Teorema Gauss - Afief Dias Pambudi

Teorema Gauss
Garis
Gaya Listrik
Konsep fluks
Teorema Gauss
Penggunaan Teorema Gauss
Medan oleh muatan titik
Medan oleh kawat panjang tak berhingga
Medan listrik oleh plat luas tak berhingga
Medan listrik oleh bola isolator dan konduktor
Medan listrik oleh silinder isolator dan konduktor
Muatan induksi
1
Garis gaya listrik


Garis gaya listrik digunakan untuk
menggambarkan medan listrik
Arah medan listrik menyinggung garis gaya
EP
P
Q
EQ

Rapat garis gaya  kuat medan listrik
2
Garis gaya oleh sebuah muatan titik

Oleh muatan titik positip
+
3
Garis Gaya oleh muatan negatip

Sebuah muatan negatip
-
4
Garis gaya akibat dipol

Muatan positip dan negatip (dipol)
+
-
5
Fluks Listrik


Definisi: banyaknya garis gaya listrik yang menembus suatu
permukaan
Untuk permukaan dA yang tegak lurus dengan arah medan,
jumlah garis gaya yang menembus permukaan itu adalah
d  EdA

Total garis gaya yang
menembus permukaan A
dA
   d   EdA
A
A
 E  dA  EA
A
E
A
6
Fluks untuk sembarang permukaan

Untuk sembarang permukaan dA dengan arah
tidak tegak lurus medan
dA
 
d  E  dA
Fluks total untuk
permukaan S
E
   d
S
S
 
  E  dA
S
7
Contoh soal


Sebuah medan listrik dinyatakan dalam persamaan .

E  2iˆ  4 ˆj Tentukan fluks yang menembus permukaan


a. S  10kˆ
b. S  10kˆ


c. S  10 ˆj
d. S  10 ˆj


d. S  10iˆ
e. S  10iˆ
Solusi
Karena medan homogen di seluruh permukaan yang
ditinjau, maka fluks dapat dituliskan dalam bentuk


 
 E  dA  E  S
S
8
Solusi contoh soal
 
  E  A  (2iˆ  4 ˆj )  10kˆ  0
a.
 
b.   E  A  (2iˆ  4 ˆj )  10kˆ  0
 
c.   E  A  (2iˆ  4 ˆj ) 10 ˆj  40
 
d.   E  A  (2iˆ  4 ˆj )  10 ˆj  40
 
e.   E  A  (2iˆ  4 ˆj ) 10iˆ  20
 
f.   E  A  (2iˆ  4 ˆj )  10iˆ  20
9
Fluks,muatan Q,permukaan terbuka S
Fluks yang keluar dari
permukaan S

   E  dSnˆ1
E
n̂1
S
dS
S
10
Permukaan tertutup, muatan Q diluar
n̂3
 n̂2
 n̂1
n̂1 dA
n̂2
 n̂3
11
Perhitungan fluks Q diluar permukaan


Perhatikan arah normal permukaan dan arah medan listrik
Fluks total pada kubus mempunyai nilai:
 
   E  dA
S


  E  dAnˆ1   E  dA(nˆ1 ) 
S
S


 E  dAnˆ2   E  dA(nˆ2 ) 
S
S
S
S


 E  dAnˆ3   E  dA(nˆ3 )
 1  1  0  0  0  0
0
12
Permukaan tertutup, Q di dalam
n̂3
 n̂2
 n̂1
n̂1 dA
n̂2
 n̂3
13
Perhitungan fluks Q di dalam


Perhatikan arah normal permukaan dan arah medan listrik
Fluks total pada kubus mempunyai nilai:
 
   E  dA
S


  E  dAnˆ1   E  dA(nˆ1 ) 
S
S


 E  dAnˆ2   E  dA(nˆ2 ) 
S
S
S
S


 E  dAnˆ3   E  dA(nˆ3 )
 1  1   2   2   3   3
0
14
Hukum Gauss


Besar fluks atau garis gaya listrik yang keluar dari
suatu permukaan tertutup tergantung muatan
yang dilingkupi oleh luasan tertutup tersebut
 q

 E  dS 
0
Prinsip untuk menggunakan teorema Gauss
dengan mudah



Pilih permukaan yang medan listrik di permukaan
tersebut homogen
Tentukan muatan yang dilingkupi permukaan tersebut
Tentukan arah medan terhadap arah normal
permukaan.
15
Permukaan Gauss Berbentuk Bola

Untuk muatan titik dan bola
E dA
Medan dipermukaan
bola homogen.
Arah medan radial,
searah dengan normal
permukaan bola
16
Permukaan Gauss Berbentuk Silinder


Kawat dan silinder panjang tak berhingga
dA E
dA E
Medan homogen di seluruh permukaan selimut silnder.
Arah medan radial searah dengan normal permukaaan
selimut silinder
17
Permukaan Gauss Berbentuk Silinder/Balok

Plat tipis luas tak berhingga
E
Medan homogen
pada tutup balok,
arah sama dengan
normal tutup balok
E
18
Medan akibat sebuah muatan titik
E
dA
  q
 E  dA 
0
q
 EdA  
E  dA 
E 4r 
2
0
q
0
q
0
q
E
4r 2 0
19
Konduktor



Di dalam konduktor, muatan bebas bergerak
Jika diberi muatan tambahan dari luar  muncul
medan listrik  muatan bergerak menghasilkan
arus internal  terjadi distribusi ulang muatan
tambahan dari luar hingga tercapai keseimbangan
elektrostatis  medan listrik di dalam konduktor
menjadi nol  menurut hukum Gauss berarti
muatan di dalam konduktor nol,muatan tambahan
dari luar tersebar di permukaan konduktor
Waktu yang diperlukan untuk mencapai
keseimbangan elektrostatis sangat cepat
20
isolator


Di dalam isolator muatan tidak bebas bergerak
Muatan tambahan dari luar akan terdistribusi
merata dalam isolator
21
Bola konduktor pejal positip

Tinjau suatu bola konduktor pejal dengan jari-jari
R dan muatan Q
E
dA
•Muatan hanya tersebar
di permukaan bola saja
•Medan listrik di dalam
bola (r<R) nol
•Medan di luar bola dapat
dicari dengan cara berikut
22
Medan listrik di luar bola konduktor



Buat permukaan Gauss berbentuk bola dengan
jari-jari r >R
Total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss
adalah Q
Hukum Gauss untuk kasus bola konduktor
pejal:
  q
Q
 E  dS   E  dS 
0
E 4r 
2
Q
0
E
0
Q
40 r
2
23
Bola isolator pejal


Isolator: muatan tersebar merata di seluruh
volum isolator
Di dalam bola
  q
 E  dS 
0
r

r3
E  dS 
Q
3
0R
R
q
3
4

r
3
3
4

R
3
Q
E 4r 2 
r3
R3
Q
E
r3
0R
r
4 0 R
3
3
Q
Q
24
Bola isolator pejal (2)

Medan di luar
  Q
 E  dS 
0
E  dS 
r
R
Q
0
E 4r 
2
q=Q
E
Q
0
Q
40 r 2
25
Medan listrik pada bola isolator berongga
r 3  43 R13
q
Q
3
3
4
R2  3 R1
4
3
4
3
 q

 E  dS 
0
R2
R1
r
r 3  43 R13
1
E  dS 
Q
3
3
4
R2  3 R1  0
4
3
4
3
r 3  R13
Q
E 3
R2  R13 40 r 2
26
Bola bermuatan negatip

Pada prinsipnya sama dengan bola bermuatan positip
hanya arah medan listriknya masuk menuju pusat bola
dA
  Q
 E  dS 
0
Q
E
 EdS cos180  
E 4r 
2
E
0
Q
0
Q
40 r 2
27
Dua bola, jenis muatan beda

Sebuah bola tipis jari-jari a bermuatan 2Q. Di
dalam bola tipis diletakkan bola pejal konduktor
berjari-jari b dan bermuatan –3Q.
b
a
Medan untuk daerah r<a
ditentukan dengan cara
yang sama dengan contoh
di slide sebelumnya
28
Medan untuk r>a
•Dibuat permukaan Gauss berbentuk bola dengan jarijari r>a
•Total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss:
q=2Q+(-3Q)=-Q
•Medan akibat muatan -Q
  q
Q
 E  dS    EdS cos180 
0
E 4r 
2
Q
0
E
0
Q
40 r 2
29
Medan listrik akibat kawat lurus



Permukaan Gauss berbentuk silinder,
Untuk muatan positip arah medan listrik radial keluar dari
pusat silinder
Untuk muatan negatip arah medan listrik radial masuk
menuju pusat silinder
dA
E
30
Medan akibat kawat tak berhingga
Fluks medan listrik yang menembus permukaan silinder








 E  dS   tutup E  dS   selubung E  dS   tutup E  dS
  tutup EdS cos 90   selubung EdS cos 0   tutup EdS cos 90
 E 2rl
Jika panjang kawat L, muatan total Q, maka muatan yang
dilingkupi oleh silinder:
Q
q  l  l
L
31
Hukum Gauss untuk kawat sangat panjang

Penentuan medan listrik
  q
 E  dS 
0
Q
E 2rl 
l
0L
E
Q
20 rL


20 r
32
Contoh soal untuk kawat panjang (1)

Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada
titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan
rapat muatan =10 mC/m seperti pada gambar.
A
B

Solusi :

10.10 3
0,1
0,025
E



N/C
2o r 2o (0,2) 4o
o
33
Contoh soal untuk kawat panjang (2)

Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada
titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan
rapat muatan =-10 mC/m seperti pada gambar.
A
B

Solusi :

10.10 3
0,1
0,025 N/C
E



2o r 2o (0,2) 4o
o
34
Medan listrik karena dua kawat sejajar

Dua buah kawat pajang tak berhingga diberi muatan
masing-masing dengan rapat muatan  dan -2 . Jarak
kedua kawat a. Tentukan medan listrik pada titik P yang
berjarak b dari kawat -2 .
-2




Etotal  E2  E
a
E-2
b P
E
Etotal  E 2   E
2
2


20 (b) 20 (a  b)
35
Medan listrik akibat kawat berbentuk silinder




Misalkan silinder konduktor berjari-jari R ,
panjangnya L, dan bermuatan Q.
Permukaan Gauss berbentuk silinder dengan jarijari r dan panjang L seperti kawat panjang tak
berhingga
Untuk muatan positip, medan listrik berarah radial
meninggalkan sumbu pusat silinder
Untuk muatan negatip, medan listrik berarah
radial menuju sumbu pusat silinder
36
Permukaan Gauss pada silinder

Muatan positip
  q
 E  dA 
0
q
 EdA cos 0  
dA
E
E  dA 
0
q
0
37
Permukaan Gauss pada silinder

Muatan negatip
  q
 E  dA 
0
q
 EdA cos180  
E
dA
E  dA 
0
q
0
38
Medan listrik akibat silinder konduktor pejal

Di dalam konduktor

Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss =0 karena
pada konduktor muatan hanya tersebar di permukaan
konduktor saja. Dengan demikian, medan listrik di
dalam konduktor E=0
39
Medan listrik akibat silinder konduktor pejal

Di luar konduktor

Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss
Q
q  V  2 R 2 L  Q
R L
40
Medan akibat silinder konduktor

Medan listrik di luar silinder konduktor
  q
 E  dA 
0
E  dA 
E 2rL 
E
Q
0
Q
0
Q
20 Lr
41
Medan listrik akibat silinder isolator pejal

Di dalam isolator

Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss
r 2 L
r2
q 2 Q 2Q
R L
R
42
Silinder isolator pejal

Medan listrik di dalam isolator (r<R)
  q
 E  dA 
0
r2
E  dA 
Q
2
0R
r2
E 2rL 
Q
2
0R
r
E
Q
2
20 R L
43
Silinder isolator pejal (2)

Medan di luar silinder (r>R)
  q
 E  dA 
0
E  dA 
E 2rL 
E
Q
0
Q
0
Q
20 Lr
44
Silinder Isolator Berongga

Jari-jari dalam silinder a, jari-jari luar b, muatan Q,
dan panjang silinder L

Untuk r<a, E=0, karena q=0
45
Silinder isolator berongga (2)

Untuk r>b, semua muatan terlingkupi oleh permukaan
Gauss ( q=Q), sehingga medan di luar silinder adalah:
Q
E
20 Lr

Untuk a<r<b, dibuat permukaan Gauss berbentuk
silinder dengan jari-jari a<r<b dan panjang L

Muatan yang dilingkupi
2
2
Q
(
r

a
)
2
2
q   silinderVGauss  2
r L  a L  2 2 Q
2
b L  a L
(b  a )
46
Bola isolator berongga
Medan listrik untuk a<r<b
  q
 E  dA 
0
( r 2  a 2 )Q
E  dA 
 0 (b 2  a 2 )
( r 2  a 2 )Q
E 2rL 
 0 (b 2  a 2 )
(r 2  a 2 )Q
E
20 (b 2  a 2 ) Lr
47
Dua silinder dengan muatan berbeda


Silinder pejal isolator berjari-jari a, panjang c, dan
bermuatan 3Q berada dalam suatu silinder berongga
yang jari-jari dalamnya b, jari-jari luarnya d, panjangnya c,
dan bermuatan –Q.
Di dalam isolator (r<a)
r 2c
r2
q  2 3Q  2 3Q
a c
a
 (r 2 / a 2 )3Q

3Qr 2
3Qr
 E  dS   0  E 2rc   0 a 2  E  2a 2c 0
48
Di antara isolator dan konduktor (a<r<b)
  3Q
3Q
 E  dS   E 2rc   E 
0
0
3Q
2rc 0
Di dalam konduktor (b<r<d): E=0
Di luar konduktor (r>d)
  2Q
2Q
 E  dS   E 2rc   E 
0
0
2Q
2rc 0
49
Medan listrik Di Sekitar Plat Tipis (1)

Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas 
E
A
Q
q  S  S
A
S
E
50
Perhitungan medan listrik akibat plat tipis (1)








 E  dS   tutup E  dS   se lubung E  dS   tutup E  dS
 ES  0  ES
 2 ES
  q
 E  dA 
0
S
E 2S 
0

E
2 0
51
Medan listrik Di Sekitar Plat Tipis (2)

Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas -
E
A
Q
q
S  S
A
S
E
52
Perhitungan medan listrik akibat plat tipis(2)
 
 
 
 
 E  dS   tutup E  dS   selubung E  dS   tutup E  dS
  ES  0  ES
 2 ES
  q
 E  dA 
0
 S
E ( 2 S ) 
0

E
2 0
53
Medan listrik akibat dua plat tipis

Dua plat tipis luas tak berhingga masing-masing
mempunyai rapat muatan  dan - . Medan listrik di
sekitar plat tersebut dapat dianalisis seperti gambar di
bawah ini

-
E1
E  E 

2 0
E2
E3

E1  E (iˆ)  E (i )  0


ˆ
E2  E (i )  E (i ) 
0

E3  E (iˆ)  E (i )  0
54
Medan akibat 3 plat tipis

Tiga buah plat tipis masing-masing bermuatan , -, dan
2. Medan di sekitar plat bisa dicari dengan cara berikut

x=2
-
2
x=4
x=7




Etotal  E  E  E2
55
Medan listrik akibat 3 plat tipis (2)

E ( x  2)  E (iˆ)  E (iˆ)  E2 (iˆ)
 ˆ  ˆ 2 ˆ

i
i
i
2 0
2 0
2 0
 ˆ

i
2 0

E (4  x  7)  E (iˆ)  E (iˆ)  E2 (iˆ)
 ˆ  ˆ 2 ˆ

i
i
i
2 0
2 0
2 0
2 ˆ

i
2 0

E (2  x  4)  E (iˆ)  E (iˆ)  E2 (iˆ)

 ˆ  ˆ 2 ˆ
i
i
i
2 0
2 0
2 0
4 ˆ

i
2 0

E ( x  7)  E (iˆ)  E (iˆ)  E2 (iˆ)

 ˆ  ˆ 2 ˆ
i
i
i
2 0
2 0
2 0
2 ˆ

i
2 0
56
Muatan induksi

Muatan muncul akibat pengaruh medan listrik
eksternal
-´
´

+
E
+
E’
+
--
E
logam netral

Di dalam tipis logam: E+E´=0

'
i
i
0
2 0
0
 '

2
57
Logam ditanahkan

Bagian yang terhubung dengan tanah akan
bermuatan netral
E

’
-
E
E’
-
E’
1
Etotal=E+E’
2
3
4
 '  
58