Bab 4 Energi dan Potensial Listrik

KERAPATAN FLUKS
LISTRIK, HUKUM GAUSS
DAN
DIVERGENSI
Masykur Huda | 135060301111012 | Elektromagnetik Bab 4
Kerapatan fluks listrik

Ψ = Fluks listrik (Coulomb)

Q = Muatan Listrik

Ψ=Q
Pada permukaan bola dalam, Ψ coulomb fluks listrik ditimbulkan oleh muatan Q
(=Ψ) coulomb yang terbagi rata pada permukaan seluas 4πa2 m2. kerapatan
Q
fluks pada permukaan ini ialah Ψ 4πa2 atau 4πa2 C/m2.
Kerapatan fluks listrik mempunyai radial
dan besarnya:
D |R=a =
𝑄
4πa2
D |R=b =
ar
𝑄
4πb2
ar
(bola dalam)
(bola luar)

Dan pada jarak radial r, dengan a ≥ r ≥ b

D =
𝑄
4πr2
ar

Jika bola dalam dibuat semakin kecil tanpa
mengurangi muatan Q, maka limitnya akan
menjadi sebuah titik, tapi rapat fluks listrik
pada titik r meter dari titik muatan masih
tetap diberikan oleh:
D =
𝑄
4πr2
ar
Intensitas medan listrik radial dari sebuah muatan titik di
dalam ruang hampa adalah:
E=

𝑄
4πԑor2
ar
Maka dalam ruang hampa:
2
D = ԑo E
r=a
r=b
1
Walaupun 2 hanya berlaku pada ruang hampa tapi tidak terbatas
pada medan muatan titik saja. Untuk muatan ruang yang umum
dalam ruang hampa
ρ 𝑑𝑣
𝐸=
aR
3
4πԑoR2
𝑣𝑜𝑙

Hubungan iniduturunkan dari medan muatan titik. Dengan cara
yang sama, dari 1
kita dapatkan:
𝐷=
𝑣𝑜𝑙
ρ 𝑑𝑣
aR
4πR2
4
2. Hukum gauss
∆S
DS normal
.‘.‘.‘.‘.Q
ϴ
Ds
P
Kerapatan fluks listrik Ds di P disebabkan
oleh muatan Q. fluks total yang melalui
∆S adalah Ds . ∆S

Fluks total yang menembus permukaan tertutup didapat
dengan menjumlahkan sumbangan diferensial yang menembus
tiap-tiap unsur permukaan ∆S.
Ψ=
Ψ=
dΨ
𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑫 𝑆 𝑑𝑆
.
𝑡𝑒𝑟𝑡𝑢𝑡𝑢𝑝
Ψ=
𝑠
𝑫 𝑆 . 𝑑𝑆
= muatan yang dilingkungi = Q
Muatan yang dilingkungi dapat terdiri dari beberapa muatan
titik, dalam hal ini:

Q = ΣQn atau muatan garis

Q=

Q=

Q=
ρ𝐿 𝑑𝐿 atau muatan permukaan
ρ 𝑑𝑆
𝑠 𝑠
𝑣𝑜𝑙
atau distribusi muatan ruang
ρ 𝑑𝑣
Dengan pengertian ini hokum Gauss dapat dinyatakan dalam distribusi muatan sbb:
𝑠
𝑫 𝑆 . 𝑑𝑆 =
𝑣𝑜𝑙
ρ 𝑑𝑣

Pada permukaan bola:
Ds =
𝑸
𝟐 𝒂𝒓
𝟒𝝅𝒂
3. Pemakaian hukum gauss
 SIMETRI SILINDER
• Misalkan terdapat muatan garis tak hingga dengan
rapat muatan 
• Dipilih permukaan Gauss berupa silinder setinggi h
dan berjari-jari r dengan sumbu yang terletak pada
muatan garis
• Medan listrik seragam menembus selimut silinder
dan tidak ada fluks yang menembus tutup atas dan
tutup bawah silinder
• Dari hukum Gauss diperoleh :


 o  E  dA   o E
 dA  
se lim ut
 o E ( 2r ) h  qi
 o E ( 2r ) 
E
1

2 o r
qi

h
o
EA  q
i
 SIMETRI BIDANG DATAR
• Misalkan terdapat muatan bidang tak hingga (non konduktor) dengan rapat muatan 
• Dipilih permukaan Gauss berupa silinder dengan luas tutup kiri dan kanan sebesar A
• Medan listrik seragam di kiri dan kanan bidang yang arahnya keluar
• Tidak ada fluks yang menembus selimut silinder
• Dari hukum Gauss diperoleh :


 o  E  dA  q i


 o  E  dA  o
kiri


 E  dA  q i
kanan
 o EA   o EA  q i
2 o E 
E

2 o
qi

A
 SIMETRI BOLA
• Misalkan terdapat sebuah kulit bola bermuatan q yang terdistribusi seragam diseluruh
permukaannya
• Dipilih dua permukaan Gauss berupa bola S1 yang berjari-jari < R dan bola S2 yang
berjari-jari  R
• Dari hukum Gauss diperoleh :


 o  E  dA  q i ,S1  0
S1
E0 rR


 o  E  dA  q i ,S2  q
S2
 o E (4r 2 )  q
1 q
E
4o r 2
rR
4. divergensi

Unsur volume menuju nol;
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
=
𝑠 𝑫𝑆 .𝑑𝑆
∆𝑣
Jika diambil limitnya:
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
= lim
∆𝑣→0
𝑠
𝑫𝑆 𝑑𝑆
.
∆𝑣
=
𝑄
lim
∆𝑣→0 ∆𝑣
Untuk setiap vektor A untuk mendapatkan
tertutup yang kecil, maka
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
= lim
∆𝑣→0
𝑠
𝑨 . 𝑑𝑆 untuk permukaan
𝑠 𝑨 .𝑑𝑆
∆𝑣
A menyatakan kecepatan, gradient temperature, gaya atau medan
vektor yang lainnya.

DIVERGENSI A
Div A = lim
𝑠 𝑨 .𝑑𝑆
∆𝑣→0

∆𝑣
DIVERGENSI D
div D =
div D =
1 𝜕
𝜌 𝜕𝜌
𝟏 𝜕
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
(𝜌𝐷𝜌) +
+
1 𝜕𝐷∅
𝜌 𝜕∅
𝟏
CARTESIAN
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
+
TABUNG
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
𝜕
𝟏
div D = 𝒓𝟐 𝜕𝑟 (𝑟2 𝐷𝑟) +𝒓 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝜕𝜃 (sin 𝜃 𝐷𝜃 ) +𝒓 𝒔𝒊𝒏 𝜽
𝜕𝐷∅
𝜕∅
BOLA
PERSAMAAN PERTAMA MAxWELL

lim
∆𝑣→0
𝑠 𝑫𝑆 .𝑑𝑆
∆𝑣
=
𝑄
lim
∆𝑣→0 ∆𝑣
div D = ρ
OPERATOR TEOREMA VEKTOR 𝛻 DAN TEOREMA DIVERGENSI
𝛻=
div D = 𝛻 . D =
𝜕
𝜕
𝜕𝒂𝒛
𝒂
+
𝒂
+
𝒂
𝜕𝑥 𝒙 𝜕𝑦 𝒚 𝜕𝑧 𝒛
𝑠
𝑫 . 𝑑𝑆 =
𝑣𝑜𝑙
𝛻 . D 𝑑𝑣
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧