Uploaded by User8653

MATRIKS dan SPL NEW

advertisement
MATRIKS
MATRIKS
DEFINISI
Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang
disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)
Bentuk umum
A=(aij) ,i= 1,2,...m
J=1,2,...m
a11 a12……a1n
a21 a22…..a2n
Am1 am2…amn
baris 1
baris 2
baris m
Kolom n
Kolom 2
Kolom 1
Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah kolom
maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah (mxn).
Kesamaan dua matriks
Dua buah matriks A=(aij) dan B=(bij) dikatakan sama A=B, jika ukurannya
sama (mxn) dan berlaku aij=bij.
A=
C=
E=
G=
1
2
4
2
1
3
1
2 2
2
1
3
1
2
4
2
2
2
2
2
2
4
5
6
9
0
7
B=
D=
F=
H=
1
2
4
2
1
3
2
1
2
2
1
3
x
2
4
2
2
2
A=B
C≠D
E = F jika x = 1
?2
?
2
?
2
?4
?
5
?
6
?9
?
0
?
7
G=H
Operasi pada Matriks
1. Penjumlahan / Pengurangan
Syarat = kedua matriks tersebut berukuran sama
Contoh penjumlahan matriks:
1
2
2
A=
4
B=
3
A+B
6
+
+
3
=
6
3
=
12
6
6
PENGURANGAN MATRIKS
1
2
A=
2
4
B=
3
A-B
6
-
3
= -1 -2
-
=
00
6
2. Perkalian skalar terhadap matriks
Jika λ suatu skalar dari A=(aij)
maka λ A diperoleh dengan mengalikan
semua elemen matriks A dengan λ
Contoh:
4 3 7 
12 9 21
A
maka
3A


 9 0 - 3
3
0
1




 2 3 / 2 7/2 
1
A

2
3/2 0 - 1/2 
3. Perkalian Matriks
Dua buah matriks A&B dapat dikalikan jika:
Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah baris matriks kedua
(B).
Misal. A(mxn) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp).

A
mxn

B C
nx p
mx p
 A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n
 B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p
 C=(cik) dengan i=1,2,3,…,m dan k=1,2,3,…,p
Maka :
A x B = (aij) x (bjk)=(cik)
Contoh:
1
A
2
3
B =
=
0
4
5
x
+
x
+
x
= 9
x
+
x
+
x
= 16
x
+
x
+
x
= 3
x
+
x
+
x
= 13
x
+
x
+
x
= 8
x
+
x
+
x
= 14
AxB=
1
-4
0
4
2
1
0
1
2
Jika A,B,C adalah matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat yang di
perlukan, maka:
 A(B+C)=AB+AC
 A(BC)=(AB).C
 Perkalian matriks tidak komutatif = AB≠BA tetapi ada beberapa matriks
yang berlaku AB=BA
 Bila AB=AC , belum tentu B=C
 Bila AB=0(matriks nol)
 Maka kemungkinan-kemungkinan:
1. A=0 & B=0
2. A=0 atau B=0
3. A≠B dan B≠0
Transpose
A=
4
2
6
7
5
3 -9
7
AT = A’ =
4
5
2
3
6
-9
7
7
Definisi:
Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya
adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari
A.
T
[A ]ij = [A]ji
Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……
nxm
Sifat-sifat transpose matriks
1. Transpose dari A transpose adalah A: (AT )T = A
A
(AT)T = A
AT
Contoh:
4
5
2
3
4
2
6
6
-9
5
3 -9
7
7
4
5
7
2
3
7
6
-9
7
7
Sifat-sifat transpose matriks
2. (A+B)T = AT + BT
T
T
A+B
(A+B)T
T
=
A
+
B
=
T
A
+
T
B
Sifat-sifat transpose matriks
3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k
T
T
kA
T
(kA)
k
=
T
k(A)
A
Sifat-sifat transpose matriks
4. (AB)T = BT AT
AB
=
T
(AB)
= BTAT
AB
T
T
T
B
A
Jenis Matriks Khusus
1. Matriks bujur sangkar
Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya
kolom
Contoh
2
 1

2x2
0
0 
, 1

2

2
1
3
1
3x3
2
- 1

0

elemen diagonal utama
2. Matriks Nol
Adalah matriks yang semua elemennya nol
0 0 
0 0 


2x2
3x3
0 0 0 
0 0 0 


3. Matriks Diagonal
Adalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol
Contoh:
1
0

0
0
2
0
0
0
4
4. Matriks Identitas
Adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1
Contoh: 1 0 0
0

0
1
0
0  I 3
1 
5. Matriks Skalar
Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=K
Contoh: 2 0 0
0 2 0 


0 0 2
6. Matriks Segitiga Bawah
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama=0
Contoh: 1 0 0
 2 2 0


1 1 3
7. Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal
utama=0
Contoh:
8. Matriks Simetris
Adalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(A=AT).
Contoh:
1 2 0
1 2 0 
A  2 1 4  A T  2 1 4
0 4 3
0 4 3
9. Matriks Anti Simetris
Adalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya.
Contoh:
10. Matriks Hermitian
Adalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri
Contoh:
 3 2  i T  3 2  i
A
,A 


2  i 4 
2  i 4 
11. Matriks Invers
Misal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan B
invers dari A→B=A-1 atau A invers dari B→A=B-1
Contoh:
1 2 3
 6 - 2  3
A  1 3 3 , B   1 1
0 
1 2 4
 1 0
1 
AxB  BxA  I
12. Matriks Komutatif
Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku
AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain.
Contoh:
2 1 
3 1
A
,B


1
2
1
3




2 1 3 1 7 5
AxB  





1 2 1 3 5 7
3 1 2 1 7 5
BxA  





1
3
1
2
5
7


 

Transformasi Elementer
Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb:
1. Bij : Pergantian baris ke i dengan baris ke j
2. Kij : Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j
3. Bi(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan
dengan skalar λ≠0
4. Ki(λ) : Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan
skalar λ≠0
5. Bij(λ)
: Elemen-elemen baris ke i masing-masing ditambah dengan λ
kali baris ke j
6. Kij(λ) : Elemen-elemen kolom ke i masing-masing ditambah dengan λ
kali kolom ke j
7. Bi(λ1j(λ2) : Elemen-elemen baris ke i dikalikan dengan λ1 masing-masing
ditambah dengan λ2 kali baris ke j
8. Ki(λ1 j(λ2) : Elemen-elemen kolom ke i dikalikan dengan λ1 masing-masing
ditambah dengan λ2 kali kolom ke j
Contoh:
Di ketahui matriks
3 1 4
B  2 1 1  , maka:
3 0 1 
Matriks Ekivalen
Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen(A ~B) jika matriks yang satu dapat di
peroleh dari matriks yang lain dengan transformasi baris dan atau kolom.
Contoh:
3 0 2 1 
5 1 3 1
A
dan
B


3 0 2 1
 4 1 3 2


Adalah ekivalen karena:
3
A
4
3
5

0 2 1
1 2 1
(1) 5
( 1)
K
K
12
42
1 3 2 ~ 3 0 3 2 ~
0 2 1
5 1 3 1
B
B
12 


1 3 1 ~ 3 0 2 1
Matriks Eselon
Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat dirubah
menjadi matriks eselon dengan menggunakan
“Transformasi Elementer”.
Matriks yang memenuhi bahwa elemen-elemen yang
sekolom dengan setiap elemen tidak nol terkiri
(elemen 1 ) semuanya nol (kecuali elemen 1
terkirinya) disebut “ Matriks Eselon “.
Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon baris dan eselon baris
tereduksi:
Ya
1. Elemen pertama yang tidak
nol adalah 1 (satu utama)
2. Satu utama baris
berikutnya berada lebih
kanan dari baris
sebelumnya
3. Baris nol berada di paling
bawah
4. Elemen di atas satu utama
nol semua ( eselon baris
tereduksi )
0
0
0
0
1
0
0
0
Tidak
1
0
0
0
1
0
2
3
1
4
6
0
1
0
0
0
3
0
2
1
1
4
6
0
1
0
0
0
0
0
2
1
0
4
6
1
1
0
0
0
0
1
2
1
0
4
6
0
1
0
0
0
1
0
2
6
0
4
0
0
1
0
0
0
0
1
2
0
6
4
0
0
6
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
6
5
0
1
0
0
0
1
0
2
3
1
4
6
0
Matriks dalam bentuk eselon baris (eb) dan
eselon baris tereduksi (ebt)
Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks
berbentuk eselon baris.
Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam
bentuk eselon baris tereduksi.
* * *
* *
*
* * *
* *
*
eselon baris.
*
1 utama
Sembarang nilai
Nol
eselon baris tereduksi
Rank Matriks
Setiap matriks dapat dijadikan matriks eselon atau eselon tereduksi
dengan menggunakan transformasi elementer.
Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris
yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks
eselon disebut Rank Matriks.
Contoh :
Tentukan rank matriks di bawah ini :
 1 2 3 
 1 3  2


 2  6 4 
Jawab :
1  2 3  H (1)
1 3  2 21~

 H ( 2)
2  6 4  31~
1  2 3  H ( 2)
32
0 1

~
1


0  2  2
matrik eselon
Jadi rank matriks diatas adalah 2
1  2 3 
0 1 1 


0 0 0
2
Sistem Persamaan linier
Persamaan linier
Definisi
N buah variable x1, x2, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk :
a1x1 + a2x2+…+ an xn=b
disebut persamaan linier, dengan a1, a2, … ,an dan b adalah konstantakonstanta riil.
Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable :
x1=k1, x2=k2 … xn=kn sedemikian sehingga persamaan tersebut
terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k1, k2, … kn) disebut
himpunan penyelesaian (solusi set).
Contoh
2x1 + x2 + 3x3=5
x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusi
x1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusi
x1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusi
suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1.
Definisi
Sebuah himpunan berhingga dari persamaanpersamaan linier didalam n variable: x1, x2, …, xn
disebut sistem persamaan linier.
Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi
disebut inconsisten. Sedangkan sistem persamaan
linier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusi
disebut consisten.
Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel.
P1: a1x1+ a2x2=b1 (a1, a2≠0)
P2: a1x1+ a2x2=b2 (c1, c2≠0)
Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka:
U2
U2
U2
P2
X1
X1
P1
P2
Inconsisten
P1
Konsisten
X1
P2
Penyajian SPL dengan persamaan matriks
a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1
SPL umum: a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+a2nxn = b2
:
am1x1 + an2x2 + an3x3 + …+annxn = bm
matriks koefisien
A=
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2n
x1
x=
:
am1 am2 am3 amn
Ax = b
x2
b1
b =
b2
:
:
xm
bm
Penyajian SPL sebagai matriks augmented
a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn
a21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn
= b1
= b2
:
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
a11
a21
:
.
am1
a12
a22
a13 …
a23 …
a1n
a2n
b1
b2
am2
am3 …
amn
bm
matriks augmented
SUSUNAN PERSAMAAN LINIER
HOMOGEN
AX=0
SELALU ADA JAWAB
JAWAB HANYA
JAWAB TRIVIAL
(NOL);R=N
NON HOMOGEN
AX=B, B≠0
TAK PUNYA JAWAB
R(a)≠r(A,B)
SELAIN JAWAB TRIVIAL,
ADA JUGA JAWAB
NONTRIVIAL R<N
JAWAB UNIK
(TUNGGAL)
R=N
MEMPUNYAI JAWAB
BANYAK
JAWAB
R<N
Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode ”Gauss. Jordan”
yaitu: merubah matriks augmented (A|B) menjadi matriks eselon terreduksi
dengan cara melakukan transformasi elementer.
Sistem Persamaan Linier Non Homogen
Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0
Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila :
Rank(A) = Rank(A|B)
Contoh ;
1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3
Jawab:
-3x+6y=-9
x-2y=3
Dalam bentuk matriks=
 3 6   x    9
 1  2  y    3  atau Ax  B

   
- 3 6 :  9 
 1  2 : 3  (3) 1  2 : 3
(A | B)  
B12  
B 21 



1 2 : 3  ~
  3 6 :  9  ~ 0 0 : 0 
R(a)=r(A|B)=1
Jumlah variabel=2
r<n
1<2
Jadi jawabnya tidak tunggal.
Contoh
2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen
Di bawah ini :
x1  2x 2  x 3
2
3x1  x 2  2x 3  1
4x1  3x 2  x 3  3
2x1  4x 2  2x 3  4
Jawab :
1
3

4

2
1 
1  2
 3  1

4
2 
2
2
 x1 
1 
x      A x  B
 2
3
 x 3 
 
4
( 3)
1 2 B21
1 2
~
3 1  2 1 
( 4 )

 B31
~
 4  3  1 3
( 2 )

 B41
2 4
~
2 4
1
0

0

0
2  B ( 1/ 5)
2
~
 5  5  5
 11  5  5

0
0
0
2
1
1
0

0

0
2
1
1
1 
 11  5  5

0
0
0
2
1
1
0

0

0
2
1
1
1 
 11  5  5

0
0
0
1
0

0

0
0
2
1
0
0
B12
1
 1 0
1 1
1 1

0 0
( 2 )
~
B 32
(1)
B13
~
B 23
( 1)
(11)
1
0

0

0
1
0

0

0
 1 0
1 1
6 6

0 0
0
1
0
0
B3
( 1/ 6 )
~
0 0 1
1 0 0
0 1 1

0 0 0
Rank (A) = R (A|B) = 3 =banyaknya variabel
Jadi jawabnya tunggal
Matriks lengkap di atas menyatakan:
x1  0x 2  0x 3  1
0x1  x 2  0x 3  0
0x1  0x 2  x 3  1
x1  1
atau
x2  0
x3  1
Sehingga sebagai penyelesaiannya :
 x1 
1
x   x 2   0
 x 3 
1
Sistem Persamaan Linier Homogen
Bentuk umum: Ax = 0, yaitu:
a11 x1 + a12 x2 + ... a1n xn = 0
a21 x2 + a22 x2 + ... a2n xn = 0
x + 

am1
xm+am2
...
a
m
mn xn = 0
Atau=
 a11
a
 21
 

 amn
a12

a22


am 2

a1n   x1  0
 x  0 
a2 n 
 2    
    
   
amn   xn  0
Matriks A berukuran (m x n)
Matriks x berukuran (n x 1)
Matriks o berukuran (m x 1)
Karena matriks lengkapnya (A|Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|Õ).
Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).
Contoh
1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :
x1  x 2  x 3  0
x1  x 2  2x 3  0
atau
x1  2x 2  x 3  0
1 1 1  x1  0
1 1 2 x   0

  2  
1 2 1  x 3  0
Jawab :
( 1)
21
~
1 1 1 0 B
(A | 0)  1 1 2 0
( 1)
1 2 1 0 B31
1 1 1 0 
0 0 1 0 


0 1 0 0
x 0
( 1)
B23 1 1 1 0
~
~ 

0 1 0 0 
( 1)
0 0 1 0 B13
x1  0x 2  0x 3  0
1 0 0 0
0 1 0 0  0x  x  0x  0
1
2
3


0 0 1 0
0x1  0x 2  x 3  0
Sehingga solusinya :
x1  0 , x 2  0 , x 3  0
Yaitu solusi trivial atau
B12
2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini :
x1  x 2  x 3  x 4
0
1 1 1 1 


x1  3x 2  2x 3  4x 4  0 atau 1 3 2 4 
2 0 1  1
2x1: x 3  x 4
0
Jawab
( 1)
21
~
1 1 1 1 0 B
(A | 0)  1 3 2 4 0
( 2 )
B
2 0 1  1 0 31
 x1 
 x  0 
 2   0 
x3   
  0
x 4 
1 1 1 1 0 B32
~
0 2 1 3 0


0  2  1  3 0
(1)
(1/ 2 )
1 1 1 1 0 B2
~
0 2 1 3 0


0 0 0 0 0
1 0 B12( 1)
1 1 1
~
0 1 1 / 2 3 / 2 0


0 0 0
0 0
1 0 1 / 2  1 / 2 0
0 1 1 / 2 3 / 2 0


0 0 0
0
0
Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4
jadi solusinya tidak tunggal
(banyak)
1
1
x1  0x 2  x 3  x 4  0
2
2
1
3
0x1  x 2  x 3  x 4  0
2
2
1
1
x1   x 3  x 4
2
2
1
3
x2   x3  x4
2
2
Dimana : x3 dan x4 bebas.
untuk x 3
 a dan x 4  b
1
1
didapat x 1  - a  b
2
2
1
3
x2  - a  b
2
2
Sehingga :
 x1 
- 1/2a  1/2b 
- 1/2 
 1/2 
x 
- 1/2a - 3/2b 
- 1/2 
- 3/2 
  a
  b

x   2  
x3 
 a
 1 
 0 
 0b 
 







b 
 0a
 0 
 1 
x 4 
Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b
Download
Random flashcards
Create flashcards