penggunaan metode iterasi variasi untuk
advertisement
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial integral adalah persamaan yang memuat turunan dan integral dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial integral dapat direduksi menjadi persamaan diferensial dan persamaan integral. Persamaan diferensial adalah persamaan yang menggambarkan hubungan fungsi dengan turunan fungsi tersebut, sedangkan persamaan integral adalah persamaan dengan variabel yang ingin diketahui ada dalam integrand persamaan integral tersebut. Banyak fenomena alam yang dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial integral. Salah satu diantaranya adalah sistem persamaan diferensial integral Volterra yang diperkenalkan oleh seorang matematikawan Italia yang bernama Vito Volterra untuk menjelaskan simpangan pegas pada masalah osilasi berpasangan. Osilasi berpasangan merupakan suatu rangkaian pegas yang terdiri atas tiga buah pegas yang saling terhubung satu sama lain dengan dua buah pegas diantaranya bergerak searah atau berlawanan arah, dan pada kedua ujung rangkaian dihubungkan pada dua dinding tetap, sedangkan pegas tengah dapat meregang atau tidak meregang. Fungsi gerak osilasi pegas merupakan suatu fungsi sinusoidal yang harmonik. Penyelesaian dari masalah osilasi berpasangan menunjukkan besar simpangan pegas saat osilasi. Simpangan pegas, amplitudo, dan kecepatan fase osilasi bergantung pada kecepatan awal dan simpangan awal. Selain itu, bergantung juga pada frekuensi sudut osilasi [Halliday, 1987]. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah osilasi berpasangan adalah metode iterasi variasi. Metode iterasi variasi pertama kali diperkenalkan oleh He untuk menyelesaikan model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan diferensial dan persamaan integral [He,1999]. Ide utama dari metode iterasi variasi adalah membentuk suatu fungsi koreksi (correction functional) menggunakan pengali Lagrange. Pengali Lagrange tersebut ditentukan menggunakan kalkulus variasi. Pengali Lagrange yang ada pada fungsi koreksi, harus dipilih dengan tepat sedemikian sehingga hampiran awal dapat mendekati penyelesaian eksak dari persamaan diferensial atau persamaan integral tersebut. Hampiran awal dapat dipilih sembarang. Metode iterasi variasi digunakan karena dapat memberikan hampiran yang cepat konvergen ke penyelesaian eksak dari suatu persamaan diferensial atau persamaan integral [Abbasbandy dan Shivanian, 2009]. Metode iterasi variasi sukses diterapkan di banyak situasi. Salah satu diantaranya, Assas menggunakan metode iterasi variasi untuk menyelesaikan persamaan Korteweg-de Vries (KdV) [Torvattanabun dan Koonprasert, 2009]. Pada karya ilmiah ini akan ditentukan penyelesaian eksak dari suatu masalah osilasi berpasangan yang berupa fungsi sinusoidal dengan kecepatan awal, simpangan awal, dan frekuensi sudut osilasi diberikan. Hasil ini akan dibandingkan dengan hampiran penyelesaian dengan menggunakan metode iterasi variasi. 1.2 Tujuan Berdasarkan latar belakang di atas, tujuan karya ilmiah ini adalah 1. Mengkaji model pada masalah osilasi berpasangan. 2. Menggunakan metode iterasi variasi untuk menyelesaikan model matematika pada masalah osilasi berpasangan yang merupakan persamaan diferensial integral Volterra orde satu. 3. Membandingkan penyelesaian eksak dan penyelesaian yang diperoleh dengan menggunakan metode iterasi variasi. 1.3 Sistematika Penulisan Karya ilmiah ini terdiri atas empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi beberapa istilah dan konsep dari osilasi berpasangan dan metode iterasi variasi untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial integral Volterra orde satu yang digunakan pada pembahasan. Bab ketiga berupa pembahasan yang berisi analisis metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial integral Volterra orde satu pada masalah osilasi berpasangan. Dalam bab ini juga disajikan hasil numerik dari hampiran yang diperoleh. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari penulisan.
