Modifikasi Latihan Soal Aljabar Bab 3 dengan Menggunakan Matlab

Modifikasi Latihan Soal Aljabar Bab 3 dengan
Menggunakan Matlab Menjadi Latihan Soal
Aljabar dengan Menggunakan Scilab
Pada Buku Leon ’Aljabar Linear’
Agusyarif Rezka Nuha—G551150171
January 19, 2016
NRP terakhir 71. Dari 4 soal, soal yang dikerjakan adalah soal nomor 3
Soal nomor 3
(Ruang kolom dan bentuk eselon baris tereduksi). Tetapkan!
B = round(10*rand(8,4))
X = round(10*rand(4,3))
C = B*X
dan
A = [B C]
a Bagaimana hubungan antara ruang-ruang kolom dari B dan C? (lihat latihan 17 dalam subbab 6 ). Berapakah rank dari A yang anda harapkan?
Terangkan. Gunakan MATHLAB untuk memeriksa jawaban anda.
Penyelesaian: Ruang kolom C merupakan ruang bagian dari ruang kolom
B. Hal ini dapat dilihat dalam SCILAB.
1
2
Dari hasil SCILAB di atas, dimisalkan matriks C, B, dan X merupakan
matriks-matriks yang terdiri dari vektor-vektor kolom, dengan
C = [c1 c2 c3 ],
B = [b1 b2 b3 b4 ], dan
X = [x1 x2 x3 ].
maka dapat dilihat, nilai c1 diperoleh dari:
c1 = x1,1 b1 + x2,1 b2 + x3,1 b3 + x4,1 b4
Begitupun untuk nilai c2 , c3 , yaitu:
c2 = x1,2 b1 + x2,2 b2 + x3,2 b3 + x4,2 b4 , dan
c3 = x1,3 b1 + x2,3 b2 + x3,3 b3 + x4,3 b4
dengan melihat hasil tersebut dapat disimpulkan ruang-ruang kolom C
merupakan ruang bagian dari B.
Rank (A) = 4. Hal ini dikarenakan matriks A dibentuk dari gabungan
matriks B dan matriks C. Matriks C dalam hal ini, merupakan ruang
bagian yang direntang oleh ruang kolom matriks B, sehingga menyebabkan pangkat matriks A sama dengan pangkat matriks B.
b Vektor-vektor kolom yang mana dari A yang membentuk basis untuk
ruang kolomnya? Terangkan. Jika U adalah bentuk eselon baris tereduksi dari A, bagaimanakah bentuk empat kolom yang pertama yang anda
harapkan? Terangkan. Gunakan MATHLAB untuk memeriksa jawabanjawaban anda dengan cara menghitung U.
penyelesaian: Misal U matriks eselon baris dari A, maka
3
Terlihat 3 vektor kolom terakhir membentuk basis untuk ruang kolomnya.
Selanjutnya Membentuk 4 kolom pertama dari matriks U.
4
-->4kolompertama = [U 1 U 2 U 3 U 4]
4kolompertama =
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
Kemudian dapat di lihat empat vektor kolom pertama berbentuk matriks
identitas berukuran 8 x 4 , jika m=n maka matriks identitas yang diperoleh berukuran 4 x 4.
c Gunakan MATHLAB untuk membuat matriks lain D=(E EY) dimana E
adalah matriks sembarang 6 x 4 dan Y adalah matriks sembarang 4 x
2. Bagaimanakah bentuk eselon baris dari D ini dengan menggunakan
MATHLAB. Perlihatkan bahwa pada umumnya jika B adalah matriks m
x n dengan rank n dan X adalah matriks n x k maka bentuk eselon baris
tereduksi dari (B BX) akan memiliki struktur blok
(I X) jika m = n atau
Penyelesaian:
5
I
O
X
O
jika m > n
Misalkan
maka
Kemudian definisikan matriks D
Misalkan T adalah matriks eselon baris dari D, maka
6
Bentuk eselon baris dari D yaitu matriks T berukuran m x m berbentuk
eselon baris tereduksi [E EY ] memiliki struktur blok (I X).
Perlihatkan bahwa pada umumnya jika B adalah matriks m x n dengan
rank(B)=n dan X adalah matriks n x k.
7
Selanjutnya bentuk eselon baris tereduksi dari (B BX) akan memiliki
struktur blok
I X
(I X) jika m = n atau
jika m > n
O O
.
8
Definisikan matriks Z=[B BX]
Selanjutnya bentuk eselon baris dari matriks Z
9
sehingga dapat dilihat dari perhitungan scilab diatas terbentuk struktur
blok (I X) jika m = n
[I X]
1.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
1.
5. 6. 1.
10. 3. 6.
7. 3. 7.
0. 6. 3.
atau
I
O
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
X
O
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
jika m > n
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
5.
10.
7.
0.
0.
0.
0.
0.
6.
3.
3.
6.
0.
0.
0.
0.
1.
6.
7.
3.
0.
0.
0.
0.
..finish..
10