keterbagian bilangan bulat
advertisement
KETERBAGIAN BILANGAN BULAT A. Ciri-ciri Bilangan Yang Habis Dibagi 1. Bilangan Yang Habis Dibagi 2 Suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhirnya itu genap atau nol. Contoh: 6 : 2 = 3 (6 angka genap, maka 6 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0) 32 : 2 = 16 (2 angka genap, maka 32 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0) 354 : 2 = 177 (4 angka genap, maka 354 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0) 336 : 2 = 168 (6 angka genap., maka 336 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0) 5698 : 2 = 2.849 (5698 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0) 790 : 2 = 395 (0 angka genap, maka 790 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0) 751 : 2 (1 angka ganjil, maka 751 tidak habis dibagi 2, bersisa ≠ 0) 2. Bilangan Yang Habis Dibagi 3 Jika jumlah dari angka-angka suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan itu juga habis dibagi 3. Contoh: 54 : 3 = 9 (jumlah angkanya = 5 + 4 = 9 habis dibagi 3, maka bilangan 54 juga habis dibagi 3) 987 : 3 = 329 (jumlah angkanya = 9 + 8 + 7 = 24 habis dibagi 3, maka bilangan 987 juga habis dibagi 3) 4782 : 3 = 1594 (jumlah angkanya = 4 + 7 + 8 + 2 = 21 habis dibagi 3, maka bilangan 4782 juga habis dibagi 3) 941 : 3 (jumlah angkanya = 9 + 4 + 1 = 14 tidak habis dibagi 3, maka bilangan 941 tidak habis dibagi 3) 3. Bilangan Yang Habis Dibagi 4 Jika dua angka terakhir dari suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu habis dibagi 4. Suatu bilangan yang mempunyai dua atau lebih angka nol pada angka teakhir juga habis dibagi 4. Contoh: 512 : 4 = 128 (12 habis dibagi 4, maka bilangan 512 juga habis dibagi 4) 704 : 4 = 176 (04 habis dibagi 4, maka bilangan 704 juga habis dibagi 4) 7536 : 4 = 1884 (36 habis dibagi 4, maka bilangan 7536 juga habis dibagi 4) 16780 : 4 = 4195 (80 habis dibagi 4, maka bilangan 16780 juga habis dibagi 4) 67000 : 4 = 16750 (tiga angka terakhir 0 habis dibagi 4, maka bilangan 67000 juga habis dibagi 4) 5722 : 4 (22 tidak habis dibagi 4, maka bilangan 5722 tidak habis dibagi 4) 4. Bilangan Yang Habis Dibagi 5 Jika suatu bilangan angka terakhirnya 5 atau 0, maka bilangan habis dibagi 5. Contoh: 720 : 5 = 144 (angka terakhirnya 0, maka bilangan 720 habis dibagi 5) 4795 : 5 = 959 (angka terakhirnya 5, maka bilangan 4795 habis dibagi 5) 1943 : 5 (angka terakhirnya 3, buka 0 atau 5, maka bilangan 1943 tidak habis dibagi 5) 5. Bilangan Yang Habis Dibagi 6 Jika suatu bilangan yang habis dibagi 3 dan 2, maka bilangan itu juga habis dibagi 6. Demikian untuk suatu bilangan habis dibagi 6, jika 1) bilangan itu mempunyai suatu angka akhir genap. 2) jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Contoh: 936 : 6 = 156 (kondisi pertama dipenuhi sebagai angka akhir (6) adalah angka genap dan juga jumlah angkanya 9 + 3 + 6 = 18 habis dibagi 3; maka bilangan 936 habis dibagi 6). 1 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika 2340 : 6 = 390 (kondisi pertama dipenuhi sebagai angka akhir (0) adalah angka genap dan juga jumlah angkanya = 2 + 3 + 4 + 0 = 9 habis dibagi 3, maka bilangan 2340 habis dibagi 6) 254 : 6 (kondisi pertama dipenuhi sebagai angka akhir (4) adalah angka genap tetapi kondisi kedua tidak, maka bilangan 254 tidak habis dibagi 6) 361 : 6 (kondisi pertama tidak dipenuhi, maka kita tidak perlu lagi memeriksa untuk kondisi kedua) 6. Bilangan Yang Habis Dibagi 7 Bilangan yang habis dibagi 7 mempunyai keunikan tersendiri. Cirinya dapat dilihat dalam operasi bilangan berikut ini. Contoh: 1) Apakah 196 dapat dibagi 7? Solusi: Langkah 1: 19 6: 19 – 6 × 2 = 7 (2 adalah negative osculator) Kerena 7 habis dibagi 7, maka bilangan 196 juga habis dibagi 7. Hasil pembagian itu adalah 196 : 7 = 28 2) Apakah 2961 dapat dibagi 7? Solusi: Langkah 1: 296 1: 296 – 1 × 2 = 294 Langkah 2: 29 4: 29 – 4 × 2 = 21 Kerena 21 habis dibagi 7, maka bilangan 2961 juga habis dibagi 7. Hasil pembagian itu adalah 2961 : 7 = 423 3) Apakah 50727768 dapat dibagi 7? Solusi: Langkah 1: 5072776 8: 5072776 – 8 × 2 = 5072760 Langkah 2: 507276 0: 507276 – 0 × 2 = 507276 Langkah 3: 50727 6: 50727 – 6 × 2 = 50715 Langkah 4: 5071 5: 5071 – 5 × 2 = 5061 Langkah 5: 506 1: 506 – 1 × 2 = 504 Langkah 6: 50 4: 50 – 4 × 2 = 42 Kerena 42 habis dibagi 7, maka bilangan 50727768 juga habis dibagi 7. Hasil pembagian itu adalah 50727768 : 7 = 7246824. 7. Bilangan Yang Habis Dibagi 8 Jika tiga angka terakhir dari suatu bilangan habis dibagi 8, maka bilangan itu juga habis dibagi 8. Juga, jika tiga angka terakhirnya dari suatu bilangan adalah nol, maka bilangan itu juga habis dibagi 8. Contoh: 4128 : 8 = 516 (karena 128 habis dibagi 8, maka bilangan 4128 juga habis dibagi 8) 765240 : 8 = 95655 (karena 240 habis dibagi 8, maka bilangan 765240 habis dibagi 8) 239000 : 8 = 29875 (karena tiga angka terakhir adalah nol, maka bilangan 239000 habis dibagi 8) 8. Bilangan Yang Habis Dibagi 9 Jika jumlah semua angka dari suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan itu juga habis dibagi 9. Contoh: 81 : 9 = 9 (jumlah angkanya = 8 + 1 = 9 habis dibagi 9, maka bilangan 81 juga habis dibagi 9) 495 : 9 = 48 (jumlah angkanya = 4 + 9 + 5 = 18 habis dibagi 9, maka bilangan 495 juga habis dibagi 9) 3798 : 9 = 422 (jumlah angkanya = 3 + 7 + 9 + 8 = 27 habis dibagi 9, maka bilangan 3798 juga habis dibagi 9) 992610 : 9 = 110290 (jumlah angkanya = 9 + 9 + 2 + 6 + 1 + 0 = 27 habis dibagi 9, maka bilangan 992610 juga habis dibagi 9) 2 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika 89793 : 9 = 9977 (jumlah angkanya = 8 + 9 + 7 + 9 + 3 = 36 habis dibagi 9, maka bilangan 89793 juga habis dibagi 9) 9. Bilangan Yang Habis Dibagi 10 Suatu bilangan dengan angka terakhir nol habis dibagi 10. Contoh: 20 : 10 = 2 (angka akhir 0, maka bilangan 20 habis dibagi 10) 5070 : 10 = 507 (angka akhir 0, maka bilangan 5070 habis dibagi 10) 45300 : 10 = 4530 (angka akhir 0, maka bilangan 45300 habis dibagi 10) 9008 : 10 (angka akhir bukan 0, yaitu 8; maka bilangan 9008 tidak habis dibagi 10) 10. Bilangan Yang Habis Dibagi 11 Jika jumlah angka-angka pada urutan ganjil dan jumlah angka-angka pada urutan genap adalah sama atau mempunyai perbedaan kelipatan 11, maka bilangan itu habis dibagi 11. Contoh: 572 : 11 = 52 ( S1 5 2 7 dan S 2 7 . Karena S1 S 2 , maka bilangan 572 habis dibagi 11) 4675 : 11 = 425 ( S1 4 7 11 dan S 2 6 5 11. Karena S1 S 2 , maka bilangan 4675 habis dibagi 11) 3190 : 11 = 290 ( S1 3 9 12 dan S 2 1 0 1 . Karena S1 S 2 12 1 11 adalah habis dibagi 11, maka bilangan 3190 juga habis dibagi 11) 85619272948 : 11 = 7783570268 ( S1 8 6 9 7 9 8 47 dan S 2 5 1 2 2 4 14 . Kerena S1 S 2 47 14 33 adalah habis dibagi 11, maka bilangan 85619272948 habis dibagi 11) 180928 : 11 = 44174 ( S1 1 0 2 3 dan S 2 8 9 8 25 . Karena S1 S 2 3 25 22 adalah habis dibagi 11, maka bilangan 180928 juga habis dibagi 11) 11. Bilangan Yang Habis Dibagi 12 Suatu bilangan habis dibagi 4 dan 3, maka bilangan itu juga habis 12. Untuk memeriksa pembagian dengan 12, kita 1) pertama membagi bilangan dua angka terakhir. Jika bilangan ini tidak dapat dibagai 4, maka bilangan itu tidak dapat dibagi 12. Jika bilangan ini dapat dibagi 12, maka 2) periksa bilangan itu apakah dapat dibagi 3 atau tidak. Contoh: 72 : 12 = 6 (72 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 7 + 2 = 9 habis dibagi 3, maka bilangan 72 habis dibagi 12) 648 : 12 = 54 (48 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 6 + 4 + 8 = 18 habis dibagi 3, maka bilangan 648 habis dibagi 12) 9960 : 12 = 830 (60 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 9 + 9 + 6 + 0 = 24 habis dibagi 3, maka bilangan 9960 habis dibagi 12) 8960784 : 12 = 746732 (84 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 8 + 9 +6 + 0 + 7 + 8 + 4 = 42 habis dibagi 3, maka bilangan 8960784 habis dibagi 12) 12. Bilangan Yang Habis Dibagi 13 Bilangan yang habis dibagi 13 mempunyai keunikan tersendiri. Osculator 13 adalah 4. Cirinya dapat dilihat dalam operasi bilangan berikut ini. Contoh: 1) Apakah 351 habis dibagi 13? Solusi: Strategi 1: 35 1: 35 + 1 × 4 = 39 Kerena 39 habis dibagi 13, maka bilangan 351 juga habis dibagi 13. Hasil pembagiannya adalah 351 : 13 = 27. Strategi 2: 3 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika Langkah 1: 3 5 1 9 [4 × 1 (dari 351) + 5 (dari 351) = 9] Langkah 2: 3 5 1 39/9 [4 × 9 (dari 9) + 3 (dar 351) = 39] atau 39/9 [4 × 9 (dari 9) + 0 (dari 09) + 3 (dar 351) = 39] Karena 39 habis dibagi 13, maka bilangan 351 juga habis dibagi 13) Hasil pembagiannya adalah 351 : 13 = 27. 2) Apakah 247 habis dibagi 13? Solusi: Strategi 1: 24 7: 24 + 7 × 4 = 52 Kerena 52 habis dibagi 13, maka bilangan 247 juga habis dibagi 13. Hasil pembagiannya adalah 247 : 13 = 19. Strategi 2: Langkah 1: 2 4 7 32 [4 × 7 (dari 247) + 4 (dari 247) = 32] Langkah 2: 2 4 7 13/32 [4 × 2 (dari 32) + 3 (dari 32) + 2 (dari 247) = 13] Karena 13 habis dibagi 13, maka bilangan 247 juga habis dibagi 13) Hasil pembagiannya adalah 247 : 13 = 19. Perhatikan dari dua strategi yang disajikan di atas, untuk selnajutnya kita akan menggunakan strategi 2. 3) Apakah 21567 habis dibagi 13? Solusi: 21567 39/19/24/34 [4 × 7 (dari 21567) + 6 (dari 21567) = 34] [4 × 4 (dari 34) + 3 (dari 34) + 5 (dari 21567) = 24] [4 × 4 (dari 24) + 2(dari 34) + 1 (dari 21567) = 19] [4 × 9 (dari 19) + 1 (dari 19) + 2 (dari 21567) = 39] Kerena 39 habis dibagi 13, maka bilangan 21567 juga habis dibagi 13. Hasil pembagiannya adalah 21567 : 13 = 1659. Setelah kita memahami pemaparan di atas, selanjutnya kita dapat menyelesaikan masalah itu dengan perhitungan yang sistematis seperti berikut ini. 21567 39/19/24/34 4 × 7 + 6 = 34 4 × 4 + 3 + 5 = 24 4 × 4 + 2 + 1 = 19 4 × 9 + 1 + 2 = 39 Kerena 39 habis dibagi 13, maka bilangan 21567 juga habis dibagi 13. Hasil pembagiannya adalah 21567 : 13 = 1659. 4) Apakah 6921408 habis dibagi 13? Solusi: 6921408 39/18/12/22/15/32 4 × 8 + 0 = 32 4 × 2 + 3 + 4 = 15 4 × 5 + 1 + 1 = 22 4 × 2 + 2 + 2 = 12 4 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika 4 × 2 + 1 + 9 = 18 4 × 8 + 1 + 6 = 39 Kerena 39 habis dibagi 13, maka bilangan 6921408 juga habis dibagi 13. Hasil pembagiannya adalah 6921408 : 13 = 532416. 13. Bilangan Yang Habis Dibagi 14 Suatu bilangan yang habis dibagi 2 dan 7, maka bilangan itu juga habis 14. Bilangan itu mempunyai angka akhir genap dan pada waktu yang sama bilangan itu habis dibagi 7. Contoh: 1) Apakah 238 habis dibagi 14? Solusi: Bilangan 238 habis dibagi 2, karena 8 sebagai angka akhirnya adalah genap. Langkah 1: 23 8: 23 – 8 × 2 = 7 Kerena 7 habis dibagi 7, maka bilangan 238 juga habis dibagi 7. Jadi, bilangan 238 habis dibagi 2 dan 7, maka bilangan 238 juga habis dibagi 14. Hasil pembagiannya adalah 238 : 14 = 17. 2) Apakah 3584 habis dibagi 14? Solusi: Bilangan 3584 habis dibagi 2, karena 4 sebagai angka akhirnya adalah genap. Langkah 1: 358 4: 358 – 4 × 2 = 350 Langkah 2: 35 0: 35 – 0 × 2 = 35 Kerena 35 habis dibagi 7, maka bilangan 3584 juga habis dibagi 7. Jadi, bilangan 3584 habis dibagi 2 dan 7, maka bilangan 3584 juga habis dibagi 14. Hasil pembagiannya adalah 3584 : 14 = 256. 3) Apakah 328706 habis dibagi 14? Solusi: Bilangan 328706 habis dibagi 2, karena 6 sebagai angka akhirnya adalah genap. Langkah 1: 32870 6: 32870 – 6 × 2 = 32858 Langkah 2: 3285 8: 3285 – 8 × 2 = 3269 Langkah 3: 326 9: 326 – 9 × 2 = 308 Langkah 4: 30 8: 30 – 8 × 2 = 14 Kerena 14 habis dibagi 7, maka bilangan 328706 juga habis dibagi 7. Jadi, bilangan 328706 habis dibagi 2 dan 7, maka bilangan 328706 juga habis dibagi 14. Hasil pembagiannya adalah 328706 : 14 = 23479. 14. Bilangan Yang Habis Dibagi 15 Suatu bilangan yang habis dibagi 3 dan 5, maka bilangan itu juga habis 15. Contoh: 1) Apakah 435 habis dibagi 15? Solusi: 435 : 3 = 145 (jumlah angkanya = 4 + 3 + 5 = 12 habis dibagi 3, maka bilangan 435 juga habis dibagi 3) 435 : 5 = 87 (angka terakhirnya 5, maka bilangan 435 habis dibagi 5) Jadi, bilangan 435 habis dibagi 3 dan 5, maka bilangan 435 juga habis dibagi 15. Hasil pembagiannya adalah 435 : 15 = 29. 2) Apakah 3720 habis dibagi 15? Solusi: 3720 : 3 = 1240 (jumlah angkanya = 3 + 7 + 2 + 0 = 12 habis dibagi 3, maka bilangan 3720 juga habis dibagi 3) 3720 : 5 = 744 (angka terakhirnya 5, maka bilangan 3720 habis dibagi 5) Jadi, bilangan 3720 habis dibagi 3 dan 5, maka bilangan 3720 juga habis dibagi 15. 5 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika Hasil pembagiannya adalah 3720 : 15 = 248. 3) Apakah 148095 habis dibagi 15? Solusi: 148095 : 3 = 49365 (jumlah angkanya = 4 + 9 + 3 + 6 + 5 = 27 habis dibagi 3, maka bilangan 148095 juga habis dibagi 3) 148095 : 5 = 29619 (angka terakhirnya 5, maka bilangan 148095 habis dibagi 5) Jadi, bilangan 148095 habis dibagi 3 dan 5, maka bilangan 148095 juga habis dibagi 15. Hasil pembagiannya adalah 148095 : 15 = 9873. 15. Bilangan Yang Habis Dibagi 16 Jika suatu bilangan yang mempuyai empat angka terakhir habis dibagi 16, maka bilangan itu juga habis dibagi 16. Contoh: 51024 : 16 = = 1240 (1024 habis dibagi 16, maka bilangan 51024 juga habis dibagi 16) 9651568 : 16 = 603223 (1568 habis dibagi 16, maka bilangan 9651568 habis dibagi 16) 16. Bilangan Yang Habis Dibagi 17 Bilangan yang habis dibagi 17 mempunyai keunikan tersendiri. Cirinya dapat dilihat dalam operasi bilangan berikut ini. Contoh: 1) Apakah 476 habis dibagi 17? Solusi: Langkah 1: 47 6: 47 – 6 × 5 = 17 (5 adalah negative osculator) Kerena 17 habis dibagi 17, maka bilangan 476 juga habis dibagi 17. Hasil pembagian itu adalah 476 : 17 = 28. 2) Apakah 90542 habis dibagi 17? Solusi: Langkah 1: 9054 2: 9054 – 2 × 5 = 9044 Langkah 2: 904 4: 904 – 4 × 5 = 884 Langkah 3: 88 4: 88 – 4 × 5 = 68 Kerena 68 habis dibagi 17, maka bilangan 90542 juga habis dibagi 17. Hasil pembagian itu adalah 90542 : 17 = 5326. 3) Apakah 9122863 habis dibagi 17? Solusi: Langkah 1: 912286: 912286 – 3 × 5 = 912271 Langkah 2: 91227 1: 912271 – 1 × 5 = 91222 Langkah 3: 9122 2: 9122 – 2 × 5 = 9112 Langkah 4: 911 2: 911 – 2 × 5 = 901 Langkah 5: 90 1: 90 – 1 × 5 = 85 Kerena 85 habis dibagi 17, maka bilangan 9122863 juga habis dibagi 17. Hasil pembagian itu adalah 9122863 : 17 = 536639. 17. Bilangan Yang Habis Dibagi 18 Suatu bilangan yang habis dibagi 9 dan mempunyai angka akhir (angka satuan) genap atau nol adalah habis dibagi 18. Contoh: 1) Apakah 922968 habis dibagi 18? Solusi: 922968 : 9 = 102552 (jumlah angkanya = 9 + 2 + 2 + 9 + 6 + 8 = 36 habis dibagi 9, maka bilangan 922968 juga habis dibagi 9) dan angka satuannya 8 adalah genap. Maka dari itu 922968 habis dibagi 18. 6 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika Hasil pembagiannya adalah 922968 : 18 = 51276. 2) Apakah 297810 habis dibagi 18? Solusi: 297810 : 9 = 33090 (jumlah angkanya = 2 + 9 + 7 + 8 + 1 + 0 = 27 habis dibagi 9, maka bilangan 297810 juga habis dibagi 9) dan angka satuannya 0. Maka dari itu 297810 habis dibagi 18. Hasil pembagiannya adalah 297810 : 18 = 16545. 18. Bilangan Yang Habis Dibagi 19 Bilangan yang habis dibagi 19 mempunyai keunikan tersendiri. Cirinya dapat dilihat dalam operasi bilangan berikut ini. Osculator dari 19 adalah 2. Metodenya sama seperti bilangan yang habis dibagi 13. Contoh: 1) Apakah 513 habis dibagi 19? Solusi: 513 13 [2 × 3 (dari 513) + 1 (dari 513) = 7] (osculator 2) 19/13 [2 × 7 (dari 7) + 5 (dari 513) = 19] Kerena 19 habis dibagi 19, maka bilangan 513 juga habis dibagi 19. Hasil pembagiannya adalah 513 : 19 = 27. Setelah kita memahami pemaparan di atas, selanjutnya kita dapat menyelesaikan masalah itu dengan perhitungan yang sistematis seperti berikut ini. 513 19/7 2 × 3 +1 = 7 2 × 7 + 5 + 5 = 19 Kerena 19 habis dibagi 19, maka bilangan 513 juga habis dibagi 19. Hasil pembagiannya adalah 513 : 19 = 27. 2) Apakah 187264 habis dibagi 19? Solusi: 187264 19/9/10/11/14 [2 × 4 (dari 187264) + 6 (dari 187264) = 14] [2 × 4 (dari 14) + 1 (dari 14) + 2 (dari 187264) = 11] [2 × 1 (dari 11) + 1 (dari 11) + 7 (dari 187264) = 10] [2 × 0 (dari 10) + 1 (dari 10) + 8 (dari 187264) = 9] [2 × 9 (dari 9) + 1 (dari 187264) = 19] Kerena 19 habis dibagi 19, maka bilangan 187264 juga habis dibagi 19. Hasil pembagiannya adalah 187264 : 19 = 9856. Setelah kita memahami pemaparan di atas, selanjutnya kita dapat menyelesaikan masalah itu dengan perhitungan yang sistematis seperti berikut ini. 187264 19/9/10/11/14 2 × 4 + 6 = 14 2 × 4 + 1 + 2 = 11 2 × 1 + 1 + 7 = 10 2×0 +1+8 =9 2 × 9 + 1 = 19 Kerena 19 habis dibagi 19, maka bilangan 187264 juga habis dibagi 19. Hasil pembagiannya adalah 187264 : 19 = 9856. 7 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika B. Uji Keterbagian Untuk Semua Bilangan 1. Bilangan real 10 n 1 adalah selalu habis dibagi dengan 9, di mana n adalah bilangan asli. dan habis dibagi dengan 11 jika n adalah genap. Contoh: a. Untuk n = 1, maka 101 1 9 habis dibagi 9. b. Untuk n = 2, maka 10 2 1 99 habis dibagi 9 dan 11. c. Untuk n = 3, maka 103 1 999 habis dibagi 9. d. Untuk n = 4, maka 10 4 1 9999 habis dibagi 9 dan 11. 2. Bilangan m n m selalu habis dibagi n untuk semua nilai m kecuali nol. Contoh: a. Untuk m = 3 dan n = 2, maka 3 2 3 6 adalah habis dibagi 2. b. Untuk m = 4 dan n = 3, maka 4 3 4 60 adalah habis dibagi 3. c. Untuk m = 5 dan n = 4, maka 5 4 5 620 adalah habis dibagi 4. d. Untuk m = 6 dan n = 3, maka 6 3 6 210 adalah habis dibagi 3. e. Untuk m = 2 dan n = 5, maka 2 5 2 30 adalah habis dibagi 5. 8 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
