MATRIKS MATRIKS DEFINISI Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom) Bentuk umum A=(aij) ,i= 1,2,...m J=1,2,...m a11 a12……a1n a21 a22…..a2n Am1 am2…amn baris 1 baris 2 baris m Kolom n Kolom 2 Kolom 1 Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah kolom maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah (mxn). Kesamaan dua matriks Dua buah matriks A=(aij) dan B=(bij) dikatakan sama A=B, jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij=bij. A= C= E= G= 1 2 4 2 1 3 1 2 2 2 1 3 1 2 4 2 2 2 2 2 2 4 5 6 9 0 7 B= D= F= H= 1 2 4 2 1 3 2 1 2 2 1 3 x 2 4 2 2 2 A=B C≠D E = F jika x = 1 ?2 ? 2 ? 2 ?4 ? 5 ? 6 ?9 ? 0 ? 7 G=H Operasi pada Matriks 1. Penjumlahan / Pengurangan Syarat = kedua matriks tersebut berukuran sama Contoh penjumlahan matriks: 1 2 2 A= 4 B= 3 A+B 6 + + 3 = 6 3 = 12 6 6 PENGURANGAN MATRIKS 1 2 A= 2 4 B= 3 A-B 6 - 3 = -1 -2 - = 00 6 2. Perkalian skalar terhadap matriks Jika λ suatu skalar dari A=(aij) maka λ A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan λ Contoh: 4 3 7 12 9 21 A maka 3A 9 0 - 3 3 0 1 2 3 / 2 7/2 1 A 2 3/2 0 - 1/2 3. Perkalian Matriks Dua buah matriks A&B dapat dikalikan jika: Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah baris matriks kedua (B). Misal. A(mxn) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp). A mxn B C nx p mx p A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p C=(cik) dengan i=1,2,3,…,m dan k=1,2,3,…,p Maka : A x B = (aij) x (bjk)=(cik) Contoh: 1 A 2 3 B = = 0 4 5 x + x + x = 9 x + x + x = 16 x + x + x = 3 x + x + x = 13 x + x + x = 8 x + x + x = 14 AxB= 1 -4 0 4 2 1 0 1 2 Jika A,B,C adalah matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat yang di perlukan, maka: A(B+C)=AB+AC A(BC)=(AB).C Perkalian matriks tidak komutatif = AB≠BA tetapi ada beberapa matriks yang berlaku AB=BA Bila AB=AC , belum tentu B=C Bila AB=0(matriks nol) Maka kemungkinan-kemungkinan: 1. A=0 & B=0 2. A=0 atau B=0 3. A≠B dan B≠0 Transpose A= 4 2 6 7 5 3 -9 7 AT = A’ = 4 5 2 3 6 -9 7 7 Definisi: Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A. T [A ]ij = [A]ji Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran …… nxm Sifat-sifat transpose matriks 1. Transpose dari A transpose adalah A: (AT )T = A A (AT)T = A AT Contoh: 4 5 2 3 4 2 6 6 -9 5 3 -9 7 7 4 5 7 2 3 7 6 -9 7 7 Sifat-sifat transpose matriks 2. (A+B)T = AT + BT T T A+B (A+B)T T = A + B = T A + T B Sifat-sifat transpose matriks 3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k T T kA T (kA) k = T k(A) A Sifat-sifat transpose matriks 4. (AB)T = BT AT AB = T (AB) = BTAT AB T T T B A Jenis Matriks Khusus 1. Matriks bujur sangkar Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom Contoh 2 1 2x2 0 0 , 1 2 2 1 3 1 3x3 2 - 1 0 elemen diagonal utama 2. Matriks Nol Adalah matriks yang semua elemennya nol 0 0 0 0 2x2 3x3 0 0 0 0 0 0 3. Matriks Diagonal Adalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol Contoh: 1 0 0 0 2 0 0 0 4 4. Matriks Identitas Adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1 Contoh: 1 0 0 0 0 1 0 0 I 3 1 5. Matriks Skalar Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=K Contoh: 2 0 0 0 2 0 0 0 2 6. Matriks Segitiga Bawah Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama=0 Contoh: 1 0 0 2 2 0 1 1 3 7. Matriks Segitiga Atas Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama=0 Contoh: 8. Matriks Simetris Adalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(A=AT). Contoh: 1 2 0 1 2 0 A 2 1 4 A T 2 1 4 0 4 3 0 4 3 9. Matriks Anti Simetris Adalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya. Contoh: 10. Matriks Hermitian Adalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri Contoh: 3 2 i T 3 2 i A ,A 2 i 4 2 i 4 11. Matriks Invers Misal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan B invers dari A→B=A-1 atau A invers dari B→A=B-1 Contoh: 1 2 3 6 - 2 3 A 1 3 3 , B 1 1 0 1 2 4 1 0 1 AxB BxA I 12. Matriks Komutatif Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Contoh: 2 1 3 1 A ,B 1 2 1 3 2 1 3 1 7 5 AxB 1 2 1 3 5 7 3 1 2 1 7 5 BxA 1 3 1 2 5 7 Transformasi Elementer Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb: 1. Bij : Pergantian baris ke i dengan baris ke j 2. Kij : Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j 3. Bi(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan dengan skalar λ≠0 4. Ki(λ) : Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan skalar λ≠0 5. Bij(λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing ditambah dengan λ kali baris ke j 6. Kij(λ) : Elemen-elemen kolom ke i masing-masing ditambah dengan λ kali kolom ke j 7. Bi(λ1j(λ2) : Elemen-elemen baris ke i dikalikan dengan λ1 masing-masing ditambah dengan λ2 kali baris ke j 8. Ki(λ1 j(λ2) : Elemen-elemen kolom ke i dikalikan dengan λ1 masing-masing ditambah dengan λ2 kali kolom ke j Contoh: Di ketahui matriks 3 1 4 B 2 1 1 , maka: 3 0 1 Matriks Ekivalen Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen(A ~B) jika matriks yang satu dapat di peroleh dari matriks yang lain dengan transformasi baris dan atau kolom. Contoh: 3 0 2 1 5 1 3 1 A dan B 3 0 2 1 4 1 3 2 Adalah ekivalen karena: 3 A 4 3 5 0 2 1 1 2 1 (1) 5 ( 1) K K 12 42 1 3 2 ~ 3 0 3 2 ~ 0 2 1 5 1 3 1 B B 12 1 3 1 ~ 3 0 2 1 Matriks Eselon Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat dirubah menjadi matriks eselon dengan menggunakan “Transformasi Elementer”. Matriks yang memenuhi bahwa elemen-elemen yang sekolom dengan setiap elemen tidak nol terkiri (elemen 1 ) semuanya nol (kecuali elemen 1 terkirinya) disebut “ Matriks Eselon “. Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi: Ya 1. Elemen pertama yang tidak nol adalah 1 (satu utama) 2. Satu utama baris berikutnya berada lebih kanan dari baris sebelumnya 3. Baris nol berada di paling bawah 4. Elemen di atas satu utama nol semua ( eselon baris tereduksi ) 0 0 0 0 1 0 0 0 Tidak 1 0 0 0 1 0 2 3 1 4 6 0 1 0 0 0 3 0 2 1 1 4 6 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 4 6 1 1 0 0 0 0 1 2 1 0 4 6 0 1 0 0 0 1 0 2 6 0 4 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 6 4 0 0 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 6 5 0 1 0 0 0 1 0 2 3 1 4 6 0 Matriks dalam bentuk eselon baris (eb) dan eselon baris tereduksi (ebt) Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks berbentuk eselon baris. Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. * * * * * * * * * * * * eselon baris. * 1 utama Sembarang nilai Nol eselon baris tereduksi Rank Matriks Setiap matriks dapat dijadikan matriks eselon atau eselon tereduksi dengan menggunakan transformasi elementer. Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks eselon disebut Rank Matriks. Contoh : Tentukan rank matriks di bawah ini : 1 2 3 1 3 2 2 6 4 Jawab : 1 2 3 H (1) 1 3 2 21~ H ( 2) 2 6 4 31~ 1 2 3 H ( 2) 32 0 1 ~ 1 0 2 2 matrik eselon Jadi rank matriks diatas adalah 2 1 2 3 0 1 1 0 0 0 2 Sistem Persamaan linier Persamaan linier Definisi N buah variable x1, x2, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk : a1x1 + a2x2+…+ an xn=b disebut persamaan linier, dengan a1, a2, … ,an dan b adalah konstantakonstanta riil. Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable : x1=k1, x2=k2 … xn=kn sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k1, k2, … kn) disebut himpunan penyelesaian (solusi set). Contoh 2x1 + x2 + 3x3=5 x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusi x1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusi x1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusi suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1. Definisi Sebuah himpunan berhingga dari persamaanpersamaan linier didalam n variable: x1, x2, …, xn disebut sistem persamaan linier. Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi disebut inconsisten. Sedangkan sistem persamaan linier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusi disebut consisten. Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel. P1: a1x1+ a2x2=b1 (a1, a2≠0) P2: a1x1+ a2x2=b2 (c1, c2≠0) Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka: U2 U2 U2 P2 X1 X1 P1 P2 Inconsisten P1 Konsisten X1 P2 Penyajian SPL dengan persamaan matriks a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1 SPL umum: a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+a2nxn = b2 : am1x1 + an2x2 + an3x3 + …+annxn = bm matriks koefisien A= a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n x1 x= : am1 am2 am3 amn Ax = b x2 b1 b = b2 : : xm bm Penyajian SPL sebagai matriks augmented a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn a21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn = b1 = b2 : am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm a11 a21 : . am1 a12 a22 a13 … a23 … a1n a2n b1 b2 am2 am3 … amn bm matriks augmented SUSUNAN PERSAMAAN LINIER HOMOGEN AX=0 SELALU ADA JAWAB JAWAB HANYA JAWAB TRIVIAL (NOL);R=N NON HOMOGEN AX=B, B≠0 TAK PUNYA JAWAB R(a)≠r(A,B) SELAIN JAWAB TRIVIAL, ADA JUGA JAWAB NONTRIVIAL R<N JAWAB UNIK (TUNGGAL) R=N MEMPUNYAI JAWAB BANYAK JAWAB R<N Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode ”Gauss. Jordan” yaitu: merubah matriks augmented (A|B) menjadi matriks eselon terreduksi dengan cara melakukan transformasi elementer. Sistem Persamaan Linier Non Homogen Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0 Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila : Rank(A) = Rank(A|B) Contoh ; 1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3 Jawab: -3x+6y=-9 x-2y=3 Dalam bentuk matriks= 3 6 x 9 1 2 y 3 atau Ax B - 3 6 : 9 1 2 : 3 (3) 1 2 : 3 (A | B) B12 B 21 1 2 : 3 ~ 3 6 : 9 ~ 0 0 : 0 R(a)=r(A|B)=1 Jumlah variabel=2 r<n 1<2 Jadi jawabnya tidak tunggal. Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen Di bawah ini : x1 2x 2 x 3 2 3x1 x 2 2x 3 1 4x1 3x 2 x 3 3 2x1 4x 2 2x 3 4 Jawab : 1 3 4 2 1 1 2 3 1 4 2 2 2 x1 1 x A x B 2 3 x 3 4 ( 3) 1 2 B21 1 2 ~ 3 1 2 1 ( 4 ) B31 ~ 4 3 1 3 ( 2 ) B41 2 4 ~ 2 4 1 0 0 0 2 B ( 1/ 5) 2 ~ 5 5 5 11 5 5 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 1 1 11 5 5 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 1 1 1 11 5 5 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 B12 1 1 0 1 1 1 1 0 0 ( 2 ) ~ B 32 (1) B13 ~ B 23 ( 1) (11) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 6 6 0 0 0 1 0 0 B3 ( 1/ 6 ) ~ 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 Rank (A) = R (A|B) = 3 =banyaknya variabel Jadi jawabnya tunggal Matriks lengkap di atas menyatakan: x1 0x 2 0x 3 1 0x1 x 2 0x 3 0 0x1 0x 2 x 3 1 x1 1 atau x2 0 x3 1 Sehingga sebagai penyelesaiannya : x1 1 x x 2 0 x 3 1 Sistem Persamaan Linier Homogen Bentuk umum: Ax = 0, yaitu: a11 x1 + a12 x2 + ... a1n xn = 0 a21 x2 + a22 x2 + ... a2n xn = 0 x + am1 xm+am2 ... a m mn xn = 0 Atau= a11 a 21 amn a12 a22 am 2 a1n x1 0 x 0 a2 n 2 amn xn 0 Matriks A berukuran (m x n) Matriks x berukuran (n x 1) Matriks o berukuran (m x 1) Karena matriks lengkapnya (A|Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|Õ). Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten). Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini : x1 x 2 x 3 0 x1 x 2 2x 3 0 atau x1 2x 2 x 3 0 1 1 1 x1 0 1 1 2 x 0 2 1 2 1 x 3 0 Jawab : ( 1) 21 ~ 1 1 1 0 B (A | 0) 1 1 2 0 ( 1) 1 2 1 0 B31 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 x 0 ( 1) B23 1 1 1 0 ~ ~ 0 1 0 0 ( 1) 0 0 1 0 B13 x1 0x 2 0x 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0x x 0x 0 1 2 3 0 0 1 0 0x1 0x 2 x 3 0 Sehingga solusinya : x1 0 , x 2 0 , x 3 0 Yaitu solusi trivial atau B12 2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini : x1 x 2 x 3 x 4 0 1 1 1 1 x1 3x 2 2x 3 4x 4 0 atau 1 3 2 4 2 0 1 1 2x1: x 3 x 4 0 Jawab ( 1) 21 ~ 1 1 1 1 0 B (A | 0) 1 3 2 4 0 ( 2 ) B 2 0 1 1 0 31 x1 x 0 2 0 x3 0 x 4 1 1 1 1 0 B32 ~ 0 2 1 3 0 0 2 1 3 0 (1) (1/ 2 ) 1 1 1 1 0 B2 ~ 0 2 1 3 0 0 0 0 0 0 1 0 B12( 1) 1 1 1 ~ 0 1 1 / 2 3 / 2 0 0 0 0 0 0 1 0 1 / 2 1 / 2 0 0 1 1 / 2 3 / 2 0 0 0 0 0 0 Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4 jadi solusinya tidak tunggal (banyak) 1 1 x1 0x 2 x 3 x 4 0 2 2 1 3 0x1 x 2 x 3 x 4 0 2 2 1 1 x1 x 3 x 4 2 2 1 3 x2 x3 x4 2 2 Dimana : x3 dan x4 bebas. untuk x 3 a dan x 4 b 1 1 didapat x 1 - a b 2 2 1 3 x2 - a b 2 2 Sehingga : x1 - 1/2a 1/2b - 1/2 1/2 x - 1/2a - 3/2b - 1/2 - 3/2 a b x 2 x3 a 1 0 0b b 0a 0 1 x 4 Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b
