matriks dan vektor-12-sistem persamaan linier

Persamaan Linear
Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan
secara aljabar dengan sebuah persamaan
berbentuk :
a1x + a2y = b
Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan
linear dalam peubah x dan y.
Definisi persamaan linear dalam n peubah x1,
x2,….,xn sebagai suatu persamaan yang bisa
disajikan dalam bentuk
a1x1 + a2x2 + ….+ anxn = b
dengan a1, a2,…, an dan b konstanta real.
Sistem Persamaan Linier merupakan
Set/kumpulan/ lebih dari satu persamaan linier
(polinom derajat 2).
Contoh-contoh Persamaan Linear
x + 3y = 7
x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 8
y = (½)x+3z+1
x1 + x2 +…+ xn = 1
Himpunan semua penyelesaian persamaan
tersebut disebut himpunan penyelesaian.
Perhatikanlah!
Sebuah persamaan linier tidak melibatkan sesuatu hasil
kali atau akar variabel.
Cari Himpunan penyelesaian dari :
1. 4x – 2y = 1
2. 7x – 5y = 3
3. x – 4y +7z = 5
4. -8x1 + 2x2 - 5x3 + 6x4 = 1
Definisi :
Dua sistem persamaan yang menggunakan peubah - peubah
yang sama dikatakan EKUIVALEN jika keduanya
mempunyai himpunan penyelesaian yang sama
Untuk memperoleh sistem yang ekuivalen lakukan tiga
langkah :
1. Urutan penulisan dua persamaan dapat dipertukarkan.
2. Kedua ruas dari suatu persamaan dapat dikalikan dg
bilangan real.
3. Kelipatan dari suatu persamaan dapat dijumlahkan pada
persamaan yang lain.
SEBUAH PEMECAHAN
Bentuk Umum Sistem Persamaan
Linier :
A11x1 +a12x2+…+a1nxn=b1
A21x1 +a22x2+…+a2nxn=b2
: :
:
:
:
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

Sistem Persamaan Linier diatas mempunyai n
bilangan yang tidak diketahui dengan m jumlah
persamaan.

pemecahan persamaan akan terpenuhi jika;
x1=s1, x2=s2, …, xn=sn.

s1, s2, …, sn merupakan himpunan pemecahan,
sehingga sistem persamaan dikatakan Konsisten
dan sebaliknya.
Contoh :
4x – y + 3z = -1
3x + y + 9z = -4
mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2 dan z = -1,
karena nilai - nilai ini memenuhi kedua persamaan
di atas.
Sebarang sistem persamaan linier akan mempunyai :
 Tidak ada pemecahan
 Persis satu pemecahan
 Tak terhingga banyaknya pemecahan
Sistem
Persamaan Linear
Tidak Konsisten
Konsisten
Jawab Tunggal
Jawab Banyak
y
x
l1
l2
Tidak mempunyai penyelesaian
Garis l1 dan l2
sejajar, dimana tidak
ada perpotongan
maka tidak ada
penyelesaian
terhadap sistem
tersebut.
y
l2
x
l1
Mempunyai satu penyelesaian
Garis l1 dan l2
berpotongan hanya
di satu titik, maka
sistem tersebut
tepat mempunyai
satu penyelesaian.
y
l1 dan l2
x
Mempunyai tak hingga penyelesaian
Garis l1 dan l2
berimpit, dimana
ada tak berhingga
titik potong maka
terdapat banyak
penyelesaian
untuk sistem
tersebut.
Langkah mencari pemecahan dari suatu
sistem persamaan Linier dengan
Operasi Baris Elementer (OBE):
1.
2.
3.
4.
Susun dalam matriks yang diperbesar.
Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah
konstanta yang tak sama dengan nol
Pertukarkanlah dua baris.
Tambahkanlah kelipatan dari satu baris kepada
baris yang lainnya.
Point 2, 3,dan 4 merupakan Operasi Baris
Elementer
Matriks yang diperbesar / diperbanyak.
( augmented matriks )
Misal, suatu sistem :
x1 + 2x2 + x3 = 3
2
1
1
3x1 - x2 + 3x3 = -1
3  1  3


2x1 + 3x2 + x3 = 4


2
3
1
dapat diasosiasikan sebagai suatu jajaran
bilangan - bilangan dengan orde 3 x 3 yang
angka - angkanya adalah koefisien dari xi.
Jajaran ini disebut sebagai matriks koefisien
dari sistem yang bersangkutan.
Jika pada matriks koefisien tersebut, disisipkan
suatu kolom tambahan yang berisi angka - angka
diruas kanan dari sistem, maka diperoleh matriks
baru yang disebut matriks yang diperbesar /
diperbanyak.
1 3
1 2
 3  1  3  1


2 3
1 4 
Note : Diagonal merupakan satu utama
yang tidak boleh sama dengan nol, jika
berharga nol maka harus tukar baris.
 Setelah melakukan OBE terhadap sistem persamaan
linier akan diperoleh bentuk matriks segitiga
 Matriks segitiga yang diperoleh berbentuk matriks
segitiga atas dengan elemen dibawah diagonal
utamanya nol.
 Kemudian kita cari pemecahan dengan substitusi balik
CONTOH :
Carilah pemecahan dari sistem persamaan linier
berikut :
x + y +2z = 9
2x+4y- 3z = 1
3x+6y- 5z = 0

Bentuk Baris Eselon Tereduksi
Matriks yang berbentuk baris eselon tereduksi harus
mempunyai sifat - sifat berikut ini :
1.
2.
3.
4.
Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka
angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah
angka 1.
Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol,
maka baris - baris ini dikelompokkan di bagian bawah
matriks.
Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidak
seluruhnya terdiri dari nol, angka 1 dalam baris yang
lebih bawah terletak di sebelah kanan angka 1 dalam
baris yang lebih atas.
Masing - masing kolom yang berisi angka 1, mempunyai
nol di tempat lainnya.
Contoh matriks - matriks berikut dalam bentuk
baris eselon tereduksi.
1 0 0 4 
0 1 0 7  ,


0 0 1 3
1 0 0
 0 1 0  , 0 0 
0 0 




0 0 1
Suatu matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 saja
(tidak perlu 4) disebut mempunyai bentuk baris eselon.
1
0

0

0
4 3 7
1 1 0
1 4 3 7 
1 6 2
, 0 1 0 , 0 1 6 2
0 1 4
0 0 0
0 0 1 5

0 0 0
Jika dengan serangkaian operasi baris dasar elementer,
matriks yang diperbanyak untuk sebuah SPL dijadikan
bentuk baris eselon tereduksi, maka himpunan
penyelesaian sistem tersebut akan terbukti dengan
beberapa langkah sederhana.
Contoh :
1
0

 0
0
0
1
0
0
1
5

2
4 
Sistem persamaan yang
berpadanan adalah :
X1 = 5
X2 = 2
X3 = 4
Pemecahan Eliminasi Gauss :
Merupakan penyelesaian sistem persamaan
Linier yang menghasilkan matriks dalam
bentuk eselon (tangga) baris
Selesaikan sistem persamaan dengan
membentuk eselon baris :
0 0  2 0 7 12 
2 4  10 6 12 28


2 4  5 6  5  1
Langkah 1. Letakkanlah kolom yg paling kiri yang
tidak terdiri seluruhnya dari nol
* Tukarkan baris ke 1 dengan baris ke 2
2
0

 2
4
 10
6
12
0
 2
0
7
4
 5
6
 5
28 

12 
 1 
Langkah 2. Jadikan kolom paling kiri pd baris 1
untuk memperoleh 1 utama
R1½* R1
1
0

 2
2
5
3
6
0
4
 2
5
0
6
7
5
14 

12 
 1 
Langkah 3. Tambahkan kelipatan yg sesuai dari
baris atas kepada baris-baris yang dibawah
sehingga entri-entri dibawah 1 utama menjadi nol
R3 -2* R1+ R3
1
0

 0
2
5
3
6
0
0
 2
5
0
0
7
 17
14 

12 
 29 
Langkah 4. Sekarang tutuplah baris paling atas,
Ulangi langkah 1, 2, dan 3 untuk baris yang
tersisa.
R2-½* R2
1
0

 0
2
0
5
1
3
0
6
7/2
0
5
0
 17
14 

6 
 29 
R3 -5* R2+ R3
1
0

 0
2
5
3
6
0
0
1
0
0
0
7/2
1/ 2
14 

 6
1 
R32 * R3
1
0

 0
2
0
0
5
1
0
3
0
0
6
7/2
1
14 

 6
2 
Langkah selanjutnya kita dapat menyelesaikannya dengan
substitusi balik maupun dengan menjadikan bentuk eselon
baris yang tereduksi (entri bukan nol pertama dalam setiap
baris)
Proses menggunakan operasi - operasi baris elementer
untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon
baris yang tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan
sedangkan prosedur yang hanya menghasilkan bentuk
baris eselon disebut eliminasi Gaussian.
R27/2 * R3 + R2
R1-6 * R3 + R1
1
0

 0
2
5
3
0
0
0
1
0
0
0
0
1
2

1
2 
R15 * R2 + R1
1
0

 0
2
0
3
0
0
0
1
0
0
0
0
1
7

1
2 
Kemudian kita memperoleh hasil sbb :
X1+2x2+
3x4
x3
=7
=1
x5 = 2
x1= -2x2 - 3x4 + 7 = -2. r – 3. t + 7
X2 = r x4 = t x3 = 1 x5 = 2
Sistem tersebut konsisten dengan tak berhingga
banyaknya pemecahan.
Prosedur untuk mereduksi suatu matriks
menjadi bentuk baris eselon tereduksi
disebut eliminasi Gauss- Jordan,
sedangkan prosedur yang hanya menghasilkan
bentuk baris eselon disebut eliminasi
Gaussian.
 Sistem Linear Homogen
Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen
jika konstantanya semua nol, yaitu jika sistem tersebut
mempunyai bentuk :
a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = 0
: :
:
:
:
am1x1+ am2x2 +…+ amnxn = 0
 Sebuah sistem persamaan linear homogen dengan
jumlah peubah yang lebih banyak daripada jumlah
persamaan mempunyai tak hingga banyaknya
penyelesaian.
 Setiap sistem persamaan linear homogen
mempunyai sifat konsisten, karena semua sistem
seperti itu mempunyai x = 0, y = 0 dan z = 0,…, zn =
0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut
penyelesaian trivial, jika ada penyelesaian yang
lain maka penyelesaiannya disebut penyelesaian
tak trivial.
1.
2.
Karena sistem linear homogen selalu mempunyai
penyelesaian trivial, maka hanya ada dua
kemungkinan untuk penyelesaiannya :
Sistem tersebut hanya mempunyai penyelesaian
trivial.
Sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya
penyelesaian di samping penyelesaian trivial.
Aturan Cramer
 Untuk mencari solusi dari SPL tertentu (matriks nxn)
 Teorema :Jika Ax=b merupakan suatu sistem n
persamaan linier dalam n peubah sedemikian
sehingga (A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai
penyelesaian yang unik. Penyelesaian ini adalah
det( A1 )
det( A2 )
det(
A
)
n
… xn 
x1 
x2 
det( A)
det( A)
det( A)
Dengan Aj adalah matriks yang diperoleh dengan
menggantikan anggota kolom ke j dari A dengan
anggota matriks b
 b1 
b 
2

b
:
 
bn 
CONTOH:
• TENTUKAN PENYELESAIAN DARI SPL
BERIKUT DENGAN MENGGUNAKAN
ATURAN CRAMER
X1 +
2X3 = 6
-3X1 + 4X2 + 6X3 = 30
-X1 – 2X2 + 3 X3 = 8
Carilah Solusi dari SPL berikut
(gunakan aturan Cramer)!!
x- 4y+ z
4x- y+2z
2x+2y -3z
=6
=-1
=-20