bilangan dan keterbagian bilangan bulat

BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT
A. Sistem Bilangan
Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu
bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya pola dalam suatu bilangan, maka kita dapat
tertolong dalam meramalkan perilaku bilangan itu selanjutnya. Berikut ini disajikan diagram pohon
bilangan.
Bilangan Satu
Bilangan Prima
Bilangan Nol
Bilangan Asli
Bilangan Komposit
Bilangan Cacah
Bilangan Negatif
Bilangan Genap
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat
Bilangan Ganjil
Bilangan Irasional
Bilangan Imajiner
Bilangan Rasional
Bilangan Real
Bilangan Kompleks
1. Bilangan Abstrak
Suatu bilangan tidak diikat terutama pada sesuatu dinamakan bilangan abstrak (abstract number).
Contoh: satu, tiga, sepuluh, dan sebagainya.
2. Bilangan Konkrit
Suatu bilangan dari suatu satuan dinamakan bilangan konkrit (concrete number).
Contoh: 5 orang laki-laki, 15 kg beras, 23 menit, dan sebagainya
3. Angka
Semua bilangan ditulis dengan menggunakan simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 yang
dinamakan angka (digit).
4. Bilangan Asli
Bilangan asli juga dinamakan bilangan alam atau bilangan bulat postif (natural number) yang
terdiri dari: 1, 2, 3, 4, 5, …
Ditinjau dari jumlah faktornya bilangan asli dapat dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu:
a. Bilangan asli dengan satu faktor, yaitu 1.
b. Bilangan asli dengan dua faktor, yaitu: 2., 3, 5, 7, 11, 13, … yang dinamakan bilangan prima
(prime number).
1 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Bilangan prima didefinisikan sebagai bilangan asli lebih dari 1 yang tepat mempunyai dua
faktor.
 Bilangan prima kembar (twin prime) adalah bilangan prima yang berbeda atau berselisih
dua dinamakan bilangan prima kembar.
Contoh: (5,7), (11,13) , dan (17,19) .
 Pendirian Goldbach (Statement Goldbach’s, 1690-1764):
Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 4 adalah jumlah dari dua bilangan prima.
Contoh:
a. 8 = 3 + 5
c. 12 = 5 + 7
b. 10 = 3 + 7
d. 14 = 3 + 11
 Metode Untuk Menentukan Bilangan Prima Kurang dari 100
Bilangan prima kurang dari 100 dapat ditentukan dengan Saringan Eratosthenes
(Metematikawan Yunani Kuno yang hidup sekitar 300 SM), dengan prosedur sebagai
berikut ini.
1. Buatlah daftar bilangan dari 1 sampai dengan 100.
2. Coret bilangan 1.
3. Lingkari bilangan 2 dan coret semua bilangan kelipatan 2.
4. Lingkari bilangan 3 dan coret semua bilangan kelipatan 3.
5. Lingkari bilangan 5 dan coret semua bilangan kelipatan 5.
6. Lingkari bilangan 7 dan coret semua bilangan kelipatan 7.
7. Lingkari semua bilangan yang belum dilingkari dan belum dicoret.
8. Bilangan yang dilingkari adalah bilangan prima yg kurang dari 100.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Jadi, banyak bilangan prima kurang dari 100 adalah 26 buah, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73. 79, 83, 89, 91, dan 97
Metode Pemeriksaan Bilangan Prima
Jika anda ingin memeriksa suatu bilangan, apakah bilangan itu prima atau bukan, maka
Anda dapat menempuh tahapan sebagai berikut.
2 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
1. Ambillah bilangan bulat terbesar yang merupakan akar dari bilangan yang diberikan.
Misalnya bilangan yang diperoleh itu adalah x.
2. Tentukan bilangan prima yang kurang dari bilangan x.
3. Bagilah bilangan yang diberikan dengan bilangan-bilangan prima yang kurang dari x.
Jika bilangan yang diberikan tidak habis dibagi oleh bilangan-bilangan prima itu,
maka bilangan yang diberikan adalah bilangan prima; sebaliknya bilangan yang
diberikan adalah bilangan komposit.
Contoh:
1. Apakah 509 bilangan prima?
Solusi:
Akar dari 509 terbesar mendekati 23. Bilangan prima kurang dari 23 adalah 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19.
Jelaslah 509 tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima itu. Jadi, 509 adalah
bilangan prima.
2. Apakah 857 bilangan prima?
Solusi:
Akar dari 857 terbesar mendekati 30. Bilangan prima kurang dari 30 adalah 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23, 29.
Jelaslah 857 tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima itu. Jadi, 857 adalah
bilangan prima.
3. Apakah 979 bilangan prima?
Solusi:
Akar dari 979 terbesar mendekati 32. Bilangan prima kurang dari 32 adalah 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.
Jelaslah 979 habis dibagi oleh salah satu bilangan prima itu, yaitu 11. Jadi, 979
adalah bilangan bukan prima.
4. Tugas untuk Anda: Cobalah tunjukkan bahwa bilangan-bilangan 349, 647, 649, 657,
659, 757, 881, 913, 919, 1003, dan 1009 masing-masing adalah bilangan prima!
c. Bilangan dengan lebih dari dua faktor, yaitu: 4, 6, 8, 9, 10, 12, … yang dinamakan bilangan
komposit atau tersusun (composite number).
5. Bilangan Cacah
Bilangan cacah (whole number) terdiri dari semua bilangan asli dab unsur (elemen) nol yang
diberi lambing 0, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
6. Bilangan Berurutan
Suatu seri atau deretan bilangan yangmana masing-masing bilangan berbeda 1 dari pada bilangan
yang mendahuluinya dinamakan bilangan berurutan (consecutive numbers). Contoh: 5, 6, 7 atau
14, 15, 16, 17 atau 103, 104, 105, 106, dan sebagainya.
7. Bilangan Bulat
Bilangan bulat (integer) memuat semua bilangan cacah dan lawan (negatif) bilangan asli, yaitu:
…, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Bilangan bulat dapat dibagi menjadi dua kelompok, yaitu:
a. bilangan bulat yang habis dibagi 2 atau kelipatan 2, yaitu: …, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, …,
bilangan-bilangan ini dinamakan bilangan genap (even number), dan ditulis dengan lambang
x = 2n, dengan n bilangan bulat.
Kita dapat mengatakan bahwa suatu bilangan dapat dibagai 2 atau bilangan berakhiran 0, 2,
4, 6, atau 8 dinamakan bilangan genap.
Catatan:
3 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Perhatikan 0 habis dibagi 2, karena pembagian 0 dengan 2 tidak memberikan sisa. Demikian
0
pula 0 habis dibagi oleh semua bilangan yang bukan 0 sendiri. Sedangkan
tidak
0
mempunyai arti.
b. Bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan 2, yaitu: …, 9, 7, 5, 3, 1,
1, 3, 5, 7, 9, …, bilangan-bilangan ini dinamakan bilangan ganjil (odd number), dan ditulis
dengan lambing x = 2n + 1, dengan n bilangan bulat.
Kita dapat mengatakan bahwa suatu bilangan tidak dapat dibagai 2 atau bilangan berakhiran
1, 3, 5, 7, atau 9 dinamakan bilangan ganjil.
8. Bilangan Rasional
Bilangan rasional (bilangan terukur) adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi
a
bilangan bulat dengan bilangan asli. Bentuknya x  , dengan a bilangan bulat dan b bilangan
b
asli.
Ada dua kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu:
a. jika a habis dibagi b, maka x adalah bilangan bulat.
b. Jika a tidak habis dibagi b, maka x adalah bilangan pecahan.
a
Bilangan rasional yang merupakan bilangan pecahan x  , dengan a dinamakan pembilang dan
b
b dinamakan penyebut, biasanya dengan syarat pembilang dan penyebut tidak mempunyai faktor
persekutuan.
4
24
450
1
Contoh: pecahan 7
ditulis 7 , pecahan
ditulis 8 .
81
90
15
3
Jadi, bilangan rasional dapat berupa bilangan bulat dan bilangan pecahan.
9. Bentuk Desimal Berulang dari Bilangan Rasional
Setiap bilangan rasional dapat dituliskan dalam bentuk desimal berulang.
Contoh:
1
5
 0,4545... , ditulis 0, 45
a.  0,3333... ,ditulis 0, 3
c.
3
11
5
71
 0,123123123... , ditulis 0, 123
b. 6  6,5555... , ditulis 6, 5
d.
9
333
Metode Mengubah Bilangan Desimal Berulang Menjadi Pecahan Biasa
Metode 1:
Misalnya bilangan desimal berulang adalah x.
Untuk mengubah bilangan desimal berulang menjadi pecahan biasa, maka kalikan x dengan 10
pangkat banyaknya digit (angka) berulang kemudian kurangkan dengan x dan hasilnya dapat
dinyatakan sebagai pecahan biasa.
Metode 2:
Jika suatu bentuk desimal berulang telah terjadi sejak desimal pertama, maka bentuk pecahannya
adalah
bilangan terulang
Bentuk pecahan  Bilangan bulat
10 pengulangan  1
Contoh:
Tentukan pecahan biasa dari setiap bilangan decimal berulangan berikut ini.
a. 0,6666…
c. 8,108108108…
b. 1,353535…
d. 0,00225225225…
4 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
a. Solusi 1:
Misalnya x = 0,6666…
10x = 6,666…
x = 0.6666…
+
9x = 6
6 2
x 
9 3
Solusi 2:
0,6666... 
6
6
6 2

 
10  1 10  1 9 3
1
Jadi, pecahan biasa dari bilangan decimal berulang 0,6666… adalah
b. Solusi 1:
Misalnya x = 1,353535…
100x = 135,3535…
x=
1,353535…
+
99x = 134
134
35
x
1
99
99
2
.
3
Solusi 2:
1,353535...  1
35
35
35
1
1
2
10  1 100  1 99
Jadi, pecahan biasa dari bilangan decimal berulang 1,353535… adalah 1
c. Solusi 1:
Misalnya x = 8,108108108…
1000x = 8108,108108…
x=
8,108108108…
+
999x = 8100
8100
12
x
8
999
111
35
.
99
Solusi 2:
108
108
8
3
1000  1
10  1
108
12
8
8
999
111
8,108108108...  8
Jadi, pecahan biasa dari bilangan decimal berulang 8,108108108… adalah 8
d. Solusi 1:
Misalnya x = 0,00225225225…
100000x = 225,225225…
100x = 0,225225225…
+
99900x = 225
225
1
x

99900 444
12
.
111
Solusi 2:
0,225225225...
100
225
225
3
 10  1  999
100
100
225
1


99900 444
0,00225225225... 
Jadi, pecahan biasa dari bilangan decimal berulang 0,00225225225…adalah
1
.
444
10. Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional (bilangan tidak terukur) adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam
hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli, dan juga tidak dapat dituliskan dalam bentuk desimal
a
berulang. Jadi, x adalah bilangan irrasional, jika x  , dengan a bilangan bulat dan b bilangan
b
asli.
Contoh:
a. 5  2,36067...
b. e = 2,71828…
c. π  3,141592654...
d. log 3  0,47712...
5 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
11. Bilangan Real
Bilangan real (bilangan nyata) terdiri dari kumpulan bilangan rasional dan irrasional (positif dan
negatif) dan nol.
Contoh:
2
a. 5
c. 1
e. 3 2  π
15
1 3
b. 12
d. 3  5 7
f.
 2 log 5
4
12. Bilangan Kompleks
Akar dari suatu bilangan negative itu dinamakan bilangan imajiner (bilangan khayal). Bilangan
1
didefinisikan sebagai satuan imajiner yang dilambangkan dengan i. Jadi,
1  i ,
sehingga i  1 , i  i , i  1 , dan seterusnya.
Contoh:
2
3
4
a.  3   1  3  i 3
b.  16   1  16  4i
Suatu bilangan kompleks dinyatakan dengan z  a  bi , dengan a dan b bilangan real serta i
satuan imajiner. Bilangan a dinamakan bagian real dari z dan bilangan b dinamakan bagian
imajiner dari z.
Contoh:
Bilangan kompleks z = 5 – 4i, dengan 5 bagian real dari z dan 4 bagian imajiner dari z.
13. Bilangan Sempurna
Suatu bilangan yang sama dengan jumlah semua pembaginya (faktor-faktornya) kecuali dirinya
sendiri dinamakan bilangan sempurna (perfect number).
Contoh:
6 = 1 + 2 + 3 (faktor-faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. Dalam kasus ini 6 adalah bilangan
sempurna, maka 6 tidak disertakan dalam penjumlahan faktor-faktornya)
14. Bilangan Bersahabat
Dua bilangan dinamakan bersahabat jika bilangan yang satu memiliki jumlah faktor yang sama
dengan bilangan lain.
Contoh:
Apakah pasangan bilangan 284 dan 220; 18.416 dan 17.296; dan 1.184 dan 1.210?.
Solusi:
 Bilangan-bilangan 284 dan 220 adalah bersahabat (terkecil), karena faktor-faktor dari 220
adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, dan 110, yang kesemuanya berjumlah 284. Demikian
juga dengan faktor-faktor dari 284 adalah 1, 2, 4, 71, dan 142, yang kesemuanya berjumlah
220.
 Bilangan-bilangan 18.416 dan 17.296 adalah bersahabat, karena faktor-faktor dari 18.416
adalah 1, 2, 4, 8, 16, 1.151, 2.302, 4.604, dan 9.208, yang kesemuanya berjumlah 17.296.
Demikian juga dengan faktor-faktor dari 17.296 adalah 1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 47, 92, 94, 184,
188, 368, 376, 752, 1.081, 2.162, 4.324, dan 8.648, yang kesemuanya berjumlah 18.416.
 Bilangan-bilangan 1.184 dan 1.210 adalah bersahabat, karena faktor-faktor dari 1.210 adalah
1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296, dan 592, yang kesemuanya berjumlah 1.210. Demikian
juga dengan faktor dari 1.210 adalah 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, dan 605, yang
kesemuanya berjumlah 1.184.
Bilangan bersahabat 220 dan 284 ditemukan oleh Pythagoras sekitar 500 SM. Sampai tahun 1636
tidak ditemukan bilangan bersahabat yang baru, setelah itu seorang ahli teori bilangan dari
Perancis bernama Fermat menemukan bahwa bilangan 17.296 dan 18.416 adalah sepasang
bilangan bersahabat. Pada tahun 1750, setelah melakukan pengkajian sistematik, Euler
mempublikasikan lebih dari enampuluh pasang bilangan bersahabat. Sangat mengherankan ia
6 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
melalaikan pasangan kedua terkecil yaitu 1.184 dan 1.210, dan hal ini tidak ditemukannya sampai
pada tahun 1866. Pakar matematika dari Italia, Paganini seorang remaja laki-laki yang berumur 16
tahun yang menemukan pasangan bilangan bersahabat terkecil kedua itu. Kemudian pasangan
bilangan bersahabat yang terakhir ditemukan tahun 1976 yang salah satu bilangannya adalah
5.070.746.263.958.274.212.545.800.175.616.
Tugas Anda: Tunjukkan bahwa pasangan bilangan 2.620 dan 2.924; dan pasangan bilangan 6.232
dan 6.368 masing-masing adalah bilangan bersahabat.
B.
1.
2.
3.
4.
5.
UJI KETERBAGIAN BILNGAN BULAT
Kita dapat mengetahui cirri-ciri suatu bilangan bulat habis dibagi atau tidak habis dibagi dengan
suatu bilangan menggunakan alat bantu hitung seperti kalkulator dan pembagian panjang. Tetapi kita
dapat menentukannya menggunakan metode yang diberikan berikut ini.
Bilangan Yang Habis Dibagi 2
Suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhirnya itu genap atau nol.
Contoh:
6 : 2 = 3 (6 angka genap, maka 6 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0)
32 : 2 = 16 (2 angka genap, maka 32 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0)
354 : 2 = 177 (4 angka genap, maka 354 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0)
336 : 2 = 168 (6 angka genap., maka 336 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0)
5698 : 2 = 2.849 (5698 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0)
790 : 2 = 395 (0 angka genap, maka 790 habis dibagi 2, tidak bersisa atau sisa 0)
751 : 2 (1 angka ganjil, maka 751 tidak habis dibagi 2, bersisa ≠ 0)
Bilangan Yang Habis Dibagi 3
Jika jumlah dari angka-angka suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan itu juga habis dibagi 3.
Contoh:
54 : 3 = 9 (jumlah angkanya = 5 + 4 = 9 habis dibagi 3, maka bilangan 54 habis dibagi 3)
987 : 3 = 329 (jumlah angkanya = 9 + 8 + 7 = 24 habis dibagi 3, maka bilangan 987 habis dibagi 3)
4782 : 3 = 1594 (jumlah angkanya = 4 + 7 + 8 + 2 = 21 habis dibagi 3, maka bilangan 4782 habis
dibagi 3)
941 : 3 (jumlah angkanya = 9 + 4 + 1 = 14 tidak habis dibagi 3, maka bilangan 941 tidak habis dibagi
3)
Bilangan Yang Habis Dibagi 4
Jika dua angka terakhir dari suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu habis dibagi 4. Suatu
bilangan yang mempunyai dua atau lebih angka nol pada angka teakhir juga habis dibagi 4.
Contoh:
512 : 4 = 128 (12 habis dibagi 4, maka bilangan 512 juga habis dibagi 4)
704 : 4 = 176 (04 habis dibagi 4, maka bilangan 704 juga habis dibagi 4)
7536 : 4 = 1884 (36 habis dibagi 4, maka bilangan 7536 juga habis dibagi 4)
16780 : 4 = 4195 (80 habis dibagi 4, maka bilangan 16780 juga habis dibagi 4)
67000 : 4 = 16750 (tiga angka terakhir 0 habis dibagi 4, maka bilangan 67000 juga habis dibagi 4)
5722 : 4 (22 tidak habis dibagi 4, maka bilangan 5722 tidak habis dibagi 4)
Bilangan Yang Habis Dibagi 5
Jika suatu bilangan angka terakhirnya 5 atau 0, maka bilangan habis dibagi 5.
Contoh:
720 : 5 = 144 (angka terakhirnya 0, maka bilangan 720 habis dibagi 5)
4795 : 5 = 959 (angka terakhirnya 5, maka bilangan 4795 habis dibagi 5)
1943 : 5 (angka terakhirnya 3, buka 0 atau 5, maka bilangan 1943 tidak habis dibagi 5)
Bilangan Yang Habis Dibagi 6
7 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Jika suatu bilangan yang habis dibagi 3 dan 2, maka bilangan itu juga habis dibagi 6. Demikian untuk
suatu bilangan habis dibagi 6, jika
1) bilangan itu mempunyai suatu angka akhir genap.
2) jumlah angka-angkanya habis dibagi 3.
Contoh:
936 : 6 = 156 (kondisi pertama dipenuhi sebagai angka akhir (6) adalah angka genap dan juga jumlah
angkanya 9 + 3 + 6 = 18 habis dibagi 3; maka bilangan 936 habis dibagi 6).
2340 : 6 = 390 (kondisi pertama dipenuhi sebagai angka akhir (0) adalah angka genap dan juga
jumlah angkanya = 2 + 3 + 4 + 0 = 9 habis dibagi 3, maka bilangan 2340 habis dibagi 6)
254 : 6 (kondisi pertama dipenuhi sebagai angka akhir (4) adalah angka genap tetapi kondisi kedua
tidak, maka bilangan 254 tidak habis dibagi 6)
361 : 6 (kondisi pertama tidak dipenuhi, maka kita tidak perlu lagi memeriksa untuk kondisi kedua)
6. Bilangan Yang Habis Dibagi 7
Bilangan yang habis dibagi 7 mempunyai keunikan tersendiri. Cirinya dapat dilihat dalam operasi
bilangan berikut ini.
Contoh:
1) Apakah 196 dapat dibagi 7?
Solusi:
Tahap 1: 19 6: 19 – 6 × 2 = 7 (2 adalah negative osculator)
Kerena 7 habis dibagi 7, maka bilangan 196 juga habis dibagi 7.
Hasil pembagian itu adalah 196 : 7 = 28
2) Apakah 2961 dapat dibagi 7?
Solusi:
Tahap 1: 296 1: 296 – 1 × 2 = 294
Tahap 2: 29 4: 29 – 4 × 2 = 21
Kerena 21 habis dibagi 7, maka bilangan 2961 juga habis dibagi 7.
Hasil pembagian itu adalah 2961 : 7 = 423
3) Apakah 50727768 dapat dibagi 7?
Solusi:
Tahap 1: 5072776 8: 5072776 – 8 × 2 = 5072760
Tahap 2: 507276 0: 507276 – 0 × 2 = 507276
Tahap 3: 50727 6: 50727 – 6 × 2 = 50715
Tahap 4: 5071 5: 5071 – 5 × 2 = 5061
Tahap 5: 506 1: 506 – 1 × 2 = 504
Tahap 6: 50 4: 50 – 4 × 2 = 42
Kerena 42 habis dibagi 7, maka bilangan 50727768 juga habis dibagi 7.
Hasil pembagian itu adalah 50727768 : 7 = 7246824.
7. Bilangan Yang Habis Dibagi 8
Jika tiga angka terakhir dari suatu bilangan habis dibagi 8, maka bilangan itu juga habis dibagi 8.
Juga, jika tiga angka terakhir dari suatu bilangan adalah nol, maka bilangan itu habis dibagi 8.
Contoh:
4128 : 8 = 516 (karena 128 habis dibagi 8, maka bilangan 4128 juga habis dibagi 8)
765240 : 8 = 95655 (karena 240 habis dibagi 8, maka bilangan 765240 habis dibagi 8)
239000 : 8 = 29875 (karena tiga angka terakhir adalah nol, maka bilangan 239000 habis dibagi 8)
8. Bilangan Yang Habis Dibagi 9
Jika jumlah semua angka dari suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan itu juga habis dibagi 9.
Contoh:
81 : 9 = 9 (jumlah angkanya = 8 + 1 = 9 habis dibagi 9, maka bilangan 81 habis dibagi 9)
495 : 9 = 48 (jumlah angkanya = 4 + 9 + 5 = 18 habis dibagi 9, maka bilangan 495 habis dibagi 9)
8 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
3798 : 9 = 422 (jumlah angkanya = 3 + 7 + 9 + 8 = 27 habis dibagi 9, maka bilangan 3798 habis
dibagi 9)
992610 : 9 = 110290 (jumlah angkanya = 9 + 9 + 2 + 6 + 1 + 0 = 27 habis dibagi 9, maka bilangan
992610 habis dibagi 9)
89793 : 9 = 9977 (jumlah angkanya = 8 + 9 + 7 + 9 + 3 = 36 habis dibagi 9, maka bilangan 89793
habis dibagi 9)
9. Bilangan Yang Habis Dibagi 10
Suatu bilangan dengan angka terakhir nol habis dibagi 10.
Contoh:
20 : 10 = 2 (angka akhir 0, maka bilangan 20 habis dibagi 10)
5070 : 10 = 507 (angka akhir 0, maka bilangan 5070 habis dibagi 10)
45300 : 10 = 4530 (angka akhir 0, maka bilangan 45300 habis dibagi 10)
9008 : 10 (angka akhir bukan 0, yaitu 8; maka bilangan 9008 tidak habis dibagi 10)
10. Bilangan Yang Habis Dibagi 11
Jika jumlah angka-angka pada urutan ganjil dan jumlah angka-angka pada urutan genap adalah sama
atau mempunyai perbedaan kelipatan 11, maka bilangan itu habis dibagi 11.
Contoh:
572 : 11 = 52 ( S1  5  2  7 dan S 2  7 . Karena S1  S 2 , maka bilangan 572 habis dibagi 11)
4675 : 11 = 425 ( S1  4  7  11 dan S 2  6  5  11. Karena S1  S 2 , maka bilangan 4675 habis
dibagi 11)
3190 : 11 = 290 ( S1  3  9  12 dan S 2  1  0  1 . Karena S1  S 2  12  1  11 adalah habis dibagi
11, maka bilangan 3190 juga habis dibagi 11)
85619272948 : 11 = 7783570268 ( S1  8  6  9  7  9  8  47 dan S 2  5  1  2  2  4  14 .
Kerena S1  S 2  47  14  33 adalah habis dibagi 11, maka bilangan 85619272948 habis dibagi 11)
180928
:
11
=
44174
( S1  1  0  2  3
dan
S 2  8  9  8  25 .
Karena
S1  S 2  3  25  22 adalah habis dibagi 11, maka bilangan 180928 juga habis dibagi 11)
11. Bilangan Yang Habis Dibagi 12
Suatu bilangan habis dibagi 4 dan 3, maka bilangan itu juga habis 12.
Untuk memeriksa pembagian dengan 12, kita
1) pertama membagi bilangan dua angka terakhir. Jika bilangan ini tidak dapat dibagai 4, maka
bilangan itu tidak dapat dibagi 12. Jika bilangan ini dapat dibagi 12, maka
2) periksa bilangan itu apakah dapat dibagi 3 atau tidak.
Contoh:
72 : 12 = 6 (72 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 7 + 2 = 9 habis dibagi 3, maka bilangan 72
habis dibagi 12)
648 : 12 = 54 (48 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 6 + 4 + 8 = 18 habis dibagi 3, maka
bilangan 648 habis dibagi 12)
9960 : 12 = 830 (60 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 9 + 9 + 6 + 0 = 24 habis dibagi 3,
maka bilangan 9960 habis dibagi 12)
8960784 : 12 = 746732 (84 habis dibagi 4 dan juga jumlah angkanya = 8 + 9 +6 + 0 + 7 + 8 + 4 = 42
habis dibagi 3, maka bilangan 8960784 habis dibagi 12)
12. Bilangan Yang Habis Dibagi 13
Bilangan yang habis dibagi 13 mempunyai keunikan tersendiri. Osculator 13 adalah 4. Cirinya dapat
dilihat dalam operasi bilangan berikut ini.
Contoh:
1) Apakah 351 habis dibagi 13?
Solusi 1:
35 1: 35 + 1 × 4 = 39
9 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Kerena 39 habis dibagi 13, maka bilangan 351 juga habis dibagi 13.
Hasil pembagiannya adalah 351 : 13 = 27.
Solusi 2:
Langkah 1: 3 5 1
9 [4 × 1 (dari 351) + 5 (dari 351) = 9]
Langkah 2: 3 5 1
39/9 [4 × 9 (dari 9) + 3 (dar 351) = 39] atau
39/9 [4 × 9 (dari 9) + 0 (dari 09) + 3 (dar 351) = 39]
Karena 39 habis dibagi 13, maka bilangan 351 juga habis dibagi 13)
Hasil pembagiannya adalah 351 : 13 = 27.
2) Apakah 247 habis dibagi 13?
Solusi 1:
24 7: 24 + 7 × 4 = 52
Kerena 52 habis dibagi 13, maka bilangan 247 juga habis dibagi 13.
Hasil pembagiannya adalah 247 : 13 = 19.
Solusi 2:
Langkah 1: 2 4 7
32 [4 × 7 (dari 247) + 4 (dari 247) = 32]
Langkah 2: 2 4 7
13/32 [4 × 2 (dari 32) + 3 (dari 32) + 2 (dari 247) = 13]
Karena 13 habis dibagi 13, maka bilangan 247 juga habis dibagi 13)
Hasil pembagiannya adalah 247 : 13 = 19.
Perhatikan dari kedua solusi tersebut, untuk selanjutnya kita akan menggunakan solusi 2.
3) Apakah 21567 habis dibagi 13?
Solusi:
21567
39/19/24/34 [4 × 7 (dari 21567) + 6 (dari 21567) = 34]
[4 × 4 (dari 34) + 3 (dari 34) + 5 (dari 21567) = 24]
[4 × 4 (dari 24) + 2(dari 34) + 1 (dari 21567) = 19]
[4 × 9 (dari 19) + 1 (dari 19) + 2 (dari 21567) = 39]
Kerena 39 habis dibagi 13, maka bilangan 21567 juga habis dibagi 13.
Hasil pembagiannya adalah 21567 : 13 = 1659.
Setelah kita memahami pemaparan di atas, selanjutnya kita dapat menyelesaikan masalah itu
dengan perhitungan yang sistematis seperti berikut ini.
21567
39/19/24/34
4 × 7 + 6 = 34
4 × 4 + 3 + 5 = 24
4 × 4 + 2 + 1 = 19
4 × 9 + 1 + 2 = 39
Kerena 39 habis dibagi 13, maka bilangan 21567 juga habis dibagi 13.
Hasil pembagiannya adalah 21567 : 13 = 1659.
4) Apakah 6921408 habis dibagi 13?
Solusi:
6921408
39/18/12/22/15/32
4 × 8 + 0 = 32
4 × 2 + 3 + 4 = 15
4 × 5 + 1 + 1 = 22
10 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
4 × 2 + 2 + 2 = 12
4 × 2 + 1 + 9 = 18
4 × 8 + 1 + 6 = 39
Kerena 39 habis dibagi 13, maka bilangan 6921408 juga habis dibagi 13.
Hasil pembagiannya adalah 6921408 : 13 = 532416.
13. Bilangan Yang Habis Dibagi 14
Suatu bilangan yang habis dibagi 2 dan 7, maka bilangan itu juga habis 14. Bilangan itu mempunyai
angka akhir genap dan pada waktu yang sama bilangan itu habis dibagi 7.
Contoh:
1) Apakah 238 habis dibagi 14?
Solusi:
Bilangan 238 habis dibagi 2, karena 8 sebagai angka akhirnya adalah genap.
Tahap 1: 23 8: 23 – 8 × 2 = 7
Kerena 7 habis dibagi 7, maka bilangan 238 juga habis dibagi 7.
Jadi, bilangan 238 habis dibagi 2 dan 7, maka bilangan 238 juga habis dibagi 14.
Hasil pembagiannya adalah 238 : 14 = 17.
2) Apakah 3584 habis dibagi 14?
Solusi:
Bilangan 3584 habis dibagi 2, karena 4 sebagai angka akhirnya adalah genap.
Tahap 1: 358 4: 358 – 4 × 2 = 350
Tahap 2: 35 0: 35 – 0 × 2 = 35
Kerena 35 habis dibagi 7, maka bilangan 3584 juga habis dibagi 7.
Jadi, bilangan 3584 habis dibagi 2 dan 7, maka bilangan 3584 juga habis dibagi 14.
Hasil pembagiannya adalah 3584 : 14 = 256.
3) Apakah 328706 habis dibagi 14?
Solusi:
Bilangan 328706 habis dibagi 2, karena 6 sebagai angka akhirnya adalah genap.
Tahap 1: 32870 6: 32870 – 6 × 2 = 32858
Tahap 2: 3285 8: 3285 – 8 × 2 = 3269
Tahap 3: 326 9: 326 – 9 × 2 = 308
Tahap 4: 30 8: 30 – 8 × 2 = 14
Kerena 14 habis dibagi 7, maka bilangan 328706 juga habis dibagi 7.
Jadi, bilangan 328706 habis dibagi 2 dan 7, maka bilangan 328706 juga habis dibagi 14.
Hasil pembagiannya adalah 328706 : 14 = 23479.
14. Bilangan Yang Habis Dibagi 15
Suatu bilangan yang habis dibagi 3 dan 5, maka bilangan itu juga habis 15.
Contoh:
1) Apakah 435 habis dibagi 15?
Solusi:
435 : 3 = 145 (jumlah angkanya = 4 + 3 + 5 = 12 habis dibagi 3, maka bilangan 435 juga habis
dibagi 3)
435 : 5 = 87 (angka terakhirnya 5, maka bilangan 435 habis dibagi 5)
Jadi, bilangan 435 habis dibagi 3 dan 5, maka bilangan 435 juga habis dibagi 15.
Hasil pembagiannya adalah 435 : 15 = 29.
2) Apakah 3720 habis dibagi 15?
Solusi:
3720 : 3 = 1240 (jumlah angkanya = 3 + 7 + 2 + 0 = 12 habis dibagi 3, maka bilangan 3720 juga
habis dibagi 3)
3720 : 5 = 744 (angka terakhirnya 5, maka bilangan 3720 habis dibagi 5)
11 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Jadi, bilangan 3720 habis dibagi 3 dan 5, maka bilangan 3720 juga habis dibagi 15.
Hasil pembagiannya adalah 3720 : 15 = 248.
3) Apakah 148095 habis dibagi 15?
Solusi:
148095 : 3 = 49365 (jumlah angkanya = 4 + 9 + 3 + 6 + 5 = 27 habis dibagi 3, maka bilangan
148095 juga habis dibagi 3)
148095 : 5 = 29619 (angka terakhirnya 5, maka bilangan 148095 habis dibagi 5)
Jadi, bilangan 148095 habis dibagi 3 dan 5, maka bilangan 148095 juga habis dibagi 15.
Hasil pembagiannya adalah 148095 : 15 = 9873.
15. Bilangan Yang Habis Dibagi 16
Jika suatu bilangan yang mempuyai empat angka terakhir habis dibagi 16, maka bilangan itu juga
habis dibagi 16.
Contoh:
51024 : 16 = = 1240 (1024 habis dibagi 16, maka bilangan 51024 juga habis dibagi 16)
9651568 : 16 = 603223 (1568 habis dibagi 16, maka bilangan 9651568 habis dibagi 16)
16. Bilangan Yang Habis Dibagi 17
Bilangan yang habis dibagi 17 mempunyai keunikan tersendiri. Cirinya dapat dilihat dalam operasi
bilangan berikut ini.
Contoh:
1) Apakah 476 habis dibagi 17?
Solusi:
Tahap 1: 47 6: 47 – 6 × 5 = 17 (5 adalah negative osculator)
Kerena 17 habis dibagi 17, maka bilangan 476 juga habis dibagi 17.
Hasil pembagian itu adalah 476 : 17 = 28.
2) Apakah 90542 habis dibagi 17?
Solusi:
Tahap 1: 9054 2: 9054 – 2 × 5 = 9044
Tahap 2: 904 4: 904 – 4 × 5 = 884
Tahap 3: 88 4: 88 – 4 × 5 = 68
Kerena 68 habis dibagi 17, maka bilangan 90542 juga habis dibagi 17.
Hasil pembagian itu adalah 90542 : 17 = 5326.
3) Apakah 9122863 habis dibagi 17?
Solusi:
Tahap 1: 912286: 912286 – 3 × 5 = 912271
Tahap 2: 91227 1: 912271 – 1 × 5 = 91222
Tahap 3: 9122 2: 9122 – 2 × 5 = 9112
Tahap 4: 911 2: 911 – 2 × 5 = 901
Tahap 5: 90 1: 90 – 1 × 5 = 85
Kerena 85 habis dibagi 17, maka bilangan 9122863 juga habis dibagi 17.
Hasil pembagian itu adalah 9122863 : 17 = 536639.
17. Bilangan Yang Habis Dibagi 18
Suatu bilangan yang habis dibagi 9 dan mempunyai angka akhir (angka satuan) genap atau nol adalah
habis dibagi 18.
Contoh:
1) Apakah 922968 habis dibagi 18?
Solusi:
922968 : 9 = 102552 (jumlah angkanya = 9 + 2 + 2 + 9 + 6 + 8 = 36 habis dibagi 9, maka
bilangan 922968 juga habis dibagi 9) dan angka satuannya 8 adalah genap. Maka dari itu 922968
habis dibagi 18.
12 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Hasil pembagiannya adalah 922968 : 18 = 51276.
2) Apakah 297810 habis dibagi 18?
Solusi:
297810 : 9 = 33090 (jumlah angkanya = 2 + 9 + 7 + 8 + 1 + 0 = 27 habis dibagi 9, maka
bilangan 297810 habis dibagi 9) dan angka satuannya 0. Maka dari itu 297810 habis dibagi 18.
Hasil pembagiannya adalah 297810 : 18 = 16545.
18. Bilangan Yang Habis Dibagi 19
Bilangan yang habis dibagi 19 memiliki keunikan tersendiri. Cirinya dapat dilihat dalam operasi
bilangan berikut ini. Osculator dari 19 adalah 2. Metodenya sama seperti bilangan yang habis dibagi
13.
Contoh:
1) Apakah 513 habis dibagi 19?
Solusi:
513
13
[2 × 3 (dari 513) + 1 (dari 513) = 7] (osculator 2)
19/13 [2 × 7 (dari 7) + 5 (dari 513) = 19]
Kerena 19 habis dibagi 19, maka bilangan 513 juga habis dibagi 19.
Hasil pembagiannya adalah 513 : 19 = 27.
Setelah kita memahami pemaparan di atas, selanjutnya kita dapat menyelesaikan masalah itu
dengan perhitungan yang sistematis seperti berikut ini.
513
19/7
2 × 3 +1 = 7
2 × 7 + 5 + 5 = 19
Kerena 19 habis dibagi 19, maka bilangan 513 juga habis dibagi 19.
Hasil pembagiannya adalah 513 : 19 = 27.
2) Apakah 187264 habis dibagi 19?
Solusi:
187264
19/9/10/11/14 [2 × 4 (dari 187264) + 6 (dari 187264) = 14]
[2 × 4 (dari 14) + 1 (dari 14) + 2 (dari 187264) = 11]
[2 × 1 (dari 11) + 1 (dari 11) + 7 (dari 187264) = 10]
[2 × 0 (dari 10) + 1 (dari 10) + 8 (dari 187264) = 9]
[2 × 9 (dari 9) + 1 (dari 187264) = 19]
Kerena 19 habis dibagi 19, maka bilangan 187264 juga habis dibagi 19.
Hasil pembagiannya adalah 187264 : 19 = 9856.
Setelah kita memahami pemaparan di atas, selanjutnya kita dapat menyelesaikan masalah itu
dengan perhitungan yang sistematis seperti berikut ini.
187264
19/9/10/11/14
2 × 4 + 6 = 14
2 × 4 + 1 + 2 = 11
2 × 1 + 1 + 7 = 10
2×0 +1+8 =9
2 × 9 + 1 = 19
Kerena 19 habis dibagi 19, maka bilangan 187264 juga habis dibagi 19.
Hasil pembagiannya adalah 187264 : 19 = 9856.
C. Uji Keterbagian Untuk Semua Bilangan
13 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
1. Bilangan real 10 n  1 adalah selalu habis dibagi dengan 9, di mana n adalah bilangan asli. dan
habis dibagi dengan 11 jika n adalah genap.
Contoh:
a. Untuk n = 1, maka 101  1  9 habis dibagi 9.
b. Untuk n = 2, maka 10 2  1  99 habis dibagi 9 dan 11.
c. Untuk n = 3, maka 103  1  999 habis dibagi 9.
d. Untuk n = 4, maka 10 4  1  9999 habis dibagi 9 dan 11.
2. Bilangan m n  m selalu habis dibagi n untuk semua nilai m kecuali nol.
Contoh:
a. Untuk m = 3 dan n = 2, maka 3 2  3  6 adalah habis dibagi 2.
b. Untuk m = 4 dan n = 3, maka 4 3  4  60 adalah habis dibagi 3.
c. Untuk m = 5 dan n = 4, maka 5 4  5  620 adalah habis dibagi 4.
d. Untuk m = 6 dan n = 3, maka 6 3  6  210 adalah habis dibagi 3.
e. Untuk m = 2 dan n = 5, maka 2 5  2  30 adalah habis dibagi 5.
14 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika