⁡(−𝑥 2 )
ℎ0 (𝑥, 𝑡) = 2 + 1+exp⁡(−𝑥 2 )
1
𝑢0 (𝑥, 𝑡) =
exp⁡(−𝑥 2 )
2 + 1+exp⁡(−𝑥 2 )
(3.9)
(3.10)
ℎ1 (𝑥, 𝑡) = ℎ0 (𝑥, 𝑡)
𝑢1 (𝑥, 𝑡) = −
(2𝑥 ∗ exp(−𝑥
2)
2)
𝑡 − 9 exp(−2𝑥 − 12 exp(−𝑥
(2 + 3exp⁡(−𝑥 2 )3
2)
2
− 4)(1 + exp⁡(−𝑥 )
1
(−6 exp(−3𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 𝑥 2
(2 +
+ exp(−𝑥 2 ))
− 2 exp(−2𝑥 2 ) ∗ ⁡𝑡 2 𝑥 2 − 3 exp(−3𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 + 4 exp(−𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 𝑥 2
− 81 exp(−4𝑥 2 ) − 5 exp(−2𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 − 216 exp(−3𝑥 2 )
− 2 exp(−𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 − 216 exp(−2𝑥 2 ) − 96 exp(−𝑥 2 ) − 16
1
1
2)
𝑢2 (𝑥, 𝑡) = −
− 16 exp(−2𝑥 2 ) ∗ 𝑡 3 𝑥 3 +
2 7 ((−192 − 6480 exp(−2𝑥
ℎ2 (𝑥, 𝑡) = −
(3.11)
(3.12)
3exp⁡(−𝑥 2 )3 (1
(3.13)
3 (2+3exp⁡(−𝑥 )
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡486 exp(−5𝑥 2 ) ∗ 𝑡𝑥 + 20 exp(−3𝑥 2 ) ∗ 𝑡 3 𝑥 + 1296 exp(−4𝑥 2 ) ∗ 𝑡𝑥 +
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡8𝑥 ∗ exp(−2𝑥 2 ) ∗ 𝑡 3 + 1296 exp(−3𝑥 2 ) ∗ 𝑡𝑥 + 576 exp(−2𝑥 2 ) ∗ 𝑡𝑥 +
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡24 exp(−4𝑥 2 ) ∗ 𝑡 3 𝑥 3 − 162 exp(−5𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 𝑥 2 + 16 exp(−3𝑥 2 ) ∗ 𝑡 3 𝑥 3 +
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡12 exp(−4𝑥 2 ) ∗ 𝑡 3 𝑥 − 378 exp(−4𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 𝑥 2 + 96𝑥 ∗ exp(−𝑥 2 ) ∗ 𝑡 −
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡2187 exp(−6𝑥 2 ) − 8748 exp(−5𝑥 2 ) − 180 exp(−3𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 𝑥 2 +
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡72 exp(−2𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 𝑥 2 − 14580 exp(−4𝑥 2 ) − 81 exp(−5𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 −
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡243 exp(−4𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 − 270 exp(−3𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 − 132 exp(−2𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 −
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡12960 exp(−3𝑥 2 ) − 1728 exp(−𝑥 2 ) + 48 exp(−𝑥 2 ) ∗ 𝑡 2 𝑥 2 )(1 +
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡exp⁡(−𝑥 2 ))
(3.14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
(a) ℎ2 (𝑥, 𝑡)
(b) 𝑢2 (𝑥, 𝑡)
Gambar 3.1. Grafik hasil iterasi ℎ2 (𝑥, 𝑡) dan 𝑢2 (𝑥, 𝑡) pada persamaan gelombang
air dangkal.
Grafik pada Gambar 3.1 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga.
Dari grafik tersebut dapat diamati bahwa jika variabel waktu semakin membesar,
maka perilaku grafik menunjukkan tidak realistis secara fisik karena permukaan
air akan semakin menuju tak hingga. Oleh karena itu, saat waktu membesar solusi
dari iterasi variasional tidak akurat. Agar solusi iterasi variasional lebih akurat
maka dibutuhkan iterasi yang lebih besar. Iterasi yang dihasilkan dari persamaan
gelombang air dangkal akan konvergen menuju solusi eksak dengan waktu yang
sangat lambat. Dalam kasus ini, metode iterasi variasional hanya berlaku untuk
variabel waktu yang kecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
B. Persamaan Gelombang Difusi
Pada bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan
menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang difusi.
Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Wazwaz (2009).
Difusi merupakan suatu peristiwa perpindahan molekul-molekul dari
konsentrasi tinggi ke konsentrasi rendah. Proses difusi akan terjadi terus-menerus
hingga seluruh partikel tersebar luas secara merata atau mencapai keadaan
kesetimbangan dimana perpindahan molekul tetap terjadi walaupun tidak ada
perbedaan konsentrasi.
Pokok bahasan yang akan dibahas dalam penulisan ini tentang bentuk difusi
sederhana. Difusi sederhana terjadi secara spontan jika molekul suatu zat sama
dengan kerapatannya dalam suatu ruangan. Contoh penerapan dalam kehidupan
sehari-hari misalnya satu semprotan parfum akan menyebar ke seluruh ruangan
(difusi gas di dalam medium udara) dan molekul dari sesendok gula akan
menyebar ke seluruh volume air di dalam suatu gelas meskipun tanpa diaduk
(difusi zat padat di dalam medium air).
Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah difusi tersebut
adalah persamaan gelombang difusi dimensi satu (bergantung pada variabel ruang
dan waktu). Persamaan gelombang difusi adalah suatu bentuk penyederhanaan
dari persamaan gelombang air dangkal dengan beberapa asumsi. Penyederhanaan
dilakukan untuk memudahkan perhitungan. Persamaan gelombang difusi dimensi
satu sangat relevan untuk menentukan konsentrasi dari polutan. Perbedaan
konsentrasi yang ada pada kedua larutan yang mengalami difusi disebut gradien
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
konsentrasi. Difusi dapat terjadi ketika molekul dan ion yang terlarut dalam air
bergerak secara acak dengan konstan.
Diberikan persamaan gelombang difusi sebagai berikut
𝑞𝑡 + 𝑞𝑥 = 𝑞(𝑞𝑥𝑥 ) + 𝑥
(3.15)
di sini fungsi 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah konsentrasi polutan, fungsi t adalah variabel waktu
dan x adalah variabel ruang (posisi).
Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.15) sebagai berikut
𝑞(𝑥, 0) = 𝑞0 = 1.
(3.16)
Dengan menggunakan langkah-langkah pada metode iterasi variasional, dapat
dibentuk suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan (3.15)
𝑡
𝑞𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑞𝑛 (𝑥, 𝑡) + ∫0 𝜆(𝜉) [
𝜕𝑞𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝜉
+
𝜕𝑞̃𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
− 𝑞̃𝑛 (𝑥, 𝜉) (
𝜕2 𝑞̃𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥 2
) − 𝑥] 𝑑𝜉,
(3.17)
dimana 𝜆 adalah pengali Lagrange; 𝑞̃𝑛𝑥 adalah suatu variasi terbatas. Teknik
integral parsial seperti pada persamaan (2.3) dan (2.4) sangat diperlukan untuk
memperoleh kondisi stasioner berikut
𝜆′ (𝜉) = 0,
(3.18a)
1 + 𝜆(𝜉)|𝜉=𝑡 = 0.
(3.18b)
Persamaan (3.18a) adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan (3.18b)
adalah syarat batas. Kita peroleh nilai pengali Lagrange yaitu 𝜆 = −1. Subtitusi
nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.17) sehingga
membentuk rumus iterasi
𝑡 𝜕𝑞𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝜉
𝑞𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑞𝑛 (𝑥, 𝑡) − ∫0 [
+
𝜕𝑞𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
𝜕2 𝑞𝑛 (𝑥,𝜉)
)−
𝜕𝑥 2
− 𝑞𝑛 (𝑥, 𝜉) (
𝑥] 𝑑𝜉,
(3.19)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.19) dapat diperoleh nilai
pendekatan pertama, kedua, ketiga dan keempat dari solusi analitik berikut
𝑞0 (𝑥, 𝑡) = 1
𝑞1 (𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1
1
𝑞2 (𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 − 2 𝑡 2
(3.20)
(3.21)
(3.22)
𝑞3 (𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 − 2 𝑡 2
(3.21)
1
1
(3.22)
𝑞4 (𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 − 2 𝑡 2
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
(a) 𝑞4 (𝑥, 𝑡) dimensi tiga
(b) 𝑞4 (𝑥, 𝑡) dimensi dua
Gambar 3.2. Grafik hasil iterasi konsentrasi polutan ⁡𝑞4 (𝑥, 𝑡) pada persamaan
gelombang difusi.
Grafik pada Gambar 3.2a diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga
dan untuk Gambar 3.2b diperoleh dengan bantuan Sofware MATLAB dimensi
dua. Gradien menggambarkan perubahan konsentrasi polutan (q) terhadap
perubahan posisi (x). Dari Gambar 3.2b terlihat bahwa konsentrasi polutan
membentuk garis lurus yang artinya bahwa semakin waktu bertambah maka
gradien konsentrasi polutan akan semakin besar. Pada grafik tersebut masingmasing garis lurus tidak berpotongan tetapi saling bersilangan sehingga tidak ada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
titik potong sehingga semakin waktu bertambah maka perubahan posisi (x) akan
semakin cepat.
C. Persamaan Gelombang Gravitasi
Bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan
menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang gravitasi.
Referensi pada bagian ini dikaji ulang oleh Martins, Leandro, dan Djordjevic
(2016), serta dari buku karangan Wazwaz (2009).
Persamaan Saint-Venant atau sering dikenal sebagai persamaan gelombang
air dangkal dapat disederhanakan menjadi beberapa persamaan gelombang.
Persamaan gelombang gravitasi dimensi satu (bergantung pada variabel waktu dan
ruang) merupakan bentuk penyerhanaan dari persamaan gelombang air dangkal
dengan mengabaikan suku konvektif dan mengabaikan gesekan topografi serta
kemiringan topografi. Tujuan dari penyederhanaan adalah untuk kepentingan
kepraktisan, penghitungan komputasi lebih cepat dan dapat menggambarkan
masalah nyata secara fisik. Persamaan gelombang air dangkal merupakan suatu
persamaan yang dapat dimodelkan secara matematis dari fenomena fisik aliran air
dimensi satu.
Gelombang gravitasi merupakan suatu riak gangguan di alam semesta
berbentuk gelombang lengkung yang bergerak semakin menjauhi sumbernya.
Gelombang gravitasi memerlukan medium untuk merambat. Gelombang gravitasi
dihasilkan oleh obyek di alam semesta ini yang bergerak dengan kecepatan dan
arah tertentu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Diberikan persamaan gelombang gravitasi sebagai berikut
ℎ𝑡 + 𝑞𝑥 = 0,
𝑔
{
𝑞𝑡 + 2 (ℎ2 )𝑥 = 0.
(3.23)
dengan fungsi ℎ(𝑥, 𝑡) adalah kedalaman atau ketinggian air, 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah
debit/volume air, 𝑔 adalah percepatan gravitasi, t adalah variabel waktu dan x
adalah variabel ruang.
Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.23) sebagai berikut
ℎ(𝑥, 0) = ⁡0.1⁡sech2 (0.2𝑥)
and
𝑞(𝑥, 0) = 0.
(3.24)
Dari persamaan (3.24) dapat dibentuk menjadi suatu fungsi koreksi yaitu
𝑡
ℎ𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = ℎ𝑛 (𝑥, 𝑡) + ∫0 𝜆1 (𝜉) [
𝑡
𝑞𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑞𝑛 (𝑥, 𝑡) + ∫0 𝜆2 (𝜉) [
𝜕ℎ𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑞𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝜉
𝜕𝜉
+
𝜕𝑞̃𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
] 𝑑𝜉,
̃ (𝑥,𝜉)
𝜕ℎ
+ 𝑔ℎ̃𝑛 (𝑥, 𝜉) 𝑛𝜕𝑥 ] 𝑑𝜉⁡,⁡
(3.25)
(3.26)
di sini𝜆1 dan 𝜆2 adalah pengali Lagrange; 𝑞̃𝑛𝑥 dan ℎ̃𝑛𝑥 adalah variasi terbatas.
Dapat disusun kondisi stasioner dari persamaan (3.25) dan (3.26) menjadi
𝜆′1 (𝜉) = 0,
(3.27a)
1 + 𝜆1 (𝜉)|𝜉=𝑡 = 0,
(3.27b)
𝜆′ 2 (𝜉) = 0,
(3.28a)
1 + 𝜆2 (𝜉)|𝜉=𝑡 = 0,
(3.28b)
dan
Persamaan (3.27a) dan (3.28a) adalah persamaan Euler-Lagrange.
Persamaan (3.27b) dan (3.28b) merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali
Lagrange 𝜆1 = 𝜆2 = −1 ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.25) dan (3.26).
Berikut rumus iterasi variasionalnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
𝑡 𝜕ℎ𝑛 (𝑥,𝜉)
ℎ𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = ℎ𝑛 (𝑥, 𝑡) − ∫0 [
𝜕𝜉
𝑡 𝜕𝑞𝑛 (𝑥,𝜉)
𝑞𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑞𝑛 (𝑥, 𝑡) − ∫0 [
𝜕𝜉
+
𝜕𝑞𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
+ 𝑔ℎ𝑛 (𝑥, 𝜉)
] 𝑑𝜉,
(3.29)
𝜕ℎ𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
] 𝑑𝜉.
(3.30)
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.29) dan (3.30) dapat
diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut
ℎ0 (𝑥, 𝑡) = ⁡0.1⁡sech2 (0.2𝑥)
𝑞0 (𝑥, 𝑡) = 0
ℎ1 (𝑥, 𝑡) = ⁡0.1⁡sech2 (0.2𝑥)
𝑞1 (𝑥, 𝑡) = 0.03924 sech(0.2𝑥)4 tanh(0.2𝑥)𝑡
1
ℎ2 (𝑥, 𝑡) = cosh(0.2𝑥)6 (0.1(cosh(0.2𝑥)4 ) + 0.15696⁡𝑡 2 cosh(0.2𝑥)2 −
(3.31)
(3.32)
(3.33)
(3.34)
(3.35)
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0.1962⁡𝑡 2 )
𝑞2 (𝑥, 𝑡) = 0.03924 sech(0.2𝑥)4 tanh(0.2𝑥)𝑡
ℎ3 (𝑥, 𝑡) =
1
(0.1(cosh(0.2𝑥)4 ) +
cosh(0.2𝑥)6
2)
2
2
0.15696⁡𝑡 cosh(0.2𝑥) −
(3.36)
(3.37)
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0.1962⁡𝑡
𝑞3 (𝑥, 𝑡) =
1
(sinh(0.2𝑥)(0.03924 cosh(0.2𝑥)8
cosh(0.2𝑥)13
+ 0.0003866935874⁡𝑡 4 cosh(0.2𝑥)4
− 0.001208417461⁡𝑡 4 cosh(0.2𝑥)2
+ 0.0009063130954⁡𝑡 4
+ 0.006159110400⁡𝑡 2 cosh(0.2𝑥)6
− 0.01026518400⁡𝑡 2 cosh(0.2𝑥)4 )𝑡)
(3.38)
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
(a) ℎ3 (𝑥, 𝑡) dimensi tiga
(b) 𝑞3 (𝑥, 𝑡) dimensi tiga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
(c) ℎ3 (𝑥, 𝑡) dimensi dua
(d) 𝑞3 (𝑥, 𝑡) dimensi dua
Gambar 3.3. Grafik hasil iterasi ℎ3 (𝑥, 𝑡) dan 𝑞3 (𝑥, 𝑡) pada persamaan gelombang
gravitasi.
Grafik pada Gambar 3.3 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga.
Dari Grafik (3.3a) dapat diamati bahwa kedalaman/ketinggian⁡(ℎ) mencapai titik
maksimum
di
0,1
saat
𝑥 = 0.
Jika
waktu
bertambah
maka
kedalaman/ketinggiannya akan semakin tinggi (merambat ke kiri dan kanan). Dari
Grafik (3.3b) menggambarkan bahwa saat debit/volume berkurang maka
perambatan gelombang ke arah kiri dan pada saat debit/volume bertambah maka
perambatan gelombang ke arah kanan.
D. Persamaan Gelombang Kinematik
Paparan berikut ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan
menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang kinematik.
Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Miller (1984) dan buku
karangan Wazwaz (2009).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Model gelombang kinematik dapat digunakan untuk menghitung aliran air
di sepanjang bidang atau papan pipa saluran air terhadap waktu dan ruang. Salah
satu contoh penerapan gelombang kinematik dalam kehidupan sehari-hari adalah
misalnya saat terjadi turun hujan, air hujan jatuh ke permukaan atap rumah yang
posisinya miring kemudian air hujan tersebut menetes ke bawah. Pada saat turun
hujan tersebut, aliran air mengalir di sepanjang atap tersebut kemudian semakin
lama semakin berkumpul di titik posisi yang paling rendah dari atap rumah
sehingga ketinggian air di titik tertinggi atap berbeda dengan ketinggian air di titik
terendah atap rumah.
Persamaan gelombang kinematik merupakan bentuk penyederhanaan dari
persamaan saint-venant atau yang lebih dikenal sebagai persamaan gelombang air
dangkal. Persamaan gelombang kinematik dimensi satu (bergantung pada variabel
waktu dan ruang) disederhanakan dengan mengabaikan suku gravitasi dari
persamaan gelombang air dangkal. Penyederhanaan ini dilakukan agar
perhitungan lebih mudah dan dapat mengetahui perilaku dari grafik persamaan
gelombang kinematik.
Diberikan persamaan gelombang kinematik sebagai berikut
2
ℎ𝑡 + ℎ3 ℎ𝑥 = 𝑥
(3.39)
dimana fungsi ℎ(𝑥, 𝑡) adalah ketinggian atau kedalaman gelombang, fungsi t
adalah variabel waktu dan x adalah variabel ruang (posisi).
Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.39) sebagai berikut
ℎ(𝑥, 0) = ℎ0 = 1.
(3.40)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Fungsi koreksi dari sistem persamaan (3.39) dapat disusun dengan menggunakan
langkah-langkah pada metode iterasi variasional
ℎ𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = ℎ𝑛 (𝑥, 𝑡) +
𝑡
𝜕ℎ (𝑥,𝜉)
∫0 𝜆(𝜉) [ 𝑛𝜕𝜉
2
̃
3 𝜕ℎ (𝑥,𝜉)
+ (ℎ̃𝑛 (𝑥, 𝜉)) 𝑛
− 𝑥] 𝑑𝜉,
𝜕𝑥
(3.41)
dengan 𝜆 adalah pengali Lagrange; ℎ̃𝑛𝑥 adalah variasi terbatas. Untuk
memperoleh kondisi stasioner berikut dapat dilakukan dengan teknik integral
parsial
𝜆′ (𝜉) = 0,
(3.42a)
1 + 𝜆(𝜉)|𝜉=𝑡 = 0.
(3.42b)
Persamaan (3.42a) adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan (3.42b)
merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi
persamaan (3.41) sehingga diperoleh rumus iterasi variasional sebagai berikut
𝑡 𝜕ℎ𝑛 (𝑥,𝜉)
ℎ𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = ℎ𝑛 (𝑥, 𝑡) − ∫0 [
𝜕𝜉
2
+ (ℎ𝑛 (𝑥, 𝜉))3
𝜕ℎ𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
− 𝑥] 𝑑𝜉.⁡
(3.43)
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.43) dapat diperoleh nilai
pendekatan pertama dan kedua dari solusi analitik berikut
ℎ0 (𝑥, 𝑡) = 1
(3.44)
ℎ1 (𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1
(3.45)
5
3
ℎ2 (𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 − 40 (
5
5(𝑡𝑥+1)3 .𝑡𝑥−3(𝑡𝑥+1)3 +3
𝑥2
)
(3.46)
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
(a) ℎ2 (𝑥, 𝑡) dimensi tiga
(b) ℎ2 (𝑥, 𝑡) dimensi dua
Gambar 3.4. Grafik hasil iterasi⁡ℎ2 (𝑥, 𝑡) pada persamaan gelombang kinematik.
Grafik pada Gambar 3.4a diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga
dan untuk Gambar 3.4b diperoleh dengan bantuan Sofware MATLAB dimensi
dua. Gradien menggambarkan perubahan ketinggian gelombang (ℎ) terhadap
perubahan posisi (x). Dari Gambar 3.4b terlihat bahwa ketinggian gelombang
membentuk garis lurus yang artinya bahwa semakin waktu bertambah maka
gradien ketinggian gelombang akan semakin besar. Pada grafik tersebut masingmasing garis lurus tidak berpotongan tetapi saling bersilangan sehingga tidak ada
titik potong sehingga semakin waktu bertambah maka perubahan posisi (x) akan
semakin cepat.
E. Persamaan Gelombang Elastik
Bahasan pada bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik
dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang
elastik. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Timoshenko,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Goodier, dan Sebayang (1984), buku karangan Wazwaz (2009) serta LeVeque
(2002).
Hampir semua bahan teknik memiliki sifat tertentu yaitu elastisitas
(elasticity). Apabila gaya luar menghasilkan perubahan bentuk tidak melebihi
batas tertentu, maka perubahan bentuk hilang sesudah gaya dilepas. Suatu benda
dikatakan benar-benar elastis secara sempurna apabila benda kembali semula
secara utuh sesudah gaya dilepas. Salah satu contoh aplikasi gelombang elastik
yaitu dapat diamati bahwa tangan kita menekan penggaris pada bagian tengahnya
kemudian akan kembali ke posisi semula saat dilepaskan.
Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah dalam bahasan
penulisan ini adalah persamaan gelombang elastik nonlinear. Persamaan
gelombang
elastik
yang
dibahas
dalam
penulisan
ini
adalah
bentuk
penyederhanaan dari artikel karangan LeVeque (2002) dengan beberapa asumsi.
Secara umum, persamaan gelombang elastik nonlinear sebagai berikut
𝜀𝑡 (𝑥, 𝑡) − 𝑢𝑥 (𝑥, 𝑡) = 0,
(𝜌(𝑥)𝑢(𝑥, 𝑡))𝑡 − 𝜎(𝜀(𝑥, 𝑡), 𝑥)𝑥 = 0,
{
(3.47)
dengan 𝜀(𝑥, 𝑡) adalah regangan, 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan, 𝜌(𝑥) adalah massa
jenis dan 𝜎(𝜀, 𝑥) adalah tegangan. Dari persamaan (3.47) terdapat hubungan 𝑚 =
𝜌. 𝑢 yang melambangkan momentum dan 𝜎(𝜀, 𝑥) = 𝐾(𝑥)𝜀 yang melambangkan
hubungan tegangan dan regangan. Diasumsikan 𝜌(𝑥) = 1 dan 𝐾(𝑥)𝜀 = 1 agar
mempermudah perhitungan dan menjadi lebih sederhana sehingga menjadi bentuk
berikut
{
𝜀𝑡 − 𝑢𝑥 = 0,
𝑢𝑡 − (𝜀 + 𝜀 2 )𝑥 = 0.
(3.48)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.48) sebagai berikut
𝜀(𝑥, 0) = 0.1⁡sech2 (0.2𝑥)
𝑢(𝑥, 0) = 0.
dan
(3.49)
Suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan (3.48) dapat dibentuk menjadi
𝑡
𝜀𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝜀𝑛 (𝑥, 𝑡) + ∫0 𝜆1 (𝜉) [
𝜕𝑢𝑛 (𝑥,𝜉)
𝑡
𝑢𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) + ∫0 𝜆2 (𝜉) [
𝜕𝜉
−
𝜕𝜀𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝜉
𝜕𝜀̃𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
−
𝜕ũ𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
− 2𝜀̃𝑛 (𝑥, 𝜉)
] 𝑑𝜉,
𝜕𝜀̃𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
(3.50)
] 𝑑𝜉.
(3.51)
dimana 𝜆1 dan 𝜆2 adalah pengali Lagrange; 𝑢̃𝑛𝑥 dan 𝜀̃𝑛𝑥 adalah variasi terbatas.
Kondisi stasioner persamaan (3.50) dan (3.51) dapat diperoleh sebagai berikut
𝜆′1 (𝜉) = 0,
(3.52a)
1 + 𝜆1 (𝜉)|𝜉=𝑡 = 0,
(3.52b)
𝜆′ 2 (𝜉) = 0,
(3.53a)
1 + 𝜆2 (𝜉)|𝜉=𝑡 = 0,
(3.53b)
dan
Persamaan (3.52a) dan (3.53a) adalah persamaan Euler-Lagrange.
Persamaan (3.52b) dan (3.53b) merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali
Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.50) dan (3.51) sehingga diperoleh
rumus iterasi variasional sebagai berikut
𝑡 𝜕𝜀𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜀𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝜀𝑛 (𝑥, 𝑡) − ∫0 [
𝑡 𝜕𝑢𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝜉
𝑢𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) − ∫0 [
−
𝜕𝜉
−
𝜕𝜀𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
] 𝑑𝜉,⁡
− 2𝜀𝑛 (𝑥, 𝜉)
𝜕𝜀𝑛 (𝑥,𝜉)
] 𝑑𝜉.
𝜕𝑥
(3.54)
(3.55)
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.54) dan (3.55) dapat
diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut
𝜀0 (𝑥, 𝑡) = ⁡0.1⁡sech2 (0.2𝑥)
(3.56)
𝑢0 (𝑥, 𝑡) = 0
(3.57)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
𝜀1 (𝑥, 𝑡) = ⁡0.1⁡sech2 (0.2𝑥)
(3.58)
𝑢1 (𝑥, 𝑡) = −0.04 sech(0.2𝑥)2 tanh(0.2𝑥)𝑡 − 0.008 sech(0.2𝑥)4 tanh(0.2𝑥) 𝑡
(3.59)
10𝑡 2 cosh(0.2𝑥)4 +125 cosh(0.2𝑥)4 −11𝑡 2 cosh(0.2𝑥)2 −5𝑡 2
)
cosh(0.2𝑥)6
𝜀2 (𝑥, 𝑡) = 0.0008 (
(3.60)
𝑢2 (𝑥, 𝑡) = −0.04 sech(0.2𝑥)2 tanh(0.2𝑥)𝑡 − 0.008 sech(0.2𝑥)4 tanh(0.2𝑥) 𝑡
(3.61)
10𝑡 2 cosh(0.2𝑥)4 +125 cosh(0.2𝑥)4 −11𝑡 2 cosh(0.2𝑥)2 −5𝑡 2
)
cosh(0.2𝑥)6
(3.62)
𝜀3 (𝑥, 𝑡) = 0.0008 (
𝑢3 (𝑥, 𝑡) = −
0.0000000341333
((31250𝑡 2 cosh(0.2𝑥)10
cosh(0.2𝑥)13
+ ⁡300𝑡 4 cosh(0.2𝑥)8
+ ⁡1171875 cosh(0.2𝑥)10
− 56250𝑡 2 cosh(0.2𝑥)8
− 990𝑡 4 cosh(0.2𝑥)6
+ 234375 cosh(0.2𝑥)8
− 67500𝑡 2 cosh(0.2𝑥)6
+ 126𝑡 4 cosh(0.2𝑥)4 − 12500𝑡 2 cosh(0.2𝑥)4
+ 825 cosh(0.2𝑥)2 𝑡 4 + 225𝑡 4 )𝑡 sinh(0.2𝑥))
(3.63)
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
(a) 𝜀3 (𝑥, 𝑡) dimensi tiga
(b) 𝑢3 (𝑥, 𝑡) dimensi tiga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
(c)⁡𝜀3 (𝑥, 𝑡) dimensi dua
(d) 𝑢3 (𝑥, 𝑡) dimensi dua
Gambar 3.5. Grafik hasil iterasi 𝜀3 (𝑥, 𝑡) dan 𝑢3 (𝑥, 𝑡) pada persamaan gelombang
elastik.
Grafik pada Gambar 3.5 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga.
Dari Grafik (3.5a) dapat diamati bahwa regangan⁡(𝜀) mencapai titik maksimum di
0,1 saat 𝑥 = 0. Jika waktu bertambah maka regangan akan semakin tinggi
(merambat ke kiri dan kanan). Dari Grafik (3.5b) menggambarkan bahwa saat
kecepatan berkurang maka perambatan gelombang ke arah kiri dan pada saat
kecepatan bertambah maka perambatan gelombang ke arah kanan.
F. Persamaan Gelombang Akustik
Paparan pada bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik
dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang
akustik. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Wazwaz
(2009) dan artikel karangan LeVeque (2002).
Persamaan gelombang elastik adalah suatu pemodelan untuk perambatan
gelombang. Persamaan gelombang elastik dapat disederhanakan menjadi
persamaan gelombang akustik dengan beberapa asumsi. Akustik termasuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
gelombang bunyi. Model dari persamaan gelombang akustik berupa perubahan
tekanan dan kecepatan dari suatu sistem. Salah satu penerapan persamaan
gelombang akustik dalam kehidupan sehari-hari yang sering kita lakukan
misalnya saat kita berbicara dalam satu ruangan yang sama, kita dapat
mendengarkan suara orang yang sedang berbicara merupakan suatu bentuk
perambatan gelombang bunyi.
Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah dalam bahasan
penulisan ini adalah persamaan gelombang akustik dimensi satu (bergantung pada
variabel ruang dan waktu). Persamaan gelombang akustik yang dibahas dalam
penulisan ini adalah bentuk penyederhanaan dari artikel karya LeVeque (2002)
dengan beberapa asumsi.
Secara umum, persamaan gelombang akustik dimensi satu sebagai berikut
𝑝𝑡 + 𝐾(𝑥)𝑢𝑥 = 0,
{
𝜌(𝑥)𝑢𝑡 + 𝑝𝑥 = 0,
(3.64)
di sini 𝑝(𝑥, 𝑡) adalah tekanan, 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan, 𝜌(𝑥) adalah massa jenis
dan 𝐾(𝑥) adalah koefisien dari satuan tegangan (kelembaman). Diasumsikan
𝜌(𝑥) = 1 dan 𝐾(𝑥) = 1 agar mempermudah perhitungan dan menjadi lebih
sederhana sehingga menjadi bentuk berikut
𝑝 + 𝑢𝑥 = 0,
{𝑢𝑡 + 𝑝 = 0.
𝑡
𝑥
(3.65)
Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.65) sebagai berikut
𝑝(𝑥, 0) = 0.1⁡sech2 (0.2𝑥) dan 𝑢(𝑥, 0) = 0.
(3.66)
Fungsi koreksi dari sistem persamaan (3.65) dapat disusun dengan menggunakan
langkah-langkah metode iterasi variasional diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
𝑡
𝑝𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑝𝑛 (𝑥, 𝑡) + ∫0 𝜆1 (𝜉) [
𝜕𝑝𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝜉
𝑡
𝑢𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) + ∫0 𝜆2 (𝜉) [
+
𝜕𝑢𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝜉
𝜕ũ𝑛 (𝑥,𝜉)
] 𝑑𝜉,
𝜕𝑥
+
𝜕𝑝̃𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
] 𝑑𝜉.
(3.67)
(3.68)
dengan 𝜆1 dan 𝜆2 adalah pengali Lagrange; 𝑢̃𝑛𝑥 dan 𝜀̃𝑛𝑥 adalah variasi terbatas.
Kondisi stasioner persamaan (3.67) dan (3.68) sebagai berikut
𝜆′1 (𝜉) = 0,
(3.69a)
1 + 𝜆1 (𝜉)|𝜉=𝑡 = 0,
(3.69b)
𝜆′ 2 (𝜉) = 0,
(3.70a)
1 + 𝜆2 (𝜉)|𝜉=𝑡 = 0,
(3.70b)
dan
Persamaan (3.69a) dan (3.70a) adalah persamaan Euler-Lagrange.
Persamaan (3.69b) dan (3.70b) termasuk ke dalam syarat batas. Sekarang,
subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.67) dan
(3.68) diperoleh rumus iterasi variasionalnya yaitu
𝑡 𝜕𝑝𝑛 (𝑥,𝜉)
𝑝𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑝𝑛 (𝑥, 𝑡) − ∫0 [
𝜕𝜉
+
𝑡 𝜕𝑢𝑛 (𝑥,𝜉)
𝑢𝑛+1 (𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑛 (𝑥, 𝑡) − ∫0 [
𝜕𝜉
𝜕𝑢𝑛 (𝑥,𝜉)
+
𝜕𝑥
] 𝑑𝜉,⁡
𝜕𝑝𝑛 (𝑥,𝜉)
𝜕𝑥
] 𝑑𝜉.
(3.71)
(3.72)
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.71) dan (3.72) dapat
diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut
𝑝0 (𝑥, 𝑡) = ⁡0.1⁡sech2 (0.2𝑥)
(3.73)
𝑢0 (𝑥, 𝑡) = 0
(3.74)
𝑝1 (𝑥, 𝑡) = ⁡0.1⁡sech2 (0.2𝑥)
(3.75)
𝑢1 (𝑥, 𝑡) = 0.04⁡sech⁡(0.2𝑥)2 tanh(0.2𝑥)𝑡
(3.76)
𝑝2 (𝑥, 𝑡) = 0.1 sech(0.2𝑥)2 − 0.5(−0.016 sech(0.2𝑥)2 tanh(0.2𝑥)2 +
(3.77)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0.04 sech(0.2𝑥)2 (0.2 − 0.2 tanh(0.2𝑥)2 ))𝑡 2
𝑢2 (𝑥, 𝑡) = 0.04⁡sech⁡(0.2𝑥)2 tanh(0.2𝑥)𝑡
(3.78)
𝑝3 (𝑥, 𝑡) = 0.1 sech(0.2𝑥)2 − 0.5(−0.016 sech(0.2𝑥)2 tanh(0.2𝑥)2 +
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0.04 sech(0.2𝑥)2 (0.2 − 0.2 tanh(0.2𝑥)2 ))𝑡 2
(3.79)
𝑢3 (𝑥, 𝑡) = ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0.04sech⁡(0.2𝑥)2 tanh(0.2𝑥) 𝑡 −
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0.33(−0.0032sech⁡(0.2𝑥)2 tanh⁡(0.2𝑥)3 +
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0.032sech⁡(0.2𝑥)2 tanh⁡(0.2𝑥)(0.2 − 0.2tanh⁡(0.2𝑥)2 ))𝑡 3
(3.80)
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
(a) 𝑝3 (𝑥, 𝑡) dimensi tiga
(c)⁡𝑝3 (𝑥, 𝑡) dimensi dua
(b) 𝑢3 (𝑥, 𝑡) dimensi tiga
(d) 𝑢3 (𝑥, 𝑡) dimensi dua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Gambar 3.6. Grafik hasil iterasi 𝜀3 (𝑥, 𝑡) dan 𝑢3 (𝑥, 𝑡) pada persamaan
gelombang akustik.
Grafik pada Gambar 3.6 diperoleh dengan bantuan Software MATLAB dimensi
dua. Dari Grafik (3.6c) dapat diamati bahwa tekanan⁡(𝑝) mencapai titik
maksimum di 0,1 saat 𝑥 = 0. Jika waktu bertambah maka tekanan akan semakin
tinggi (merambat ke kiri dan kanan). Dari Grafik (3.6d) menggambarkan bahwa
saat kecepatan berkurang maka perambatan gelombang ke arah kiri dan pada saat
kecepatan bertambah maka perambatan gelombang ke arah kanan.
Hasil penelitian pada bab ini telah dipresentasikan pada Conference on
Fundamental and Applied Science for Advanced Technology 2016 dan sudah
diterbitkan di Jurnal International AIP Conference Proceedings serta pada
Conference on Theoretical Physics and Nonlinear Phenomena dan akan terbit di
Jounal of Physics Confererence Series pada 2017.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
KONVERGENSI METODE ITERASI VARIASIONAL
Pada bab ini akan membahas tentang konvergensi metode iterasi variasioal
pada persamaan diferensial parsial nonlinear dan contoh penggunaan persamaan
diferensial parsial nonlinear. Bahasan tentang konvergensi metode iterasi
variasional diperoleh dari artikel karya Odibat (2010).
A. Pendekatan Alternatif Metode Iterasi Variasional
Pada bagian ini, akan memaparkan tentang pendekatan alternatif metode
iterasi variasional. Metode iterasi variasional dapat diimplementasikan, dipercaya
dan efisien dalam menyelesaikan permasalahan pada persamaan diferensial parsial
nonlinear.
Diberikan persamaan (2.1) berikut:
𝐿𝑢 + 𝑁𝑢 = 𝑔(𝑡), 𝑡 > 0
(4.1)
𝑑𝑚
dimana 𝐿 adalah operator linear yang didefinisikan sebagai 𝐿 = 𝑑𝑡 𝑚 dengan 𝑚 ∈
ℕ, 𝑁 adalah operator nonlinear, dan 𝑔(𝑡) adalah suatu bentuk suku nonhomogen
memiliki nilai awal
𝑢(𝑘) 0 = 𝑐𝑘 , 𝑘 = 0,1, … , 𝑚 − 1
(4.2)
dimana 𝑐𝑘 adalah bilangan real. Dengan menggunakan metode iterasi variasional
dapat dibentuk suatu fungsi koreksi dari persamaan (2.1) yaitu sebagai berikut:
𝑡
𝑢𝑘+1 (𝑡) = 𝑢𝑘 (𝑡) + ∫0 𝜆(𝜏){ 𝐿𝑢𝑘 (𝜏) + 𝑁ũ𝑘 (𝜏) − 𝑔(𝜏)}𝑑𝜏,
48
(4.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
dimana 𝜆 adalah suatu pengali Lagrange yang dapat diidentifikasi secara optimal
dengan teori variasional, dan ũ𝑘 adalah suatu variasi terbatas yang dilambangkan
dengan 𝛿ũ𝑘 = 0,
𝑡
𝛿𝑢𝑘+1 (𝑡) = 𝛿𝑢𝑘 (𝑡) + 𝛿 ∫0 𝜆(𝜏){ 𝐿𝑢𝑘 (𝜏) − 𝑔(𝜏)}𝑑𝜏,
(4.4)
menggunakan teknik integral parsial dari persamaan (2.3) dan (2.4), dapat
diperoleh nilai pengali Lagrange 𝜆(𝜉) sebagai berikut
𝜆(𝜏) = −1, untuk 𝑚 = 1,
(4.5)
𝜆(𝜏) = 𝜏 − 𝑡, untuk 𝑚 = 2,
(4.6)
dan rumus umum nilai pengali Lagrange (4.5) dan (4.6) adalah
(−1)𝑚
𝜆(𝜏) = (𝑚−1)! (𝜏 − 𝑡)𝑚−1 , untuk 𝑚 ≥ 1.
(4.7)
Substitusi persamaan (4.7) ke dalam persamaan (4.3) diperoleh rumus iterasi
sebagai berikut
𝑡 (−1)𝑚
𝑢𝑘+1 (𝑡) = 𝑢𝑘 (𝑡) + ∫0 (𝑚−1)! (𝜏 − 𝑡)𝑚−1 { 𝐿𝑢𝑘 (𝜏) + 𝑁𝑢𝑘 (𝜏) − 𝑔(𝜏)}𝑑𝜏.
(4.8)
Sekarang, didefinisikan operator 𝐴[𝑢] sebagai berikut
𝑡 (−1)𝑚
𝐴[𝑢] = ∫0 [(𝑚−1)! (𝜏 − 𝑡)𝑚−1 𝐿𝑢𝑘 (𝜏) + 𝑁𝑢𝑘 (𝜏) − 𝑔(𝜏)] 𝑑𝜏,
(4.9)
Iterasi dari persamaan (4.9) 𝑣𝑘 , 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …
𝑣0 = 𝑢0
𝑣1 = 𝐴[𝑣0 ]
𝑣2 = 𝐴[𝑣0 + 𝑣1 ]
⋮
𝑣𝑘+1 = 𝐴[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑘 ]
(4.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
dari persamaan (4.10) diperoleh rumus umum yaitu 𝑢(𝑡) = lim 𝑢𝑘 (𝑡) = ∑∞
𝑘=0 𝑣𝑘 .
𝑘→∞
Persamaan (4.1) dapat didiferensialkan menggunakan persamaan (4.9) dan (4.10)
menghasilkan solusi berbentuk
𝑢(𝑡) = ∑∞
𝑘=0 𝑣𝑘 (𝑡).
(4.11)
Pendekatan awal 𝑣0 = 𝑢0 dapat dipilih jika itu memenuhi syarat awal dan syarat
batas dari persoalan. Keberhasilan suatu metode tergantung dari pendekatan awal
𝑣0 yang dipilih. Syarat awal pada persamaan (4.2) cocok untuk digunakan dalam
penyelesaian persamaan (4.1). Rumus umum dari persamaan (12) dapat dituliskan
dalam bentuk seperti
𝑐
𝑘 𝑘
𝑣0 = ∑𝑚−1
𝑘=0 𝑘! 𝑡 .
(4.12)
B. Analisis Konvergensi
Bagian ini akan membahas tentang konvergensi metode iterasi variasional
berdasarkan fakta-fakta yang diketahui dari pendekatan alternatif pada bagian
sebelumnya.
Teorema 4.1.
Diberikan operator 𝐴 ∶ 𝐻 → 𝐻. Solusi deret persamaan (4.11) akan
konvergen jika ∃ 0 < 𝛾 < 1 sedemikian sehingga ‖𝐴[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑘+1 ]‖ ≤
𝛾‖𝐴[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑘 ]‖ (‖𝑣𝑘+1 ‖ ≤ 𝛾‖𝑣𝑘 ‖), ∀ 𝑘 ∈ ℕ ∪ {0}.
Bukti.
Didefinisikan barisan {𝑆𝑛 }∞
𝑛=0 sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
𝑆0 = 𝑣0
𝑆1 = 𝑣0 + 𝑣1
𝑆2 = 𝑣0 + 𝑣1 + 𝑣2
(4.13)
⋮
𝑆𝑛 = 𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑛
akan dibuktikan bahwa {𝑆𝑛 }∞
𝑛=0 adalah barisan Cauchy di ruang Hilbert H.
Diperhatikan persamaan berikut
‖𝑆𝑛+1 − 𝑆𝑛 ‖ = ‖𝑣𝑛+1 ‖ ≤ 𝛾‖𝑣𝑛 ‖ ≤ 𝛾 2 ‖𝑣𝑛−1 ‖ ≤ ⋯ ≤ 𝛾 𝑛+1 ‖𝑣0 ‖.
(4.14)
Untuk setiap 𝑛, 𝑗 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 𝑗, maka
‖𝑆𝑛 − 𝑆𝑗 ‖ = ‖(𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 ) + (𝑆𝑛−1 − 𝑆𝑛−2 ) + ⋯ + (𝑆𝑗+1 − 𝑆𝑗 )‖
≤ ‖𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 ‖ + ‖𝑆𝑛−1 − 𝑆𝑛−2 ‖ + ⋯ + ‖𝑆𝑗+1 − 𝑆𝑗 ‖
≤ 𝛾 𝑛 ‖𝑣0 ‖ + 𝛾 𝑛−1 ‖𝑣0 ‖ + ⋯ + 𝛾 𝑗+1 ‖𝑣0 ‖
=
1−𝛾𝑛−𝑗
1−𝛾
(4.15)
𝛾 𝑗+1 ‖𝑣0 ‖,
dan ketika 0 < 𝛾 < 1, diperoleh
lim ‖𝑆𝑛 − 𝑆𝑗 ‖ = 0.
𝑛,𝑗→∞
(4.16)
Oleh karena itu, persamaan (4.13) adalah barisan Cauchy di ruang Hilbert H dan
telah dibuktikan bahwa solusi deret dari persamaan (4.11) konvergen. ∎
Teorema 4.2.
Jika solusi deret persamaan (4.11) konvergen, maka deret tersebut
merupakan solusi eksak dari persamaan (4.1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Bukti.
Diambil sembarang solusi deret dari persamaan (4.11) yang konvergen, misalkan
∅(𝑡) = ∑∞
𝑘=0 𝑣𝑘 (𝑡) sehingga
lim 𝑣𝑗 = 0,
(4.17)
∑𝑛𝑗=0[𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗 ] = 𝑣𝑛+1 − 𝑣0 .
(4.18)
𝑗→∞
Persamaan (4.17) disubstitusikan ke persamaan (4.18) menjadi
∑∞
𝑗=0[𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗 ] = lim 𝑣𝑗 − 𝑣0 = −𝑣0 .
𝑗→∞
(4.19)
𝑑𝑚
Operator 𝐿 merupakan turunan m terhadap t yang dilambangkan dengan 𝐿 = 𝑑𝑡 𝑚 .
Kedua ruas pada persamaan (4.19) diturunkan menggunakan operator L, maka
diperoleh
∑∞
𝑗=0 𝐿[𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗 ] = −𝐿[𝑣0 ] = 0.
(4.20)
Seperti yang telah didefinisikan pada persamaan (4.10), diperoleh persamaan
sebagai berikut
𝐿[𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗 ] = 𝐿[𝐴[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑗 ] − 𝐴[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑗−1 ]]
(4.21)
ketika nilai 𝑗 ≥ 1 dan menggunakan definisi dari persamaan (4.9) sehingga
diperoleh
𝑡 (−1)𝑚
𝐿[𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗 ] = 𝐿 {∫0 [(𝑚−1)! (𝜏 − 𝑡)𝑚−1 (𝐿[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑗 ] −
𝐿[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑗−1 ] + 𝑁[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑗 ] −
(4.22)
𝑁[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑗−1 ])] 𝑑𝜏} , 𝑗 ≥ 1.
Operator L pada persamaan (4.22) merupakan turunan yang bergantung pada nilai
m, sedangkan notasi integral pada ruas kanan persamaan (4.22) pun merupakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
integral yang bergantung pada nilai m. Oleh karena hal tersebut, maka ruas kiri
pada persamaan (4.22) adalah turunan ke m dari integral m, diperoleh
𝐿[𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗 ] = 𝐿[𝑣𝑗 ] + 𝑁[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑗 ] − 𝑁[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑗−1 ]
(4.23)
Bentuk berikut merupakan suatu bentuk berhingga dari suatu deret yang
konvergen
∑𝑛𝑗=0 𝐿[𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗 ] = 𝐿[𝑣0 ] + 𝑁[𝑣0 ] − 𝑔(𝑡)
+𝐿[𝑣1 ] + 𝑁[𝑣0 + 𝑣1 ] − 𝑁[𝑣0 ]
+𝐿[𝑣2 ] + 𝑁[𝑣0 + 𝑣1 + 𝑣2 ] − 𝑁[𝑣0 + 𝑣1 ]
⋮
+𝐿[𝑣𝑛 ] + 𝑁[𝑣0 + ⋯ + 𝑣𝑛 ] − 𝑁[𝑣0 + ⋯ + 𝑣𝑛−1 ].
(4.24)
Bentuk berikut merupakan bentuk tak berhingga dari suatu deret yang konvergen
∞
∞
∑∞
𝑗=0 𝐿[𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗 ] = 𝐿[∑𝑗=0 𝑣𝑗 ] + 𝑁[∑𝑗=0 𝑣𝑗 ] − 𝑔(𝑡).
(4.25)
Dari persamaan (4.20) dan (4.25) diperoleh bahwa deret ∅(𝑡) = ∑∞
𝑘=0 𝑣𝑘 (𝑡)
merupakan solusi dari persamaan (4.1). Teorema 4.2 sudah terbukti.
∎
Teorema 4.3.
Diberikan solusi deret ∑∞
𝑘=0 𝑣𝑘 (𝑡) yang konvergen ke solusi 𝑢(𝑡). Jika deret
𝑗
terpotong ∑𝑘=0 𝑣𝑘 (𝑡) digunakan sebagai pendekatan menuju solusi 𝑢(𝑡) pada
persamaan (4.11) maka error maksimal 𝐸𝑗 (𝑡) diperkirakan seperti berikut
1
𝐸𝑗 (𝑡) ≤ 1−𝛾 𝛾 𝑗+1 ‖𝑣0 ‖
Bukti.
Bentuk pertidaksamaan dari persamaan (4.15) pada Teorema 4.1 yaitu
(4.26)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
‖𝑆𝑛 − 𝑆𝑗 ‖ ≤
1−𝛾𝑛−𝑗
1−𝛾
𝛾 𝑗+1 ‖𝑣0 ‖, 𝑛 ≥ 𝑗.
(4.27)
Untuk nilai 𝑛 → ∞ maka 𝑆𝑛 → 𝑢(𝑡), sehingga
𝑗
‖𝑢(𝑡) − ∑𝑘=0 𝑣𝑘 ‖ ≤
1−𝛾𝑛−𝑗
1−𝛾
𝛾 𝑗+1 ‖𝑣0 ‖.
(4.28)
Oleh karena 0 < 𝛾 < 1 maka nilai 1 − 𝛾 𝑛−𝑗 < 1 (selalu positif), sehingga
persamaan (4.28) menjadi
1
𝑗
‖𝑢(𝑡) − ∑𝑘=0 𝑣𝑘 ‖ ≤ 1−𝛾 𝛾 𝑗+1 ‖𝑣0 ‖.
Persamaan (4.26) sudah terbukti maka Teorema 4.3 sudah terbukti.
(4.29)
∎
Kesimpulannya, Teorema 4.1 dan 4.2 menyatakan bahwa solusi iterasi
variasional dari persamaan diferensial nonlinear pada persamaan (4.1) diperoleh
menggunakan rumus iterasi (4.8) dan (4.10) akan konvergen menuju solusi eksak
dengan syarat ∃ 0 < 𝛾 < 1 seperti ‖𝐴[𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣𝑘+1 ]‖ ≤ 𝛾‖𝐴[𝑣0 + 𝑣1 +
⋯ + 𝑣𝑘 ]‖(‖𝑣𝑘+1 ‖ ≤ 𝛾‖𝑣𝑘 ‖),∀ 𝑘 ∈ ℕ ∪ {0}. Dengan kata lain, jika didefinisikan
untuk setiap 𝑖 ∈ ℕ ∪ {0} untuk parameter berikut
‖𝑣𝑖+1 ‖
𝛽𝑖 = {
‖𝑣𝑖 ‖
0,
, ‖𝑣𝑖 ‖ ≠ 0
(4.30)
‖𝑣𝑖 ‖ = 0
maka solusi deret ∑∞
𝑘=0 𝑣𝑘 (𝑡) akan konvergen menuju solusi eksak 𝑢(𝑡) saat 0 ≤
𝛽𝑖 < 1, ∀𝑖 ∈ ℕ ∪ {0}. Lebih lanjut lagi, seperti yang telah dinyatakan pada
Teorema 4.3 bahwa maksimum dari nilai mutlak pemotongan errornya
𝑗
1
diperkirakan seperti ‖𝑢(𝑡) − ∑𝑘=0 𝑣𝑘 ‖ ≤ 1−𝛽 𝛽 𝑗+1 ‖𝑣0 ‖ dimana nilai 𝛽 =
max {𝛽𝑖 , 𝑖 = 0, 1, … , 𝑗}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Catatan
Ketika 𝛽𝑖 berhingga (dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑙) nilainya boleh lebih dari satu dan 𝛽𝑖 ≤
1 untuk 𝑖 > 𝑙 akan konvergen menuju solusi eksak. Dengan kata lain, beberapa
kondisi awal 𝛽𝑖 yang berhingga tidak mempengaruhi kekonvergenan dari solusi
deret sehingga
‖𝑆𝑛 − 𝑆𝑗 ‖ ≤
1−𝛾𝑛−𝑗
1−𝛾
𝛾 𝑗−1 ‖𝑣𝑙+1 ‖ ,
(4.31)
Pada kasus ini, kekonvergenan pendekatan metode iterasi variasional bergantung
pada 𝛽𝑖 untuk 𝑖 > 𝑙.
C. Pendekatan Metode Iterasi Variasional dan Hasil Konvergensi
Pada bagian ini, akan membahas tentang penggunaan pendekatan alternatif
metode iterasi variasional untuk kasus-kasus persamaan diferensial parsial
nonlinear dan hasil konvergensi.
Andaikan terdapat persamaan diferensial parsial nonlinear berikut
𝜕𝑚
𝜕𝑡 𝑚
𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝑁𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥, 𝑡), 𝑡 > 0,
(4.32)
dimana 𝑚 ∈ ℕ, 𝑁 adalah suatu operator nonlinear dan 𝑔(𝑥, 𝑡) adalah suatu fungsi
analitik yang diketahui, dengan syarat awal sebagai berikut
𝑢(𝑘) (𝑥, 0) = 𝑓𝑘 (𝑥), 𝑘 = 0,1, … , 𝑚 − 1.
(4.33)
Solusi iterasi variasional 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑∞
𝑘=0 𝑣𝑘 (𝑥, 𝑡) diperoleh dengan rumus iterasi
berikut
𝑣0 = ∑𝑚−1
𝑘=0
𝑓𝑘 (𝑥) 𝑘
𝑡
𝑘!
(4.34)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
𝑡 (−1)𝑚
𝜕𝑚
𝑣𝑘+1 = ∫0 [(𝑚−1)! (𝜏 − 𝑡)𝑚−1 (𝜕𝑡 𝑚 [𝑣0 + ⋯ + 𝑣𝑘 ](𝑥, 𝜏) +
𝑁[𝑣0 + ⋯ + 𝑣𝑘 ](𝑥, 𝜏) − 𝑔(𝑥, 𝜏))] 𝑑𝜏
akan konvergen menuju solusi eksak dari persamaan (4.32) saat ∃ 0 < 𝛾 < 1
bahwa (‖𝑣𝑘+1 ‖ ≤ 𝛾‖𝑣𝑘 ‖), ∀ 𝑘 ∈ ℕ ∪ {0}.
D. Contoh Analisis Konvergensi Metode Iterasi Variasional pada Persamaan
Gelombang Difusi
Pada bagian ini, akan diberikan contoh penggunaan konvergensi dan hasil
konvergensi pada persamaan gelombang difusi. Penulis ingin mengetahui tingkat
kekonvergenan pada persamaan gelombang difusi karena pada bab sebelumnya
solusinya telah ditemukan dengan menggunakan metode iterasi variasional.
Langkah-langkah untuk memberikan hasil konvergensi pada persamaan
gelombang difusi berpedoman dari bagian sebelumnya yaitu persamaan (4.34).
Diberikan persamaan gelombang difusi persamaan (3.15) dan persamaan
(3.16). Rumus iterasi untuk persamaan (3.15) dapat ditentukan seperti pada
persamaan (4.34) berikut
𝑣(𝑥,0) = 1
𝑡
𝜕
𝜕
𝜕2
𝑣𝑘+1 = − ∫0 [(𝜕𝜏 [𝑣(𝑥,0) ] + 𝜕𝑥 [𝑣(𝑥0) ] − [𝑣(𝑥,0) ] 𝜕𝑥 2 [𝑣(𝑥,0) ] −
(4.35)
𝜏)] (𝑥, 𝜏)𝑑𝜏.
Dengan menggunakan rumus iterasi diperoleh hasil iterasi sebagai berikut
𝑣1 (𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1
(4.36)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
1
(4.37)
1
(4.38)
1
(4.39)
𝑣2 (𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 − 2 𝑡 2
𝑣3 (𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 − 2 𝑡 2
𝑣4 (𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 − 2 𝑡 2
⋮
Dapat disimpulkan bahwa solusi iterasi tersebut konvergen menuju solusi eksak
1
𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 − 2 𝑡 2 . Di ambil sembarang t dan x, misalkan saja 𝑡 = 1 dan 𝑥 =
1 untuk mempermudah dalam perhitungan‖𝑣𝑛 ‖ maka
‖𝑣1 ‖ = 1.1 + 1 = 2
(4.40)
1
3
‖𝑣2 ‖ = 1.1 + 1 − 12 =
2
2
1
3
‖𝑣3 ‖ = 1.1 + 1 − 12 =
2
2
1
3
‖𝑣4 ‖ = 1.1 + 1 − 12 =
2
2
(4.41)
(4.42)
(4.43)
⋮
Seperti pada persamaan (4.30), hasil konvergensi dari persamaan (4.36) sampai
dengan persamaan (4.39) yaitu
‖𝑣 ‖
𝛽1 = ‖𝑣2 ‖ =
1
3⁄
2
2
= 0,75
3⁄
‖𝑣 ‖
𝛽2 = ‖𝑣3 ‖ = 3⁄2 = 1
2
(4.40)
(4.41)
2
3⁄
‖𝑣 ‖
𝛽3 = ‖𝑣4 ‖ = 3⁄2 = 1
3
(4.42)
2
⋮
Hasil konvergensi persamaan (4.40) sampai dengan persamaan (4.43) telah
memenuhi syarat sesuai dengan pernyataan pada bagian catatan sehingga
persamaan (3.15) konvergen menuju solusi eksak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
ASPEK PENDIDIKAN
Penelitian bidang matematika perlu mengimplementasikan dengan aspekaspek pembelajaran matematika. Topik penelitian dalam tesis ini dapat
diimplementasikan dengan pembelajaan matematika untuk anak SMA maupun
mahasiswa S1 sehingga kelak dapat menjadi bahan pembelajaran bagi mereka.
Materi pada tesis ini terkait pula dengan mata pelajaran fisika yaitu tentang
gelombang. Sebagian pembahasan dalam tesis ini adalah hal baru yang belum
pernah dikerjakan oleh siapapun dan sebagian lagi hasil kajian dari peneliti
sebelumnya. Hal baru yang dikerjakan oleh penulis adalah menyelesaikan
persamaan gelombang air dangkal dan penyederhanaannya serta persamaan
gelombang elastis dan penyederhanaanya dengan menggunakan metode iterasi
variasional. Hasil kajian dalam tesis ini adalah menganalisis konvergensi
persamaan gelombang difusi dengan metode iterasi variasional.
Garis besar isi tesis ini dapat diimplementasikan dengan pembelajaran
matematika dan fisika. Beberapa persamaan gelombang yang telah di bahas pada
bab sebelumnya terkait pula dengan teori-teori dalam fisika. Metode untuk
mendapatkan solusi pada materi ini dengan menggunakan metode iterasi
variasional secara pendekatan analitis. Metode iterasi variasional saat ini telah
berkembang sangat luas untuk keperluan penelitian. Metode ini cukup rumit
dalam menyelesaikan kasus persamaan diferensial nonlinear tetapi metode ini
akan konvergen menuju solusi eksak.
58
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
A. Pelajar SMA
Konsep turunan atau diferensial dapat diterapkan banyak bidang misalnya
bidang teknik, ekonomi, kesehatan, kelajuan, dan lain-lain. Untuk menerapkan
konsep diferensial yang telah dipelajari, maka perlu terlebih dahulu membuat
model matematika terhadap masalah nyata.
Langkah-langkah yang perlu dilakukan agar suatu model sesuai terhadap
masalah nyata. Langkah pertama yaitu menemukan masalah nyata yang terdapat
di sekitar kehidupan sehari-hari. Langkah kedua yaitu mencatat faktor-faktor yang
mempengaruhi masalah nyata. Langkah ketiga yaitu memilih faktor-faktor yang
paling dominan, dengan bantuan dari bidang ilmu yang lain (misal bidang fisika
tentang gelombang) maka dicari hubungan matematika dengan faktor-faktor yang
paling dominan. Langkah keempat yaitu menyusun model matematika dari
masalah nyata. Langkah kelima yaitu menguji (validasi) kesesuaian model
terhadap masalah nyata. Jika model matematika sudah sesuai terhadap masalah
nyata maka dapat diperoleh solusi dari masalah nyata.
Pembelajaran matematika dapat diimplementasikan untuk pelajar Sekolah
Menengah Atas (SMA) yaitu
1. Mengenalkan kepada para siswa tentang dari persamaan diferensial. Persamaan
Diferensial (PD) adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan suatu
fungsi dengan derivatif-derivatifnya. Di bangku kelas XI SMA, para siswa
telah mendapatkan materi diferensial. Oleh karena itu, dengan penulisan tesis
ini, harapannya para siswa dapat mencicipi sedikit pengetahuan baru tentang
persamaan diferensial dari beberapa persamaan gelombang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Persamaan Diferensial (PD) dapat ditulis dalam dua bentuk:
a. Bentuk derivatif (bentuk turunan)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
adalah notasi turunan pertama.
Contoh:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥+𝑦
= 𝑥 2 +1.
b. Bentuk diferensial
Contoh dari bentuk derivatif di atas, jika ditulis dalam bentuk diferensial
adalah:
(𝑥 2 + 1)𝑑𝑦 = (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥
(𝑥 2 + 1)𝑑𝑦 − (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 = 0.
Contoh persamaan diferensial:
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
+ 𝑥𝑦(𝑑𝑥 )2 = 0,
(5.1)
Derajat persamaan diferensial adalah derajat tertinggi dari derivatif fungsi
dalam persamaan diferensial. Pada persamaan (5.1) memiliki derajat tertinggi
𝑑𝑦
yaitu dua dapat dilihat dari derivatif tertinggi dari 𝑑𝑥 sebagai turunan kedua.
2. Para siswa SMA pula telah belajar tentang macam-macam gelombang untuk
mata pelajaran Fisika. Harapannya, beberapa persamaan gelombang yang
terdapat dalam tesis ini dapat diimplementasikan terhadap pembelajaran
matematika dan fisika untuk para siswa. Persamaan gelombang tersebut dapat
diselesaikan dengan metode iterasi variasional yang berlandaskan persamaan
diferensial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Contohnya persamaan gelombang difusi berikut ini
𝑞𝑡 + 𝑞𝑥 = 𝑞(𝑞𝑥𝑥 ) + 𝑥
(5.1)
Persamaan tersebut termasuk ke dalam persamaan diferensial nonlinear orde
satu yang berdimensi satu. Para siswa dapat dikenalkan persamaan diferensial
karena mereka telah belajar diferensial. Para siswa pula dapat menggunakan
teknik turunan untuk menurunkan suatu fungsi. Pada langkah metode iterasi
variasional terdapat teknik integral parsial. Para siswa dapat menggunakan
teknik integral parsial untuk menyelesaikan metode iterasi variasional.
∫ 𝜆(𝜉)𝑢′ 𝑛 (𝜉)𝑑𝜉 = 𝜆(𝜉)𝑢𝑛 (𝜉) − ∫ 𝜆′ (𝜉)𝑢𝑛 (𝜉) 𝑑𝜉
∫ 𝜆(𝜉)𝑢′′ 𝑛 (𝜉)𝑑𝜉 = 𝜆(𝜉)𝑢′𝑛 (𝜉) − 𝜆′ (𝜉)𝑢𝑛 (𝜉) + ∫ 𝜆" (𝜉)𝑢𝑛 (𝜉) 𝑑𝜉.
(5.2)
(5.3)
B. Mahasiswa S1
Model persamaan gelombang air dangkal dan penyederhanaanya serta
persamaan gelombang elastik dan penyederhanaannya termasuk ke dalam
persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial berdasarkan banyaknya
variabel bebas dibagi menjadi dua macam yakni Persamaan Diferensial Biasa
(PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Solusi persamaan diferensial
adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial. Persamaan diferensial
memiliki dua kemungkinan solusi yakni tidak mempunyai solusi dan mempunyai
solusi tunggal ataupun mempunyai solusi lebih dari satu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Pembelajaran matematika untuk mahasiswa S1 jurusan Pendidikan
Matematika dan Matematika yaitu
1. Untuk mempelajari persamaan diferensial parsial, maka perlu memahami
persamaan diferensial biasa terlebih dahulu karena persamaan diferensial biasa
hanya melibatkan pada satu variabel bebas sehingga lebih mudah untuk
dipelajari. Berikut ini contoh persamaan diferensial parsial
𝑢𝑦 + 𝑥𝑢𝑥 = 3𝑢,
𝑢(𝑥, 0) = 𝑥 2 ,𝑢(0, 𝑦) = 0.
(5.4)
Persamaan di atas berorde satu bersifat nonlinear karena terdapat perkalian
antara fungsi x dan turunannya. Persamaan diferensial parsial adalah
persamaan yang memuat variabel terikat (variabel yang belum diketahui) dan
turunan parsialnya (memuat lebih dari satu variabel bebas). Berbeda dengan
persamaan diferensial biasa, variabel terikat pada persamaan diferensial parsial,
𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) atau 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) bergantung lebih dari satu variabel terikat. Jika
𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), maka fungsi u bergantung pada variabel bebas x, dan pada
variabel waktu t.
2. Teori-teori
analisis
konvergensi
untuk
persamaan
gelombang
dapat
diimplementasikan untuk pembelajaran matematika terkait dengan barisan dan
deret konvergen. Mahasiswa dapat mempelajari cara menganalisis konvergensi
dari suatu persamaan gelombang dengan berpedoman pada teorema-teorema
konvergensi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
C. Refleksi pengalaman penelitian bidang matematika
Pengalaman saya menggeluti penelitian bidang matematika sangat
bervariasi mulai dari kesulitan mencari bahan penelitian, kesulitan dalam
memahami materi baru, kesulitan dalam mensimulasikan dengan bantuan
software Maple maupun Matlab, kesulitan dalam memaknai arti dari perilaku
persamaan gelombang, kesulitan dalam memahami bahasa dalam jurnal hingga
kedua jurnal saya dapat terindeks Scopus. Itu semua perjuangan saya dari awal
melakukan penelitian bidang matematika. Memilih penelitian bidang matematika
memang sulit bagi saya, tetapi hal tersebut justru tidak membuat saya putus asa
karena ini adalah tantangan yang harus saya lakukan. Tantangan itu saya lakukan
dengan penuh perjuangan. Banyak pihak yang membantu penelitian ini hingga
selesai. Saran yang membangun serta dukungan dari para dosen sangat membantu
kelancaran penelitian ini.
Penelitian bidang matematika menarik perhatian saya karena dapat
menerapkan ilmu matematika ke dalam kehidupan sehari-hari. Gelombang
menjadi suatu hal menarik untuk diteliti karena terkait dengan permasalahan
bencana alam yang disebabkan oleh air (tsunami, banjir, dan bobolnya
bendungan). Penulisan tesis ini diharapkan dapat membantu mengatasi
permasalahan terkait bencana alam yang disebabkan oleh air. Sebenarnya, banyak
permasalahan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan matematika dan
diselesaikan dengan matematika karena matematika dapat membantu bidang ilmu
lainnya. Matematika tidak dapat berdiri sendiri untuk membantu mengatasi
permasalahan-permasalahan karena perlu pertolongan dari bidang ilmu lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Permasalahan tentang persamaan gelombang dapat disimulasikan dengan
bantuan komputer. Perilaku dari gelombang dapat dilihat dari representasi grafik
yang dihasilkan saat simulasi. Sudah banyak peneliti-peneliti dari dalam negeri
maupun luar negeri yang menggeluti tentang gelombang. Model matematika
tentang persamaan gelombang pun sangat bervariasi tergantung permasalahan
yang akan diselesaikan. Model matematika perlu di uji (di validasi) agar model
matematika yang digunakan sesuai dengan masalah nyata. Model yang semakin
mendekati kenyataan akan semakin rumit dan lebih sulit dilakukan karena
semakin banyak faktor yang dominan dengan masalah nyata.
Dalam tesis ini, penulis tidak memodelkan persamaan gelombang tetapi
penulis mencari solusi dari persamaan gelombang hingga diperoleh kesimpulan
dari solusinya. Proses yang dilakukan akan menjadi lebih rumit, lebih lama dan
lebih panjang ketika memodelkan persamaan gelombang sampai memperoleh
solusi persamaan gelombang. Penulis menggunakan model persamaan gelombang
yang sudah ada sebelumnya dan sudah dilakukan oleh peneliti sebelumnya. Hal
yang unik dan belum pernah dikerjakan oleh peneliti sebelumnya yaitu
menyelesaikan beberapa persamaan gelombang dengan menggunakan metode
iterasi variasional.
Dalam mencari solusi beberapa persamaan gelombang diperlukan metodemetode. Metode digunakan untuk membantu mendapatkan solusi sehingga dapat
mendekati kenyataan. Metode yang digunakan oleh penulis adalah metode iterasi
variasional. Keunggulan dari metode iterasi variasional adalah akan konvergen
menuju solusi eksak (solusi sebenarnya), dapat memberikan perkiraan analitis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
yang baik untuk persamaan rumit dan panjang. Metode iterasi variasional dapat
bekerja dengan efektif untuk persamaan gelombang karena memberikan solusi
yang akurat. Kekonvergenan dari suatu persamaan dapat dipengaruhi oleh
pemilihan nilai awal.
Penulis telah cukup memahami metode iterasi variasional sejak penulis
menggeluti penelitian bidang matematika. Saat ini, metode iterasi variasional
telah banyak digunakan oleh peneliti untuk menyelesaikan berbagai persoalan.
Metode iterasi variasional telah dikembangkan oleh Ji-Huan He sejak tahun 2007,
ia merupakan seorang ahli matematika dari China yang telah menangani berbagai
macam rekayasa ilmiah tentang permasalahan linear dan nonlinear, homogen dan
nonhomogen. Hal ini pula menunjukkan bahwa metode iterasi variasional efektif
dan dapat diandalkan untuk menemukan solusi analitik.
Kesulitan pasti dialami oleh penulis selama melakukan penelitian ini.
Banyak hal yang memotivasi penulis untuk tetap semangat selama melakukan
penelitian ini. Dukungan dari dosen pembimbing, dosen pengajar, teman-teman
membuat penulis pantang menyerah. Penelitian ini telah melalui beberapa revisi
untuk menjadi penelitian yang baik. Waktu yang dibutuhkan dalam melakukan
penelitian ini pun cukup panjang, hal ini dikarenakan kegiatan sambilan penulis.
Dengan melakukan penelitian ini, penulis mendapatkan banyak sekali wawasan
baru yang tentunya berguna untuk masa depan penulis. Wawasan baru tentang
penerapan ilmu matematika untuk membantu persoalan sehari-hari. Pengetahuan
baru tentang cara menganalisis kekonvergenan suatu persamaan dengan teori-teori
yang terdapat pada bab sebelumnya sungguh membuat penulis merasa beruntung.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Penulis memilih judul penelitian tentang metode iterasi variasional untuk
menyelesaikan beberapa persamaan gelombang karena penulis ingin meneruskan
penelitian dosen pembimbing yang berkaitan dengan air. Penelitian ini termasuk
ke dalam penelitian payung karena persamaan yang diselesaikan sama dengan
peneliti lainnya tetapi menggunakan metode yang berbeda. Dengan menggunakan
metode yang berbeda tersebut diperoleh solusi yang dan kesimpulan yang sama.
Jika sudah sama, maka hasil yang diperoleh dari masing-masing metode sudah
tepat. Beberapa persamaan gelombang perlu dianalisis kekonvergenannya agar
kita mengetahui berapa hasil konvergensinya. Solusi dari persamaan gelombang
ini bersifat pendekatan analitis karena perhitungannya dengan manual tetapi
proses membuat grafik persamaan menggunakan bantuan software maple maupun
matlab.
Penulis menemukan kesulitan saat mencari bahan referensi tentang analisis
konvergensi untuk metode iterasi variasional. Penulis tak pernah lelah untuk
mencari referensi kemanapun hingga akhirnya penulis mendapatkan suatu artikel
dari jurnal internasional yang cocok dengan analisis konvergensi. Perlahan demi
perlahan, penulis mencoba memahami isi artikel sebagai bahan tesis. Penulis
merasa kesulitan saat mempelajari analisis konvergensi karena terdapat tiga
teorema yang terkait dengan hasil konvergensi.
Selama penelitian dilakukan, penulis mendapatkan dua kali kesempatan
untuk mempresentasikan bagian dari tesis ini di International Conference. Pada
kesempatan pertama, penulis merasa kurang percaya diri karena merasa masih
belum siap. Dengan latihan dan persiapan yang maksimal, penulis berani mencoba
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
untuk mempresentasikan artikel. Kesempatan ini pula menjadikan penulis untuk
terus mencari tahu hal baru dan mencari banyak referensi untuk melengkapi
penelitian. Motivasi dari dosen pembimbing membuat penulis untuk terus
berkarya dan membuat artikel yang dapat dipublikasikan ke jurnal berindeks
Scopus.
Pada
kesempatan
kedua,
penulis
merasa
lebih
tenang
untuk
mempresentasikan artikel. Pengalaman pertama presentasi dalam seminar
internasional membuat penulis untuk tampil lebih percaya diri. Hal baru yang
diperoleh penulis pada kesempatan kedua ini adalah penulisan artikel
menggunakan program Latex. Waktu yang sangat singkat penulis gunakan untuk
belajar mengetik artikel dengan menggunakan program Latex. Penulis merasa
kesulitan dalam mengetik karena banyak program yang dibuat agar menjadi
tulisan yang rapi dan bagus. Tentunya dengan bantuan dosen pembimbing, penulis
dapat menyelesaikan semua artikel kedua ini. Awalnya penulis membutuhkan
waktu yang cukup lama untuk mengetik artikel dengan menggunakan program
Latex tetapi seiring berjalannya waktu, penulis merasa sangat terbantu karena
hasil ketikan lebih rapi mulai dari grafik, persamaan, kalimat dalam paragraf
maupun nomor pada persamaan tersusun rapi.
Refleksi pengalaman di atas telah penulis bagikan kepada para pembaca
agar terus berkarya dan tak mudah menyerah terhadap setiap tantangan yang ada.
Semangat dan kesadaran dari dalam diri sangat diperlukan untuk melakukan
penelitian agar mencapai kesimpulan sesuai dengan yang diharapkan. Semoga
refleksi pengalaman yang penulis bagikan dapat bermanfaat untuk orang lain.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB VI
PENUTUP
A. Kesimpulan
Pada bagian ini penulis mengambil kesimpulan dari pembahasan yang telah
dibahas pada bab-bab sebelumnya. Adapun kesimpulan yang diperoleh adalah
sebagai berikut.
Metode iterasi variasional telah berhasil menyelesaikan persamaan
gelombang yaitu persamaan gelombang air dangkal dan persamaan gelombang
elastik karena memiliki solusi iterasinya memiliki galat yang menuju nol. Solusi
persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi dan persamaan
gelombang elastik konvergen menuju solusi eksak dengan sangat lambat. Solusi
persamaan gelombang kinematik dan persamaan gelombang akustik konvergen
menuju solusi eksak dengan lambat. persamaan gelombang difusi telah konvergen
menuju solusi eksak dengan cepat. Kekonvergenan yang berbeda-beda dari
beberapa persamaan gelombang berpengaruh pada kondisi awal yang dipilih.
Solusi yang dihasilkan dengan metode iterasi variasional pada beberapa
persamaan gelombang berupa solusi pendekatan analitis yang dihitung dengan
bantuan Software Maple dan MATLAB. Hasil analisis konvergensi untuk
persamaan gelombang difusi telah terbukti konvergen menuju solusi eksak karena
galatnya semakin menuju nol.
68
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
B. Saran
Berdasarkan pembahasan pada tesis ini, penulis memiliki saran agar
penelitian ini terus dikembangkan oleh penulis-penulis lain maupun para
pembaca. Hal yang perlu dikembangkan untuk penulisan tesis selanjutnya
adalah menggunakan metode iterasi variasional pada persamaan gelombang
dimensi dua maupun dimensi tiga.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
DAFTAR PUSTAKA
Aryati, L. (2011). Diktat Pengantar Persamaan Diferensial Parsial. Yogyakarta:
FMIPA UGM.
Anton, H. (1987). Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.
Bartle, R. G & Sherbert, D. R. (1992). Introduction to Real Analysis. New York:
John Wiley.
Gelfand, I. M & Fomin, S. V. (1963). Calculus of Variations. New Jersey:
Prentice-Hall.
Haberman, R. (1977). Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population
Dynamics, and Traffic Flow. New Jersey: Prentice-Hall.
He, J. H., ”Variational iteration method-Some recent results and new
intrepretations, “Journal of Computational and Applied Mathematics, 207,
pp 3-17, 2007.
Kreyszig, E. (1989). Introductory Functional Analysis with Application. Florida:
Robert E. Krieger Publishing Company.
LeVeque, R. J., “Finite-volume methods for non-linear elasticity in heterogeneous
media,”International Journal for Numerical Methods in Fluids, 40 93, 2002.
Martins, R., dkk., “Analytical solution of the classical dam-break problem for the
gravity wave-model equations, “Journal of Hydraulic Engineering, 10.1061,
2016.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Mungkasi, S. & Wiryanto, L. H., “On the relevance of a variational iteration
method for solving the shallow water equations, “AIP Conference
Proceedings, 1707, 050010 2016.
Odibat, Z. M., “A study on the convergence of variational iteration
method,”Journal of Mathematical and Computer Modelling, 10.1016, 2009.
Prasetio, L., dkk. (1992). Mengerti Fisika. Yogyakarta: Andi Offset Yogyakarta.
Setianingrum, P. S. & Mungkasi, S., “Variational iteration method used to solve
steady state problems of shallow water flows, “AIP Conference
Proceedings, 1746 020057, 2016.
Setianingrum, P. S. & Mungkasi, S., “Variational iteration method used to solve
the-one dimensional acoustics equation” (akan terbit).
Shakarchi, R. & Stein, E. M. (2005). Real Analysis : Measure Theory, Integration,
and Hilbert Spaces. Princeton: Princeton University Press.
Soematri, R. (2012). Analisis I. Tangerang: Universitas Terbuka.
Sukardjono. (2008). Diktat Barisan dan Deret. Yogyakarta: FKIP USD.
Timoshenko, S. P., dkk. (1984). Teori Elastisitas. Jakarta: Erlangga.
Wazwaz, A. M. (2009). Partial Differential Equations and Solitary Waves
Theory. New York: Springer.