plagiat merupakan tindakan tidak terpuji plagiat

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN
DIFERENSIAL SECARA ANALITIS
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
Paskalia Siwi Setianingrum
NIM.111414032
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
EISZ
pn{ y {pE6uz;
,-t
'{I'qd "as'qtsl 1ru'$'S tsuqinnl4J rpng
: qelo
SIIITYNV YUYJff S lYISNSUfl frI(I
NYYI{VSUTd NYXIYS fl f TANfl IAI XOINO ISYU trII
ff OO
I
fl IAI
ISdIUTS
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
,r'*
i!!
epu>p{Eo; eurra{11l €t€ircS seps.re Iufl
u€+plprred nury uep uunm8es
s{nrpd
SI0Z 1eH 17\rc4eAfroa
ep-EEuy
4aAEuV
u1o€Suv
SIOZ I
tfnEue6
earw4 imdop rp unlusqgxed;p qelel
T$FIFII I:ruIN
um€uruenes I^{S eqe:ped
qelo sgntlp uep uu4derredl6
SIIITYNVYWJflSTYTSNflUUJTA
NYYn[VSUgd *rY)ilVSgTgANgW X{IJ,Nfi rSvUff
.'
.
.-,
rr uqorgnl
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
AI
" ssnBc'c'J
-
'Eurl.4.red. p>lEuusd pdepusru
{erpeq er ue8rmqnq unrues rrralep rdrrrel
?,{uurq rue1e nu{I nrap rmo'uoase epedel Euegurndueru lrrp uqqepuenrrr ueua{req Euues
'a[4?rueFur rrpp ntr?r q€I€p?
) Eunuq nuF rrBp rutrll pBp ntr€r rl€lsp? 3)lr1elue]"I^tr
"J
'1e8u.ue{
Vo11lorzp p:ergdsul
%lLteVW
S'fl'I'N'TI'f
'qInS qD{srufs rssn$s undryseur sl1ra1er{esn
sEsxns
'plrol\ sq;
sleprrBl^l uosleN
-
e8ueqe ol esn uuc e r uodee,r ggremod Nour eql
$
uor1ecnpg
OIIOru NY'IIY,TYII
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
nq?w&rvuafruatanJTJas
uE
oytry DVns uryTp uyo Buofi srllilso,q sury
n4y+y rsttt7touraur &uofr, rryonft
so1t6
ul:u+J u'ap uohunErry 'aoy u.tyt"tagu.au Bunfr,
VryaX Buag
og4tnl nyngI
uryo n4qntrng
nryfrwffiauyualu ryqJ"s fruon qrolt7 u-purl& uEl srysrry snsaft uuAn!,
Un4wtrur xdr.rTs ualwguasnfnV TFuV aurual uqo n4nfr,s an)tgnuaduohuag1
i
NYHYfl }{trSUf, d NIYIAIYf YH
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
uru6uruenes IiqS ?qe:fspd
H)0
Mru'
'sqnue6
SI0Z
len IZ qs$s{Bdaof
ltelury u{rr:1eImp,{q uueuruEaqes
uulpnqeqp
{ep$
qep 8ue{ Irgncq
tq s{nl
e,(cs Euer rsduxs
1ne1 Euerc
"
qe$nd
uednn{ urelsp
efna ueIEEq nep errq }amr'Iu
{q?q eduqnaEunses ueEuep nerppfuem efeg
YAUYI N\ilTSYDT NYYIYANf, f,d
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Paskalia Siwi Setianingrum, 2015. Metode Iterasi Untuk Menyelesaikan
Persamaan Diferensial Secara Analitis. Skripsi. Program Studi Pendidikan
Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma,
Yogyakarta.
Berbagai persoalan yang ditemukan dalam kehidupan sehari-hari melibatkan
model matematika. Salah satu konsep dari ilmu matematika yang berperan
penting dalam kehidupan adalah persamaan diferensial. Persamaan diferensial
adalah suatu persamaan yang memuat turunan dari satu atau beberapa fungsi yang
tidak diketahui maupun konstanta yang tidak diketahui. Jika turunan fungsi
tersebut melibatkan satu variabel bebas disebut persamaan diferensial biasa. Jika
turunan fungsi tersebut melibatkan lebih dari satu variabel bebas disebut
persamaan diferensial parsial.
Banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
terkait persamaan diferensial biasa maupun parsial. Metode iterasi adalah metode
yang dilakukan secara berulang-ulang untuk mencari nilai pendekatan dari solusi
analitis. Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan
diferensial biasa secara analitis adalah metode iterasi Picard atau dapat disebut
juga metode Successive Approximations. Metode iterasi variasional dapat pula
digunakan dengan cara analitis untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa
maupun parsial.
Metode iterasi Picard memiliki solusi yang menghasilkan nilai solusi eksak
(sebenarnya) dan memerlukan perkiraan (tebakan) awal pada solusi tersebut.
Solusi dari metode ini membentuk sebuah barisan fungsi. Metode iterasi
variasional dikerjakan dengan cara merumuskan masalah nilai awal dan
membentuk sebuah fungsi koreksi menggunakan pengali Lagrange sehingga dapat
ditentukan solusinya. Konsep dasar dari metode iterasi variasional adalah pengali
Lagrange umum, kondisi stasioner, dan variasi terbatas.
Kata kunci : iterasi, iterasi Picard, iterasi variasional, dan solusi analitis.
vii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
Paskalia Siwi Setianingrum, 2015. Iteration Methods for Solving Differential
Equations Analytically. Thesis. Mathematics Education Study Program,
Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher
Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
Several problems in daily life involve mathematics models. One of
mathematical science concepts which takes an important role in daily life is
differential equation. It is an equation which contains the derivatives of one or
more unknown functions or constant. If the derivatives of the function involve one
independent variable, it is called ordinary differential equation. If the derivatives
of the function involve more than one independent variables it is called partial
differential equation.
There are many methods which can be used to solve problems related to
ordinary differential equations or partial differential equations. The iteration
method is a method done repeatedly in order to gain the approximation value of
an exact solution. Thus, it is suitable to solve differential equations. One of the
methods used to solve ordinary differential equation analytically is Picard’s
method of iteration or method of Successive Approximations. The variational
iteration method can also be used to solve ordinary differential equations and
partial differential equations analytically.
Picard’s method of iteration has a solution which yields an exact solution
value and requires an initial approximation for that solution. The solution of this
method forms a sequence of functions. The variational iteration is done by
formulating the initial value problems and forms a correction function using the
Lagrange multiplier, so the solution is obtained. The basic concept of this iteration
of the variational method is the general Lagrange multiplier, stationary condition
and restricted variations.
Keywords : iteration, Picard’s iteration, variational iteration, and exact solution.
viii
xt
un6urueqos 1,trls €{€{sed
ue4upfuoru EueI
9I0Z IoW 17 p88uelupe4
qrwle,$o1 ry lenqrq
'edureueqss ueEuep pnq e.&s Eue.{
pl
treep.(rued u€pgruog
'srpued
reEeqes e,{es euruu ue>lum}uucuern
delq ?rueles efes epedel plefor
rmdneur edes uep mlr elrmueur e&re] snuepe>le uunpede>1
nsl" leruoiln ry rrnlrs€ry1qndueu u€p sspqJel
uele4Eued {ntueq ure1ep efuqelo8ueu
'uedrurdueur >ln1tm
trpl
ue>lrreqrueru
{nlun qel
elpeur
eJ?cas ualrsnqr4sryueur
€rpetu
{quoq
?pp
rrrel€p uolryle8ueu
Teq errrreq( ef€u€S ss$sreATufl ueul4sndrs4
epedel
rralueqtuoru edes ueDlrurep ueEuaq '(epe epq) uu4nlradrp Eue,( plEuered ugeseq
SIIITVNY YUYf, gS TYISNf,Uf,JIO
IIYYI^TVSUfld IIY)IIVSflTgANgru XNINN ISYUSII f,OOIflIAI
e1eues ssilsrelrun
; lnpnfreq Eued qerup edml n1ens
"tuJeqq
ueelqsndre4 epede4 uurlrreqruoru efes 'uunqepEued nurg uuEuuqureEued nueg
T,E0?MII:
um.6urue4as I {fS erter{sud
:Btnreqq eleues ssilsrelrun
efes
{
"A\srsBrlBI
€1u,srseqsl^IroruoN
:
"III?N
'ru1 r[81@q Ip ue8ue1 epusueq EueA
SIIAIf,(I\DIY NVCNIINgdtrX XOINII HYIIATTI YAUY)I ISYXIa{Nd
NYOfNJgSUgd UYflIAItrT
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus karena berkat
rahmat dan kasih-Nya sehingga skripsi dengan judul “Metode Iterasi untuk
Menyelesaikan Persamaan Diferensial Secara Analitis” ini dapat penulis
selesaikan. Penulis menyusun skripsi ini untuk memenuhi salah satu syarat
memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan
Matematika.
Selama penyusunan skripsi ini penulis telah melalui berbagai macam
kesulitan yang dialami. Akan tetapi dari semua itu telah penulis lalui dengan
adanya dukungan dari banyak pihak sehingga kesulitan yang penulis alami dapat
teratasi. Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan sepenuh hati penulis ingin
mengucapkan terimakasih banyak kepada beberapa pihak yang telah membantu,
diantaranya :
1. Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa menjaga dan menuntun
setiap langkah penulis dalam penyusunan skrispi ini.
2. Kedua orang tua penulis yaitu Bapak Agustinus Sajimin, S.Pd. dan Ibu Sri
Lugiwiyatun, S.Pd. yang senantiasa memberi dukungan lewat doa, memberi
semangat, kasih sayang dan perhatian dari awal studi selama 4 tahun sampai
selesai penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dosen pembimbing
skripsi yang dengan kesabaran hati bersedia membimbing penulis dari awal
penulisan hingga penyelesaian skripsi ini. Terimakasih atas segala dukungan,
kritik maupun saran selama ini.
4. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. dan Bapak Beni Utomo, M.Sc. selaku
dosen penguji yang telah menguji skripsi serta memberi masukan yang baik
untuk penulisan skripsi penulis.
5. Segenap dosen JPMIPA, khususnya dosen-dosen yang telah mengajar,
mendidik, membagikan ilmu kepada penulis hingga penulis kaya akan ilmu
pengetahuan terkait dengan matematika selama 4 tahun ini.
x
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
6. Segenap staf sekretariat JPMIPA yang telah membantu memberikan pelayanan
selama 4 tahun ini.
7. Segenap staf perpustakaan Universitas Sanata Dharma karena telah
memberikan pelayanan yang baik selama penulis meminjam referensi untuk
belajar selama 4 tahun dan selama penyusunan skripsi ini.
8. Perpustakaan Universitas Gajah Mada yang memiliki referensi lengkap dalam
mendukung penyusunan skripsi penulis.
9.
Pendamping setia penulis yaitu Erasmus Jala, A.Md. yang telah mendoakan
penulis, menghadapi penulis dengan penuh kesabaran, mendukung,
memotivasi, mendampingi penulis selama kuliah 4 tahun dan pada saat
penyusunan skripsi sampai selesai.
10. Teman-teman satu kelompok KKN Reguler angkatan 49 kelompok 3 dengan
nama tim Mestakung (Semesta Mendukung) yaitu Agatha, Krisna, Vivi, Gita,
Desyka, Pascha, Tabita, Vincent, Revi dan Hudan karena telah memberi
dukungan, motivasi dalam penyusunan skripsi ini. Oleh karena mereka,
penulis memiliki teman-teman yang baik selama mengikuti KKN di dusun
Candi 1, desa Tegalrejo, Kecamatan Gedangsari, Kabupaten Gunung Kidul.
Penulis memiliki kesan yang mendalam karena kebersamaan yang erat
dengan mereka selama masa KKN empat puluh hari. Oleh karena semangat
kita bersama kelompok 3 menjadi kelompok terbaik dan memperoleh nilai
akhir tertinggi berkat bimbingan Bapak Adinugroho, M.Psi.
11. Teman-teman satu kelompok PPL yaitu Yuli, Felbi, Rica, Ela, Malvin,
Ambar, Suster Verona, dan Albert karena telah
memberi dukungan dan
motivasi serta menjadi teman yang baik selama penulis melakukan PPL di
SMA Stella Duce 1 Yogyakarta. Penulis memiliki kesan yang mendalam
karena kebersamaan yang erat dengan mereka selama PPL kurang lebih 3
bulan.
12. Teman-teman seperjuanganku selama kuliah di Pendidikan Matematika,
khususnya angkatan 2011, yaitu Veni, Nita, Arlyn, Rizky, Melan, Tari,
Renata, Linda, Igor, Monika Mahastri, dll yang bersedia menjadi teman
belajar bagi penulis selama kuliah.
xi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
13. Sahabat-sahabat alumni SMA Stella Duce 1 Yogyakarta yaitu Melo, Rinta,
Pingkan, Nia, Nane, Janis, Nita, Wita. Mereka selalu ada untuk setia memberi
motivasi, dukungan, kasih sayang dan doa selama 4 tahun menempuh kuliah
dan dalam penyusunan skripsi ini.
14. Kelima teman dari mahasiswa Pascasarjana Jurusan Matematika FMIPA
UGM yang bernama Mba Reni, Mba Tesa, Mba Opi, Mas Bily, dan Mas
Wawan karena telah membantu mencari referensi tentang penulisan skripsi.
15. Kakak kandung Andreas Yudha Fery Nugroho, S.Psi. dan Mba Erlin yang
memberi semangat kepada penulis.
Penulis
xii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ......................................................................................
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................
ii
HALAMAN PENGESAHAN .........................................................................
iii
HALAMAN MOTTO .....................................................................................
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .....................................................................
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .........................................................
vi
ABSTRAK ......................................................................................................
vii
ABSTRACT ...................................................................................................... viii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ...........
ix
KATA PENGANTAR ....................................................................................
x
DAFTAR ISI .................................................................................................. xiii
DAFTAR SIMBOL ......................................................................................... xvi
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xviii
DAFTAR TABEL
....................................................................................... xix
BAB I : PENDAHULUAN .............................................................................
1
A. Latar Belakang Masalah ......................................................................
1
B. Rumusan Masalah ...............................................................................
4
C. Tujuan Penulisan ...............................................................................
4
D. Manfaat Penulisan ...............................................................................
5
E. Batasan Masalah ..................................................................................
5
F. Metode Penulisan ................................................................................
6
G. Sistematika Penulisan .........................................................................
7
BAB II : LANDASAN TEORI ......................................................................
9
A. Persamaan Diferensial ........................................................................
9
1. Persamaan Diferensial Biasa ........................................................
14
2. Persamaan Diferensial Parsial . .....................................................
22
xiii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3. Solusi Khusus dan Solusi Umum ..................................................
23
4. Masalah Nilai Awal dan Masalah Nilai Batas ..............................
24
B. Limit Fungsi ........................................................................................
26
C. Kekontinuan Fungsi ............................................................................
27
D. Turunan Parsial ...................................................................................
28
E. Integral Parsial ....................................................................................
31
F. Metode Lagrange ...............................................................................
34
G. Metode Newton-Raphson
.................................................................
36
....................................................................................
37
H. Metode Euler
I. Little-Oh dan Big-Oh
........................................................................
39
BAB III : METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN
DIFERENSIAL BIASA .................................................................
40
A. Persamaan Diferensial Biasa ...............................................................
40
B. Deret Taylor ........................................................................................
43
C. Metode Iterasi Picard (The Method of Successive Approximations) ...
47
D. Hubungan Deret Taylor dengan Metode Iterasi Picard .......................
50
1. Solusi PDB Secara Analitis ...........................................................
51
2. Solusi Suatu Fungsi Menggunakan Konsep Deret Taylor ............
52
3. Solusi PDB Dengan Metode Iterasi Picard ..................................
53
E. Contoh-contoh Penerapan Metode Iterasi Picard ................................
55
F. Metode Iterasi Variasional untuk PDB ..............................................
64
1. Metode Iterasi Variasional PDB Bentuk Umum Orde Satu ........
67
2. Metode Iterasi Variasional PDB Bentuk Khusus Orde Dua ........
70
G. Contoh Pengali Lagrange Metode iterasi untuk PDB .........................
72
1. Konsep Dasar Metode Newton ...................................................
73
2. Konsep Dasar Metode Iterasi Variasional untuk PDB ..................
74
BAB IV : METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN
DIFERENSIAL PARSIAL ............................................................
80
A. Persamaan Diferensial Parsial .............................................................
80
xiv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
1. Syarat Awal dan Syarat Batas .......................................................
80
2. Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas .........................................
82
B. Metode Iterasi Variasional ..................................................................
82
1. Pengali Lagrange Umum ...............................................................
86
2. Kondisi Stasioner ........................................................................
88
3. Variasi Terbatas ..........................................................................
89
C. Contoh-contoh Penerapan Metode Iterasi Variasional .......................
94
BAB V : PENUTUP
.................................................................................... 105
A. Kesimpulan ......................................................................................... 105
B. Saran .................................................................................................. 108
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 109
xv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR SIMBOL
A, B, C, ..., Z
: titik-titik atau suatu fungsi
a, b, c, ..., z
: titik-titik atau suatu fungsi
𝛿
: delta
λ
: lamda
𝜏
: tao
𝜋
: pi
𝜌
: rho
𝜇
: mu
𝜀
: epsilon
∞
: jumlah tak terhingga
𝛼
: alpha
𝛽
: beta
∈
: elemen/anggota
≠
: tidak sama dengan
<
: lebih kecil dari
≤
: lebih kecil dari atau sama dengan
≥
: lebih besar dari atau sama dengan
>
: lebih besar dari
!
: faktorial
o
: notasi little-Oh
xvi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
O
: notasi big-Oh
⇒
: implikasi
⟺
: biimplikasi (ekuivalen)
⋮
: dan seterusnya
ũ
: u tilda
⊂
: subset (himpunan bagian)
ỹ
: y tilda
∆
: delta
𝜕
: do
𝜃
: teta
𝜍
: sigma
𝜑
: phi
ξ
: xi
𝜙
: phi varian
∇
: nabla
xvii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Pelukisan grafis dari metode Newton .......................................... 37
Gambar 2.2 Tafsiran grafis persamaan 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝜙. ℎ ................................ 38
Gambar 2.3 Pelukisan grafis dari metode Euler .............................................. 38
xviii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 Langkah iterasi pada pengali Lagrange ..........................................
87
Tabel 4.2 Langkah iterasi pada variasi terbatas ..............................................
89
xix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Berbagai aspek dalam kehidupan sehari-hari berasal dari ilmu
pengetahuan. Para peneliti telah mempelajari banyak ilmu pengetahuan untuk
membuktikan kebenaran yang terjadi di kehidupan sehari-hari.
Ilmu matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang
mempunyai ciri khas yaitu tertuang dalam bahasa simbolis dan berhubungan
dengan kehidupan nyata. Untuk membuktikan kebenaran yang terjadi dalam
kehidupan nyata dibutuhkan konsep-konsep maupun teori-teori khusus
sehingga dapat mendukung pembuktian tersebut. Bidang ilmu dalam
matematika antara lain aljabar, geometri, statistika, analisis, terapan, dan lainlain. Masalah-masalah dalam bidang astronomi, keuangan, kesehatan,
ekonomi, bisnis, pertanian, peternakan dan industri dapat diselesaikan
menggunakan konsep-konsep maupun teori-teori matematika.
Salah
satu
konsep
matematika
yang
berperan
penting
dalam
perkembangan kehidupan yaitu persamaan diferensial. Persamaan diferensial
dapat membantu dalam menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari di
berbagai bidang seperti dapat membantu mengukur laju pertumbuhan populasi
di suatu wilayah, dapat membantu menghitung besar pergerakan dalam gerak
harmonis sederhana dan pegas spiral, dapat membantu menyelesaikan
persoalan-persoalan mengenai menentukan muatan pada kapasitor dan arus
1
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2
sebagai fungsi-fungsi dari waktu pada rangkaian listrik, dapat membantu
menentukan laju perubahan terhadap waktu pada peluruhan radioaktif, serta
manfaat lainnya.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung satu atau
lebih turunan suatu fungsi tidak diketahui. Persamaan diferensial ini banyak
menggunakan formulasi matematika, biasanya formulasi tersebut berupa
penentuan suatu fungsi yang memenuhi persamaan tertentu. Terdapat dua jenis
persamaan diferensial berdasarkan banyaknya variabel bebas yaitu Persamaan
Diferensial Biasa (PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Suatu
persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dinamakan persamaan
diferensial biasa. Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan parsial
dinamakan persamaan diferensial parsial. (Marwan dan Said Munzir, 2009)
Banyak metode-metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial biasa maupun persamaan diferensial parsial. Untuk
persamaan diferensial biasa, metode yang biasa digunakan antara lain metode
Euler, metode Heun, metode Deret Taylor, dan sebagainya. Untuk persamaan
diferensial parsial, metode yang dapat digunakan antara lain metode
karakteristik, metode separasi variabel dan metode beda hingga.
Metode-metode yang dapat menyelesaikan persamaan diferensial terbagi
menjadi tiga metode berdasarkan solusinya metode numeris, metode analitis
dan metode kualitatif. Solusi dari metode numerik sebagian besar berbentuk
angka sedangkan metode analitik menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi
yang kontinu selanjutnya fungsi tersebut dapat disubstitusikan untuk
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3
menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Penulis memilih menyelesaikan
persamaan diferensial biasa dan parsial secara analitik karena lama-kelamaan
solusi pendekatan pada metode iterasi akan kontinu menuju solusi yang
sebenarnya.
Persamaan diferensial merupakan salah satu bidang ilmu matematika
yang termasuk dalam kelompok terapan yang dapat diselesaikan secara
analitik, tetapi juga dapat diselesaikan secara numerik. Tetapi untuk persamaan
diferensial parsial, metode analitik sulit digunakan dalam permasalahan
tersebut karena kadangkala solusi analitik kurang dapat memberikan solusi
yang memadai tentang kuantitas yang dicari sehingga solusi yang lebih tepat
dapat menggunakan metode numerik. Solusi dari metode analitik bersifat eksak
sedangkan solusi dari metode numerik bersifat hampiran atau pendekatan.
(Didit Budi Nugroho, 2011)
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan metode untuk
menemukan solusi pendekatan persamaan diferensial biasa dan parsial yang
pendekatannya secara kontinu. Metode yang penulis gunakan untuk membahas
permasalahan mengenai persamaan diferensial biasa adalah metode iterasi
Picard (The Method of Successive Approximations). Metode tersebut pertama
kali dikenalkan oleh Emile Picard (1856-1941). Solusi yang dihasilkan dari
metode iterasi Piard tidak berupa solusi umum tetapi solusi khusus dengan nilai
awal yang telah diketahui sebelumnya.
Metode yang penulis gunakan untuk membahas permasalahan mengenai
persamaan diferensial parsial adalah metode iterasi variasional. Metode iterasi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
4
variasional pertama kali dikembangkan oleh Ji-Huan He. Langkah-langkah
yang untuk mendapatkan solusi dari metode iterasi variasional ini kurang lebih
hampir sama dengan metode iterasi Picard. Perbedaan diantara metode iterasi
Picard dan metode iterasi variasional yaitu terdapat pengali Lagrange pada
fungsi koreksi metode iterasi variasional. Metode iterasi variasional lebih
efektif dan efisien untuk menemukan solusi yang diinginkan karena memiliki
tingkat ketelitian yang tinggi.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan di atas, maka
dapat dirumuskan pokok-pokok masalah yang akan dibahas dalam penulisan
ini adalah:
1. Bagaimana cara menyelesaikan PDB dengan metode iterasi Picard?
2. Bagaimana cara menyelesaikan PDP dengan metode iterasi variasional?
C. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dipaparkan di atas, maka
tujuan penulisan ini adalah:
1. Untuk mengetahui cara menyelesaikan PDB dengan metode iterasi Picard.
2. Untuk mengetahui cara menyelesaikan PDP dengan metode iterasi
variasional.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5
D. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan ini bagi penulis adalah :
1. Dapat mengetahui cara menyelesaikan PDB dengan metode iterasi Picard.
2. Dapat mengetahui cara menyelesaikan PDP dengan metode iterasi
variasional.
Manfaat dari penulisan ini bagi pembaca adalah :
1. Dapat menambah pengetahuan baru tentang penggunaan metode iterasi
Picard untuk menyelesaikan PDB dan metode iterasi variasional untuk
menyelesaikan masalah PDP.
2. Dapat memberi motivasi untuk terus belajar dan melanjutkan pembahasan
penulisan ini untuk persamaan diferensial biasa dan parsial orde tinggi.
E. Batasan Masalah
Adapun batasan masalah dari penulisan skripsi ini adalah
1. Metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pada PDB
adalah metode iterasi Picard (The Method of Successive Approximations)
dengan masalah nilai awal. Pada bahasan ini, variabel-variabel dibatasi
hanya pada koefisien-koefisien polinom linearnya dalam variabel t yang
bertujuan agar pembahasan pada penulisan ini tidak terlalu luas dan
memfokuskan pada variabel t saja sehingga dapat mempermudah bagi para
pembaca untuk memahami penulisan ini.
2. Metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pada PDP
adalah metode iterasi variasional dengan syarat awal dan syarat batas.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
6
Dalam PDP, permasalahan yang diselesaikan hanya orde satu saja agar tidak
terlalu luas dan lebih fokus pada orde satu saja. Dalam hal ini, variabelvariabel dibatasi hanya koefisien-koefisien polinom linearnya dalam t dan s
yang bertujuan agar pembahasan pada penulisan ini tidak terlalu luas dan
memfokuskan pada variabel t dan s saja sehingga dapat mempermudah bagi
para pembaca untuk memahami penulisan ini.
3. Keunggulan dari metode iterasi adalah memiliki solusi pendekatan secara
kontinu menuju solusi yang sebenarnya tanpa diskretisasi numeris sehingga
metode iterasi dapat menyelesaikan berbagai permasalahan PDB dan PDP
dengan lebih mudah dibanding metode-metode yang lain. Selain itu,
persoalan yang dipecahkan dengan metode iterasi tersebut dapat lebih
efektif dan efisien karena solusi konvergen menuju solusi eksak
(sebenarnya).
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan oleh penulis adalah metode studi
pustaka yaitu mempelajari materi dari referensi-referensi yang berkaitan
dengan metode iterasi dalam menyelesaikan PDB dan PDP, mengumpulkan
informasi dan menyusun tulisan ini menjadi suatu bentuk penulisan yang runtut
dan jelas sehingga mempermudah pembaca saat membaca. Setelah itu, penulis
lebih banyak mengkaji dari jurnal-jurnal nasional maupun internasional serta
buku-buku yang terkait. Penulisan ini merupakan ide baru yang belum pernah
dibahas sebelumnya oleh teman-teman mahasiswa. Oleh karena itu, penulis
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
7
tertarik untuk membahas lebih lanjut tentang metode iterasi untuk
menyelesaikan persamaan diferensial secara analitis.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan ini adalah:
1. Mempelajari teori tentang metode iterasi Picard dan metode iterasi
variasional untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan
parsial dari buku-buku maupun jurnal-jurnal yang terkait.
2. Menyelesaikan soal-soal latihan terkait dengan metode iterasi Picard
dan metode iterasi variasional dengan langkah-langkah yang disusun
secara runtut dan jelas.
3. Menyajikan definisi maupun informasi-informasi penting terkait
tentang PDB dan PDP.
4. Memberikan penjelasan, bukti-bukti serta langkah-langkah dalam
mendapatkan solusi pendekatan dari metode iterasi secara runtut dan
jelas.
5. Menyusun seluruh materi yang telah dibahas secara runtut dan
sistematis pada langkah sebelumnya agar mempermudah para
pembaca dalam memahami isi penulisan ini.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan ini adalah sebagai berikut:
Bab pertama yaitu Pendahuluan yang memuat latar belakang masalah
yang dibahas, rumusan masalah, tujuan dari penulisan ini, manfaat dari
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8
penulisan ini, batasan masalah, metode penelitian yang digunakan dalam
penulisan ini dan sistematika penulisan.
Bab kedua yaitu Landasan Teori yang memuat dasar teori yang terkait
dengan isi penulisan yaitu pengertian dan pengelompokkan persamaan
diferensial berdasarkan banyaknya variabel yaitu persamaan diferensial biasa
dan persamaan diferensial parsial, persamaan diferensial linear, persamaan
diferensial linear homogen dan nonhomogen, pengertian tentang masalah nilai
awal dan masalah nilai batas beserta solusi khusus maupun solusi umum,
pengertian limit fungsi, teori-teori tentang kekontinuan fungsi, turunan parsial,
integral parsial, metode Lagrange, metode Newton-Raphson, metode Euler,
serta Little-Oh dan Big-Oh yang mendukung pemahaman bahasan selanjutnya.
Bab ketiga yaitu Metode Iterasi untuk Menyelesaikan PDB yang memuat
tentang pengertian PDB, penjelasan langkah-langkah dalam mendapatkan
solusi pendekatan dari metode iterasi serta penerapan metode iterasi Picard.
Bab keempat yaitu Metode Iterasi untuk Menyelesaikan PDP yang
memuat tentang pengertian PDP, langkah-langkah dalam mendapatkan solusi
pendekatan dari metode iterasi serta penerapan metode iterasi variasional.
Bab kelima atau bab terakhir penulisan ini yaitu Penutup yang memuat
kesimpulan dari seluruh pembahasan materi penulisan ini dan saran yang
diberikan kepada penulis yang ingin melanjutkan atau mengembangkan
penulisan skripsi ini.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan dibahas pengertian-pengertian dari persamaan
diferensial, pengelompokan persamaan diferensial berdasarkan banyaknya
variabel yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial,
persamaan diferensial linear, persamaan diferensial linear homogen dan
nonhomogen, pengertian masalah nilai awal dan masalah nilai batas beserta solusi
khusus maupun solusi umum, pengertian limit fungsi, teori-teori kekontinuan
fungsi, turunan parsial, integral parsial, metode Lagrange, metode NewtonRaphson, metode Euler, serta Little-Oh dan Big-Oh yang mendukung pembahasan
mengenai metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial.
A. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (differential equation) adalah persamaan yang
melibatkan variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap
variabel-variabel bebas. (Didit Budi Nugroho, 2011)
Persamaan Diferensial (PD) dapat ditulis dalam dua bentuk:
1. Bentuk derivatif (bentuk turunan)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
adalah notasi turunan pertama.
9
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
10
Contoh:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥 +𝑦
= 𝑥 2 +1.
2. Bentuk diferensial
Contoh dari bentuk derivatif di atas, jika ditulis dalam bentuk diferensial
adalah:
(𝑥 2 + 1)𝑑𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥
(𝑥 2 + 1)𝑑𝑦 − 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 = 0.
Contoh-contoh persamaan diferensial:
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑4𝑥
𝑑𝑡 4
𝑑𝑦
+ 𝑥𝑦(𝑑𝑥 )2 = 0,
(2.1)
𝑑2𝑥
+ 5 𝑑𝑡 2 + 3𝑥 = sin 𝑡,
𝜕𝑣
𝜕𝑠
𝜕2𝑢
𝜕𝑥 2
(2.2)
𝜕𝑣
+ 𝜕𝑡 = 𝑣,
𝜕2𝑢
(2.3)
𝜕2𝑢
+ 𝜕𝑦 2 + 𝜕𝑧 2 = 0.
(2.4)
Derajat persamaan diferensial adalah derajat tertinggi dari derivatif
fungsi dalam persamaan diferensial. Pada persamaan (2.1) memiliki derajat
tertinggi yaitu dua dapat dilihat dari derivatif tertinggi dari
𝑑𝑦
𝑑𝑥
sebagai turunan
kedua. Persamaan (2.2) memiliki derajat tertinggi yaitu empat dapat dilihat dari
derivatif tertinggi dari
𝑑𝑥
𝑑𝑡
sebagai turunan keempat. Persamaan (2.3) memiliki
derajat tertinggi yaitu satu dapat dilihat dari derivatif tertinggi dari
𝜕𝑣
𝜕𝑠
sebagai
turunan pertama. Persamaan (2.4) memiliki derajat tertinggi yaitu dua dapat
𝜕2𝑢
dilihat dari derivatif tertinggi dari 𝜕𝑥 2 sebagai turunan kedua.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
11
Persamaan diferensial berdasarkan banyaknya variabel bebas dibagi
menjadi dua macam yakni Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dan Persamaan
Diferensial Parsial (PDP). Solusi persamaan diferensial adalah suatu fungsi
yang memenuhi persamaan diferensial. Persamaan diferensial memiliki dua
kemungkinan solusi yakni tidak mempunyai solusi dan mempunyai solusi
tunggal ataupun mempunyai solusi lebih dari satu.
Contoh 2.1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 ⇔ 𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑦 =
2𝑥𝑑𝑥
𝑦 + 𝑐1 = 𝑥 2 + 𝑐2
𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐2 − 𝑐1
𝑦 = 𝑥 2 + 𝐶.
Jadi, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝐶 membentuk suatu keluarga solusi dari persamaan
diferensial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥.
Contoh 2.2
𝑑𝑦
Apakah 𝑥 2 + 𝑦 2 − 25 = 0 adalah solusi dari PD 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 = 0?
Jawab:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 25 = 0
𝑦 2 = 25 − 𝑥 2
𝑦 = ± 25 − 𝑥 2 .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
12
Kasus pertama
𝑦 = 25 − 𝑥 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2 25−𝑥 2
−2𝑥 = −
𝑥
25−𝑥 2
𝑑𝑦
𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 + 25 − 𝑥 2 −
𝑥
25−𝑥 2
= 𝑥 − 𝑥 = 0.
Jadi, solusi PD terpenuhi.
Kasus kedua
𝑦 = − 25 − 𝑥 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=−
1
2 25−𝑥 2
−2𝑥 =
𝑥
25−𝑥 2
𝑑𝑦
𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 + (− 25 − 𝑥 2 )
𝑥
25−𝑥 2
= 𝑥 − 𝑥 = 0.
Jadi, solusi PD terpenuhi.
Kesimpulan yang diperoleh dari kedua kasus tersebut yakni 𝑥 2 + 𝑦 2 − 25 = 0
𝑑𝑦
adalah solusi implisit PD 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 = 0.
Contoh 2.3
𝑑𝑦
Apakah 𝑥 2 + 𝑦 2 + 25 = 0 adalah solusi dari PD 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 = 0?
Jawab:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 25 = 0
𝑦 2 = −𝑥 2 − 25
𝑦 = ± −𝑥 2 − 25.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
13
Kasus pertama
𝑦 = −𝑥 2 − 25
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2 −𝑥 2 −25
𝑥
−2𝑥 = −
−𝑥 2 −25
𝑑𝑦
𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 + −𝑥 2 − 25 −
𝑥
= 𝑥 − 𝑥 = 0.
−𝑥 2 −25
Jadi, solusi PD terpenuhi.
Kasus kedua
𝑦 = − −𝑥 2 − 25
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=−
1
2 −𝑥 2 −25
−2𝑥 =
𝑑𝑦
𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 + − −𝑥 2 − 25 (
𝑥
−𝑥 2 −25
𝑥
−𝑥 2 −25
) = 𝑥 − 𝑥 = 0.
Jadi, solusi PD terpenuhi.
Kesimpulan yang diperoleh dari kedua kasus tersebut yakni 𝑥 2 + 𝑦 2 + 25 = 0
adalah solusi formal PD, karena secara formal penurunan PD terpenuhi tetapi
tidak ada bilangan real 𝑥 dan 𝑦 yang benar-benar memenuhi persamaan
solusi.
Solusi dari PD dapat berbentuk eksplisit maupun implisit, sebagai berikut:
𝑑𝑦
1) 𝑦 = 𝑥 2 + 𝐶 adalah solusi eksplisit dari 𝑑𝑥 = 2𝑥.
𝑑𝑦
2) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 25 = 0 adalah solusi implisit dari 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 = 0.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
14
1. Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa (Ordinary Differential Equation),
disingkat PDB, adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan satu
variabel bebas. Contoh-contoh persamaan diferensial (2.1), (2.2), (2.3), dan
(2.4) terdiri dari bermacam-macam variabel dan melibatkan derivatifderivatifnya maka yang termasuk ke dalam Persamaan Diferensial Biasa
(PDB) adalah persamaan (2.1) dan (2.2). Pada persamaan (2.1) varibel 𝑥
adalah variabel tunggal yang bebas dan variabel 𝑦 adalah variabel tak bebas
(tergantung). Pada persamaan (2.2) terdapat variabel bebas yaitu variabel 𝑡,
sedangkan variabel 𝑥 adalah variabel tak bebas. (Shepley L Ross , 2004)
Setelah dibahas mengenai persamaan diferensial biasa, maka terdapat
klasifikasi persamaan diferensial linear. Referensi diambil dari buku
karangan Shepley L Ross (2004) dan diktat Lina Aryati, dkk (2013).
a. Persamaan Diferensial Linear
Persamaan diferensial linear adalah persamaan diferensial yang
semua sukunya linear terhadap fungsi maupun derivatifnya. Persamaan
diferensial tidak memuat bentuk nonlinear dari fungsi maupun
derivatifnya. Ciri-ciri persamaan diferensial linear yakni tidak ada
perkalian y dengan derivatif-derivatifnya, tidak ada perkalian derivatif
dengan derivatif, tidak ada suku yang merupakan bentuk nonlinear dari y
atau derivatifnya. Bentuk nonlinear memuat perpangkatan fungsi tak
bebas, perkalian fungsi tak bebas dan derivatifnya serta perpangkatan
derivatifnya. Contoh persamaan diferensial linear sebagai berikut
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
𝑑2𝑦
15
𝑑2𝑦
𝑥 𝑑𝑥 2 + 𝑥 2 𝑑𝑥 2 + 5 = 0. Contoh persamaan diferensial nonlinear sebagai
𝑑3𝑦
𝑑𝑦
berikut 𝑑𝑥 3 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 1.
Persamaan diferensial linear orde satu dengan variabel tak bebas y
dan variabel bebas x, dapat ditulis dalam bentuk
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+𝑃 𝑥 𝑦 =𝑄 𝑥 .
(2.5)
Diberikan persamaan sebagai berikut
𝑑𝑦
𝑥 𝑑𝑥 + (𝑥 + 1)𝑦 = 𝑥 3 ,
adalah persamaan diferensial linear orde satu, dapat ditulis menjadi
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
+ (1 + 𝑥 )𝑦 = 𝑥 2 ,
1
dimana bentuk (2.5) 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑥 dan 𝑄 𝑥 = 𝑥 2 .
Persamaan (2.5) dapat ditulis dalam bentuk diferensial menjadi
𝑃 𝑥 𝑦 − 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0.
(2.6)
Persamaan (2.6) berasal dari bentuk
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0,
dimana
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥 𝑦 − 𝑄 𝑥 dan 𝑁 𝑥, 𝑦 = 1.
Maka
𝜕𝑀 (𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
=𝑃 𝑥 ≠0=
𝜕𝑁 (𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
.
Persamaan (2.6) bukan persamaan persamaan diferensial eksak kecuali
kalau 𝑃 𝑥 = 0, dimana persamaan (2.5) adalah persamaan diferensial
separabel sederhana. Persamaan (2.6) hanya memuat variabel x saja,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
16
maka dapat diasumsikan mempunyai faktor integral yang hanya
bergantung pada x saja. Persamaan (2.6) dikalikan dengan 𝜇(𝑥) menjadi
𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 − 𝜇 𝑥 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝜇(𝑥)𝑑𝑦 = 0.
(2.7)
Berdasarkan definisi, 𝜇(𝑥) adalah faktor integral dari persamaan (2.7)
jika dan hanya jika persamaan (2.7) adalah eksak sehingga diperoleh
𝜕
𝜕𝑦
𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝑦−𝜇 𝑥 𝑄 𝑥
𝜕
= 𝜕𝑥 𝜇 𝑥 .
Kondisi tersebut diturunkan, sehingga menjadi
𝑑
𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 = 𝑑𝑥 𝜇 𝑥 .
(2.8)
Pada persamaan (2.8), P adalah suatu fungsi yang diketahui variabel
bebas x, tetapi 𝜇 adalah suatu fungsi yang tidak diketahui berasal dari x
dan akan kita tentukan. Kemudian, kita tuliskan persamaan diferensial
(2.8) menjadi bentuk seperti berikut
𝑑𝜇
𝜇𝑃 𝑥 = 𝑑𝑥 ,
(2.9)
dimana variabel terikatnya adalah 𝜇 dan variabel bebasnya adalah x. P
adalah suatu fungsi yang diketahui dari x. Persamaan (2.9) merupakan
persamaan diferensial separabel, variabel dipisahkan menjadi berikut
𝑑𝜇
𝜇
= 𝑃 𝑥 𝑑𝑥.
(2.10)
Kemudian persamaan (2.10) diintegralkan sehingga diperoleh solusi
khusus
𝑙𝑛 𝜇 =
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 atau 𝜇 = 𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
, 𝜇 > 0.
(2.11)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
17
Persamaan diferensial linear (2.5) memiliki faktor integral dari
persamaan (2.11). Sekarang, kita mengalikan persamaan (2.5) dengan
persamaan (2.11)
𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
+𝑒
𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
,
(2.12)
dengan menggunakan integral parsial maka diperoleh
𝑑
𝑑𝑥
𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
.
(2.13)
Sekarang kita integralkan bentuk di atas menjadi
𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑦=
𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐.
(2.14)
Persamaan (2.14) adalah solusi dari persamaan diferensial linear (2.5)
dimana c adalah suatu konstanta yang nilainya dapat berubah-ubah.
Dari uraian di atas maka dapat disimpulkan dalam suatu teorema berikut
Teorema 2.1
Diberikan persamaan diferensial linear berikut
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)
mempunyai bentuk faktor integral 𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
. Solusi umum persamaan
diferensialnya
𝑦𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
− 𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑄 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐.
Contoh 2.4
Diberikan persamaan diferensial berikut
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
2𝑥+1
𝑥
𝑦 = 𝑒 −2𝑥 .
Persamaan diferensial tersebut adalah linear dengan
(2.15)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
𝑃 𝑥 =
2𝑥+1
𝑥
18
1
= 2 + 𝑥 dan 𝑄 𝑥 = 𝑒 −2𝑥 .
Faktor pengintegralan dari persamaan diferensial linear (2.15) adalah
𝜇 𝑥 =𝑒
=𝑒
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
1
2+ 𝑑𝑥
𝑥
= 𝑒 (2𝑥+𝑙𝑛
𝑥 )
= 𝑒 2𝑥 . 𝑒 𝑙𝑛
𝑥
𝜇 𝑥 = 𝑥𝑒 2𝑥 .
(2.16)
Sekarang kita mengalikan persamaan diferensial linear (2.15) dengan
bentuk (2.16) menjadi
𝑑𝑦
𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 +
2𝑥+1
𝑥
𝑥𝑒 2𝑥 𝑦 = 𝑒 −2𝑥 𝑥𝑒 2𝑥
𝑑𝑦
𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 + (2𝑥 + 1)𝑒 2𝑥 𝑦 = 𝑥
𝑑[ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑦] =
𝑥 𝑑𝑥
1
𝑥𝑒 2𝑥 𝑦 = 2 𝑥 2 + 𝑐
1 2
𝑥
𝑐
2
𝑦 = 𝑥𝑒
2𝑥 + 𝑥𝑒 2𝑥
1
𝑐
𝑦 = 2 𝑥𝑒 −2𝑥 + 𝑥 𝑒 −2𝑥
dimana c adalah suatu konstanta yang nilainya dapat berubah-ubah.
Setelah dibahas mengenai persamaan diferensial linear, maka terdapat
klasifikasi
persamaan
diferensial
linear
homogen
maupun
nonhomogen. Referensi diktat karangan Lina Aryati, dkk (2013).
linear
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
19
b. Persamaan Diferensial Linear Homogen
Teorema 2.2
Jika 𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑚 merupakan m solusi dari persamaan diferensial linear
homogen
𝑎0 𝑥
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛
+ 𝑎1 𝑥
𝑑 𝑛 −1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 −1
𝑑𝑦
+ ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑑𝑥
+ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 0
(2.17)
+ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 0
(2.18)
maka kombinasi linear 𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑚 yaitu
𝑐1 𝑓1 + 𝑐2 𝑓2 + … + 𝑐𝑚 𝑓𝑚
juga solusi persamaan diferensial (2.17).
Teorema 2.3
Persamaan diferensial linear homogen order n
𝑎0 𝑥
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛
+ 𝑎1 𝑥
𝑑 𝑛 −1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 −1
+ ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
selalu memiliki n solusi yang bebas linear. Selanjutnya jika 𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑛
adalah n solusi persamaan diferensial (2.18) yang bebas linear maka
setiap solusi
persamaan diferensial (2.18) dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear
𝑐1 𝑓1 + 𝑐2 𝑓2 + … + 𝑐𝑛 𝑓𝑛
dengan pemilihan konstanta-konstanta 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 yang sesuai.
c. Persamaan Diferensial Linear Nonhomogen
Sebelum dibicarakan metode untuk mencari solusi umum
persamaan diferensial linear nonhomogen, berikut ini diberikan dahulu
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
20
pengertian solusi umum untuk persamaan diferensial linear nonhomogen,
yang didahului dengan membicarakan dua teorema yang akan membawa
ke pengertian solusi umum. Diberikan persamaan diferensial linear
nonhomogen
𝑎0 𝑥
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛
+ 𝑎1 𝑥
𝑑 𝑛 −1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 −1
+ ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 𝐹 𝑥
(2.19)
dengan persamaan homogen yang berkorespondensi
𝑎0 𝑥
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛
+ 𝑎1 𝑥
𝑑 𝑛 −1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 −1
+ ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(
+ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 0.
(2.20)
Teorema 2.4
Jika v sebarang solusi persamaan diferensial (2.19) dan u sebarang solusi
persamaan diferensial (2.20) maka 𝑢 + 𝑣 juga merupakan solusi
persamaan diferensial (2.19).
Contoh 2.5
Mudah diselidiki bahwa 𝑦 = 𝑥 3 merupakan solusi persamaan diferensial
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2
− 𝑦 = 6𝑥 − 𝑥 3 .
(2.21)
Selain itu, mudah pula dilihat bahwa y = 𝑒 𝑥 solusi persamaan homogen
yang berkorespondensi dengan (2.21),
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2
− 𝑦 = 0.
Karena itu menurut teorema (2.2), y = 𝑒 𝑥 + 𝑥 3 juga merupakan solusi
persamaan diferensial (2.21).
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
21
Teorema 2.5
Diberikan 𝑦0 suatu solusi persamaan diferensial linear nonhomogen
(2.19) yang tidak memuat sebarang konstanta. Jika 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 +
… + 𝑐𝑛 𝑦𝑛 solusi umum persamaan diferensial linear homogen (2.20)
maka setiap solusi persamaan diferensial (2.19) dapat dinyatakan sebagai
𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 untuk suatu pemilihan konstanta 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 yang sesuai.
Teorema 2.5 membawa ke pengertian solusi umum persamaan diferensial
linear nonhomogen, yang didefinisikan sebagai berikut
Definisi 2.1
Diberikan persamaan diferensial linear nonhomogen
𝑎0 𝑥
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛
+ 𝑎1 𝑥
𝑑 𝑛 −1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 −1
+ ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 𝐹 𝑥
(2.22)
dan persamaan diferensial linear homogen yang berkorespondensi
dengan (2.22)
𝑎0 𝑥
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛
+ 𝑎1 𝑥
𝑑 𝑛 −1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 −1
+ ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 0.
(2.23)
1. Solusi umum persamaan diferensial (2.23) disebut fungsi komplemen
persamaan diferensial (2.22), dan selanjutnya ditulis dengan 𝑦𝑐 .
2. Suatu solusi khusus persamaan diferensial (2.22) yang tidak memuat
sebarang konstanta disebut integral khusus persamaan diferensial
(2.22), dan selanjutnya akan ditulis dengan 𝑦𝑝 .
3. Solusi 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 dari persamaan (2.22) dengan 𝑦𝑝 integral khusus (2.22)
dan 𝑦𝑐 fungsi komplemen (2.22) disebut solusi umum persamaan
diferensial nonhomogen (2.22).
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
22
Contoh 2.5 Telah diketahui bahwa y = 𝑥 3 merupakan suatu solusi
persamaan diferensial
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2
− 𝑦 = 6𝑥 − 𝑥 3
(2.24)
sehingga 𝑦𝑝 = 𝑥 3 adalah integral khusus persamaan (2.24). Solusi umum
persamaan homogen yang berkorespondensi dengan (2.24) adalah
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑥 dengan 𝑐1 dan 𝑐2 sebarang konstanta. Karena itu
solusi umum persamaan diferensial (2.24) adalah
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑥 + 𝑥 3
dengan 𝑐1 dan 𝑐2 sebarang konstanta.
2. Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan Diferensial Parsial (Partial Differential Equation),
disingkat PDP, adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan lebih
dari satu variabel bebas. Persamaan diferensial dapat pula diartikan sebagai
persamaan diferensial biasa kecuali keadaannya diperjelas bahwa yang
dimaksud adalah persamaan diferensial parsial. Persamaan (2.3) dan (2.4)
termasuk ke dalam contoh-contoh Persamaan Diferensial Parsial (PDP).
Pada persamaan (2.3) variabel 𝑠 dan 𝑡 adalah variabel bebas dan variabel 𝑣
adalah variabel tak bebas (tergantung). Pada persamaan (2.4) terdapat
variabel bebas yaitu variabel 𝑥, 𝑦, dan 𝑧, sedangkan variabel 𝑢 adalah
variabel tak bebas. (Shepley L Ross, 2004)
Suatu persamaan diferensial dikatakan linear jika tidak ada perkalian
antara variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya. Dengan kata
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
23
lain, semua koefisiennya adalah fungsi dari variabel-variabel bebas. Suatu
persamaan diferensial yang tidak linear dalam beberapa variabel tak bebas
dikatakan tidak linear dalam variabel tersebut. Suatu persamaan diferensial
yang tidak linear dalam himpunan semua variabel tak bebas secara
sederhana dikatakan tak linear. (Didit Budi Nugroho, 2011)
3. Solusi khusus dan solusi umum
Solusi adalah sebuah fungsi yang memenuhi persamaan diferensial.
Sebuah fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) yang terdefinisi atas domain dari fungsi 𝑥 disebut
solusi untuk persamaan diferensial jika untuk sembarang nilai dari variabel
bebas 𝑥 yang diijinkan, identitas persamaan dapat dipenuhi ketika nilai-nilai
yang bersesuaian untuk 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan derivatif-derivatifnya disubstitusikan
ke dalam persamaannya. Jika mengenakan syarat awal atau syarat batas
maka akan diperoleh solusi khusus, artinya konstanta sembarang yang
termuat dalam solusi umum akan mempunyai nilai tertentu.
Dari sini, dapat dibedakan antara solusi umum dan solusi khusus.
Solusi umum untuk persamaan diferensial biasa orde ke-n adalah sebuah
solusi (yang dinyatakan secara eksplisit atau implisit) yang memuat semua
solusi yang mungkin atas suatu domain dari fungsi 𝑥. Solusi umum ini
memuat suatu suku konstanta sembarang n, sedangkan solusi khusus adalah
solusi yang tidak memuat konstanta sembarang. Dari beberapa kasus
terdapat solusi lain dari persamaan yang diberikan oleh solusi tersebut
ternyata tidak dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
24
sembarang konstanta dari solusi umum, solusi yang demikian dinamakan
solusi singular dari persamaan tersebut. (Kartono, 2012)
4. Masalah Nilai Awal dan Masalah Nilai Batas
Suatu persamaan diferensial dengan syarat tambahan pada fungsi yang
tidak diketahui derivatif-derivatifnya, semua diberikan pada nilai yang sama
untuk variabel bebas, merupakan suatu masalah nilai awal (initial-value
problem). Syarat tambahan tersebut dinamakan syarat awal (initial
conditions). Jika syarat tambahan diberikan pada lebih dari satu nilai
variabel bebas, dinamakan masalah nilai batas (boundary-value problem)
dan syaratnya dinamakan syarat batas. (Didit Budi Nugroho, 2011)
Masalah Nilai Awal (MNA) adalah suatu persamaan diferensial yang
dilengkapi dengan suatu data di titik awal dari domain.
Contoh solusi masalah nilai awal sebagai berikut
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥,
𝑦 0 = 1.
Solusi :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 mempunyai keluarga solusi
𝑦 = 𝑥2 + 𝐶
𝑦 0 =1
1 = 02 + 𝐶
C = 1.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
25
Jadi, solusi MNA tersebut adalah 𝑦 = 𝑥 2 + 1.
Catatan:
Untuk PD
Untuk PD
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥, maka 𝑦 = 𝑥 2 + 1 disebut solusi khusus.
= 2𝑥, maka 𝑦 = 𝑥 2 + 𝐶 disebut solusi umum.
Masalah Nilai Batas (MNB) adalah suatu persamaan diferensial yang
dilengkapi dengan data pada titik-titik batas dari domain. Titik-titik batas
tersebut terdapat lebih dari satu batas. Jika syarat tambahan diberikan pada
lebih dari satu nilai variabel bebas, dinamakan masalah nilai batas
(boundary-value problem) dan syaratnya dinamakan syarat batas (boundary
conditions).
Contoh solusi masalah nilai batas sebagai berikut
2
𝑑 𝑦
+𝑦
𝑑𝑥2
= 0,
𝑦 0 = 1,
𝑦
𝜋
2
= 5.
Pada masalah di atas, asumsikan bahwa saat nilai 𝑥 = 0 maka nilai 𝑦 = 1
dan saat nilai 𝑥 =
𝜋
2
maka nilai 𝑦 = 5. Dari asumsi tersebut maka terdapat
𝜋
kondisi hubungan untuk dua nilai x yang berbeda yakni 0 dan 2 . Kedua titik
x tersebut yang dinamakan sebagai masalah nilai batas.
Contoh berikut adalah masalah nilai batas
2
𝑑 𝑦
+𝑦
𝑑𝑥2
= 0,
𝑦 0 = 1,
𝑦 𝜋 = 5.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
26
Masalah di atas tersebut memiliki solusi yang unik yaitu karena tidak
mempunyai
solusi
sama
sekali.
Fakta
sederhana
tersebut
dapat
menyebabkan salah satu kesimpulan yang benar dari masalah nilai batas
sehingga kita tidak boleh menganggap mudah. (Shepley L Ross , 2004)
B. Limit Fungsi
Pada bahasan setelah ini akan dipaparkan tentang kekontinuan fungsi,
oleh karena itu konsep dasar dari kekontinuan fungsi yakni mempelajari limit
fungsi terlebih dahulu agar dapat memahami kekontinuan fungsi. Pada bahasan
mengenai limit fungsi ini referensi utama diambil dari buku karangan Edwin J
Purcell dan Dale Vanberg (1987).
Definisi 2.2
(Pengertian
limit
secara
intuisi).
Untuk
mengatakan
bahwa
lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti bahwa selisih antara 𝑓(𝑥) dan 𝐿 dapat dibuat sekecil
mungkin dengan mensyaratkan bahwa 𝑥 cukup dekat tetapi tidak sama dengan
𝑐.
Membuat definisi persis dengan mengikuti sebuah tradisi panjang dalam
memakai huruf Yunani 𝜀 (epsilon) dan 𝛿 (delta) untuk menggantikan bilanganbilangan kecil positif. Kita bayangkan jika 𝜀 dan 𝛿 sebagai bilangan-bilangan
kecil positif.
Definisi 2.3
(Pengertian tentang limit). Mengatakan bahwa lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti
bahwa untuk tiap 𝜀 > 0 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat 𝛿 > 0
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
27
yang berpadanan sedemikian sehingga 𝑓 𝑥 − 𝑙 < 𝜀 asalkan bahwa 0 <
𝑥 − 𝑐 < 𝛿; yakni
0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝑙 < 𝜀.
C. Kekontinuan Fungsi
Konsep dasar untuk mempelajari kekontinuan fungsi yaitu limit fungsi.
Pada bahasan sebelumnya telah dibahas tentang arti dari limit fungsi yang akan
digunakan pada bahasan kekontinuan fungsi berikut ini. Pada bahasan
mengenai kekontinuan fungsi ini referensi utama diambil dari buku karangan
Edwin J Purcell dan Dale Vanberg (1987). Dalam bahasa yang biasa, kata
kontinu digunakan untuk memberikan suatu proses yang berkelanjutan tanpa
perubahan yang mendadak. Gagasan tersebut berkenaan dengan fungsi.
Y
f
x
C
lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑐 .
Definisi 2.4
Kekontinuan di satu titik adalah bahwa f kontinu di c jika beberapa selang
terbuka
di
sekitar
c
terkandung
dalam
daerah
asal
f
dan
lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑐 . Maksud dari definisi tersebut adalah mensyaratkan tiga hal
sebagai berikut
(1) lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ada,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
28
(2) 𝑓(𝑐) ada (yakni, c berada dalam daerah asal 𝑓), dan
(3) lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑐 .
Jika salah satu dari ketiga fungsi tersebut tidak terpenuhi, maka 𝑓 tak kontinu
(diskontinu) di 𝑐.
Y
f
lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) tidak ada.
x
C
Y
lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ada, tetapi
lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓 𝑐 .
f
C
x
Jadi, fungsi yang diwakili oleh kedua grafik di atas tak kontinu di 𝑐. Tetapi
kontinu -titik lain dari daerah asalnya.
D. Turunan Parsial
Pada bahasan mengenai turunan parsial ini referensi utama diambil dari
buku karangan Edwin J Purcell dan Dale Vanberg (1987).
Andaikan bahwa f adalah suatu fungsi dua peubah x dan y. Jika y ditahan
agar konstan, misalnya 𝑦 = 𝑦0 , maka 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) menjadi fungsi satu peubah x.
Turunannya di 𝑥 = 𝑥0 disebut turunan parsial f terhadap x di (𝑥0 , 𝑦0 ) dan
dinyatakan sebagai 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ). Jadi,
𝑓𝑥 𝑥0 , 𝑦0 = lim∆𝑥→0
𝑓 𝑥 0 +∆𝑥,𝑦 0 −𝑓(𝑥 0 ,𝑦 0 )
∆𝑥
.
(2.25)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
29
Demikian pula, turunan parsial f terhadap y di (𝑥0 , 𝑦0 ) dinyatakan oleh
𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) dan dituliskan sebagai
𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0 = lim∆𝑦→0
𝑓 𝑥 0 ,𝑦 0 +∆𝑦 −𝑓(𝑥 0 ,𝑦0 )
.
∆𝑦
(2.26)
Daripada menghitung 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) dan 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) secara langsung dari definisi
(2.25) dan (2.26), secara khas kita mencari 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) dan 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) dengan
menggunakan aturan baku untuk turunan; kemudian kita menyulihkan
(mensubtitusikan) 𝑥 = 𝑥0 dan 𝑦 = 𝑦0 .
Contoh 2.6
Carilah 𝑓𝑥 (1,2) dan 𝑓𝑦 (1,2) jika 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 + 3𝑦 3 .
Solusi
Untuk mencari 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) kita anggap y sebagai konstanta dan kita diferensialkan
fungsi ini terhadap x didapat
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 + 0.
Jadi,
𝑓𝑥 1,2 = 2.1.2 = 4.
Demikian pula,
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 9𝑦 2
sehingga
𝑓𝑦 1,2 = 12 + 9. 22 = 37.
Jika z = 𝑓 𝑥, 𝑦 , kita gunakan cara penulisan lain.
𝜕𝑧
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑥 =
𝜕𝑓 (𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
,
𝜕𝑧
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑦 =
𝜕𝑓 (𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
𝜕𝑧
30
𝜕𝑧
𝑓𝑥 𝑥0 , 𝑦0 = [𝜕𝑥 ] 𝑥 0 ,𝑦0 ,
𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0 = [𝜕𝑦 ](𝑥 0 ,𝑦0 ).
Contoh 2.7
𝜕𝑧
𝜕𝑧
Jika z = 𝑥 2 sin(𝑥 𝑦 2 ), cari 𝜕𝑥 dan 𝜕𝑦 .
Solusi
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕
= 𝑥 2 𝜕𝑥 sin 𝑥𝑦 2
= 𝑥 2 cos 𝑥𝑦 2
𝜕
𝜕𝑥
+ sin 𝑥𝑦 2
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥 2 )
𝑥𝑦 2 + sin 𝑥𝑦 2 . 2𝑥
= 𝑥 2 cos 𝑥𝑦 2 . 𝑦 2 + 2𝑥 sin 𝑥𝑦 2
= 𝑥 2 𝑦 2 cos⁡
(𝑥𝑦 2 ) + 2𝑥 sin 𝑥𝑦 2
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑥 2 cos 𝑥𝑦 2 . 2𝑥𝑦 = 2𝑥 3 𝑦 cos⁡
(𝑥𝑦 2 ).
1. Turunan parsial tingkat tinggi
Secara umum, karena turunan parsial suatu fungsi x dan y adalah
fungsi lain dari dua peubah yang sama ini, turunan tersebut dapat diturunkan
secara parsial terhadap x atau y untuk memperoleh empat buah turunan
parsial kedua fungsi 𝑓:
𝜕
𝑓𝑥𝑥 = 𝜕𝑥
𝜕
𝑓𝑥𝑦 = (𝑓𝑥 )𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕2𝑓
= 𝜕𝑥 2 ,
𝜕2𝑓
= 𝜕𝑦𝜕𝑥 ,
Contoh 2.8
Cari keempat turunan parsial kedua dari
𝜕
𝑓𝑦𝑦 = 𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕
𝑓𝑦𝑥 = (𝑓𝑦 )𝑥 𝜕𝑦
𝜕2𝑓
= 𝜕𝑦 2 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
= 𝜕𝑥𝜕𝑦 .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
31
𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑦 − sin(𝑦 ) + 𝑥 3 𝑦 2 .
Solusi
1
𝑥
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑦 − 𝑦 cos(𝑦 ) + 3𝑥 2 𝑦 2
𝑥
𝑥
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑦 + 𝑦 2 cos(𝑦 ) + 2𝑥 3 𝑦
1
𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑦 2 sin
𝑥
𝑦
+ 6𝑥𝑦 2
𝑥2
𝑥
2𝑥
𝑥
1
𝑥
𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑦 + 𝑦 4 sin(𝑦 ) − 𝑦 3 cos(𝑦 ) + 2𝑥 3
𝑥
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑦 − 𝑦 3 sin
𝑥
𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑦 − 𝑦 3 sin
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
+ 𝑦 2 cos
1
+ 𝑦 2 cos
𝑦
𝑥
𝑦
+ 6𝑥 2 𝑦
+ 6𝑥 2 𝑦.
Pada contoh di atas 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 .
E. Integral Parsial
Pada materi sebelumnya telah dibahas mengenai turunan parsial, maka
kita perlu mengetahui pula teknik-teknik dalam integral parsial ini referensi
utama diambil dari buku karangan Nyoman Arcana dkk (1983).
1. Pengintegralan Parsial atau Pengintegralan Sebagian
Metode pengintegralan ini diperoleh dari rumus hitung diferensial dari
perkalian dua fungsi, yaitu bila 𝑦 = 𝑢. 𝑣, 𝑢 dan 𝑣 keduanya fungsi dari x
maka,
𝑑 𝑢𝑣 = 𝑢. 𝑑𝑣 + 𝑣. 𝑑𝑢.
Dengan mengintegralkan kedua ruas kita peroleh:
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
𝑢𝑣 =
32
𝑢 . 𝑑𝑣 + 𝑣 . 𝑑𝑢.
Jadi, jika salah satu dari integral pada ruas kanan diketahui, maka integral
yang lain dapat dicari. Kita dapat memilih mengerjakan salah satu dari
kedua integral tersebut, yang mungkin atau mudah diintegralkan.
Sebagai contoh, bila
𝑣 . 𝑑𝑢 dapat dengan segera diintegralkan, maka
integral yang lain, yaitu u dv dapat dicari,
𝑢 . 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − 𝑣 . 𝑑𝑢.
Penggunaan metode ini akan menjadi lebih jelas setelah mengikuti contohcontoh berikut.
Contoh 2.9
Integralkan
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥.
Misal 𝑢 = 𝑥 dan 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥.
Maka 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 dan 𝑣 =
cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥.
Sehingga
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑢 𝑑𝑣
= 𝑢. 𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢
= 𝑥 sin 𝑥 − sin 𝑥 𝑑𝑥.
Jadi,
daripada
mengintegralkan
mengintegralkan
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
tentu
lebih
mudah
sin 𝑥 𝑑𝑥, yang segera kita tahu, yaitu – cos x. Sehingga
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑐.
Jika u dan dv dipilih sebagai berikut:
1
Misal 𝑢 = cos 𝑥 dan 𝑑𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥, maka 𝑑𝑢 = − sin 𝑥 dan 𝑣 = 2 𝑥 2 .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
33
Dengan mensubstitusikan kita peroleh:
1
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑥 2 cos 𝑥 +
1
2
𝑥 2 (− sin 𝑥)𝑑𝑥.
Jadi, integral yang timbul lebih sulit dari integral semula.
Jadi, dalam pengambilan u dan dv harus demikian sehingga integral yang
timbul kemudian menjadi lebih sederhana.
Contoh 2.10
Integralkan
𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥.
Seperti alasan yang diberikan pada contoh 1, kita pilih: 𝑢 = 𝑥 2 dan 𝑑𝑣 =
sin 𝑥 𝑑𝑥, maka 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑣 = − cos 𝑥.
Sehingga:
𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑢 𝑑𝑣
= 𝑢. 𝑣 − 𝑣 . 𝑑𝑢
= 𝑥 2 − cos 𝑥 − − cos 𝑥 . 2𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥 2 cos 𝑥 + 2 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥.
Dalam contoh ini kita menemukan integral yang tidak dapat diintegralkan
secara pengamatan tetapi telah dikerjakan pada contoh 2.10, yaitu:
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑐1 .
Substitusikan ini ke dalam hasil pengintegralan di atas, kita peroleh:
𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 cos 𝑥 + 2{𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑐1 }
= −𝑥 2 cos 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝑐 .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
34
Perulangan seperti ini, yaitu kita kembali mempergunakan integral parsial
akan sering kita temukan dalam soal-soal yang lain. Sebagai contoh, jika
𝑥 3 sin 𝑥 𝑑𝑥 kita cari, proses pengintegralan akan berlangsung tiga kali.
F. Metode Lagrange
Setelah membahas tentang turunan parsial dan integral parsial, akan
dibahas pula mengenai metode Lagrange karena syarat tersebut terpenuhi di
dalam Metode Iterasi Variasional. Pada bahasan mengenai metode Lagrange
ini, referensi utama di ambil dari buku karangan Edwin J Purcell dan Dale
Vanberg (1987).
Teorema 2.6
(Metode Lagrange). Untuk memaksimumkan atau meminimumkan
𝑓(𝒑) terhadap kendala 𝑔 𝒑 = 0, selesaikan sistem persamaan
∇𝑓 𝒑 = 𝜆∇𝑔(𝒑) dan 𝑔 𝒑 = 0.
untuk p dan λ. Tiap titik p yang demikian adalah suatu titik kritis untuk
masalah nilai ekstrem terkendala dan λ yang berpadanan disebut pengali
Lagrange.
Contoh 2.11
Tentukan
minimum
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 5,
𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 𝑧 = 0.
terhadap
kendala
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
35
Solusi
Gradien f dan g adalah ∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3𝐢 + 2𝐣 + 𝐤 dan ∇𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 18𝐢 +
8𝑦𝐣 − 𝐤. Untuk menemukan titik-titik kritis, kita pecahkan persamaanpersamaan
∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜆∇𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 dan 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
untuk 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆 dengan λ pengali Lagrange. Ini setara, dalam soal ini, dengan
memecahkan sistem empat persamaan simultan berikut dalam empat peubah x,
y, z, dan λ.
(2.27)
3 = 18𝑥𝜆
(2.28)
2 = 8𝑦𝜆
(2.29)
1 = −𝜆
9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 𝑧 = 0.
(2.30)
Dari (2.29), 𝜆 = −1. Dengan mensubstitusikan hasil ini ke dalam (2.27)
1
1
dan (2.28), kita dapatkan 𝑥 = − 6 dan 𝑦 = − 4. Dengan memasukkan nilai-nilai
1
ini untuk x dan y dalam persamaan (2.30), kita peroleh 𝑧 = 2. Jadi solusi sistem
1
1 1
empat persamaan simultan tersebut adalah (− 6 , − 4 , 2 , −1), dan satu-satunya
1
1 1
titik kritis adalah (− 6 , − 4 , 2). Maka minimum 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 terhadap kendala
1
1 1
1
𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 adalah 𝑓 − 6 , − 4 , 2 = 4 2.
Bilamana ada lebih dari satu kendala yang diberlakukan pada peubahpeubah suatu fungsi yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan, maka
digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan (satu untuk setiap kendala).
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
36
Misalnya, jika kita mencari ekstrem suatu fungsi f tiga peubah, terhadap dua
kendala 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 dan 𝑕 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0, kita pecahkan persamaanpersamaan.
∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜆∇𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝜇∇𝑕 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0, 𝑕 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
untuk x, y, z, λ, dan 𝜇, dengan λ dan 𝜇 adalah pengali-pengali Lagrange. Ini
setara terhadap pencarian solusi sistem lima persamaan simultan dalam
peubah-peubah x, y, z, λ, dan 𝜇.
(2.31)
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜆𝑔𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝜇𝑕𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧),
(2.32)
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜆𝑔𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝜇𝑕𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 ,
(2.33)
𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜆𝑔𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝜇𝑕𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 ,
(2.34)
𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0,
(2.35)
𝑕 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0.
Dari solusi sistem ini kita peroleh titik-titik kritis.
G. Metode Newton-Raphson
Pada bahasan mengenai penurunan rumus metode Newton-Raphson
secara geometri, referensi utama di ambil dari buku karangan Agus Setiawan
(2006) dan Eko Budi Purwanto (2008).
Metode Newton-Raphson merupakan metode yang paling banyak
digunakan untuk menentukan akar dan menyelesaikan persamaan diferensial.
Dari tebakan nilai akar awal 𝑥𝑖 , (dengan nilai fungsi 𝑓(𝑥𝑖 )), maka dapat ditarik
suatu garis singgung yang melewati titik 𝑥𝑖 ; 𝑓(𝑥𝑖 ) . Garis singgung ini akan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
37
memotong sumbu 𝑥 dan ini merupakan penafsiran akar bagi iterasi berikutnya.
Secara geometris hal ini ditampilkan dalam gambar di bawah ini.
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥𝑖 )
Kemiringan = 𝑓′(𝑥𝑖 )
}
𝑓 𝑥𝑖 − 0
𝑥
𝑥𝑖+1 𝑥𝑖
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1
Gambar 2.1. Pelukisan grafis dari metode Newton-Raphson.
Gambar 2.1 merupakan gambaran dari pelukisan grafis dari metode NewtonRaphson.
Diambil nilai awal 𝑥𝑖 , dan kemiringan (slope) adalah gradien dari fungsi atau:
𝑚 = 𝑓 ′ 𝑥𝑖 =
𝑓(𝑥 𝑖 )−𝑓 𝑥 𝑖+1
𝑥 𝑖 −𝑥 𝑖+1
,
(2.36)
jika diasumsikan bahwa 𝑥𝑖+1 sama dengan akar persamaan maka 𝑓(𝑥𝑖+1 ) = 0.
Δ𝑦
𝑓 𝑥 −0
𝑚 = 𝑓 ′ 𝑥𝑖 = Δ𝑥 = 𝑥 −𝑥𝑖
𝑖
𝑖+1
.
(2.37)
Persamaan (2.37) dapat disusun kembali menjadi:
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓 𝑥𝑖
𝑓′ 𝑥 𝑖
.
(2.38)
Persamaan (2.38) inilah yang disebut rumus Newton-Raphson.
H. Metode Euler
Pada bahasan mengenai metode Euler ini, referensi utama di ambil dari
buku karangan Agus Setiawan (2006).
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
38
𝑦
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝜙. 𝑕
𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒 = 𝜙
𝑥𝑖
𝑥
𝑥𝑖+1
𝑢𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛, 𝑕
Gambar 2.2. Tafsiran grafis persamaan 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝜙. 𝑕.
Bentuk umum persamaan diferensial biasa
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦).
(2.39)
Permasalahan penerjun payung yang diselesaikan secara numerik dalam bentuk
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑙𝑎𝑚𝑎 + (𝑘𝑒𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 × 𝑢𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑕),
yang dalam notasi matematika dituliskan sebagai
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝜙. 𝑕
(2.40)
Menurut persamaan (2.40), kemiringan 𝜙 digunakan untuk mengekstrapolasi
(memperhitungkan) nilai baru 𝑦𝑖+1 dari nilai lama 𝑦𝑖 .
𝑦
prediksi
asli
𝑥𝑖
𝑥𝑖+1
}
error
𝑥
Gambar 2.3 Pelukisan grafis dari metode Euler.
Gambar 2.3 merupakan gambaran dari pelukisan grafis dari metode Euler.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
39
Turunan pertama memberikan estimasi (taksiran) langsung kemiringan pada
𝑥𝑖 lihat gambar 2.3.
𝜙 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ).
(2.41)
Dengan 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) adalah evaluasi dari persamaan diferensial 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 . Substitusi
persamaan (2.41) ke (2.39) menjadi
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )𝑕.
(2.42)
Persamaan di atas merupakan persamaan umum metode Euler.
I. Little-Oh dan Big-Oh
Untuk membantu melengkapi bahasan tentang konsep dasar metode
Newton dan deret Taylor maka diperlukan penjelasan singkat mengenai notasi
Little-Oh dan Big-Oh. Referensi ini diambil dari buku karangan Eko Budi
Purwanto (2008).
Definisi fungsi 𝑓(𝑥) merupakan Little-Oh dari fungsi 𝑔(𝑥) dengan notasi
𝑓 𝑥 = 𝑜(𝑔(𝑥)) jika dan hanya jika terdapat dua buah konstanta bulat positif
𝑓(𝑥)
C dan 𝑥0 sedemikian sehingga berlaku lim𝑥→0 𝑔(𝑥) = 0.
Notasi Big-Oh didefinisikan bahwa 𝑓(𝑥) merupakan Big-Oh dari 𝑔(𝑥)
dan dinotasikan 𝑓 𝑥 = 𝑂(𝑔 𝑥 ) jika dan hanya jika terdapat dua buah
konstanta bulat positif C dan 𝑥0 sedemikian sehingga berlaku 𝑓(𝑥) ≤
𝑐 𝑔(𝑥) ; ∀ 𝑥 ≥ 𝑥0 .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB III
METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Pada bab ini akan dibahas mengenai pengantar singkat Persamaan
Diferensial Biasa, masalah syarat awal dan syarat batas, deret Taylor, metode
iterasi Picard (The Method of Successive Approximations), hubungan antara deret
Taylor dengan metode iterasi Picard, contoh-contoh solusi metode iterasi Picard,
penjelasan metode iterasi variasional dan contoh-contoh solusinya, contoh pengali
Lagrange metode iterasi untuk PDB serta metode iterasi variasional untuk PDB
secara umum berderajat satu.
A. Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial (PD) adalah suatu persamaan yang menyatakan
hubungan suatu fungsi dengan derivatif-derivatifnya. Jika fungsi yang dicari
mempunyai satu variabel bebas, maka persamaannya disebut Persamaan
Diferensial Biasa (PDB). (Shepley L Ross, 2004)
1. Masalah syarat awal dan syarat batas
Pada bagian ini akan disajikan teori tentang masalah syarat awal dan
syarat batas yang mendukung pembahasan dari metode iterasi Picard dengan
referensi dari buku karangan Kartono (2012).
Perhatikanlah persamaan diferensial linear orde dua,
40
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
𝑎2 𝑥 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑟 𝑥 ,
41
(3.1)
dengan 𝑎2 𝑥 , 𝑎1 𝑥 , dan 𝑎0 𝑥 dinamakan koefisien-koefisien yang dapat
sebagai fungsi dari x atau konstanta dan 𝑟(𝑥) merupakan fungsi-fungsi
kontinu di dalam suatu interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 dengan 𝑎2 (𝑥) ≠ 0. Jika
persamaan (3.1) mempunyai syarat awal
𝑦 𝑥0 = 𝑦0 dan 𝑦′ 𝑥0 = 𝑦1 ,
(3.2)
maka persamaan (3.1) dan (3.2) dinamakan masalah syarat awal. Jadi
masalah syarat awal sering disajikan dalam bentuk
𝑎2 𝑥 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑟 𝑥 ,
𝑦 𝑥0 = 𝑦0 dan 𝑦′ 𝑥0 = 𝑦1 .
(3.3)
Jika persamaan (3.1) dilengkapi dengan kondisi di ujung-ujung pada
interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, misalkan 𝑦 𝑎 = 𝐴 dan 𝑦 𝑏 = 𝐵 maka dinamakan
masalah syarat batas. Jadi masalah syarat batas disajikan dalam bentuk
𝑎2 𝑥 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑟 𝑥 ,
(3.4)
𝑦 𝑎 = 𝐴 dan 𝑦 𝑏 = 𝐵.
Secara prinsip, ada perbedaan yang mencolok antara masalah syarat
awal dan batas terkait dengan ada atau tidaknya solusi. Masalah syarat awal
selalu mempunyai solusi dan solusi ini pasti tunggal seperti yang dijamin
oleh teorema eksistensi dan ketunggalan solusi masalah syarat awal,
sedangkan untuk masalah syarat batas mempunyai tiga kemungkinan solusi
yaitu solusi tunggal, solusi banyak, bahkan tidak ada solusi. Hal ini dapat
dijelaskan demikian. Misalkan bahwa 𝑦1 𝑥 dan 𝑦2 𝑥 merupakan dua buah
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
42
solusi yang bebas linear dari persamaan (3.1), serta 𝑦𝑝 𝑥 merupakan solusi
khususnya maka solusi umum persamaan (3.1) berbentuk
𝑦 𝑥 = 𝑐1 𝑦1 𝑥 + 𝑐2 𝑦2 𝑥 + 𝑦𝑝 𝑥 ,
(3.5)
dengan mengenakan syarat batasnya, maka
𝑦 𝑎 = 𝑐1 𝑦1 𝑎 + 𝑐2 𝑦2 𝑎 + 𝑦𝑝 𝑎 ↔ 𝑐1 𝑦1 𝑎 + 𝑐2 𝑦2 𝑎 + 𝑦𝑝 𝑎 = 𝐴,
𝑦 𝑏 = 𝑐1 𝑦1 𝑏 + 𝑐2 𝑦2 𝑏 + 𝑦𝑝 𝑏 ↔ 𝑐1 𝑦1 𝑏 + 𝑐2 𝑦2 𝑏 + 𝑦𝑝 𝑏 = 𝐵
dari sini,
𝑐1 𝑦1 𝑎 + 𝑐2 𝑦2 𝑎 = 𝐴 − 𝑦𝑝 𝑎 ,
(3.6)
𝑐1 𝑦1 𝑏 + 𝑐2 𝑦2 𝑏 = 𝐵 − 𝑦𝑝 𝑏 .
Persamaan (3.6) merupakan sistem persamaan linear nonhomogen dalam
𝑐1 dan 𝑐2 , oleh karena itu sesuai konsep solusi sistem persamaan linear
dalam Aljabar Linear maka sistem (3.6) mempunyai tiga kemungkinan
solusinya yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau bahkan tidak ada solusi.
Masalah syarat batas sering dipakai untuk memodelkan fenomena
perubahan akibat adanya perubahan terhadap variabel posisinya.
Setelah mendapatkan model matematika yang berbentuk persamaan
diferensial, baik berbentuk masalah syarat awal atau masalah syarat batas,
langkah selanjutnya adalah bagaimana mendapatkan solusinya, serta apa
sifat atau interpretasi solusi persamaan diferensial tersebut.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
43
B. Deret Taylor
Pada bagian ini akan dibahas teori yang mendukung pembahasan metode
iterasi Picard yaitu teori tentang Deret Taylor. Referensi yang digunakan pada
teori ini berasal dari buku karangan Edwin J. Purcell dan Dale Vanberg (1987)
Jilid 1.
Jika diketahui sebuah fungsi f (misalnya sin 𝑥 atau 𝑦 𝑥 = ln(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)).
Apakah fungsi tersebut direpresentasikan sebagai suatu deret pangkat dari x
atau, lebih umum, dari 𝑥 − 𝑎? Jadi, adakah bilangan-bilangan 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 , …
sehingga
𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 (𝑥 − 𝑎)2 + 𝑐3 (𝑥 − 𝑎)3 + …
pada sebuah selang sekitar 𝑥 = 𝑎?
Anggaplah sebuah deret pangkat sebagai sebuah suku banyak dengan
suku-suku yang takterhingga banyaknya. Deret ini berperilaku sebagai sebuah
suku banyak terhadap pengintegralan maupun pendiferensialan; pengerjaan ini
dapat dilakukan suku demi suku.
Teorema berikut ini mencakup beberapa sifat. Teorema ini mengatakan
bahwa S dapat didiferensialkan dan diintegralkan, dan menunjukkan
bagaimana caranya menghitung turunan dan integralnya. Juga mengatakan
bahwa radius kekonvergenan deret yang telah didiferensialkan dan deret yang
telah diintegralkan sama dengan radius kekonvergenan deret yang asli,
walaupun tidak dijelaskan tentang perilaku deret-deret itu di ujung-ujung
selang.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
44
Teorema 3.1
Andaikan 𝑆(𝑥) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I; Jadi,
𝑆 𝑥 =
∞
𝑛
𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + …
maka, apabila x ada di dalam I, berlakulah,
(i) 𝑆 ′ 𝑥 =
∞
𝑛
𝑛=0 𝐷𝑥 (𝑎𝑛 𝑥 )
∞
𝑛 −1
𝑛=0 𝑛𝑎𝑛 𝑥
=
= 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2 + …
(ii)
𝑥
0
𝑆 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑥
∞
𝑛=0 0
1
𝑎𝑛 𝑡 𝑛 𝑑𝑡 =
𝑎𝑛
∞
𝑛 +1
𝑛=0 𝑛 +1 𝑥
1
1
= 𝑎0 𝑥 + 2 𝑎1 𝑥 2 + 3 𝑎2 𝑥 3 + 4 𝑎3 𝑥 4 + …
Andaikan penggambaran yang demikian mungkin. Maka menurut
teorema tentang pendeferensialan deret-deret (Teorema 3.1) di atas diperoleh
berturut-turut,
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 − 𝑎 + 3𝑐3 (𝑥 − 𝑎)2 + 4𝑐4 (𝑥 − 𝑎)3 +…
𝑓 ′′ 𝑥 = 2! 𝑐2 + 3! 𝑐3 𝑥 − 𝑎 + 4.3𝑐4 (𝑥 − 𝑎)2 + …
𝑓 ′′ ′ 𝑥 = 3! 𝑐3 + 4! 𝑐4 𝑥 − 𝑎 + 5.4𝑐5 (𝑥 − 𝑎)2 + …
⋮
= ⋮
apabila di substitusikan 𝑥 = 𝑎 dan menghitung 𝑐𝑛 , kita peroleh
𝑐0 = 𝑓 𝑎
𝑐1 = 𝑓′ 𝑎
𝑐2 =
𝑓′′ 𝑎
𝑐3 =
𝑓′′′ 𝑎
2!
3!
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
45
dan yang lebih umum,
𝑐𝑛 =
𝑓 (𝑛 ) 𝑎
𝑛!
.
(Agar rumus untuk 𝑐𝑛 itu berlaku juga untuk 𝑛 = 0, kita artikan 𝑓 (0) 𝑎
sebagai 𝑓 𝑎 dan 0! =1. ) Jadi koefisien-koefisien 𝑐𝑛 ditentukan oleh fungsi f.
Hal ini membuktikan pula bahwa suatu fungsi f tidak dapat direpresentasikan
oleh dua deret pangkat dalam 𝑥 − 𝑎 yang berbeda. Hal ini dituangkan dalam
teorema berikut.
Teorema 3.2
(Teorema Ketunggalan). Andaikan f memenuhi uraian
𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 (𝑥 − 𝑎)2 + 𝑐3 (𝑥 − 𝑎)3 + …
untuk semua x dalam suatu selang sekitar a. Maka,
𝑐𝑛 =
𝑓 (𝑛 ) 𝑎
𝑛!
Jadi, suatu fungsi tidak dapat digambarkan oleh dua deret pangkat dari
(𝑥 − 𝑎).
Bentuk koefisien 𝑐𝑛 sama seperti koefisien yang terdapat dalam Rumus Taylor.
Oleh karena ini, deret pangkat dari (𝑥 − 𝑎) yang menggambarkan sebuah
fungsi dinamakan deret Taylor. Apabila 𝑎 = 0, deret yang bersangkutan
disebut deret Maclaurin. Deret Maclaurin merupakan bentuk khusus dari deret
Taylor.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
46
1. Kekonvergenan Deret Taylor
Apabila diketahui sebuah fungsi f, dapatkah kita menggambarkannya
sebagai sebuah deret pangkat dalam 𝑥 − 𝑎, (yang tentunya adalah deret
Taylor)? Jawabannya terdapat pada teorema berikut ini.
Teorema 3.3
(Teorema Taylor). Andaikan f sebuah fungsi yang memiliki turunan dari
semua tingkatan dalam suatu selang (𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟). Syarat perlu dan cukup
agar deret Taylor
𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) +
𝑓 ′′ (𝑎)
2!
(𝑥 − 𝑎)2 +
𝑓 ′′′ (𝑎)
3!
(𝑥 − 𝑎)3 + …
menggambarkan fungsi f pada selang itu, ialah
lim𝑛→∞ 𝑅𝑛 𝑥 = 0
dengan 𝑅𝑛 𝑥 suku sisa dalam Rumus Taylor, yaitu
𝑅𝑛 𝑥 =
𝑓 𝑛 +1 𝑐
𝑛+1 !
(𝑥 − 𝑎)𝑛+1
dengan c suatu bilangan dalam selang (𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟).
Bukti Rumus Taylor menurut teorema 3.4 yaitu
Teorema 3.4
(Rumus Taylor). Andaikan f adalah suatu fungsi dengan turunan ke
𝑛+1 𝑓
𝑛 +1
𝑥 , ada untuk setiap x pada suatu selang buka I yang
mengandung a. Maka untuk setiap x di I.
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 +
𝑅𝑛 (𝑥)
𝑓 ′′ 𝑎
2!
(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +
𝑓 𝑛 𝑎
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛 +
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
47
dari teorema tersebut maka terlihat jelas bahwa Teorema Taylor.
Perhatikan bahwa apabila 𝑎 = 0, diperoleh deret Maclaurin
𝑓 0 + 𝑓′ 0 𝑥 +
𝑓 ′′ 0
2!
𝑥2 +
𝑓 ′′ ′ 0
3!
𝑥3 + …
C. Metode Iterasi Picard ( The Method of Successive Approximations)
Setelah dipaparkan pengertian singkat persamaan diferensial biasa dan
deret Taylor, maka pada bagian ini akan disajikan langkah-langkah iterasi dari
metode iterasi Picard.
Metode iterasi adalah metode tidak langsung yang diawali dengan
menebak atau memberikan jawaban yang merupakan pendekatan dari jawaban
yang sebenarnya. Proses selanjutnya dari metode iterasi tersebut adalah
melakukan perbaikan jawaban melalui proses iterasi secara terus-menerus
hingga mendapatkan tingkat akurasi yang diinginkan. (Erwin Kreyszig, 1999)
Metode iterasi untuk menyelesaikan persoalan persamaan diferensial
biasa atau dapat pula disebut metode iterasi Picard (The Method of Successive
Approximations). Referensi untuk bagian ini diambil dari buku karangan
Shepley L. Ross (2004).
Keuntungan utama metode iterasi Picard dalam penulisan ini adalah
pendekatannya secara kontinu, artinya dengan solusi 𝜙𝑛 dapat dicari
pendekatan solusi eksak (sebenarnya) secara langsung tanpa diskretisasi
numeris.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
48
Diberikan masalah nilai awal terdiri dari persamaan diferensial berikut:
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑥, 𝑦),
(3.7)
𝑦 𝑥0 = 𝑦0 .
(3.8)
𝑑𝑥
dengan kondisi awal
Langkah pertama dalam menyelesaikan metode Picard ini adalah
memilih fungsi konstan 𝜙0 sebagai pendekatan (hampiran) ke nol. Setelah
memilih fungsi konstan 𝜙0 , kita harus mengetahui solusi yang sebenarnya agar
memenuhi kondisi awal saat 𝑥 = 𝑥0 maka nilai 𝑦 = 𝑦0 . Jadi, masuk akal
apabila kita memilih fungsi konstan 𝜙0 jika diandaikan nilai 𝑦0 pada 𝑥 = 𝑥0 .
Meskipun syarat tersebut tidak perlu, tetapi syarat tersebut dapat membantu
solusi yang lainnya. Secara khusus, syarat tersebut lebih tepat ketika kita
memilih fungsi konstan 𝜙0 yang memiliki nilai 𝑦0 untuk semua x.
Kemudian,
kita
menentukan
pendekatan
pertama
untuk
fungsi
𝜙1 𝑥 dengan cara berikut. Kita tentukan 𝜙1 (𝑥) agar memenuhi persamaan
diferensial yang diperoleh dari persamaan (3.7) dengan mengganti nilai y pada
𝑓(𝑥, 𝑦) dengan 𝜙0 (𝑥) dan memenuhi persamaan (3.8). Jadi, 𝜙1 ditentukan
sebagai berikut
𝑑
𝜙1 𝑥
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝜙0 𝑥 ,
(3.9)
dan
𝜙1 𝑥 = 𝑦0 .
Dipandang interval [𝑥0 , 𝑥1 ], maka kita integralkan persamaan (3.9)
𝑑
𝑑𝑥
𝜙1 𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝜙0 𝑥
(3.10)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
𝑥1 𝑑
𝑥 0 𝑑𝑥
𝜙1 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥1
𝑥0
𝜙1 𝑥1 − 𝜙1 𝑥0 =
Jadi, 𝜙1 𝑥1 = 𝜙1 𝑥0 +
𝑥1
𝑥0
49
𝑓 𝑡, 𝜙0 𝑡 𝑑𝑡
𝑥1
𝑓
𝑥0
𝑡, 𝜙0 𝑡 𝑑𝑡.
𝑓 𝑡, 𝜙0 𝑡 𝑑𝑡.
Jika diambil 𝑥1 adalah sembarang x maka
𝜙1 𝑥 = 𝜙1 𝑥0 +
𝑥
𝑓
𝑥0
𝑡, 𝜙0 𝑡 𝑑𝑡
dan iterasinya menjadi
𝜙1 𝑥 = 𝑦0 +
𝑥
𝑥0
𝑓 𝑡, 𝜙0 𝑡 𝑑𝑡.
Sekarang, kita menganggap bahwa 𝑓 𝑥, 𝜙0 𝑥
kontinu, kemudian untuk
fungsi 𝜙1 yang memenuhi persamaan (3.9) dan (3.10) jika dan hanya jika
𝜙1 𝑥 = 𝑦0 +
𝑥
𝑥0
𝑓 𝑡, 𝜙0 𝑡 𝑑𝑡,
(3.11)
dari persamaan (3.11) dapat ditentukan nilai dari 𝜙1 .
Sekarang, kita tentukan 𝜙2 dengan cara yang sama seperti cara yang telah
dijabarkan di atas. Fungsi 𝜙2 dapat ditentukan sebagai berikut
𝑑
𝑑𝑥
𝜙2 𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝜙1 𝑥 ,
(3.12)
dan
𝜙2 𝑥 = 𝑦0 .
Kita menganggap bahwa 𝑓 𝑥, 𝜙1 𝑥
(3.13)
berlaku terus-menerus, maka 𝜙2
memenuhi persamaan (3.12) dan (3.13) jika dan hanya jika
𝜙2 𝑥 = 𝑦0 +
𝑥
𝑥0
𝑓 𝑡, 𝜙1 𝑡 𝑑𝑡,
dari persamaan (3.14) dapat ditentukan 𝜙2 .
(3.14)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
50
Untuk 𝜙3 dan 𝜙4 dapat ditentukan pula dengan cara yang sama. Dan untuk 𝜙𝑛
ditentukan sebagai berikut
𝜙𝑛 𝑥 = 𝑦0 +
𝑥
𝑥0
𝑓 𝑡, 𝜙𝑛−1 𝑡 𝑑𝑡,
(3.15)
dimana 𝜙𝑛−1 adalah pendekatan ke (𝑛 − 1). Kita dapat memperoleh suatu
barisan dari fungsi 𝜙0 , 𝜙1 , 𝜙2 , … ,𝜙𝑛 . 𝜙1 ditentukan dari persamaan (3.11),
𝜙2 ditentukan dari persamaan (3.14),…, dan pada umumnya 𝜙𝑛 ditentukan dari
persamaan (3.15) untuk n ≥1.
Terdapat keterkaitan antara barisan fungsi dengan solusi yang sebenarnya
dari masalah nilai awal. Masalah tersebut dapat dibuktikan dalam kondisi
umum tertentu untuk 𝑥 terbatas pada interval yang cukup kecil dengan titik
awal 𝑥0 . Saat 𝑛 → ∞, maka barisan fungsi 𝜙𝑛 yang didefinisikan oleh 𝜙𝑛 𝑥 =
𝑦0 +
𝑥
𝑓
𝑥0
𝑡, 𝜙𝑛 −1 𝑡 𝑑𝑡, untuk 𝑛 ≥ 1 mendekati batas fungsi 𝜙.
Batas fungsi 𝜙 memenuhi kedua persamaan yaitu persamaan (3.7) dan
syarat awal (3.8) artinya adalah batas fungsi 𝜙 yang didefinisikan oleh
𝜙 = lim𝑛→∞ 𝜙𝑛 sesuai (cocok) dengan solusi eksak (sesungguhnya) dari
masalahan nilai awal. Selanjutnya, galat (error) pada hampiran (pendekatan)
solusi eksak 𝜙 oleh hampiran ke-n yaitu 𝜙𝑛 akan berubah-ubah sangat kecil
asalkan nilai n cukup besar dan nilai x cukup dekat dengan syarat awal 𝑥0 .
D. Hubungan deret Taylor dengan metode iterasi Picard
Setelah dipaparkan pengertian serta teorema deret Taylor dan metode
iterasi Picard, maka sekarang kita akan menyajikan hubungan antara deret
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
51
Taylor dengan metode iterasi Picard. Terdapat beberapa contoh relasi untuk
menghubungkan deret Taylor dan metode iterasi Picard.
1. Solusi Persamaan Diferensial Biasa secara analitis
Diberikan persamaan diferensial biasa dengan nilai awal sebagai berikut:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦,
(3.16)
𝑦 0 = 1.
Solusi menggunakan akar-akar persamaan karakteristik pada PDB linear
homogen dengan koefisien konstan.
Bentuk umum
𝑎0 𝑦 (𝑛) + 𝑎1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑦 ′ + 𝑎𝑛 𝑦 = 0,
(3.17)
dengan 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 adalah konstan dan 𝑎0 ≠ 0.
Persamaan karakteristik
𝑎0 𝑚(𝑛) + 𝑎1 𝑚(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑚 + 𝑎𝑛 = 0,
(3.18)
dengan 𝑚 adalah variabel karakteristiknya.
Solusi
Dari persamaan (3.16) dapat ditentukan
𝑦′ = 𝑦 ↔ 𝑦′ − 𝑦 = 0
maka persamaan karakteristiknya berdasarkan persamaan (3.18) adalah
𝑚−1=0
𝑚 = 1.
Jadi, solusi umum dari PDB tersebut adalah
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥
dengan 𝑐1 sebarang konstan.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
52
Dari persamaan (3.17) dapat diandaikan saat nilai 𝑥 = 0 maka nilai 𝑦 = 1.
Oleh karena itu,
𝑦 0 = 1 ↔ 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥
1 = 𝑐1 𝑒 0
1 = 𝑐1 . 1
𝑐1 = 1.
Jadi, solusi khusus dari PDB tersebut adalah 𝑦 = 𝑒 𝑥 .
2. Solusi suatu fungsi menggunakan konsep deret Taylor
Diberikan fungsi 𝑦 = 𝑒 𝑥 , tentukan solusi deret Taylor di sekitar titik 𝑥 = 0.
Solusi
Berdasarkan deret Taylor
𝑦 = 𝑒𝑥 ↔ 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥
𝑓 ′′ 𝑥 = 𝑒 𝑥
𝑓 ′′′ 𝑥 = 𝑒 𝑥
𝑓 (4) 𝑥 = 𝑒 𝑥
⋮
= ⋮
maka 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 di sekitar titik 𝑥 = 0 adalah
𝑒 𝑥 = 𝑒0 + 𝑒0𝑥 +
1
𝑒0
𝑥2 +
2!
1
𝑒0
𝑥3 +
3!
1
𝑒0
4!
𝑥4 + ⋯
𝑒 𝑥 = 1 + 𝑥 + 2 𝑥 2 + 6 𝑥 3 + 24 𝑥 4 + ⋯
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
53
3. Solusi Persamaan Diferensial Biasa dengan metode iterasi Picard
Diberikan persamaan diferensial biasa dengan metode iterasi Picard saat
nilai awal sebagai berikut:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦,
𝑦 0 = 1.
(3.19)
Solusi
Langkah pertama adalah memilih fungsi konstan 𝜙0 sebagai pendekatan ke
nol. Saat nilai awal y = 1, maka fungsi konstan 𝜙0 memiliki nilai 1 untuk
semua x = 0, sehingga 𝜙0 menjadi
𝜙0 𝑥 = 1
(3.20)
untuk semua x. Dari persamaan (3.20) dapat dimisalkan untuk semua t = 0,
yaitu
𝜙0 𝑡 = 1.
(3.21)
Langkah kedua adalah mensubstitusikan persamaan (3.19) ke persamaan
(3.15) sehingga menjadi
𝜙𝑛 𝑥 = 1 +
𝑥
[𝜙𝑛−1
0
𝑡 ] 𝑑𝑡, n≥ 1.
(3.22)
Langkah ketiga adalah menggunakan persamaan (3.22) untuk menghitung
𝑛 = 1, 2, 3 maka diperoleh 𝜙1 𝑥 berikut ini
𝜙1 𝑥 = 1 +
𝑥
[𝜙𝑛 −1
0
=1+
𝑥
(1) 𝑑𝑡
0
= 1 + [𝑡]0𝑥
=1+𝑥
𝜙1 𝑥 = 1 + 𝑥,
𝑡 ] 𝑑𝑡
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
54
Jadi, 𝜙1 𝑥 = 1 + 𝑥.
Jika parameter x pada persamaan 𝜙1 𝑥 diubah menjadi t maka
𝜙1 𝑡 = 1 + 𝑡.
Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan (3.22) untuk menghitung 𝜙2 (𝑥) maka diperoleh
𝜙2 𝑥 = 1 +
=1+
𝑥
[𝜙1
0
𝑥
(1
0
𝑡 ] 𝑑𝑡
+ 𝑡)𝑑𝑡
1
= 1 + [𝑡+ 2 𝑡 2 ]0𝑥
1
= 1 + 𝑥 + 2 𝑥2
1
𝜙2 𝑥 = 1 + 𝑥 + 2 𝑥 2 ,
1
Jadi, 𝜙2 𝑥 = 1 + 𝑥 + 2 𝑥 2 .
Jika parameter x pada persamaan 𝜙2 𝑥 diubah menjadi t maka
1
𝜙2 𝑡 = 1 + 𝑡 + 2 𝑡 2 .
Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan (3.22) untuk menghitung 𝜙3 (𝑥) maka diperoleh
𝜙3 𝑥 = 1 +
=1+
𝑥
[𝜙2
0
𝑥
(1
0
𝑡 ] 𝑑𝑡
1
+ 𝑡 + 2 𝑡 2 ) 𝑑𝑡
1
1
1
1
1
1
= 1 + [𝑡 + 2 𝑡 2 + 6 𝑡 3 ]0𝑥
= 1 + 𝑥 + 2 𝑥2 + 6 𝑥3
𝜙3 𝑥 = 1 + 𝑥 + 2 𝑥 2 + 6 𝑥 3 ,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
1
55
1
Jadi, 𝜙3 𝑥 = 1 + 𝑥 + 2 𝑥 2 + 6 𝑥 3 .
Jika parameter x pada persamaan 𝜙3 𝑥 diubah menjadi t maka
1
1
𝜙3 𝑡 = 1 + 𝑡 + 2 𝑡 2 + 6 𝑡 3 .
Secara umum, solusi MNA tersebut adalah
1
1
𝑦 = 𝜙𝑛 𝑥 = 1 + 𝑥 + 2 𝑥 2 + 6 𝑥 3 + ⋯ = 𝑒 𝑥 atau
1
1
𝑦 = 𝜙𝑛 𝑥 = 1 + 𝑥 + 2! 𝑥 2 + 3! 𝑥 3 + ⋯ +
𝑥𝑛
𝑛!
= 𝑒𝑥 .
(3.23)
Berdasarkan persamaan (3.23), maka dapat disimpulkan bahwa barisan dari
fungsi tersebut akan konvergen ke suatu fungsi yang menunjukkan solusi
dari masalah nilai awal. Solusi masalah nilai awal dapat pula disebut solusi
eksak (sesungguhnya). Jadi, barisan fungsi yang diperoleh dari solusi
menggunakan metode iterasi Picard tersebut sesuai (cocok) dengan solusi
eksak (sesungguhnya) maka barisan fungsi akan konvergen.
E. Contoh-contoh solusi metode iterasi Picard
Bagian ini memberikan contoh-contoh masalah nilai awal yang
diselesaikan dengan metode iterasi Picard serta langkah-langkah dalam
mendapatkan solusi metode iterasi Picard. Referensi utama yang dipakai pada
bagian ini adalah dari buku karangan Shepley L. Ross (2004).
Contoh 3.1
Gunakan metode iterasi Picard untuk menemukan solusi barisan fungsi
𝜙1 , 𝜙2 , 𝜙3 dari masalah nilai awal berikut
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥2 + 𝑦2,
56
(3.24)
𝑦 0 = 1.
(3.25)
Solusi
Langkah pertama adalah memilih fungsi konstan 𝜙0 sebagai pendekatan
ke nol. Saat nilai awal y = 1, maka fungsi konstan 𝜙0 memiliki nilai 1
untuk semua x = 0, sehingga 𝜙0 menjadi
𝜙0 𝑥 = 1
(3.26)
untuk semua x. Dari persamaan (3.26) dapat dimisalkan untuk semua t =
0, yaitu
𝜙0 𝑡 = 1.
(3.27)
Langkah kedua adalah mensubstitusikan persamaan (3.24) ke persamaan
(3.15) sehingga menjadi
𝑥 2
{𝑡
0
𝜙𝑛 𝑥 = 1 +
Langkah
ketiga
adalah
+ [𝜙𝑛−1 𝑡 ]2 } 𝑑𝑡, n≥ 1.
menggunakan
persamaan
menghitung 𝑛 = 1, 2, 3 maka diperoleh 𝜙1 𝑥 berikut ini
𝜙1 𝑥 = 1 +
𝑥 2
{𝑡
0
+ [𝜙0 𝑡 ]2 } 𝑑𝑡
=1+
𝑥 2
(𝑡
0
+ 1) 𝑑𝑡
1
= 1 + [3 𝑡 3 + 𝑡]0𝑥
1
= 1 + 3 𝑥3 + 𝑥
1
𝜙1 𝑥 = 1 + 𝑥 + 3 𝑥 3 ,
1
Jadi, 𝜙1 (𝑥) = 1 + 𝑥 + 3 𝑥 3 .
(3.28)
(3.28)
untuk
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
57
Jika parameter x pada persamaan 𝜙1 𝑥 diubah menjadi t maka
1
𝜙1 (𝑡) = 1 + 𝑡 + 3 𝑡 3 .
Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan (3.28) untuk menghitung 𝜙2 (𝑥) maka
diperoleh
𝜙2 𝑥 = 1 +
𝑥 2
{𝑡
0
+ [𝜙1 𝑡 ]2 } 𝑑𝑡
=1+
𝑥 2
[𝑡
0
+ (1 + 𝑡 + 3 )2 ]𝑑𝑡
= 1+
𝑥
(1
0
𝑡3
2𝑡 3
+ 2𝑡 + 𝑡 2 +
= 1 + [𝑡 + 𝑡 2 +
𝜙2 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 +
Jadi, 𝜙2 (𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 +
𝑡3
3
𝑥3
3
𝑥3
3
+
+
+
𝑡4
6
3
2𝑡 5
+
𝑥4
𝑥4
+
6
2𝑡 4
𝑡6
+ 9 ) 𝑑𝑡
3
𝑡7
+ 63 ]0𝑥
15
2𝑥 5
+
6
+
𝑥7
+ 63 ,
15
2𝑥 5
15
𝑥7
+ 63 .
Jika parameter x pada persamaan 𝜙2 𝑥 diubah menjadi t maka
𝜙2 (𝑡) = 1 + 𝑡 + 𝑡 2 +
𝑡3
+
3
𝑡4
6
+
2𝑡 5
15
𝑡7
+ 63 .
Langkah kelima memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga dan
keempat yakni menggunakan persamaan (3.28) untuk menghitung 𝜙3 (𝑥)
maka diperoleh
𝜙3 𝑥 = 1 +
𝑥 2
{𝑡
0
+ [𝜙2 𝑡 ]2 } 𝑑𝑡
=1+
𝑥 2
[𝑡
0
+ (1 + 𝑡 + 𝑡 2 +
=1+
𝑥
[1
0
299𝑡 8
1260
+ 2𝑡 + 4𝑡 2 +
8𝑡 9
+ 105 +
184𝑡 10
4725
𝑡3
3
10𝑡 3
3
𝑡 11
+ 189 +
𝑡4
+
+
6
8𝑡 4
3
4𝑡 12
945
+
+
2𝑡 5
15
29𝑡 5
15
𝑡 14
𝑡7
+ 63 )2 ]𝑑𝑡
+
47𝑡 6
+ 3969 ]𝑑𝑡
45
+
164𝑡 7
315
+
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
= 1 + [𝑡 + 𝑡 2 +
4𝑡 10
525
525
3
184𝑡 11
+
11.340
4𝑥 10
525
8𝑡 5
+
6
𝑡 12
29𝑡 6
+
15
+
90
4𝑡 13
+
184𝑥 11
51.975
4𝑥 3
3
+
+
184𝑥 11
51.975
5𝑥 4
+
6
𝑥 12
2268
Jadi, 𝜙3 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 +
299𝑥 9
5𝑡 4
+
47𝑡 7
+
315
41𝑡 8
630
+
299𝑡 9
+
11.340
𝑡 15
+ 51.975 + 2268 + 12.285 + 59.535 ]0𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 +
4𝑥 10
4𝑡 3
58
+
+
15
5𝑥 4
6
90
+
59.535
+
4𝑥 13
29𝑥 6
𝑥 15
+
12.285
4𝑥 3
𝑥 12
8𝑥 5
4𝑥 13
+
3
+
8𝑥 5
15
47𝑥 7
315
+
41𝑥 8
630
299𝑥 9
+ 11.340 +
,
+
29𝑥 6
90
+
47𝑥 7
315
+
41𝑥 8
630
+
𝑥 15
+ 2268 + 12.285 + 59.535 .
Jika parameter x pada persamaan 𝜙3 𝑥 diubah menjadi t maka
𝜙3 𝑡 = 1 + 𝑡 + 𝑡 2 +
4𝑡 10
525
4𝑡 3
3
184𝑡 11
+
5𝑡 4
6
𝑡 12
+
8𝑡 5
15
+
29𝑡 6
4𝑡 13
90
+
47𝑡 7
315
+
41𝑡 8
630
299𝑡 9
+ 11.340 +
𝑡 15
+ 51.975 + 2268 + 12.285 + 59.535 .
Pada contoh ini, 𝜙1 adalah pendekatan pertama, 𝜙2 adalah pendekatan
kedua, 𝜙3 adalah pendekatan ketiga, dan seterusnya sampai 𝜙𝑛 , sehingga
berlaku
𝜙∞ = lim𝑛→∞ 𝜙𝑛 .
Contoh 3.2
Gunakan metode iterasi Picard untuk menemukan solusi barisan fungsi
𝜙1 , 𝜙2 , 𝜙3 dari masalah nilai awal berikut
𝑑𝑦
= 𝑥𝑦
(3.29)
𝑦 0 =1
(3.30)
𝑑𝑥
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
59
Solusi
Langkah pertama adalah memilih fungsi konstan 𝜙0 sebagai pendekatan
ke nol. Saat nilai awal y = 1, maka fungsi konstan 𝜙0 memiliki nilai 1
untuk semua x = 0, sehingga 𝜙0 menjadi
𝜙0 𝑥 = 1
(3.31)
untuk semua x. Dari persamaan (3.31) dapat dimisalkan untuk semua t =
0, yaitu
𝜙0 𝑡 = 1.
(3.32)
Langkah kedua adalah mensubstitusikan persamaan (3.29) ke persamaan
(3.15) sehingga menjadi
𝜙𝑛 𝑥 = 1 +
Langkah
ketiga
𝑥
{𝑡[𝜙𝑛 −1
0
adalah
𝑡 ]} 𝑑𝑡, n ≥ 1.
menggunakan
persamaan
(3.33)
(3.33)
menghitung 𝑛 = 1, 2, 3 maka diperoleh 𝜙1 𝑥 berikut ini
𝑥
{𝑡[𝜙0
0
𝜙1 𝑥 = 1 +
𝑡 ]} 𝑑𝑡
=1+
𝑥
(𝑡. 1) 𝑑𝑡
0
=1+
𝑥
0
𝑡 𝑑𝑡
1
= 1 + [2 𝑡 2 ]0𝑥
1
= 1 + 2 𝑥2
1
𝜙1 𝑥 = 1 + 2 𝑥 2 ,
1
Jadi, 𝜙1 (𝑥) = 1 + 2 𝑥 2 .
Jika parameter x pada persamaan 𝜙1 𝑥 diubah menjadi t maka
untuk
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
60
1
𝜙1 (𝑡) = 1 + 2 𝑡 2 .
Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan (3.33) untuk menghitung 𝜙2 (𝑥) maka
diperoleh
𝑥
{𝑡[𝜙1
0
𝜙2 𝑥 = 1 +
=1+
𝑥
[𝑡
0
=1+
𝑥
(𝑡
0
𝑡 ]} 𝑑𝑡
1
1 + 2 𝑡 2 ] 𝑑𝑡
1
+ 2 𝑡 3 ) 𝑑𝑡
1
1
= 1 + [2 𝑡 2 + 8 𝑡 4 ]0𝑥
1
1
𝜙2 𝑥 = 1 + 2 𝑥 2 + 8 𝑥 4 ,
1
1
Jadi, 𝜙2 𝑥 = 1 + 2 𝑥 2 + 8 𝑥 4 .
Jika parameter x pada persamaan 𝜙2 𝑥 diubah menjadi t maka
1
1
𝜙2 (𝑡) = 1 + 2 𝑡 2 + 8 𝑡 4 .
Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan (3.33) untuk menghitung 𝜙3 (𝑥) maka
diperoleh
𝜙3 𝑥 = 1 +
𝑥
{𝑡[𝜙2
0
=1+
𝑥
[𝑡
0
=1+
𝑥
(𝑡
0
1
𝑡 ]} 𝑑𝑡
1
1
1 + 2 𝑡 2 + 8 𝑡 4 ] 𝑑𝑡
1
1
+ 2 𝑡 3 + 8 𝑡 5 ) 𝑑𝑡
1
1
= 1 + [2 𝑡 2 + 8 𝑡 4 + 48 𝑡 6 ]0𝑥
1
1
1
𝜙3 𝑥 = 1 + 2 𝑥 2 + 8 𝑥 4 + 48 𝑥 6 ,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
1
1
61
1
Jadi, 𝜙3 𝑥 = 1 + 2 𝑥 2 + 8 𝑥 4 + 48 𝑥 6 .
Jika parameter x pada persamaan 𝜙3 𝑥 diubah menjadi t maka
1
1
1
𝜙3 𝑡 = 1 + 2 𝑡 2 + 8 𝑡 4 + 48 𝑡 6 .
Pada contoh ini, 𝜙1 adalah pendekatan pertama, 𝜙2 adalah pendekatan
kedua, 𝜙3 adalah pendekatan ketiga, dan seterusnya sampai 𝜙𝑛 , sehingga
berlaku
𝜙∞ = lim𝑛→∞ 𝜙𝑛 .
Contoh 3.3
Gunakan metode iterasi Picard untuk menemukan solusi barisan fungsi
𝜙1 , 𝜙2 , 𝜙3 dari masalah nilai awal berikut
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑥𝑦 2 ,
𝑦 0 = 0.
(3.34)
(3.35)
Solusi
Langkah pertama adalah memilih fungsi konstan 𝜙0 sebagai pendekatan
ke nol. Saat nilai awal y = 1, maka fungsi konstan 𝜙0 memiliki nilai 1
untuk semua x = 0, sehingga 𝜙0 menjadi
𝜙0 𝑥 = 0
(3.36)
untuk semua x. Dari persamaan (3.36) dapat dimisalkan untuk semua t =
0, yaitu
𝜙0 𝑡 = 0.
(3.37)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
62
Langkah kedua adalah mensubstitusikan persamaan (3.34) ke persamaan
(3.15) sehingga menjadi
𝜙𝑛 𝑥 = 0 +
Langkah
ketiga
𝑥
{1
0
adalah
+ 𝑡[𝜙𝑛−1 𝑡 ]2 } 𝑑𝑡, n ≥ 1.
menggunakan
persamaan
(3.38)
(3.38)
untuk
menghitung 𝑛 = 1, 2, 3 maka diperoleh 𝜙1 𝑥 berikut ini
𝜙1 𝑥 = 0 +
𝑥
{1
0
+ 𝑡[𝜙0 𝑡 ]2 } 𝑑𝑡
=0+
𝑥
[1
0
+ 𝑡. 0 ] 𝑑𝑡
=0+
𝑥
0
1 𝑑𝑡
= 0 + [𝑡]0𝑥
=𝑥
𝜙1 𝑥 = 𝑥,
Jadi, 𝜙1 (𝑥) = 𝑥.
Jika parameter x pada persamaan 𝜙1 𝑥 diubah menjadi t maka
𝜙1 (𝑡) = 𝑡.
Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan (3.38) untuk menghitung 𝜙2 (𝑥) maka
diperoleh
𝜙2 𝑥 = 0 +
𝑥
{1
0
+ 𝑡[𝜙1 𝑡 ]2 } 𝑑𝑡
=0+
𝑥
[1
0
+ 𝑡(𝑡)2 ] 𝑑𝑡
=0+
𝑥
(1
0
+ 𝑡 3 ) 𝑑𝑡
1
= 0 + [𝑡 + 4 𝑡 4 ]0𝑥
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
63
1
= 0 + 𝑥 + 4 𝑥4
1
= 𝑥 + 4 𝑥4
1
𝜙2 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 4 ,
1
Jadi, 𝜙2 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 4 .
Jika parameter x pada persamaan 𝜙2 𝑥 diubah menjadi t maka
1
𝜙2 𝑡 = 𝑡 + 4 𝑡 4 .
Langkah keempat memiliki cara yang sama dengan langkah ketiga yakni
menggunakan persamaan (3.38) untuk menghitung 𝜙3 (𝑥) maka
diperoleh
𝜙3 𝑥 = 0 +
𝑥
{1
0
+ 𝑡[𝜙2 𝑡 ]2 } 𝑑𝑡
=0+
𝑥
[1
0
+ 𝑡(𝑡 + 4 𝑡 4 )2 ] 𝑑𝑡
=0+
𝑥
(1
0
+ 𝑡 3 + 4 𝑡 6 + 16 𝑡 9 ) 𝑑𝑡
1
2
1
1
2
1
2
1
= 0 + [𝑡 + 4 𝑡 4 + 28 𝑡 7 + 160 𝑡10 ]0𝑥
1
= 0 + 𝑥 + 4 𝑥 4 + 28 𝑥 7 + 160 𝑥10
1
2
1
1
2
1
𝜙3 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 4 + 28 𝑥 7 + 160 𝑥10 ,
Jadi, 𝜙3 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 4 + 28 𝑥 7 + 160 𝑥10 .
Jika parameter x pada persamaan 𝜙3 𝑥 diubah menjadi t maka
1
2
1
𝜙3 𝑡 = 𝑡 + 4 𝑡 4 + 28 𝑡 7 + 160 𝑡10 .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
64
Pada contoh ini, 𝜙1 adalah pendekatan pertama, 𝜙2 adalah pendekatan
kedua, 𝜙3 adalah pendekatan ketiga, dan seterusnya sampai 𝜙𝑛 , sehingga
berlaku
𝜙∞ = lim𝑛→∞ 𝜙𝑛 .
F. Metode Iterasi Variasional untuk Persamaan Diferensial Biasa
Bagian ini memberikan penjelasan singkat mengenai metode Iterasi
Variasional dan contoh-contoh masalah nilai awal yang diselesaikan dengan
metode Iterasi Variasional serta langkah-langkah dalam mendapatkan
solusinya. Referensi untuk bagian ini merupakan kaji ulang dari jurnal
International Mathematics Forum yang berjudul Application of Variational
Iteration Method to a General Riccati Equation oleh B. Batiha, M. S. M.
Noorani dan I. Hashim (2007), Journal of Applied Mathematics yang berjudul
Application of He’s Variational Iteration Method to Abelian Differential
Equation oleh M Matinfar dan S Jafar-Nodeh (2011) serta buku karangan
Wazwaz, A. M (2009) yang berjudul Partial Differential Equations and
Solitary Waves Theory.
Metode iterasi variasional termasuk ke dalam salah satu metode numeris
yang dapat
digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan mengenai
persamaan diferensial biasa maupun parsial dengan masalah nilai awal. Metode
ini bersifat sederhana dan sangat kuat dalam membantu menyelesaikan
berbagai masalah yang kompleks terkait tentang persamaan diferensial
nonlinear. Metode ini pertama kali dikembangkan oleh Ji-Huan He.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
65
Metode iterasi variasional telah berhasil mengaplikasikan secara luas ke
dalam bidang ilmiah seperti fisika dan bidang teknik, permasalahan mengenai
persamaan
linear
maupun
nonlinear,
persamaan
homogen
maupun
nonhomogen dengan baik. Oleh karena itu, metode ini dapat digunakan dengan
efektif dan dapat dipercaya secara analitis dan numerik.
Solusi dari metode iterasi variasional berbentuk seperti barisan yang akan
menghasilkan solusi eksak secara tepat. Jika tidak, maka metode ini akan
konvergen walaupun hanya menggunakan beberapa iterasi saja. Metode ini
dapat menyelesaikan masalah nonlinear dan nantinya akan membentuk sebuah
fungsi koreksi menggunakan pengali Lagrange dengan metode iterasi.
Untuk menggambarkan konsep dasar dari metode iterasi variasional,
diawali dengan menentukan persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut:
𝐿𝑢 𝑡
+ 𝑁[𝑢(𝑡)] = 𝑔 𝑡 ,
(3.39)
dimana L adalah penghubung linear, N adalah penghubung nonlinear, dan 𝑔 𝑡
adalah bentuk suku nonhomogen. Jika L sebagai operator linear maka
𝐿 𝑢 𝑡 adalah penghubung linear dari turunan parsial u terhadap variabel t,
maka 𝑁[𝑢(𝑡)] adalah penghubung nonlinear dari turunan parsial u terhadap
variabel t.
Bentuk umum dari metode iterasi variasional membentuk sebuah fungsi
koreksi dari persamaan (3.39) yaitu sebagai berikut:
𝑢𝑛 +1 𝑡 = 𝑢𝑛 𝑡 +
𝑡
𝑡0
𝜆(𝑠){ 𝐿𝑢𝑛 𝑠 + 𝑁ũ𝑛 𝑠 − 𝑔(𝑠)}𝑑𝑠,
𝑛 ≥ 0 (3.40)
dimana λ adalah sebuah pengali Lagrange umum yang dapat diidentifikasi
secara optimal dengan teori variasional, 𝑢𝑛 𝑡 adalah solusi pendekatan ke n
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
66
terhadap t, dan ũ𝑛 𝑠 adalah suatu variasi terbatas, yang berarti 𝛿ũ𝑛 = 0,
dengan 𝛿 adalah diferensial variasional.
Sekarang, lebih jelas bahwa langkah-langkah utama dari metode iterasi
variasional dari Ji-Huan He membutuhkan penentuan pertama pengali
Lagrange 𝜆(𝑠) yang akan diidentifikasi secara optimal. Integral parsial
biasanya digunakan untuk menentukan pengali Lagrange 𝜆(𝑠) dan menentukan
kondisi stasioner. Dengan kata lain kita dapat menggunakan
𝜆 𝑠 𝑢′ 𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝜆 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 − 𝜆′ (𝑠)𝑢𝑛 𝑠 𝑑𝑠,
𝜆 𝑠 𝑢′′ 𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝜆 𝑠 𝑢′𝑛 𝑠 − 𝜆′ 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 + 𝜆" 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 𝑑𝑠.
(3.41)
Kedua persamaan (3.41) dapat diperoleh dengan integral parsial.
Berdasarkan buku karangan Wazwaz, A. M (2009) yang berjudul Partial
Differential Equations and Solitary Waves Theory variabel ξ yang terdapat
pada buku tersebut diganti oleh variabel s pada persamaan (3.41) maupun
(3.40) tetapi tidak mengubah arti (makna).
Jadi, kita dapat menentukan pengali Lagrange λ yang akan diidentifikasi
secara optimal dengan integral parsial. Setelah menentukan pengali Lagrange
tersebut, maka dilanjutkan dengan menentukan pendekatan 𝑢𝑛 +1 𝑡 , 𝑛 ≥ 0 dari
solusi 𝑢(𝑡) akan mudah diperoleh dengan memodifikasi pengali Lagrange dan
dengan menggunakan tebakan awal 𝑢0 dari persamaan (3.39) untuk
mendapatkan solusi, sehingga menjadi
𝑢 𝑡 = lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 (𝑡)
dimana 𝑢 𝑡 adalah limit dari 𝑢𝑛 𝑡 .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
67
1. Metode iterasi variasional untuk PDB bentuk umum orde satu
Bagian ini akan dipaparkan tentang contoh pengali Lagrange metode
iterasi variasional untuk PDB berderajat satu secara umum. Penulisan
bahasan ini merupakan hasil kaji ulang dari Journal of Computational and
Applied Mathematics yang berjudul Variational Iteration Method-Some
Recent Results and New Intrepretations oleh Ji-Huan He (2007).
Berikut ini akan dibahas contoh pengali Lagrange metode iterasi
variasional untuk PDB berderajat satu secara umum dan solusi dari soal ini
mengandung konsep dasar dari metode iterasi variasional yakni pengali
Lagrange umum, kondisi stasioner dan variasi terbatas.
Untuk masalah-masalah linear, solusi eksak dapat diperoleh hanya
dengan satu langkah iterasi saja yaitu dengan membuktikan pengali
Lagrange. Andaikan persamaan diferensial linear homogen orde satu yakni
𝑢′ + 𝑎 𝑡 𝑢 = 𝑏 𝑡 , 𝑢 0 = 𝑐.
(3.42)
Dari persamaan (3.42) dapat dibentuk suatu fungsi koreksi seperti pada
persamaan (3.40) sehingga dapat dituliskan sebagai berikut
𝑢𝑛 +1 𝑡 = 𝑢𝑛 𝑡 +
𝑡
𝑑𝑢 𝑛 𝑠
𝜆(𝑡, 𝑠) [ 𝑑𝑠
0
+ 𝑎 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 − 𝑏 𝑠 ]𝑑𝑠. (3.43)
Jika persamaan (3.43) diturunkan terhadap 𝑢𝑛 , maka persamaan tersebut
menjadi
𝛿𝑢𝑛 +1 𝑡 = 𝛿𝑢𝑛 𝑡 + 𝛿
𝑡
0
𝜆(𝑡, 𝑠) [
𝑑𝑢 𝑛 𝑠
𝑑𝑠
+ 𝑎 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 − 𝑏 𝑠 ]𝑑𝑠 (3.44)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
68
dimana 𝑢𝑛 (𝑠) sebagai variasi terbatas dan 𝛿𝑢𝑛 0 = 0 seperti syarat pada
variasi terbatas, maka persamaan (3.44) diperoleh
𝛿𝑢𝑛 +1 𝑡 = 𝛿𝑢𝑛 𝑡 + 𝛿
𝑡
0
𝑑𝑢 𝑛 𝑠
𝜆(𝑡, 𝑠) [
𝑑𝑠
+ 𝑎 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 ]𝑑𝑠.
(3.45)
Persamaan (3.45) dapat ditentukan kondisi dari fungsi stasioner sebagai
berikut
𝛿𝑢𝑛 +1 𝑡 = 𝛿𝑢𝑛 𝑡 + 𝛿
= 𝛿𝑢𝑛 𝑡 + 𝛿
= 𝛿𝑢𝑛 𝑡 +
𝑡
0
𝑡
0
𝑑𝑢 𝑛 𝑠
𝜆(𝑡, 𝑠) [
𝑡
𝑑𝑢 𝑛 𝑠
𝜆(𝑡, 𝑠) 𝑑𝑠
0
𝜆(𝑡, 𝑠)
𝑑𝛿 𝑢 𝑛 𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑡
𝜆(𝑡, 𝑠) 𝑎
0
𝑑𝑠 + 𝛿
𝑡
0
𝑑𝑠 +
𝑡
𝛿𝑢𝑛
0
= 𝛿𝑢𝑛 𝑡 + 𝜆 𝑡, 𝑠 𝛿𝑢𝑛 𝑠 −
+ 𝑎 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 ]𝑑𝑠
𝑠 𝑢𝑛 𝑠 𝑑𝑠
𝑎 𝑠 𝛿𝜆(𝑡, 𝑠) 𝑢𝑛 𝑠 𝑑𝑠
𝑠
𝜕𝜆 (𝑡,𝑠)
𝜕𝑠
𝑑𝑠 +
𝑡
0
𝑎 𝑠 𝛿𝜆(𝑡, 𝑠)𝑢𝑛 𝑠 𝑑𝑠
= 𝛿𝑢𝑛 𝑡 + 𝜆 𝑡, 𝑠 𝛿𝑢𝑛 𝑠 |𝑠=𝑡 +
𝑡
𝜕𝜆 (𝑡,𝑠)
[− 𝜕𝑠
0
+ 𝑎 𝑠 𝜆(𝑡, 𝑠)]𝛿𝑢𝑛 𝑠 𝑑𝑠
= 𝛿𝑢𝑛 𝑡 + 𝜆 𝑡, 𝑡 𝛿𝑢𝑛 𝑡 |𝑡=𝑠 +
𝑡
𝜕𝜆 (𝑡,𝑠)
[− 𝜕𝑠
0
+ 𝑎 𝑠 𝜆(𝑡, 𝑠)]𝛿𝑢𝑛 𝑠 𝑑𝑠
𝑡
𝜕𝜆 𝑡,𝑠
[− 𝜕𝑠
0
= [1 + 𝜆 𝑡, 𝑡 ]𝛿𝑢𝑛 𝑡 +
+ 𝑎 𝑠 𝜆(𝑡, 𝑠)]𝛿𝑢𝑛 𝑠 𝑑𝑠.
(3.46)
Persamaan (3.46) kita peroleh persamaan Lagrange-Euler yakni
−
𝜕𝜆 𝑡,𝑠
𝜕𝑠
+ 𝑎 𝑠 𝜆 𝑡, 𝑠 = 0,
(3.47)
dan syarat batasnya adalah
1 + 𝜆 𝑡, 𝑡 = 0.
Penjabaran persamaan (3.47) menjadi
−
𝜕𝜆 𝑡,𝑠
𝜕𝑠
+ 𝑎 𝑠 𝜆 𝑡, 𝑠 = 0
↔
𝜕𝜆 𝑡,𝑠
𝜕𝑠
Masing-masing ruas dibagi dengan 𝜆 𝑡, 𝑠
= 𝑎 𝑠 𝜆 𝑡, 𝑠 .
(3.48)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
1
↔ 𝜆(𝑡,𝑠)
𝜕𝜆 𝑡,𝑠
𝜕𝑠
69
=𝑎 𝑠 .
Masing-masing ruas diintegralkan terhadap 𝜉
𝑡 1 𝜕𝜆 𝑡,𝜉
𝑠 𝜆(𝑡,𝜉) 𝜕𝜉
=
𝑡
𝑎
𝑠
𝜉 𝑑𝜉
ln⁡|𝜆(𝑡, 𝜉)|𝑡𝑠 =
𝑡
𝑎
0
𝜉 𝑑𝜉 −
𝑠
𝑎
0
𝜉 𝑑𝜉
𝑎 𝜉 𝑑𝜉 −
𝑠
𝑎
0
𝜉 𝑑𝜉
ln 𝜆 𝑡, 𝑡 − ln 𝜆 𝑡, 𝑠
=
𝑡
0
− ln 𝜆 𝑡, 𝑠
=
𝑡
𝑎
0
𝜉 𝑑𝜉 −
𝑠
𝑎
0
𝜉 𝑑𝜉
ln 𝜆 𝑡, 𝑠
=
𝑠
𝑎
0
𝜉 𝑑𝜉 −
𝑡
𝑎
0
𝜉 𝑑𝜉
𝜆 𝑡, 𝑠 = 𝑒
𝑠
0𝑎
𝑡
𝜉 𝑑𝜉 − 0 𝑎 𝜉 𝑑𝜉
.
(3.49)
Sekarang, kita substitusikan persamaan (3.49) ke persamaan (3.43),
sehingga menghasilkan rumus iterasi sebagai berikut
𝑢𝑛 +1 𝑡 = 𝑢𝑛 𝑡 +
𝑡
0
𝑒
𝑠
0𝑎
𝑡
𝜉 𝑑𝜉 − 0 𝑎 𝜉 𝑑𝜉 𝑑𝑢 𝑛 𝑠
𝑑𝑠
Jika kita mulai dengan 𝑢0 = 𝑐𝑒 −
𝑡
0𝑎
𝜉 𝑑𝜉
+ 𝑎 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 − 𝑏 𝑠 𝑑𝑠.(3.50)
, solusi persamaan diferensial
homogen 𝑢′ + 𝑎 𝑡 𝑢 = 0 dengan kondisi awal 𝑢 0 = 𝑐, maka 𝑢1 𝑡
adalah sebagai berikut
𝑢1 𝑡 = 𝑢0 𝑡 +
𝑠
𝑡
𝑡
𝑑𝑢 𝑛 𝑠
0 𝑎 𝜉 𝑑𝜉 − 0 𝑎 𝜉 𝑑𝜉
𝑒
0
𝑑𝑠
+ 𝑎 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 − 𝑏 𝑠 𝑑𝑠
= 𝑐𝑒 −
𝑡
0𝑎
𝜉 𝑑𝜉
+
𝑠
𝑡
𝑡
0 𝑎 𝜉 𝑑𝜉 − 0 𝑎 𝜉 𝑑𝜉
𝑒
0
= 𝑐𝑒 −
𝑡
0𝑎
𝜉 𝑑𝜉
−
𝑡
𝑏
0
𝑠 𝑒
𝑠
0𝑎
𝜉 𝑑𝜉 − 0 𝑎 𝜉 𝑑𝜉
= 𝑐𝑒 −
𝑡
0𝑎
𝜉 𝑑𝜉
−
𝑡
𝑏
0
𝑠 𝑒
𝑠
0𝑎
𝜉 𝑑𝜉
𝑡
0𝑎
𝜉 𝑑𝜉
− 𝑒−
𝑢1 𝑡 = 𝑐𝑒 −
𝑡
0𝑎
𝜉 𝑑𝜉
−𝑏 𝑠 𝑑𝑠
𝑡
𝑡
0
. 𝑒−
𝑡
0𝑎
𝑏 𝑠 𝑒
𝑑𝑠
𝜉 𝑑𝜉
𝑠
0𝑎
𝑑𝑠
𝜉 𝑑𝜉
𝑑𝑠.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
70
Pada contoh yang sederhana tersebut perhitungan dicukupkan sampai 𝑢1 𝑡
karena contoh tersebut hanya untuk memperlihatkan metode iterasi
variasional secara umum.
2. Metode iterasi variasional untuk PDB bentuk khusus orde dua
Contoh yang akan dibahas berikut dikaji ulang dari International
Mathematics Forum oleh Batiha B, dkk (2007) dan Buletin Ilmiah
Mathematics Statistics dan Terapannya (Bimaster) oleh Elvira Lusiana, dkk
(2014).
Diberikan persamaan diferensial biasa non linear berikut dengan
masalah nilai awal
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑦 2 𝑡 + 1, 𝑦 0 = 0.
(3.51)
Berdasarkan persamaan (3.51), fungsi koreksi dapat ditulis sebagai berikut
𝑦𝑛+1 𝑡 = 𝑦𝑛 𝑡 +
𝑡
𝜆
0
𝑠 [
𝑑𝑦 𝑛 𝑠
𝑑𝑠
+ ỹ𝑛 2 𝑠 − 1]𝑑𝑠, 𝑛 ≥ 0
(3.52)
dimana λ adalah pengali Lagrange dan dapat diidentifikasi secara optimal
oleh teori variasional. Dengan mengambil variasi terhadap variabel
independen 𝑦𝑛 , dapat dilihat bahwa 𝛿ỹ𝑛 = 0. Persamaan (3.52) diturunkan
terhadap 𝑦𝑛 , maka
𝛿𝑦𝑛+1 𝑡 = 𝛿𝑦𝑛 𝑡 + 𝛿
𝑡
𝜆
0
𝑠 [
𝑑𝑦 𝑛 𝑠
𝑑𝑠
= 𝛿𝑦𝑛 𝑡 + 𝛿
𝑡
0
𝜆 𝑠
𝑑𝑦 𝑛 𝑠
= 𝛿𝑦𝑛 𝑡 + 𝛿
𝑡
0
𝜆 𝑠
𝑑𝑦 𝑛 𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑠
+ ỹ𝑛 2 𝑠 − 1]𝑑𝑠
𝑡
0
𝜆 𝑠 ỹ𝑛 2 𝑠 𝑑𝑠 − 𝛿
𝑡
𝜆
0
𝑠 𝛿 ỹ𝑛 2 𝑠 𝑑𝑠 − 𝛿
𝑑𝑠 + 𝛿
𝑑𝑠 +
𝑡
0
𝜆 𝑠 𝑑𝑠
𝑡
𝜆
0
𝑠 𝑑𝑠
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
= 𝛿𝑦𝑛 𝑡 + 𝛿
𝑡
0
𝜆 𝑠
𝑑𝑦 𝑛 𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑠 + 0 − 0
𝑡
0
= 𝛿𝑦𝑛 𝑡 + 𝛿[𝜆 𝑠 𝑦𝑛 𝑠 −
= 𝛿𝑦𝑛 𝑡 + 𝛿𝜆 𝑠 𝑦𝑛 𝑠 − 𝛿
= 1 + 𝜆 𝑡 𝛿𝑦𝑛 𝑡 |𝑡=𝑠 −
71
𝑡
0
𝜆′ (𝑠) 𝑦𝑛 𝑠 𝑑𝑠]
𝑡 ′
𝜆 (𝑠) 𝑦𝑛
0
𝑠 𝑑𝑠
𝜆′ (𝑠) 𝛿𝑦𝑛 𝑠 𝑑𝑠.
(3.53)
Persamaan (3.53) dapat menghasilkan kondisi stasioner sebagai berikut
1 + 𝜆 𝑠 |𝑠=𝑡 = 0 ↔ 𝜆 𝑠 = −1,
𝜆′ 𝑠 |𝑠=𝑡 = 0.
(3.54a)
(3.54b)
Dari persamaan (3.54a) terlihat bahwa pengali Lagrange 𝜆 𝑠 = −1
sehingga kita substitusi persamaan (3.54a) ke persamaan (3.52) menjadi
𝑦𝑛+1 𝑡 = 𝑦𝑛 𝑡 −
𝑡 𝑑𝑦 𝑛 𝑠
[ 𝑑𝑠
0
+ 𝑦𝑛 2 𝑠 − 1]𝑑𝑠.
Bagian operator linear dari persamaan (3.55) adalah
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(3.55)
= 1 dan diperoleh
solusi linearnya adalah 𝑦 𝑡 = 𝑡 + 𝐶. Kita substitusikan 𝑦 0 = 0 ke dalam
𝑦 𝑡 = 𝑡 + 𝐶 dan diperoleh 𝐶 = 0 sehingga perkiraan awal 𝑦0 sebagai
berikut
𝑦0 𝑡 = 𝑡.
Untuk menghitung 𝑛 = 1,2 maka menggunakan rumus iterasi variasional
(3.55) sebagai berikut
𝑦1 𝑡 = 𝑦0 𝑡 −
𝑡 𝑑𝑦 0 𝑠
[ 𝑑𝑠
0
=𝑡−
𝑡
[1
0
=𝑡−
𝑡
[ 𝑠 2 ]𝑑𝑠
0
1
+ 𝑦02 𝑠 − 1]𝑑𝑠
+ 𝑠 2 − 1]𝑑𝑠
= 𝑡 − [3 𝑠 3 ]𝑡0
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
=𝑡−
1 3
𝑡
3
72
1
− 3 03
1
= 𝑡 − 3 𝑡3
1
𝑦1 𝑡 = 𝑡 − 3 𝑡 3 ,
𝑦2 𝑡 = 𝑦1 𝑡 −
𝑡 𝑑𝑦 1 𝑠
[ 𝑑𝑠
0
+ 𝑦12 𝑠 − 1]𝑑𝑠
1
𝑡
[1
0
− 𝑠 2 + 𝑠 2 − 3 𝑠4 + 9 𝑠6 − 1]𝑑𝑠
1
𝑡
[
0
2
1
3
9
= 𝑡 − 3 𝑡3 −
= 𝑡 − 3 𝑡3 −
2
1
− 𝑠4 + 𝑠6 ]𝑑𝑠
1
2
1
1
2
1
= 𝑡 − 3 𝑡 3 − [− 15 𝑠5 + 63 𝑠7 ]𝑡0
2
1
= 𝑡 − 3 𝑡 3 − {− 15 𝑡5 + 63 𝑡7 − [− 15 05 + 63 07 ]}
1
2
1
1
2
1
= 𝑡 − 3 𝑡 3 + 15 𝑡5 − 63 𝑡7
𝑦2 𝑡 = 𝑡 − 3 𝑡 3 + 15 𝑡5 − 63 𝑡7 .
Pada contoh yang sederhana tersebut perhitungan dicukupkan sampai 𝑦2 𝑡
saja karena contoh tersebut hanya untuk memperlihatkan salah satu contoh
penggunaan metode iterasi variasional untuk PDB.
G. Contoh pengali Lagrange metode iterasi untuk PDB
Bagian ini akan dipaparkan konsep dasar metode Newton dan konsep
dasar pengali Lagrange yang terdapat pada rumus iterasi variasional untuk
PDB. Penulisan pada bahasan ini merupakan kaji ulang dari dua jurnal
Internasional yang berjudul General Use of The Lagrange Multiplier in
Nonlinear Mathematical Physics oleh M. Inokuti, dkk (1978) dan A New
Approach to Nonlinear Partial Differential Equations oleh Ji-Huan He (1997).
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
73
1. Konsep Dasar Metode Newton
Andaikan kita mencoba untuk menemukan akar 𝑥0 dari persamaan aljabar
sebagai berikut
𝑓 𝑥 =0
(3.56)
dimana 𝑓 𝑥 adalah suatu fungsi dari variabel x yang memiliki turunan di
sekitar 𝑥0 . Kita tuliskan pernyataan perkiraan di bawah ini
(𝑥0 )𝑒𝑠𝑡 = 𝑥 − 𝜆𝑓 𝑥 ,
(3.57)
dimana λ yang akan kita tentukan nanti. Andaikan diketahui suatu
pendekatan akar dari x yang berbeda dari 𝑥0 dengan jumlah yang kecil, kita
misalkan 𝑥 = 𝑥0 + 𝛿𝑥 atau 𝑥 − 𝑥0 = 𝛿𝑥. Kemudian 𝑓 𝑥 ≠ 0 dari definisi,
dan bentuk kedua −𝜆𝑓 𝑥 pada persamaan (3.57) menggambarkan suatu
koreksi untuk x maka (𝑥0 )𝑒𝑠𝑡 tertutup untuk 𝑥0 . Sekarang kita ingin memilih
λ agar suatu koreksi tersebut optimal. Untuk menemukan maksud dari
tujuan, maka kita substitusikan 𝑥 = 𝑥0 + 𝛿𝑥 ke persamaan (3.57) sehingga
diperoleh
(𝑥0 )𝑒𝑠𝑡 = 𝑥0 + 𝛿𝑥 − 𝜆𝑓 𝑥
= 𝑥0 + 𝛿𝑥 − 𝜆[𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 𝛿𝑥 + 𝑂(𝛿𝑥)2 ]
= 𝑥0 + 𝛿𝑥 − 𝜆[𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 𝛿𝑥] + 𝜆𝑂(𝛿𝑥)2
= 𝑥0 + 𝛿𝑥 − 𝜆[𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 𝛿𝑥] + 𝑂(𝛿𝑥)2
= 𝑥0 + 𝛿𝑥 − 𝜆𝑓 𝑥0 − 𝜆𝑓 ′ 𝑥0 𝛿𝑥 + 𝑂(𝛿𝑥)2
= 𝑥0 − 𝜆𝑓 𝑥0 + [1 − 𝜆𝑓 ′ 𝑥0 ]𝛿𝑥 + 𝑂(𝛿𝑥)2
= 𝑥0 + [1 − 𝜆𝑓 ′ 𝑥0 ]𝛿𝑥 + 𝑂(𝛿𝑥)2
Dari persamaan (3.58) kita memilih
(3.58)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
74
1 − 𝜆𝑓 ′ 𝑥0 𝛿𝑥 = 0
1 − 𝜆𝑓 ′ 𝑥0 = 0 atau 𝛿𝑥 = 0
1 − 𝜆𝑓 ′ 𝑥0 = 0 (memenuhi) atau 𝛿𝑥 = 0 (tidak memenuhi)
1 = 𝜆𝑓 ′ 𝑥0
𝜆=
1
𝑓 ′ 𝑥0
𝜆 = 𝑓 ′ (𝑥0 )−1
(3.59)
Kita memilih persamaan (3.59) agar optimal. Sungguh-sungguh optimal
nilai λ untuk dihitung karena solusinya eksak dari akar 𝑥0 . Saat nilai λ
sebagai suatu pengali Lagrange untuk 𝑓 𝑥 memiliki nilai kecil dari 𝑂 𝛿𝑥
maka kita hanya perlu suatu pendekatan λ. Sekarang kita dapat mengganti
persamaan (3.59) ke persamaan (3.57) tanpa menyebabkan kesalahan pada
𝑂(𝛿𝑥)2 , sehingga diperoleh perkiraan variasional sebagai berikut
(𝑥0 )𝑒𝑠𝑡 = 𝑥 − 𝑓 ′ (𝑥0 )−1 𝑓 𝑥
𝑓(𝑥)
(𝑥0 )𝑒𝑠𝑡 = 𝑥 − 𝑓 ′ (𝑥
−1
0)
(3.60)
Persamaan (3.60) adalah metode Newton.
2. Konsep Dasar Metode Iterasi Variasional untuk PDB
Kita akan menggunakan contoh yang sederhana untuk mengilustrasikan ide
pokok dari metode iterasi variasional yang didefinisikan sebagai berikut
𝑑𝑦
𝑦 ′ + 𝑦 2 = 0, 𝑦 ≥ 0 atau 𝑑𝑥 + 𝑦 2 = 0, 𝑦 ≥ 0
𝑦 0 = 1 atau 𝑦0 𝑡 = 1.
(3.61)
(3.62)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
75
Jika 𝑦 0 = 1 adalah suatu perkiraan awal atau fungsi percobaan, maka kita
dapat tuliskan pernyataan koreksi di bawah ini
𝑦𝑛+1 𝑡 = 𝑦𝑛 𝑡 +
𝑡
𝜆
0 𝑛
𝜏 [ 𝑦𝑛′ 𝜏 + 𝑦𝑛2 𝜏 ]𝑑𝜏
(3.63)
dimana bentuk persamaan (3.63) disebut koreksional dan 𝜆𝑛 adalah suatu
pengali Lagrange. Fungsi pada persamaan (3.63) adalah fungsi koreksi dan
pengali Lagrange pada fungsi tersebut akan dipilih untuk menyelesaikan
fungsi koreksi secara unggul untuk perkiraan awal (fungsi percobaan).
Bentuk kedua dari persamaan (3.63) adalah bentuk integral. Dengan kata
lain, kita menganggap persamaan (3.61) dan (3.62) mempunyai kondisi
𝑦𝑛 (𝜏) yang memenuhi setiap titik pada interval 0 ≤ 𝑥 < 1. Jika kita
sisipkan suatu fungsi percobaan 𝑦𝑛 𝜏 = 𝑦0 𝜏 + 𝛿𝑦(𝜏) dengan 𝑦 0 = 1
maka 𝛿𝑦 0 = 0, kita memiliki
𝑦𝑛 𝜏 = 𝑦0 𝜏 + 𝛿𝑦(𝜏)
(3.64)
𝑦𝑛 𝑡 = 𝑦0 𝑡 + 𝛿𝑦(𝑡)
(3.65)
𝑦𝑛′ 𝜏 = 𝑦0 ′ 𝜏 + [𝛿𝑦 𝜏 ]′
(3.66)
[𝑦𝑛 𝜏 ]2 = [𝑦0 𝜏 + 𝛿𝑦 𝜏 ]2 = [𝑦0 𝜏 ]2 + 2𝑦0 𝜏 𝛿𝑦 𝜏 + [𝛿𝑦 𝜏 ]2 , (3.67)
Persamaan (3.65), (3.66), dan (3.67) disubstitusikan ke persamaan (3.63)
menjadi
𝑦𝑛+1 𝑡 = 𝑦𝑛 𝑡 +
𝑡
𝜆
0 𝑛
𝜏 [ 𝑦𝑛′ 𝜏 + 𝑦𝑛2 𝜏 ]𝑑𝜏
= 𝑦0 𝑡 + 𝛿𝑦 𝑡 +
𝑡
0
𝜆𝑛 𝜏 { 𝑦0 ′ 𝜏 + [𝛿𝑦 𝜏 ]′ + [𝑦0 𝜏 ]2 + 2.
𝑦0 𝜏 𝛿𝑦 𝜏 + 𝛿𝑦 𝜏 ]2 𝑑𝜏
= 𝑦0 𝑡 + 𝛿𝑦 𝑡 +
𝑡
0
𝜆𝑛 𝜏 { 𝑦0 ′ 𝜏 + [𝑦0 𝜏 ]2 }𝑑𝜏 +
𝑡
𝜆
0 𝑛
𝜏 .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
[𝛿𝑦 𝜏 ]′ 𝑑𝜏 +
𝑡
0
2𝜆𝑛 𝜏 𝑦0 𝜏 𝛿𝑦 𝜏 𝑑𝜏 +
𝑡
𝜆
0 𝑛
= 𝑦0 𝑡 + 𝛿𝑦 𝑡 + 0 +
𝛿𝑦(𝜏)]𝛿𝑦(𝜏)𝑑𝜏 +
= 𝑦0 𝑡 + 𝛿𝑦 𝑡 +
𝑑𝜏 − 2
𝑡
0
𝑡
0
𝑡
0
𝑡
0
𝜆𝑛 𝜏 [𝛿𝑦 𝜏 ]2 𝑑𝜏
𝜏 [𝛿𝑦 𝜏 ]′ 𝑑𝜏 + 2
𝑡
𝜆
0 𝑛
𝜏 [𝑦𝑛 𝜏 −
𝜆𝑛 𝜏 [𝛿𝑦 𝜏 ]2 𝑑𝜏
𝜆𝑛 𝜏 [𝛿𝑦 𝜏 ]′ 𝑑𝜏 + 2
𝑡
𝜆
0 𝑛
𝜆𝑛 𝜏 [𝛿𝑦 𝜏 ]2 𝑑𝜏 +
= 𝑦0 𝑡 + 𝛿𝑦 𝑡 +
𝑑𝜏 −
𝑡
0
𝑡
0
76
𝑡
𝜆
0 𝑛
𝜏 𝑦𝑛 𝜏 𝛿𝑦(𝜏)
𝜏 [𝛿𝑦 𝜏 ]2 𝑑𝜏
𝜆𝑛 𝜏 [𝛿𝑦 𝜏 ]′ 𝑑𝜏 + 2
𝑡
𝜆
0 𝑛
𝜏 𝑦𝑛 𝜏 𝛿𝑦(𝜏)
𝜆𝑛 𝜏 [𝛿𝑦 𝜏 ]2 𝑑𝜏
= 𝑦0 𝑡 + 𝛿𝑦 𝑡 +
𝑡
0
𝜆𝑛 𝜏 [𝛿𝑦 𝜏 ]′ 𝑑𝜏 + 2
𝑡
𝜆
0 𝑛
𝜏 𝑦𝑛 𝜏 𝛿𝑦(𝜏)𝑑𝜏
−𝑂(𝛿𝑦)2
= 𝑦0 𝑡 + 𝛿𝑦 𝑡 + {[𝜆𝑛 𝜏 𝛿𝑦 𝜏 ]𝑡0 −
𝑡
0
𝑡 ′
𝜆𝑛
0
𝜏 𝛿𝑦 𝜏 𝑑𝜏} + 2.
𝜆𝑛 𝜏 𝑦𝑛 𝜏 𝛿𝑦(𝜏)𝑑𝜏 − 𝑂(𝛿𝑦)2
= 𝑦0 𝑡 + 𝛿𝑦 𝑡 + {𝜆𝑛 𝑡 𝛿𝑦 𝑡 − 𝜆𝑛 0 𝛿𝑦 0 − [
2
𝑡
0
𝑡 ′
𝜆𝑛
0
𝜏 𝛿𝑦 𝜏 𝑑𝜏]}
𝜆𝑛 𝜏 𝑦𝑛 𝜏 𝛿𝑦(𝜏)𝑑𝜏 − 𝑂(𝛿𝑦)2
= 𝑦0 𝑡 + 𝛿𝑦 𝑡 + 𝜆𝑛 𝑡 𝛿𝑦 𝑡 − [
𝑡 ′
𝜆𝑛
0
𝜏 𝛿𝑦 𝜏 𝑑𝜏 +
𝑡
0
2𝜆𝑛 𝜏 .
𝑦𝑛 𝜏 𝛿𝑦(𝜏)𝑑𝜏 − 𝑂(𝛿𝑦)2
= 𝑦0 𝑡 + [1 + 𝜆𝑛 𝑡 ]𝛿𝑦 𝑡 −
−𝑂(𝛿𝑦)2 .
𝑡 ′
[𝜆 𝑛
0
𝜏 + 2𝜆𝑛 𝜏 𝑦𝑛 𝜏 ] 𝛿𝑦 𝜏 𝑑𝜏
(3.68)
Kemudian, kita melihat 𝜆𝑛 (𝜏) optimal jika diperoleh kondisi stasioner dari
persamaan (3.68) sebagai berikut
−𝜆′ 𝑛 𝜏 + 2𝜆𝑛 𝜏 𝑦𝑛 𝜏 = 0 ↔ 𝜆′ 𝑛 𝜏 = 2𝜆𝑛 𝜏 𝑦𝑛 𝜏 , (3.69𝑎)
1 + 𝜆𝑛 𝜏 |𝜏=𝑡 = 0 ↔ 𝜆𝑛 𝑡 = −1.
(3.69𝑏)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
77
atau kemungkinan lain dari persamaan (3.69a) dan (3.69b) sebagai berikut
𝜆′ 𝑛 𝜏 = 2𝜆𝑛 𝜏 𝑦𝑛 𝜏 masing-masing ruas dibagi dengan 𝜆𝑛 𝜏 sehingga
menjadi
𝜆′ 𝑛 𝜏
= 2𝑦𝑛 𝜏 .
𝜆𝑛 𝜏
(3.70)
Kita integralkan persamaan (3.70) terhadap 𝑑𝜏.
𝜏 𝜆′ 𝑛 𝜏
𝑡 𝜆𝑛 𝜏
𝑑𝜏 =
𝜏
𝑡
2𝑦𝑛 𝜏 𝑑𝜏
[ln 𝜆𝑛 𝜏 ]𝜏𝑡 = 2
𝜏
𝑦
𝑡 𝑛
𝜏 𝑑𝜏
ln 𝜆𝑛 𝜏 − ln 𝜆𝑛 𝑡 = 2
𝜏
𝑦
𝑡 𝑛
𝜏 𝑑𝜏
ln 𝜆𝑛 𝜏 − ln(−1) = 2
𝜏
𝑦
𝑡 𝑛
𝜏 𝑑𝜏
ln 𝜆𝑛 𝜏 + ln(1) = 2
𝜏
𝑦
𝑡 𝑛
𝜏 𝑑𝜏
ln 𝜆𝑛 𝜏 = 2
𝜏
𝑦
𝑡 𝑛
𝜏 𝑑𝜏
|𝜆𝑛 𝜏 | = |𝑒 2
𝜆𝑛 𝜏 = 𝑒 2
𝜏
𝑡 𝑦𝑛
𝜏
𝑡 𝑦𝑛
𝜏 𝑑𝜏
|
𝜏 𝑑𝜏
atau 𝜆𝑛 𝜏 = −𝑒 2
𝜏
𝑡 𝑦𝑛
𝜏 𝑑𝜏
.
Pengali Lagrange yang dipilih adalah
𝜆𝑛 𝜏 = −𝑒 2
𝜏
𝑦
𝑡 𝑛
𝜏 𝑑𝜏
(3.71)
karena memenuhi persamaan (3.69a) dan (3.69b).
Substitusi persamaan (3.71) ke persamaan (3.63) sehingga diperoleh rumus
iterasi variasional sebagai berikut
𝑦𝑛+1 𝑡 = 𝑦𝑛 𝑡 −
𝑡 2 𝜏 𝑦 0 𝜏 𝑑𝜏
𝑒 𝑡
[ 𝑦𝑛′
0
𝜏 + 𝑦𝑛2 𝜏 ]𝑑𝜏.
(3.72)
Sekarang, kita menghitung nilai 𝑛 = 1,2,3, … dengan menggunakan
persamaan (3.72)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
78
untuk 𝑛 = 1, maka
𝑡 2 𝜏 𝑦 0 𝜏 𝑑𝜏
𝑒 𝑡
[ 𝑦0′
0
𝑦1 𝑡 = 𝑦0 𝑡 −
= 1−
𝑡
0
𝑒 2(𝜏−𝑡)𝑑𝜏 [ 0 + 1]𝑑𝜏
= 1−
𝑡
0
𝑒 2(𝜏−𝑡)𝑑𝜏 𝑑𝜏
𝜏 + 𝑦02 𝜏 ]𝑑𝜏
1
= 1 − [2 𝑒 2(𝜏−𝑡) ]𝑡0
1
1
= 1 − [2 𝑒 0 − 2 𝑒 2
1
1
2
2
= 1−[ − 𝑒
1
1
1
1
−2𝑡
1
1
= 1−2+2𝑒
= 2+2𝑒
−2𝑡
−𝑡
]
]
−2𝑡
1
𝑦1 𝑡 = 2 + 2 𝑒 −2𝑡 atau 2 (1 + 𝑒 −2𝑡 ).
Untuk 𝑛 = 2, maka
𝑦2 𝑡 = 𝑦1 𝑡 −
𝑡
0
𝑒2
𝜏
𝑡 𝑦0
1
= 2 1 + 𝑒 −2𝑡 −
𝜏 𝑑𝜏
[ 𝑦1′ 𝜏 + 𝑦12 𝜏 ]𝑑𝜏
𝑡 2 𝜏 𝑦 0 𝜏 𝑑𝜏
𝑒 𝑡
{
0
1
2
1
− 𝑒 −2𝜏 + [4 + 4 𝑒 −2𝜏 + 4 𝑒 −4𝜏 ]}𝑑𝜏
1 + 𝑒 −2𝑡 −
𝑡 2(𝜏−𝑡) 1
𝑒
[
0
4
− 𝑒 −2𝜏 + 𝑒 −4𝜏 ]𝑑𝜏
= 2 1 + 𝑒 −2𝑡 −
𝑡 1 2(𝜏−𝑡)
[ 𝑒
0 4
− 2 𝑒 −2𝑡 + 4 𝑒 −2(𝜏−𝑡) ]𝑑𝜏
=
1
2
1
1
1 1
1
1
1
1
2
4
1
1
1
1
1
= 2 1 + 𝑒 −2𝑡 − [4 . 2 𝑒 2(𝜏−𝑡) − 2 𝜏𝑒 −2𝑡 + 4 (− 2)𝑒 −2(𝜏−𝑡) ]𝑡0
= 2 1 + 𝑒 −2𝑡 − [8 𝑒 2
1
1
1
1
− 2 𝜏𝑒 −2𝑡 − 8 𝑒 −2(𝜏−𝑡) ]𝑡0
𝜏−𝑡
1
1
= 2 1 + 𝑒 −2𝑡 − {[8 𝑒 0 − 2 𝑡𝑒 −2𝑡 − 8 𝑒 −2
1
1
1
1
= 2 1 + 𝑒 −2𝑡 − [8 − 2 𝑡𝑒 −2𝑡 − 8 𝑒 −4𝑡 ]
2𝑡
1
1
] − [8 𝑒 −2𝑡 + 8 𝑒 −2𝑡 ]}
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
1
1
1
1
1
79
1
= 2 1 + 𝑒 −2𝑡 − 8 + 2 𝑡𝑒 −2𝑡 + 8 𝑒 −4𝑡
1
𝑦2 𝑡 = 2 1 + 𝑒 −2𝑡 + 2 𝑡𝑒 −2𝑡 − 8 (1 − 𝑒 −4𝑡 ).
Pada contoh yang sederhana tersebut perhitungan dicukupkan sampai 𝑦2 𝑡
saja karena contoh tersebut hanya untuk memperlihatkan contoh
penggunaan pengali Lagrange metode iterasi untuk PDB.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB IV
METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
Pada bab ini akan dibahas pengertian penjelasan secara lebih terurai dan
lebih lengkap Persamaan Diferensial Parsial (PDP) dengan syarat awal dan syarat
batas karena pada bab sebelumnya telah dibahas secara singkat pengertian ini.
Selanjutnya, akan dibahas metode iterasi variasional beserta konsep dasar yaitu
pengali Lagrange, variasi terbatas dan kondisi stasioner. Kemudian yang terakhir
akan dibahas contoh-contoh solusi metode iterasi variasional.
A. Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat turunanturunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel
bebas. Jika suatu persamaan diferensial memuat turunan parsial (memuat lebih
dari satu variabel bebas), maka persamaan diferensial tersebut dinamakan
Persamaan Diferensial Parsial (PDP). (Lina Aryati, 2011)
1. Syarat Awal dan Syarat Batas
Syarat awal adalah suatu syarat atau kondisi yang harus dipenuhi pada
awal waktu tertentu. Masalah syarat awal adalah masalah yang terdiri dari
suatu PD yang dilengkapi syarat awal. Solusi masalah syarat awal adalah
80
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
81
suatu fungsi dari variabel bebas yang ada pada masalah syarat awal tersebut
yang memenuhi PD dan syarat awal yang diberikan.
Syarat batas adalah suatu syarat atau kondisi yang harus dipenuhi pada
batas-batas domain yang terkait dengan ruang. Untuk PDP order n dengan
variabel tak bebas u, syarat batas dapat meliputi nilai fungsi tak diketahui u
dan turunan-turunannya sampai order 𝑛 − 1 pada batas-batas domain. Suatu
syarat batas dikatakan linear jika pada batas domain, syarat batas tersebut
dinyatakan dalam relasi linear antara u dan turunan-turunannya.
Berikut akan dibahas tentang ketiga jenis syarat batas tersebut untuk
PDP order dua dengan variabel tak bebas u. Diberikan PDP order dua yang
terdefinisi pada 𝐷 ⊂ 𝑅 𝑛 . Dalam pembahasan ini himpunan semua titik batas
domain dinyatakan dengan 𝜕𝐷. Ada tiga jenis syarat batas linear yaitu syarat
batas Dirichlet, syarat batas Neumann, dan syarat batas Robin.
a. Syarat batas Dirichlet
Syarat batas Dirichlet adalah syarat batas yang memberikan nilai fungsi
tak diketahui u pada 𝜕𝐷.
Contoh : 𝑢 0, 𝑡 = 0, 𝑢 𝐿, 𝑡 = 0.
b. Syarat batas Neumann
Syarat batas Neumann adalah syarat batas yang memberikan nilai
𝜕𝑢
turunan u pada arah normal terhadap 𝜕𝐷 yang ditulis dengan (𝜕𝑛).
𝜕𝑢
Contoh : 𝜕𝑥 0, 𝑡 = 0,
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑎, 𝑡 = 0.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
82
c. Syarat batas campuran (Robin)
Syarat batas campuran (Robin) adalah syarat batas yang memberikan
𝜕𝑢
relasi linear antara u dengan 𝜕𝑛 pada 𝜕𝐷.
𝜕𝑢
𝜕𝑢
Contoh : 𝜕𝑥 0, 𝑡 = 0, 𝑢 𝑎, 𝑡 + 𝜕𝑥 𝑎, 𝑡 = 𝑢0 .
Masalah syarat batas adalah masalah yang terdiri dari suatu persamaan
diferensial yang dilengkapi dengan syarat batas. Solusi masalah nilai batas
tersebut pada domain terbuka 𝐷 adalah suatu fungsi dari variabel bebas
yang ada pada masalah syarat batas tersebut yang memenuhi persamaan
diferensial pada 𝐷, kontinu pada 𝐷 ∪ 𝜕𝐷 dan memenuhi syarat batas pada
𝜕𝐷.
2. Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas
Masalah syarat batas dan syarat awal adalah masalah yang terdiri dari
suatu persamaan diferensial yang dilengkapi dengan syarat batas dan syarat
awal. Solusi masalah syarat awal dan syarat batas pada domain terbuka 𝐷
adalah suatu fungsi dari variabel bebas yang ada pada masalah syarat awal
dan syarat batas tersebut yang memenuhi persamaan diferensial pada 𝐷,
kontinu pada 𝐷 ∪ 𝜕𝐷 dan memenuhi syarat batas pada 𝜕𝐷 dan syarat awal
pada 𝐷.
B. Metode Iterasi Variasional
Setelah dipaparkan pengertian persamaan diferensial parsial maka pada
bagian ini akan disajikan metode iterasi variasional. Penulisan untuk bagian ini
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
83
merupakan kaji ulang dari International Mathematics Forum yang berjudul
Application of Variational Iteration Method to a General Riccati Equation oleh
B. Batiha, M. S. M. Noorani dan I. Hashim (2007), Journal of Computational
and Applied Mathematics yang berjudul Variational Iteration Method-Some
Recent Results and New Intrepretations oleh Ji-Huan He (2007) serta buku
karangan Wazwaz, A. M (2009) yang berjudul Partial Differential Equations
and Solitary Waves Theory.
Keuntungan utama metode iterasi variasional dalam penulisan ini adalah
pendekatannya secara kontinu, artinya dengan solusi 𝜙𝑛 dapat dicari
pendekatan solusi eksak (sebenarnya) secara langsung tanpa diskretisasi
numeris.
Metode iterasi variasional merupakan salah satu metode numeris yang
dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan mengenai persamaan
diferensial parsial dengan masalah nilai awal. Metode ini bersifat sederhana
dan sangat kuat dalam membantu menyelesaikan berbagai masalah yang
kompleks terkait tentang persamaan diferensial nonlinear. Metode ini pertama
kali dikembangkan oleh Ji-Huan He.
Metode iterasi variasional telah berhasil mengaplikasikan secara luas ke
dalam bidang ilmiah seperti fisika dan bidang teknik, permasalahan mengenai
persamaan
linear
maupun
nonlinear,
persamaan
homogen
maupun
nonhomogen dengan baik. Oleh karena itu, metode ini dapat digunakan
dengan efektif dan dapat dipercaya secara analitis dan numerik.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
84
Solusi dari metode iterasi variasional berbentuk seperti deret yang akan
menghasilkan solusi eksak secara tepat. Jika tidak, maka metode ini akan
konvergen walaupun hanya menggunakan beberapa iterasi saja. Metode ini
dapat menyelesaikan masalah nonlinear dan nantinya akan membentuk sebuah
fungsi koreksi menggunakan pengali Lagrange dengan metode iterasi.
Untuk menggambarkan konsep dasar dari metode iterasi variasional,
diawali dengan menentukan persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut:
𝐿𝑢 𝑡
+ 𝑁[𝑢(𝑡)] = 𝑔(𝑡)
(4.1)
dimana L adalah penghubung linear, N adalah penghubung nonlinear, dan 𝑔(𝑡)
adalah bentuk suku nonhomogen. Jika L sebagai operator linear maka 𝐿 𝑢 𝑡
adalah penghubung linear dari turunan parsial u terhadap variabel t, maka
𝑁[𝑢(𝑡)] adalah penghubung nonlinear dari turunan parsial u terhadap variabel
t.
Bentuk umum dari metode iterasi variasional membentuk sebuah fungsi
koreksi dari persamaan (4.1) yaitu sebagai berikut:
𝑢𝑛 +1 𝑡 = 𝑢𝑛 𝑡 +
𝑡
𝑡0
𝜆(𝑠){ 𝐿𝑢𝑛 𝑠 + 𝑁ũ𝑛 𝑠 − 𝑔(𝑠)}𝑑𝑠, 𝑛 ≥ 0 (4.2)
dimana λ adalah sebuah pengali Lagrange umum yang dapat diidentifikasi
secara optimal dengan teori variasional, 𝑢𝑛 𝑡 adalah solusi pendekatan ke n
terhadap t, dan ũ𝑛 𝑠 adalah suatu variasi terbatas, yang berarti 𝛿ũ𝑛 = 0,
dengan 𝛿 adalah diferensial variasional.
Sekarang, lebih jelas bahwa langkah-langkah utama dari metode iterasi
variasional dari Ji-Huan He membutuhkan penentuan pertama pengali
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
85
Lagrange 𝜆(𝑠) yang akan diidentifikasi secara optimal. Integral parsial
biasanya digunakan untuk menentukan pengali Lagrange 𝜆(𝑠) dan menentukan
kondisi stasioner. Dengan kata lain kita dapat menggunakan
𝜆 𝑠 𝑢′ 𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝜆 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 − 𝜆′ (𝑠)𝑢𝑛 𝑠 𝑑𝑠,
𝜆 𝑠 𝑢′′ 𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝜆 𝑠 𝑢′𝑛 𝑠 − 𝜆′ 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 + 𝜆" 𝑠 𝑢𝑛 𝑠 𝑑𝑠.
(4.3)
Kedua persamaan (4.3) dapat diperoleh dengan integral parsial.
Berdasarkan buku karangan Wazwaz, A. M (2009) yang berjudul Partial
Differential Equations and Solitary Waves Theory variabel ξ yang terdapat
pada buku tersebut diganti oleh variabel s pada persamaan (4.2) maupun (4.3)
tetapi tidak mengubah arti (makna).
Jadi, kita dapat menentukan pengali Lagrange λ yang akan diidentifikasi
secara optimal dengan integral parsial. Setelah menentukan pengali Lagrange
tersebut, maka dilanjutkan dengan menentukan pendekatan 𝑢𝑛 +1 𝑡 , 𝑛 ≥ 0 dari
solusi 𝑢(𝑡) akan mudah diperoleh dengan memodifikasi pengali Lagrange dan
dengan
menggunakan
tebakan
awal
𝑢0 dari
persamaan
(4.1)
untuk
mendapatkan solusi, sehingga menjadi
𝑢 𝑡 = lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 (𝑡)
dimana 𝑢 𝑡 adalah limit dari 𝑢𝑛 𝑡 .
Konsep dasar dari metode iterasi variasional terdiri dari tiga konsep,
yaitu pengali Lagrange umum, kondisi stasioner, variasi terbatas dan fungsi
koreksi yang dapat digunakan untuk membentuk rumus iterasi seperti pada
persamaan (4.2).
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
86
1. Pengali Lagrange Umum
Pembahasan teori tentang pengali Lagrange telah dipaparkan
sebelumnya pada Bab II. Pada bahasan ini, kita akan memahami konsep dari
pengali Lagrange umum yang digunakan untuk membentuk suatu fungsi
koreksi pada persamaan nonlinear berikut dan dilambangkan dengan notasi
lamda (λ).
Kita menganggap persamaan aljabar sebagai berikut:
𝑓 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ 𝑅.
(4.4)
Jika 𝑥𝑛 merupakan suatu akar pendekatan dari persamaan di atas, maka
persamaan (4.4) menjadi
𝑓(𝑥𝑛 ) ≠ 0.
(4.5)
Untuk meningkatkan tingkat ketelitian, kita dapat menentukan persamaan
koreksi dari persamaan (4.5) menjadi
𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 + 𝜆𝑓 𝑥𝑛 ,
(4.6)
dimana 𝜆 adalah pengali Lagrange umum yang dapat diidentifikasi secara
optimal dengan menggunakan
𝑑𝑥 𝑛 +1
𝑑𝑥 𝑛
= 0.
(4.7)
Dalam hal ini, 𝜆𝑓 𝑥𝑛 adalah suku koreksi.
Sekarang, kita turunkan persamaan (4.6) terhadap 𝑥𝑛 , sehingga diperoleh
𝑑𝑥 𝑛 +1
𝑑𝑥 𝑛
= 1 + 𝜆𝑓′ 𝑥𝑛 .
(4.8)
Substitusikan persamaan (4.7) ke dalam persamaan (4.8) menjadi
1
𝜆 = − 𝑓 ′ (𝑥 ).
𝑛
(4.9)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
87
Substitusikan persamaan (4.9) ke dalam persamaan (4.6) menghasilkan
𝑓 𝑥𝑛
𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 ′
𝑥𝑛
.
(4.10)
Persamaan (4.10) merupakan bentuk dari metode iterasi Newton-Raphson.
Terdapat pendekatan secara alternatif untuk membentuk persamaan koreksi
yaitu dengan menambahkan sembarang fungsi koreksi yang lain untuk
𝑥𝑛 yaitu 𝑔(𝑥𝑛 ) pada persamaan (4.6) menjadi
𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 + 𝜆𝑔 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛 ,
(4.11)
dimana 𝑔(𝑥) adalah fungsi tambahan.
Sekarang, kita turunkan persamaan (4.11) terhadap 𝑥𝑛 menjadi
𝑑𝑥 𝑛 +1
𝑑𝑥 𝑛
= 1 + 𝜆 𝑔 𝑥𝑛 𝑓 ′ 𝑥𝑛 + 𝑔′ 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛 .
(4.12)
Substitusikan persamaan (4.7) ke persamaan (4.12) menjadi
𝜆=−
1
𝑔 𝑥 𝑛 𝑓 ′ 𝑥 𝑛 +𝑔 ′ 𝑥 𝑛 𝑓 𝑥 𝑛
.
(4.13)
Setelah diidentifikasi pengalinya, maka substitusikan persamaan (4.13) ke
persamaan (4.11) menjadi rumus umum iterasi sebagai berikut
𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 −
𝑔 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛
𝑔 𝑥 𝑛 𝑓 ′ 𝑥 𝑛 +𝑔 ′ 𝑥 𝑛 𝑓 𝑥 𝑛
.
(4.14)
Nilai dari fungsi tambahan 𝑔(𝑥) ≠ 0 atau nilai terkecil dari semua langkah
iterasi, 𝑔(𝑥𝑛) > 1, jika kita memilih 𝑔(𝑥𝑛) = 𝑒 −𝛼𝑥𝑛 , maka turunan dari
𝑔(𝑥𝑛) adalah 𝑔′(𝑥𝑛) = −𝑎𝑒 −𝛼𝑥𝑛 . Selanjutnya, substitusikan nilai 𝑔(𝑥𝑛) ke
persamaan (4.14) menjadi
𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 ′
𝑓 𝑥𝑛
𝑥 𝑛 −𝛼𝑓 𝑥 𝑛
.
(4.15)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
88
Persamaan (4.15) adalah rumus iterasi yang sangat efektif saat 𝑓 ′ (𝑥𝑛 )
bernilai kecil dan persamaan di atas merupakan metode iterasi bertipe
Newton-Raphson.
Misalkan, kita anggap persamaan
sin 𝑥 = 0.
(4.16)
Jika kita mulai dengan iterasi ke nol yaitu 𝑥0 = 1,6, maka iterasi Newton
tidak benar untuk cos 1,6 karena nilai tersebut kecil. Tabel 4.1 menunjukkan
langkah-langkah iterasi, solusi terdekat dari 𝑥0 = 1,6 adalah 𝑥 = 𝜋.
Tabel 4.1. Langkah-langkah iterasi pendekatan solusi.
𝑥(𝛼 = 1)
Iterasi ke-
𝑥(𝛼 = 2)
𝑥(𝛼 = 0,97)
0
1,6
1,6
1,6
1
2,57
2,09
2,60
2
2,96
2,48
2,98
3
3,12
2,78
3,12
4
3,14
2,99
3,14
Jika persamaan (4.4) diganti oleh persamaan diferensial, maka suatu fungsi
koreksi sama dengan persamaan (4.6) sehingga hasilnya dapat ditentukan.
2. Kondisi Stasioner
Permasalahan optimisasi pada dasarnya terdapat dimana-mana.
Permasalahan yang sederhana dari variasi kalkulus adalah menentukan
suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk nilai fungsi yang diberikan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
𝐽=
𝑥2
𝑥1
𝐹 𝑦, 𝑦 ′ ; 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔1 𝑥 𝑦|𝑥=𝑥 1 − 𝑔2 𝑥 𝑦|𝑥=𝑥 2
89
(4.19)
adalah maksimum atau minimum.
Kondisi yang sangat ekstrim (kondisi stasioner) dari persamaan fungsi
(4.19) membutuhkan syarat 𝛿𝐽 = 0.
Untuk 𝛿𝑦 yang berubah-ubah, dari syarat 𝛿𝐽 = 0, kita mempunyai
𝑑𝐹
𝑑𝑦
𝑑
− 𝑑𝑥
𝑑𝐹
𝑑𝑦 ′
= 0,
(4.20)
dengan syarat batas
𝑑𝐹
𝑑𝑦 ′
𝑑𝐹
(𝑥1 ) − 𝑔1 𝑥1 = 0 dan 𝑑𝑦 ′ (𝑥2 ) − 𝑔2 𝑥2 = 0.
(4.21)
Persamaan (4.20) disebut persamaan diferensial Lagrange-Euler atau
persamaan Euler dan persamaan (4.21) disebut syarat batas yang biasa.
3. Variasi Terbatas
Variasi terbatas digunakan untuk mendapatkan metode iterasi dari
suatu persamaan nonlinear. Variasi terbatas 𝑥 dilambangkan dengan
~
notasi 𝑥. Nilai untuk variasi terbatas merupakan konstanta. Variasi terbatas
pada metode iterasi variasional berperan penting karena untuk mendapatkan
solusi dari rumus iterasi memiliki syarat bahwa 𝛿ũ𝑛 = 0. Variasi terbatas
pada rumus iterasi variasional dengan mudah diperoleh dari pengali
Lagrange umum dan dapat diidentifikasikan secara optimal oleh teori
variasional.
Kita anggap persamaan aljabar yang sederhana sebagai berikut.
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0.
(4.22)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
90
Kita tulis kembali persamaan di atas dengan variasi terbatas menjadi
~ 𝑥 − 3𝑥 + 2 = 0,
𝑥.
(4.23)
~
dimana 𝑥
adalah variabel terbatas. Menyelesaikan 𝑥 dari persamaan (4.23)
diperoleh
𝑥=
2
~
3−𝑥
.
(4.24)
Jika nilai dari 𝑥 diasumsikan sebagai perkiraan awal, maka persamaan
(4.24) dapat ditulis dalam bentuk iterasi sebagai berikut
2
𝑥𝑛 +1 = 3−𝑥 ,
𝑛 = 0,1,2,3, …
𝑛
(4.25)
Metode ini sering digunakan karena sangat efisien untuk memprediksi
perkiraan awal yang baik dengan melihat tabel berikut ini
Tabel 4.2. Tabel prediksi perkiraan awal yang baik.
Iterasi
2
Persamaan (4.25) : 𝑥𝑛+1 = 3−𝑥
Rumus iterasi Newton
𝑛
0
0,5
0,5
1
0,8
0,875
2
0,909
0,987
3
0,956
0,999
4
0,978
1,000
5
0,989
1,000
6
0,994
1,000
7
0,997
1,000
8
0,998
1,000
9
0,999
1,000
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
91
Pada metode iterasi variasional, perkiraan awal selalu dipilih dengan
parameter yang tidak diketahui kemungkinannya, iterasi pertama pada tabel
4.2 mewakili solusi tertinggi tingkat ketelitian. Kita jelaskan keefektifitas
dari parameter bebas pada tabel 4.2. Pengenalan parameter bebas pada
perkiraan awal sebagai berikut:
𝑥0 = 0,5 + 𝑏,
(4.26)
dimana b adalah sebuah parameter yang akan disusun selanjutnya. Jika
𝑛 = 0, maka persamaan (4.25) menjadi
2
𝑥1 = 3−𝑥 .
(4.27)
0
Substitusikan persamaan (4.26) ke persamaan (4.27), sehingga diperoleh
2
2
2
𝑥1 = 3−𝑥 = 3−(0,5+𝑏) = 2,5−𝑏 .
0
(4.28)
Dari hasil substitusi persamaan di atas, kita menggunakan deret Taylor
untuk mendapatkan persamaan baru sebagai berikut
2
2
𝑥1 = 2,5−𝑏 = 2,5 ∙
1
1
𝑏
2,5
1−
1
= 0,8 1 + 2,5 𝑏 + 𝑂 𝑏 2 .
(4.29)
Berdasarkan persamaan di atas, maka diperoleh persamaan 𝑥1 menjadi,
𝑥1 = 0,8 + 0,32𝑏.
(4.30)
Kemudian, untuk mendapatkan nilai b, kita tetapkan sebagai berikut
𝑥0 = 𝑥1 .
(4.31)
Substitusikan persamaan (4.26) dan persamaan (4.30) ke persamaan (4.31)
menjadi
𝑥0 = 𝑥1 ,
0,5 + 𝑏 = 0,8 + 0,32𝑏.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
92
Dari relasi di atas, kita dapat secara langsung mengetahui nilai
𝑏 = 0,4412.
(4.32)
Substitusikan persamaan (4.32) ke persamaan (4.30) sehingga menjadi
𝑥1 = 0,8 + 0,32𝑏
= 0,8 + 0,32(0,4412)
= 0,8 + 0,141184
= 0,941184 ≈ 0,9412.
Sekarang, kita menganggap bahwa variasi terbatas dapat dilihat pada sebuah
fungsi variasional. Andaikan pembagian suhu pada konveksi berbanding
lurus dengan suhu yang bergantung pada konduktivitas panas, maka
penentuan persamaan menjadi sebagai berikut
Penulisan di bawah ini merupakan hasil kaji ulang dari Journal of
Computational and Applied Mathematics oleh Ji-Huan He yang berjudul
Variational Iteration Method-Some Recent Results and New Intrepretations
(2007).
Diketahui
𝑑
𝑑𝜃
𝑑𝑥
(1 + 𝛽𝜃) 𝑑𝑥 − 𝜓 2 𝜃 = 0,
(4.33)
dengan syarat batas 𝜃 ′ = 0, 𝜃 1 = 1 dan 𝜃 adalah suhu, serta nilai 𝛽 dan ψ
adalah konstan.
Dengan menggunakan konsep dari variasi terbatas, maka suatu fungsi
variasional dapat ditentukan sebagai berikut
𝐽 𝜃 =
~
1
0
~ 𝑑𝜃
(1 + 𝛽𝜃( )2 + 𝜓2 𝜃 2 𝑑𝑥,
(4.34)
𝑑𝑥
~
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
93
dimana 𝜃 adalah sebuah variasi terbatas dengan nilai 𝛿𝜃 = 0. Kita tuliskan
kembali persamaan (4.34) dalam bentuk iterasi sebagai berikut
𝐽 𝜃𝑛+1 =
1
0
(1 + 𝛽𝜃𝑛 (
𝑑𝜃𝑛 +1 2
)
𝑑𝑥
+ 𝜓2 𝜃𝑛2+1 𝑑𝑥.
(4.35)
Kita mulai dengan perkiraan awal yang memenuhi syarat batas 𝜃0′ 0 =
0, 𝜃0 1 = 1 yaitu
𝜃0 = 1 − 𝑎 + 𝑎𝑥 2 ,
(4.36)
dimana a adalah sebuah parameter bebas. Kita menggunakan metode Ritz
untuk menyelesaikan 𝜃1 , fungsi percobaan untuk 𝜃1 diasumsikan menjadi
bentuk sebagai berikut
𝜃1 = 1 − 𝑏 + 𝑏𝑥 2 ,
(4.37)
dimana b adalah sebuah parameter tidak diketahui yang akan ditentukan
nilainya lebih lanjut. Substitusikan persamaan (4.36) ke persamaan (4.34)
menghasilkan
1
0
𝐽=
4
4 1 + 𝛽(1 − 𝑎 + 𝑎𝑥 2 ) 𝑏 2 𝑥 2 + 𝜓2 (1 − 𝑏 + 𝑏 2 𝑥 2 )2 𝑑𝑥
4
2
1
= 3 1 + 𝛽 1 − 𝑎 𝑏 2 + 5 𝑎𝑏 2 + 𝜓2 (1 − 𝑏)2 + 3 𝑏 1 − 𝑏 𝜓2 + 5 𝑏 2 𝜓2 .
(4.38)
Sekarang, kita menurunkan persamaan (4.38) terhadap b, dengan
menetapkan persaman berikut ini
𝑑𝐽
𝑑𝑏
= 0.
(4.39)
Sehingga hasil substitusi dari persamaan (4.38) dan (4.39) menjadi
𝑑𝐽
𝑑𝑏
0.
8
8
2
2
= 3 1 + 𝛽 1 − 𝑎 𝑏 + 5 𝑎𝑏 − 2𝜓2 1 − 𝑏 + 3 1 − 2𝑏 𝜓2 + 5 𝑏𝜓2 =
(4.40)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
94
Agar kita mendapatkan nilai a dari persamaan (4.40), maka ditetapkan
𝜃0 = 𝜃1 . Kita substitusikan 𝑏 = 𝑎 pada persamaan (4.40), sehingga menjadi
16
− 15 𝛽 𝑎2 +
8
3
8
16
4
+ 3 𝛽 + 15 𝜓 2 𝑎 − 3 𝜓 2 = 0.
(4.41)
Persamaan (4.41) dinamakan persamaan kuadratik karena derajat tertinggi
berbentuk kuadrat. Dengan menggunakan rumus abc maka persamaan di
atas diperoleh nilai a sebagai berikut
𝑎=−
−5−5𝛽−2𝜓 2 + 25𝛽 2 +50𝛽+25+20𝜓 2 +4𝜓 4
4𝛽
.
(4.42)
Substitusikan secara sederhana dari persamaan (4.42) ke persamaan (4.40)
untuk menentukan nilai b sebagai berikut
𝑏=
5𝜓 2
5+5𝛽 +2𝜓 2 +
25𝛽 2 +50𝛽+25+20𝜓 2 +4𝜓 4
.
(4.43)
Kita sederhanakan persamaan (4.38) untuk memperoleh nilai J sebagai
berikut
𝐽=
100𝜓 4
+
2
(5+5𝛽+2𝜓 2 + 25𝛽 2 +50𝛽+25+20𝜓 2 +4𝜓 4 )
−
100𝜓 4 𝛽
(5+5𝛽+2𝜓 2 + 25𝛽 2 +50𝛽+25+20𝜓 2 +4𝜓 4 )2
10𝜓 4 𝛽 −5−5𝛽−2𝜓 2 + 25𝛽 2 +50𝛽+25+20𝜓 2 +4𝜓 4
3𝛽 (5+5𝛽+2𝜓 2 + 25𝛽 2 +50𝛽+25+20𝜓 2 +4𝜓 4 )2
20𝜓 4
3 5+5𝛽+2𝜓 2 + 25𝛽 2 +50𝛽+25+20𝜓 2 +4𝜓 4
+
+ 𝜓2 −
10𝜓 6
3(5+5𝛽+2𝜓 2 +
25𝛽 2 +50𝛽+25+20𝜓 2 +4𝜓 4 )2
.
C. Contoh-contoh Solusi Metode Iterasi Variasional
Pada bagian B telah dibahas mengenai persamaan metode iterasi
variasional. Metode iterasi variasional akan digunakan sekarang untuk
membahas contoh-contoh solusi dari metode tersebut. Referensi utama untuk
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
95
contoh-contoh solusi metode iterasi variasional berasal dari buku karangan
Wazwaz, A. M (2009) yang berjudul Partial Differential Equations and
Solitary Waves Theory dengan mengganti variabel ξ menjadi s pada persamaan
(4.2) dan persamaan berikutnya.
Cara untuk mendapatkan solusi dari persamaan diferensial parsial
menggunakan metode iterasi variasional dilakukan dengan merumuskan
masalah nilai awal terlebih dahulu dan membentuk fungsi koreksi
menggunakan pengali Lagrange. Pengambilan variasi terhadap variabel
independen 𝑢𝑛 memperoleh kondisi stasioner dan nilai pengali Lagrange
sehingga diperoleh rumus iterasi.
Contoh 4.1
Gunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan diferensial
parsial nonhomogen berikut ini
𝑢𝑥 + 𝑢𝑦 = 𝑥 + 𝑦, 𝑢 0, 𝑦 = 0, 𝑢 𝑥, 0 = 0.
(4.44)
Solusi
Dari persamaan (4.44) dapat dibentuk suatu fungsi koreksi seperti pada
persamaan (4.2) sehingga dapat dituliskan sebagai berikut
𝑢𝑛+1 𝑥, 𝑦 = 𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 +
𝑥
0
𝜆(𝑠)
𝜕𝑢 𝑛 (𝑠,𝑦)
𝜕𝑠
+
𝜕ũ𝑛 𝑠,𝑦
𝜕𝑦
− 𝑠 − 𝑦 𝑑𝑠. (4.45)
Jika persamaan (4.45) diturunkan terhadap 𝑢𝑛 , maka persamaan tersebut
menjadi
𝛿𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑦 = 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 + 𝛿
−𝛿
𝑥
0
𝑥
0
𝜆(𝑠)
𝜆(𝑠) 𝑠𝑑𝑠 − 𝛿
𝑥
0
𝜕𝑢 𝑛 (𝑠,𝑦)
𝜕𝑠
𝑑𝑠 + 𝛿
𝜆(𝑠) 𝑦𝑑𝑠,
𝑥
0
𝜆 𝑠
𝜕ũ𝑛 𝑠,𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑠
(4.46)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
96
dimana ũ𝑛 𝑥, 𝑦 sebagai variasi terbatas dan 𝛿ũ𝑛 𝑥, 𝑦 = 0 seperti syarat pada
variasi terbatas, maka persamaan (4.46) menjadi sebagai berikut
𝛿𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑦 = 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 + 𝛿
𝛿
𝑥
0
𝑥
0
𝜆(𝑠)
𝜕𝑢 𝑛 (𝑠,𝑦)
𝜕𝑠
𝑥
0
𝑑𝑠 − 𝛿
𝜆 𝑠 𝑠𝑑𝑠 −
𝜆 𝑠 𝑦𝑑𝑠.
(4.47)
Kemudian, kita menggunakan integral parsial seperti pada persamaan (4.3) dan
pada cara yang terdapat pada penjelasan bab II. Persamaan (4.47) menjadi
𝑥
0
𝜆′ 𝑢𝑛
𝑠, 𝑦 𝑑𝑠 − 𝛿
= 1 + 𝜆 𝛿𝑢𝑛 𝑠, 𝑦 |𝑠=𝑥 − 𝛿
𝑥
0
𝜆′ 𝑢𝑛
𝑠, 𝑦 𝑑𝑠 − 0
0 = 1 + 𝜆 𝛿𝑢𝑛 𝑠, 𝑦 |𝑠=𝑥 − 𝛿
𝑥
0
𝜆′ 𝑢𝑛
𝑠, 𝑦 𝑑𝑠.
𝛿𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝜆 𝛿𝑢𝑛 𝑠, 𝑦 |𝑠=𝑥 − 𝛿
−𝛿
𝑥
0
𝑥
0
𝜆 𝑠 𝑠𝑑𝑠
𝜆(𝑠) 𝑦𝑑𝑠
(4.48)
Dari persamaan (4.48) diperoleh kondisi stasioner sebagai berikut
𝑢𝑛 𝑠, 𝑦 :
𝜆′ 𝑠 = 0,
1 + 𝜆 𝑠 = 0.
(4.49a)
(4.49b)
Persamaan (4.49b) dijabarkan agar menjadi persamaan (4.49a) sebagai berikut
1+𝜆 𝑠 =0
𝜆 𝑠 = −1
𝑑
(4.50)
𝑑
𝜆 𝑠 = 𝑑𝑠 (−1)
𝑑𝑠
𝜆′ 𝑠 = 0.
Persamaan (4.50) tersebut adalah nilai pengali Lagrange. Sekarang, kita
substitusikan
nilai
pengali
Lagrange
𝜆 = −1
ke
fungsi
persamaan
(4.45) menjadi
𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑦 = 𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 −
𝑥
0
𝜕𝑢 𝑛 𝑠,𝑦
𝜕𝑠
+
𝜕𝑢 𝑛 𝑠,𝑦
𝜕𝑦
− 𝑠 − 𝑦 𝑑𝑠.
Persamaan (4.51) dapat dituliskan menjadi rumus iterasi sebagai berikut
(4.51)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑦 = 𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 −
𝑥
0
𝜕𝑢 𝑛 𝑠,𝑦
𝜕𝑠
+
𝜕𝑢 𝑛 𝑠,𝑦
𝜕𝑦
97
− 𝑠 − 𝑦 𝑑𝑠, 𝑛 ≥ 0. (4.52)
Telah ditetapkan sebelumnya bahwa kita dapat memilih 𝑢0 𝑥, 𝑦 = 𝑢 0, 𝑦 =
0 dari kondisi yang diberikan. Substitusikan 𝑢0 𝑥, 𝑦 = 𝑢 0, 𝑦 = 0 ke
persamaan (4.52) dan kita dapatkan pendekatan sebagai berikut
𝑢0 𝑥, 𝑦 = 0,
𝑢1 𝑥, 𝑦 = 𝑢0 𝑥, 𝑦 −
𝑥
0
𝜕𝑢 0 (𝑠,𝑦 )
𝜕𝑠
+
𝜕𝑢 0 𝑠,𝑦
𝜕𝑦
=0−
𝑥
0
0 + 0 − 𝑠 − 𝑦 𝑑𝑠
= 0−
𝑥
0
−𝑠 − 𝑦 𝑑𝑠
− 𝑠 − 𝑦 𝑑𝑠
1
= 0 − [− 2 𝑠 2 − 𝑠𝑦]0𝑥
1
= 0 − [− 𝑥 2 − 𝑥𝑦]
2
1
= 2 𝑥 2 + 𝑥𝑦
1
𝑢1 𝑥, 𝑦 = 2 𝑥 2 + 𝑥𝑦,
𝑢2 𝑥, 𝑦 = 𝑢1 𝑥, 𝑦 −
𝑥
0
𝜕𝑢 1 (𝑠,𝑦 )
𝜕𝑠
+
𝜕𝑢 1 𝑠,𝑦
𝜕𝑦
− 𝑠 − 𝑦 𝑑𝑠
1
𝑥
0
𝑠 + 𝑦 + 𝑠 − 𝑠 − 𝑦 𝑑𝑠
1
2
𝑥
0
𝑠 𝑑𝑠
1
1
1
1
= 2 𝑥 2 + 𝑥𝑦 −
= 𝑥 2 + 𝑥𝑦 −
= 2 𝑥 2 + 𝑥𝑦 − [2 𝑠 2 ]0𝑥
= 2 𝑥 2 + 𝑥𝑦 − [2 𝑥 2 ]
1
1
= 2 𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 2 𝑥 2
= 𝑥𝑦
𝑢2 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦,
𝑢3 𝑥, 𝑦 = 𝑢2 𝑥, 𝑦 −
𝑥
0
𝜕𝑢 2 (𝑠,𝑦)
𝜕𝑠
+
𝜕𝑢 2 𝑠,𝑦
𝜕𝑦
− 𝑠 − 𝑦 𝑑𝑠
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
= 𝑥𝑦 −
𝑥
0
𝑦 + 𝑠 − 𝑠 − 𝑦 𝑑𝑠
= 𝑥𝑦 −
𝑥
0
0 𝑑𝑠
98
= 𝑥𝑦 − 0
= 𝑥𝑦
𝑢3 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦,
.
.
.
= ..
.
𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦.
Jadi, metode iterasi variasional dari persamaan (4.44) berlaku
𝑢 𝑥, 𝑦 = lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 .
Solusi eksak dari persamaan (4.44) adalah
𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦.
Contoh 4.2
Gunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan diferensial
parsial nonhomogen berikut ini
𝑢𝑦 + 𝑥𝑢𝑥 = 3𝑢, 𝑢 𝑥, 0 = 𝑥 2 ,𝑢 0, 𝑦 = 0.
(4.53)
Solusi
Dari persamaan (4.53) dapat dibentuk suatu fungsi koreksi seperti pada
persamaan (4.2) sehingga dapat dituliskan sebagai berikut
𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑦 = 𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 +
𝑦
0
𝜆(𝑠)
𝜕𝑢 𝑛 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑠
+𝑥
𝜕ũ𝑛 𝑥,𝑠
𝜕𝑥
− 3ũ𝑛 𝑥, 𝑠
𝑑𝑠. (4.54)
Jika persamaan (4.54) diturunkan terhadap 𝑢𝑛 , maka persamaan tersebut
menjadi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
𝛿𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑦 = 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 + 𝛿
𝛿
𝑦
0
𝑦
0
𝜕𝑢 𝑛 (𝑥,𝑠)
𝜆(𝑠)
𝜕𝑠
𝑑𝑠 + 𝛿
𝑦
0
𝜆 𝑠 𝑥
𝜕ũ𝑛 𝑥,𝑠
𝜕𝑥
99
𝑑𝑠 −
𝜆 𝑠 3ũ𝑛 𝑥, 𝑠 𝑑𝑠,
(4.55)
dimana ũ𝑛 𝑥, 𝑦 sebagai variasi terbatas dan 𝛿ũ𝑛 𝑥, 𝑦 = 0 seperti syarat pada
variasi terbatas, maka persamaan (4.55) menjadi sebagai berikut
𝛿𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑦 = 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 + 𝛿
𝑦
0
𝜕𝑢 𝑛 (𝑥,𝑠)
𝜆(𝑠)
𝜕𝑠
𝑑𝑠.
(4.56)
Kemudian, kita menggunakan integral parsial seperti pada persamaan (4.3) dan
pada cara yang terdapat pada penjelasan bab II. Persamaan (4.56) menjadi
𝛿𝑢𝑛+1 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝜆 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑠 |𝑠=𝑦 − 𝛿
𝑥
0
𝜆′ 𝑢𝑛 (𝑥, 𝑠)𝑑𝑠
= 1 + 𝜆 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑠 |𝑠=𝑦 − 𝛿
𝑥
0
𝜆′ 𝑢𝑛
𝑥, 𝑠 𝑑𝑠 − 0
0 = 1 + 𝜆 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑠 |𝑠=𝑦 − 𝛿
𝑥
0
𝜆′ 𝑢𝑛
𝑥, 𝑠 𝑑𝑠.
(4.57)
Dari persamaan (4.57) diperoleh kondisi stasioner sebagai berikut
𝑢𝑛 𝑥, 𝑠 :
𝜆′ 𝛿 = 0,
1 + 𝜆 𝛿 = 0.
(4.58a)
(4.58b)
Persamaan (4.58b) dijabarkan agar menjadi persamaan (4.58a) sebagai berikut
1+𝜆 𝑠 =0
𝜆 𝑠 = −1
𝑑
(4.59)
𝑑
𝑑𝑠
𝜆 𝑠 = 𝑑𝑠 (−1)
𝜆′ 𝑠 = 0.
Persamaan (4.59) tersebut adalah nilai pengali Lagrange. Sekarang, kita
substitusikan
nilai
pengali
Lagrange
𝜆 = −1
ke
fungsi
persamaan
− 3𝑢𝑛 𝑠, 𝑦
𝑑𝑠. (4.60)
(4.54) menjadi
𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑦 = 𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 −
𝑦
0
𝜕𝑢 𝑛 𝑠,𝑦
𝜕𝑠
+𝑥
𝜕𝑢 𝑛 𝑠,𝑦
𝜕𝑥
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
100
Persamaan (4.60) dapat dituliskan menjadi rumus iterasi sebagai berikut
𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑦 = 𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 −
𝑦
0
𝜕𝑢 𝑛 𝑠,𝑦
𝜕𝑢 𝑛 𝑠,𝑦
+𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑥
− 3𝑢𝑛 𝑠, 𝑦
𝑑𝑠, 𝑛 ≥ 0.(4.61)
Kita dapat memilih 𝑢0 𝑥, 𝑦 = 𝑢 𝑥, 0 = 𝑥 2 dari kondisi yang diberikan.
Substitusikan 𝑢0 𝑥, 𝑦 = 𝑢 𝑥, 0 = 𝑥 2 ke persamaan (4.61) dan kita dapatkan
pendekatan sebagai berikut
𝑢0 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 ,
𝑦
0
𝑢1 𝑥, 𝑦 = 𝑢0 𝑥, 𝑦 −
𝜕𝑢 0 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑠
= 𝑥2 −
𝑦
(0
0
= 𝑥2 −
𝑦
(2𝑥 2
0
= 𝑥2 −
𝑦
(−𝑥 2 )𝑑𝑠
0
+𝑥
𝜕𝑢 0 𝑥,𝑠
𝜕𝑥
− 3𝑢0 𝑥, 𝑠
𝑑𝑠,
− 3𝑢1 𝑥, 𝑠
𝑑𝑠,
+ 𝑥. 2𝑥 − 3𝑥 2 )𝑑𝑠
− 3𝑥 2 )𝑑𝑠
𝑦
= 𝑥 2 − [−𝑥 2 𝑠]0
= 𝑥 2 − [−𝑥 2 𝑦]
= 𝑥2 + 𝑥2 𝑦
𝑢1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑦,
𝑢2 𝑥, 𝑦 = 𝑢1 𝑥, 𝑦 −
𝑦
0
𝜕𝑢 1 (𝑥,𝑠)
+𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑢 1 𝑥,𝑠
𝜕𝑥
= 𝑥2 + 𝑥2 𝑦 −
𝑦 2
[𝑥
0
+ 𝑥 2𝑥 + 2𝑥𝑠 − 3(𝑥 2 + 𝑥 2 𝑠)] 𝑑𝑠
= 𝑥2 + 𝑥2 𝑦 −
𝑦 2
[𝑥
0
+ 2𝑥 2 + 2𝑥 2 𝑠 − 3𝑥 2 − 3𝑥 2 𝑠] 𝑑𝑠
= 𝑥2 + 𝑥2 𝑦 −
𝑦
[−𝑥 2 𝑠] 𝑑𝑠
0
1
𝑦
= 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑦 − [− 2 𝑥 2 𝑠 2 ]0
1
= 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑦 − [− 2 𝑥 2 𝑦 2 ]
1
= 𝑥2 + 𝑥2 𝑦 + 2 𝑥2 𝑦2
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
101
1
𝑢2 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑦 + 2! 𝑥 2 𝑦 2 ,
𝑢3 𝑥, 𝑦 = 𝑢2 𝑥, 𝑦 −
𝑦
0
𝜕𝑢 2 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑠
+𝑥
𝜕𝑢 2 𝑥,𝑠
𝜕𝑥
𝑦 2
[𝑥
0
1
= 𝑥2 + 𝑥2 𝑦 + 2 𝑥2 𝑦2 −
− 3𝑢2 𝑥, 𝑠
𝑑𝑠,
+ 𝑥 2 𝑠 + 𝑥 2𝑥 + 2𝑥𝑠 + 𝑥𝑠 2 −
1
3(𝑥 2 + 𝑥 2 𝑠 + 2 𝑥 2 𝑠 2 )] 𝑑𝑠
1
𝑦
0
𝑥 2 𝑠 2 − 2 𝑥 2 𝑠 2 𝑑𝑠
1
𝑦
0
− 2 𝑥 2 𝑠 2 𝑑𝑠
= 𝑥2 + 𝑥2 𝑦 + 2 𝑥2 𝑦2 −
= 𝑥2 + 𝑥2 𝑦 + 2 𝑥2 𝑦2 −
1
3
1
1
𝑦
= 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑦 + 2 𝑥 2 𝑦 2 − [− 6 𝑥 2 𝑠 3 ]0
1
1
= 𝑥2 + 𝑥2 𝑦 + 2 𝑥2 𝑦2 + 6 𝑥2 𝑦3
1
1
𝑢3 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑦 + 2! 𝑥 2 𝑦 2 + 3! 𝑥 2 𝑦 3
.
.
.
.
= .
.
1
1
𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 1 + 𝑦 + 2! 𝑦 2 + 3! 𝑦 3 + ⋯ .
Jadi, metode iterasi variasional dari persamaan (4.53) berlaku
𝑢 𝑥, 𝑦 = lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 .
Solusi eksak dari persamaan (4.53) adalah
𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 𝑒 𝑦 .
Contoh 4.3
Gunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan diferensial
parsial homogen berikut ini
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 0, 𝑢 𝑥, 0 = 𝑥,
dimana c bernilai konstan.
(4.62)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
102
Solusi
Dari persamaan (4.62) dapat dibentuk suatu fungsi koreksi seperti pada
persamaan (4.2) sehingga dapat dituliskan sebagai berikut
𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑡 = 𝑢𝑛 𝑥, 𝑡 +
𝑡
0
𝜆(𝑠)
𝜕𝑢 𝑛 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑠
+𝑐
𝜕ũ𝑛 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑥
𝑑𝑠.
(4.63)
Jika persamaan (4.63) diturunkan terhadap 𝑢𝑛 , maka persamaan tersebut
menjadi
𝛿𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑡 = 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑡 + 𝛿
𝑡
0
𝜆(𝑠)
𝜕𝑢 𝑛 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑠
𝑑𝑠 + 𝛿
𝑡
𝜆
0
𝑠 𝑐
𝜕ũ𝑛 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑥
𝑑𝑠, (4.64)
dimana ũ𝑛 𝑥, 𝑦 sebagai variasi terbatas dan 𝛿ũ𝑛 𝑥, 𝑦 = 0 seperti syarat pada
variasi terbatas, maka persamaan (4.64) menjadi sebagai berikut
𝛿𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑡 = 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑡 + 𝛿
𝑡
0
𝜆(𝑠)
𝜕𝑢 𝑛 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑠
𝑑𝑠.
(4.65)
Kemudian, kita menggunakan integral parsial seperti pada persamaan (4.3) dan
pada cara yang terdapat pada penjelasan bab II. Persamaan (4.65) menjadi
𝛿𝑢𝑛+1 𝑥, 𝑡 = 1 + 𝜆 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑠 |𝑠=𝑦 − 𝛿
= 1 + 𝜆 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑠 |𝑠=𝑦 − 𝛿
0 = 1 + 𝜆 𝛿𝑢𝑛 𝑥, 𝑠 |𝑠=𝑦 − 𝛿
𝑡
0
𝜆′ 𝑢𝑛 (𝑥, 𝑠)𝑑𝑠
𝑡 ′
𝜆
0
𝑡
0
𝑢𝑛
𝜆′ 𝑢𝑛
𝑥, 𝑠 𝑑𝑠 − 0
𝑥, 𝑠 𝑑𝑠.
(4.66)
Dari persamaan (4.66) diperoleh kondisi stasioner sebagai berikut
𝑢𝑛 𝑠, 𝑦 :
𝜆′ 𝑠 = 0,
1 + 𝜆 𝑠 = 0.
(4.67a)
(4.67b)
Persamaan (4.67b) dijabarkan agar menjadi persamaan (4.67a) sebagai berikut
1+𝜆 𝑠 =0
𝜆 𝑠 = −1
𝑑
𝑑𝑠
𝜆(𝑠) =
𝑑
𝑑𝑠
𝜆′ 𝑠 = 0.
(−1)
(4.68)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
103
Persamaan (4.68) tersebut adalah nilai pengali Lagrange. Sekarang, kita
substitusikan
nilai
pengali
𝜆 = −1
Lagrange
ke
fungsi
persamaan
(4.68) menjadi
𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑡 = 𝑢𝑛 𝑥, 𝑡 −
𝑡 𝜕𝑢 𝑛 𝑥,𝑠
0
𝜕𝑠
+𝑐
𝜕𝑢 𝑛 𝑥,𝑠
𝜕𝑥
𝑑𝑠.
(4.69)
Persamaan (4.69) dapat dituliskan menjadi rumus iterasi sebagai berikut
𝑢𝑛 +1 𝑥, 𝑡 = 𝑢𝑛 𝑥, 𝑡 −
Kita
memilih
𝑡 𝜕𝑢 𝑛 (𝑥,𝑠)
0
𝜕𝑠
+𝑐
𝑢0 𝑥, 𝑡 = 𝑢 𝑥, 0 = 𝑥 dari
𝜕𝑢 𝑛 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑥
𝑑𝑠, 𝑛 ≥ 0.
kondisi
yang
(4.70)
diberikan.
Substitusikan 𝑢0 𝑥, 𝑡 = 𝑢 𝑥, 0 = 𝑥 ke persamaan (4.70) dan kita dapatkan
pendekatan sebagai berikut
𝑢0 𝑥, 𝑡 = 𝑥,
𝑢1 𝑥, 𝑡 = 𝑢0 𝑥, 𝑡 −
𝑡 𝜕𝑢 0 (𝑥,𝑠)
0
𝜕𝑠
=𝑥−
𝑡
(0
0
=𝑥−
𝑡
(𝑐)𝑑𝑠
0
+𝑐
𝜕𝑢 0 (𝑥,𝑠)
+𝑐
𝜕𝑢 1 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑥
𝑑𝑠,
+ 𝑐. 1)𝑑𝑠
= 𝑥 − [𝑐𝑠]𝑡0
= 𝑥 − [𝑐𝑡]
= 𝑥 − 𝑐𝑡
𝑢1 𝑥, 𝑡 = 𝑥 − 𝑐𝑡,
𝑢2 𝑥, 𝑡 = 𝑢1 𝑥, 𝑡 −
𝑡 𝜕𝑢 1 (𝑥,𝑠)
0
𝜕𝑠
= 𝑥 − 𝑐𝑡 −
𝑡
(−𝑐
0
= 𝑥 − 𝑐𝑡 −
𝑡
(0)𝑑𝑠
0
𝑢2 𝑥, 𝑡 = 𝑥 − 𝑐𝑡,
+ 𝑐. 1)𝑑𝑠
𝜕𝑥
𝑑𝑠,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
𝑢3 𝑥, 𝑡 = 𝑢2 𝑥, 𝑡 −
𝑡 𝜕𝑢 2 (𝑥,𝑠)
0
𝜕𝑠
= 𝑥 − 𝑐𝑡 −
𝑡
(−𝑐
0
= 𝑥 − 𝑐𝑡 −
𝑡
(0)𝑑𝑠
0
+𝑐
𝜕𝑢 2 (𝑥,𝑠)
𝜕𝑥
𝑑𝑠,
+ 𝑐. 1)𝑑𝑠
𝑢3 𝑥, 𝑡 = 𝑥 − 𝑐𝑡,
.
.
.
.
.
= .
𝑢𝑛 𝑥, 𝑡 = 𝑥 − 𝑐𝑡.
Jadi, metode iterasi variasional dari persamaan (4.62) berlaku
𝑢 𝑥, 𝑡 = lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 𝑥, 𝑡 .
Solusi eksak dari persamaan (4.62) adalah
𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑥 − 𝑐𝑡.
104
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Pada bagian ini penulis akan mengemukakan kesimpulan dari
permasalahan dan pembahasan yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya.
Adapun kesimpulan yang dapat kita ambil adalah sebagai berikut.
1. Metode iterasi Picard merupakan suatu metode iterasi yang menghasilkan
suatu solusi secara analitik maupun numerik pada suatu masalah nilai awal.
Penyelesaian dari metode iterasi Picard dengan cara menentukan hampiran
(pendekatan) dari solusi umum berdasarkan langkah-langkah iterasi.
Langkah-langkah untuk merumuskan metode iterasi Picard hampir sama
dengan metode Euler hanya saja pada metode Euler memiliki kemiringan
(slope). Langkah-langkah untuk mencari solusi pendekatan dari persamaan
diferensial biasa dengan menggunakan metode iterasi Picard adalah sebagai
berikut
(a). Memilih fungsi konstan 𝜙0 sebagai pendekatan ke nol berdasarkan nilai
awal pada persamaan yang diketahui.
(b). Mensubstitusikan persamaan yang diketahui pada soal ke rumus iterasi
Picard.
(c). Menggunakan rumus iterasi Picard untuk mendapatkan nilai solusi
pendekatan yang diinginkan, misalnya ingin mencari nilai pendekatan
105
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
106
𝜙1 , 𝜙2 , 𝜙3 , … dan seterusnya hingga membentuk suatu sistem barisan
yang konvergen menuju ke solusi eksak (sebenarnya).
2. Metode iterasi variasional sangat efektif dan tepat sehingga dapat diterapkan
untuk menyelesaikan permasalahan mengenai persamaan diferensial biasa
nonlinear serta persamaan diferensial parsial nonhomogen maupun
homogen. Keuntungan yang diperoleh dari penggunaan metode iterasi
variasional yaitu metode ini dapat memberikan perkiraan analisis yang baik
untuk persamaan terurai panjang dan rumit dari persamaan nonlinear
sehingga dapat mengakibatkan perhitungan numerik besar. Dengan
menggunakan metode ini kita dapat menemukan solusi yang tepat dalam
berbagai macam masalah karena teknik ini sangat kuat dan efisien.
Langkah-langkah untuk merumuskan fungsi koreksi pada metode iterasi
variasional tidak jauh beda dengan metode iterasi Picard.
Hal yang membedakan antara metode iterasi Picard dengan metode iterasi
variasional terletak pada fungsi koreksi rumus iterasi variasional terdapat
pengali Lagrange. Pengali Lagrange tersebut akan dicari menggunakan
langkah-langkah seperti metode Newton. Setelah mendapat nilai dari
pengali Lagrange, maka nilai itu disubtitusikan pada fungsi koreksi
sehingga solusi dari metode iterasi variasional dapat dicari. Langkahlangkah dalam mencari solusi pendekatan dari persamaan diferensial biasa
maupun parsial dengan menggunakan metode iterasi variasional adalah
sebagai berikut
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
107
(a). Membentuk suatu fungsi koreksi berdasarkan persamaan umum iterasi
variasional dari persamaan yang diketahui.
(b). Menurunkan fungsi koreksi tersebut terhadap 𝑢𝑛 dengan melibatkan
ũ𝑛 𝑥, 𝑦 sebagai suatu variasi terbatas, yang berarti 𝛿ũ𝑛 𝑥, 𝑦 = 0,
seperti syarat pada variasi terbatas.
(c). Dengan menggunakan teknik pada integral parsial untuk mendapatkan
nilai kondisi stasioner. Kondisi stasioner tersebut memiliki syarat yaitu
turunan dari persamaan yang diketahui sama dengan nol.
(d). Dari kondisi stasioner, dapat diperoleh suatu nilai pengali Lagrange
yang optimal. Nilai pengali Lagrange tersebut disubstitukan ke dalam
suatu fungsi koreksi. Setelah itu, mendapat suatu fungsi koreksi dari
persamaan iterasi variasional yang memiliki solusi pendekatan. Rumus
iterasi tersebut memiliki syarat 𝑛 ≥ 0.
(e). Memilih syarat awal dari persamaan yang diketahui pada soal.
Mensubstitusikan syarat awal ke suatu fungsi koreksi dari persamaan
iterasi variasional. Dari fungsi koreksi tersebut mendapatkan solusi
pendekatan yang diinginkan misalnya ingin mencari solusi pendekatan
𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 . Solusi pendekatan dari rumus iterasi variasional lamakelamaan menuju ke solusi eksak (sebenarnya). Oleh karena itu,
solusinya akan membentuk sistem barisan fungsi yang konvergen.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
108
B. Saran
Berdasarkan pembahasan pada skripsi ini, maka penulis memiliki saran
agar penelitian ini terus dikembangkan oleh penulis-penulis lain maupun para
pembaca. Hal yang perlu dikembangkan untuk penulisan skripsi selanjutnya
adalah menggunakan metode iterasi Picard dan metode iterasi variasional pada
persamaan diferensial biasa orde tinggi maupun pada persamaan diferensial
parsial orde tinggi.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
109
DAFTAR PUSTAKA
Arcana, N. dkk. (1983). Teknik-teknik Pengintegralan. Solo: Tiga Serangkai.
Aryati, L. (2011). Diktat Pengantar Persamaan Diferensial Parsial. Yogyakarta:
FMIPA UGM.
Aryati, L. dkk. (2013). Diktat Persamaan Diferensial Elementer. Yogyakarta:
FMIPA UGM.
Batiha, B., Noorani M.S.M., & Hashim, I, “Application of Variational Iteration
Method to a General Riccati Equation, ”International Mathematics
Forum, 2(56): pp 2759-2770, 2007.
He, J.H., ”A New Approach to Nonlinear Partial Differential Equations,
”Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation, vol 2,
no 4, pp 230-235, 1997.
He, J.H., ”Variational Iteration Method-Some Recent Results and New
Intrepretations, “Journal of Computational and Applied Mathematics,
207, pp 3-17, 2007.
Inokuti, M., Sekine, H. & Mura, T., ”General Use of the Lagrange Multiplier in
Nonlinear Mathematical Physics, in S Nemat-Nasser (Ed), ”Variational
Method in the Mechanics of Solid, Pergamon Press, New York, pp 156162, 1978.
Kartono. (2012). Persamaan Diferensial Biasa. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Kreyszig, E. (1999). Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons,
New York.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
110
Lusiana, E., dkk, ”Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Taklinear Orde Satu
Menggunakan Metode Iterasi Variasional, ”Buletin Ilmiah Matematika
Statistika dan Terapannya (Bimaster), vol 03, no.1, hal 69-76, 2014.
Marwan & Munzir, S. (2009). Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Matinfar, M. & Nodeh, S.J., ”Application of He’s Variational Iteration Method to
a Abelian Differential Equation, ”Journal of Application Mathematics,
7(4): pp 71-75, 2011.
Munir, R. (2008). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.
Nugroho, D.B (2011). Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya.
Yogyakarta: Graha Ilmu.
Purcell, E.J. & Varberg, D. (1987). Kalkulus dan Geometri Analisis Jilid 1.
Jakarta: Erlangga.
Purcell, E.J. & Varberg, D. (1987). Kalkulus dan Geometri Analisis Jilid 2.
Jakarta: Erlangga.
Purwanto, E.B. (2008). Perancangan dan Analisis Algoritma. Yogyakarta: Graha
Ilmu.
Prawirosusanto, S. (1997). Pengantar Metode Numerik. Yogyakarta: Aditya
Media.
Ross, S.L. (2004). Differential Equations. New York: John Wiley & Sons.
Setiawan, A. (2006). Pengantar Metode Numerik. Yogyakarta: Andi Offset.
Wazwaz, A.M. (2009). Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory.
New York: Springer.