Vektor Vektor adalah ruas garis berarah yang ditentukan oleh

001
Vektor Vektor adalah ruas garis berarah yang ditentukan oleh panjang
dan arahnya. Dua vektor dikatakan sama jika panjang dan arahnya sama.
Vektor digambarkan sebagai ruas garis dari titik pangkal ke titik ujung
dengan tanda panah diujung, dan diberi lambang huruf kecil cetak tebal.
Panjang vektor Panjang vektor v adalah jarak dari titik pangkal ke titik
ujungnya, dan ditulis || v ||.
Vektor satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan.
v
Untuk sebarang vektor v diperoleh vektor satuan || v || yang panjangnya 1.
v titik
ujung
v
v
u
u
u
||v||
v
titik
pangkal
u=v
z
v3
v = (v1,v2,v3)
k
j
i 0
v1
x
v2
y
(v1,v2,0)
v = v1 i + v2 j + v3 k
|| v || = v12 + v22 + v32
u
v
uπv
Vektor posisi Jika titik pangkal vektor v adalah
(0,0,0) dan titik ujungnya (v1,v2,v3), maka v dinamakan vektor posisi, dan ditulis v = ·v1,v2,v3Ò.
Panjang vektor v = ·v1,v2,v3Ò ∫ || v || = v12 + v22 + v32 .
Vektor basis Vektor satuan i = ·1,0,0Ò, j = ·0,1,0Ò,
dan k = ·0,0,1Ò sebagai pembentuk ruang dinamakan vektor basis untuk ruang \3. Vektor v dapat
dinyatakan sebagai v = v1 i + v2 j + v3 k .
V & FsPar
002
Vektor di bidang Vektor posisi di bidang adalah v = ·v1,v2Ò, vektor dengan titik pangkal (0,0) dan titik ujung (v1,v2). Panjang vektor ini adalah
|| v || = v12 + v22 . Basis baku di bidang terdiri dari vektor satuan i = ·1,0Ò
dan j = ·0,1Ò. Vektor v = ·v1,v2Ò di bidang ditulis v = v1 i + v2 j.
Vektor nol Vektor nol adalah vektor dengan titik pangkal berimpit dengan titik ujung, arahnya sebarang. Vektor nol di \3 adalah 0 = ·0,0,0Ò.
Kesamaan dua vektor posisi Vektor u = ·u1,u2,u3Ò = u1 i + u2 j + u3 k dan
v = ·v1,v2,v3Ò = v1 i + v2 j + v3 k sama, ditulis u = v ¤ u1 = v1, u2 = v2, u3 = v3.
Vektor dari ruas garis Jika P dan Q adalah titik di bidangJJJ(ruang),
maG
ka vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q ditulis PQ . Jika titik
JJJG
pangkalnya Q dan titik ujungnya P, maka diperoleh vektor QP .
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
v
u+v
u+v
v
v
v
v
v
u
u-v
v
v
u
-v
u
u-v
u-v
-v
u
Perkalian vektor dengan skalar
u
3u
-2u
Penjumlahan vektor Untuk vektor u dan v dengan titik ujung u ∫ titik
pangkal v, jumlah u dan v (ditulis u + v) adalah vektor dari titik pangkal
u ke titik ujung v. Jumlah dari vektor u = ·u1,u2,u3Ò dan v = ·v1,v2,v3Ò adalah u + v = ·u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3Ò.
Perkalian vektor dengan skalar Hasilkali vektor u dengan skalar c (ditulis cu) adalah vektor yang searah u jika c > 0, berlawanan arah dengan
u jika c > 0, dan vektor nol jika c = 0. Hasil kali skalar dari u = ·u1,u2,u3Ò
dengan skalar c adalah cu = ·cu1,cu2,cu3Ò dan panjangnya | c | || u ||.
Pengurangan vektor Selisih dari vektor u dan v (ditulis u - v) adalah
vektor u + (-v). Selisih dari vektor u = ·u1,u2,u3Ò dan v = ·v1,v2,v3Ò adalah
u - v = ·u1 - v1, u2 - v2, u3 - v3Ò.
V & FsPar
003
Sifat Vektor Untuk sebarang vektor u, v, w dan skalar a, b berlaku:
¾ u+v = v+u
¾ u + (-u) = 0
¾ (a + b) u = au + bu
¾ (u + v) + w = u + (v + w) ¾ a(bu) = (ab)u
¾ 1u = u
¾ u+0 = 0+u = u
¾ a(u + v) = au + av ¾ || au || = | a | || u ||.
Contoh
C
D
Q
P
E
B
A
Pada gambar diperlihatkan jajargenjang ABCD dengan diagonal AC dan BD yang berpotongan di E,
P titik-tengah BC, dan Q titik-tengah ED.
Jika AB = u dan AD = v , nyatakan ruas garis berarah AP , AQ , dan CQ dalam vektor u dan v.
¾ Dari sifat jajargenjang diperoleh
DC = AB = u , BC = AD = v , CD = BA = -u , dan CB = DA = -v.
1
1
¾ Karena P titik-tengah BC, maka AP = AB + BP = u + 2 BC = u + 2 v .
¾ Karena Q titik-tengah ED dan E titik potong diagonal AC dan BD, maka
3
BQ = 4 BD , sehingga
3
3
3
1
3
AQ = AB + BQ = u + 4 BD = u + 4 (BA + AD) = u + 4 (-u + v) = 4 u + 4 v .
¾ Dengan argumentasi yang sama diperoleh
3
3
3
3
1
CQ = CB + BQ = - v + 4 BD = - v + 4 (BA + AD) = - v + 4 (-u + v) = - 4 u - 4 v.
Contoh Jika u = (1,0,0), v = (1,1,0), w = (1,1,1), dan x = (2,-3,4), tentukan konstanta a, b, dan c agar memenuhi x = au + bv + cw.
Dari x = au + bv + cw diperoleh (2,-3,4) = a(1,0,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1), atau
(2,-3,4) = (a + b + c,b + c,c)
Berdasarkan kesamaan dua vektor diperoleh
a + b + c = 2, b + c = -3, dan c = 4.
Akibatnya b = -3 - c = -3 - 4 = -7, dan a = 2 - b - c = 2 - (-7) - 4 = 5.
Jadi konstanta a, b, dan c yang memenuhi x = au + bv + cw adalah
a = 5, b = -7, dan c = 4.
V & FsPar
004
Contoh Jika u = ·8,1,-4Ò dan v = ·6,-2,-3Ò, tentukan panjang vektor u,
v, dan u - 2v.
¾ Panjang vektor u adalah || u || = 82 + 12 + (-4) 2 = 81 = 9 .
¾ Panjang vektor v adalah || v || = 22 + (-3) 2 + (-6) 2 = 49 = 7 .
¾ Karena u - 2v = ·8,1,-4Ò - 2·6,-2,-3Ò = ·8,1,-4Ò - ·12,-4,-6Ò = ·4, 5,-2Ò,
maka panjang vektor u - 2v adalah || u - 2 v || = (-4) 2 + 52 +22 = 45 = 3 5.
60∞
45∞
u
v
60∞
45∞
200
w
Contoh Pada gambar diperlihatkan sebuah
benda dengan berat 200 newton yang digantung dua kawat bersudut 60∞ dan 45∞ dengan
horisontal. Jika semua gaya terletak di dalam
satu bidang dan benda dalam keadaan setimbang, tentukan besarnya gaya tegangan pada
setiap kawat.
¾ Misalkan gaya tegangan pada kawat kiri adalah vektor u, pada kawat kanan adalah vektor v, dan gaya berat benda adalah vektor w. Uraikan gaya
tegangan u dan v atas komponen horisontal dan vertikal.
¾ Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah kiri dan kanan harus sama, akibatnya || u || cos 60 = || v || cos 45 . Dari sini diperoleh
1
1
||
u
||
=
2
2
2 || v || , sehingga || u || = 2 || v || .
¾ Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah atas dan bawah harus sama, akibatnya || u || sin 60 + || v || sin 45 = || w || = 200 .
¾ Selesaikan persamaan ini dengan data soal dan || u || = 2 || v || , diperoleh
1
2
|| v || =
400
6+ 2
=
1
3 ◊ 2 || v || + 2 2 || v || = 200 ,
400
6+ 2
◊
6- 2
6- 2
= 100 ( 6 - 2 ) ª 103,5 newton.
dan
|| u || = 2 || v || = 2 ◊100 ( 6 - 2 ) = 200 ( 3 - 1) ª 146, 4 newton.
V & FsPar
005
Perkalian titik Hasilkali titik dari vektor u dan v, ditulis ui v , didefinisikan sebagai berikut.
¾ Untuk vektor di bidang: u i v = ·u1,u2 Ò i ·v1,v2 Ò = u1v1 + u2v2 .
¾ Untuk vektor di ruang : u i v = ·u1,u2,u3Òi ·v1,v2,v3Ò = u1v1 + u2v2 + u3v3 .
Sifat Perkalian titik Untuk vektor u, v, w dan skalar c berlaku
¾ u i v = v iu
¾ u i (v + w) = u i v + u i w
¾ c (u i v ) = (cu) i v
¾ 0 iu = 0
¾ u iu = ||u || 2 ≥ 0 , u iu > 0 ¤ u π 0 , u i u = 0 ¤ u = 0
Kaitan hasilkali titik dengan sudut antara dua vektornya Jika u, v π 0
dan q = sudut terkecil dari u dan v, maka u i v = ||u || || v || cosq .
Kriteria dua vektor saling tegak lurus u ^ v ¤ u i v = 0 .
(Dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya nol)
Dua vektor yang saling tegak lurus dinamakan ortogonal.
Bukti dari sifat u i v = ||u || || v || cosq .
Rumus kosinus dari segitiga pada gambar memberikan
u
v
|| u - v || 2 = ||u || 2 + || v || 2 - 2 ||u || || v || cosq .
q
Dari sifat perkalian titik diperoleh
|| u - v || 2 = (u - v) i (u - v) = u i (u - v) - vi (u - v)
= u i u - u i v - v i u + v i v = || u || 2 + || v || 2 - 2u i v
Samakan kedua bentuk dari || u - v || 2 ini, diperoleh u i v = ||u || || v || cosq . u-v
Contoh Tentukan sudut antara vektor u = ·8,4,-1Ò dan v = ·4,-4,-2Ò.
ui v
Jika u, v π 0 dan q = sudut terkecil dari u dan v, maka cosq = ||u |||| v || . Untuk
soal ini, || u || = 82 + 42 + (-1) 2 = 81 = 9 , || v || = 42 + (-4) 2 + (-2) 2 = 36 = 6 ,
18
1
dan u i v = 8(4) + 4(- 4) + (-1)(- 2) = 18 , sehingga cosq = 9◊6 = 3 . Akibatnya
sudut antara vektor u dan v adalah q = cos -1 3 ª 71 .
1
Ilustrasi Vektor u = ·8,-1,-4Ò dan v = ·1,-4,3Ò saling tegak lurus karena
u i v = ·8,-1,-4Ò i ·1,- 4,3Ò = 8 + 4 - 12 = 0 .
V & FsPar
006
Contoh Tentukan semua vektor satuan yang tegak lurus u = ·1,6,4Ò dan
v = ·1,2,2Ò.
¾ Misalkan w = ·a,b,cÒ adalah suatu vektor yang tegak lurus u dan v, maka
·a,b,cÒ ∑ ·1,6,4Ò = 0 dan ·a,b,cÒ ∑ ·1,2,2Ò = 0. Dari sini diperoleh persamaan
a + 6b + 4c = 0 dan a + 2b + 2c = 0 .
¾ Selisih dua persamaan ini memberikan 4b + 2c = 0 , sehingga c = -2b dan
a = -2b - 2c = -2b + 4b = 2b .
¾ Jadi w = ·a,b,cÒ = ·2b,b,-2bÒ = b·2,1,-2Ò dan || w || = b 2(4 +1 + 4) = 3| b | ,
sehingga semua vektor satuan yang tegak lurus u dan v adalah
w
s = || w || =
b · 2,1, -2 Ò
3|b |
1
= ± 3 · 2,1, -2Ò .
Sudut arah dan kosinus arah
z
Sudut tak negatif terkecil antara vektor ruang
v π 0 dengan vektor basis i, j, k dinamakan sudut arah dari v, dinyatakan dengan a, b, dan g ;
di sini a = –(v,i), b = –(v,j), dan g = –(v,j).
v
k
g
a b
0
j
y
i
Dalam kaitan ini, cos a, cos b, dan cos g dinamakan kosinus arah dari v.
Jika v = v1 i + v2 j + v3 k , maka
x
v
vii
vi j
v
v ik
v
cos a = || v ||||i || = || v1|| , cos b = || v |||| j|| = || v2|| , dan cosg = || v ||||k || = || v3||
Catatlah bahwa cos a + cos b + cos g =
2
2
2
v12
|| v || 2
v22
+ 2
|| v ||
v32
+ 2
|| v ||
= 1 dan vektor
(cos a , cos b , cos g ) adalah suatu vektor satuan yang searah dengan v.
Contoh Tentukan sudut arah vektor v = ·2,3,-6Ò.
2
3
6
Karena || v || = 4 + 9 + 36 = 7 , maka cos a = 7 , cos b = 7 , dan cosg = - 7 ,
sehingga sudut arah dari vektor v = ·2,3,-6Ò adalah
a ª 73,4∞, b ª 64,6∞ dan g ª 149∞.
V & FsPar
007
uiv
Vektor Proyeksi Proyeksi vektor u pada v adalah vektor prv u = 2 v
|| v ||
dan ||prv u || dinamakan proyeksi skalar dari u pada v.
u
u
q
prv u = u2
||u|| cos q u2
prv u = u2
u2 - ||u|| cos q
v
1
0 £ q £ 2p
u2 = (proyeksi u pada v) = kv, k > 0
||u2|| = ||u|| cos q = k ||v||
u ∑ v = ||u|| ||v|| cos q = k ||v|| ||v||
k=
1
p
2
v
<q £ p
u2 = (proyeksi u pada v) = -kv, k > 0
||u2|| = -||u|| cos q = k ||v||
-u ∑ v = -||u|| ||v|| cos q = k ||v|| ||v||
uiv
|| v ||2
\ u 2 = prv u = kv =
q
k=uiv
|| v || 2
v
uiv
|| v ||2
\ u 2 = prv u = - kv =
uiv
|| v || 2
v
Contoh Jika u = ·2,2,-1Ò dan v = ·1,1,2Ò, tentukan prv u dan pru v .
Untuk contoh ini, || v || = 6 , || u || = 3 , dan u i v = v i u = 2 , sehingga
prv u =
uiv
2
1 1 2
2 v = 6 ·1,1,2Ò = · 3 , 3 , 3 Ò
|| v ||
tali
dan pru v =
v iu
2
4 4 2
2 u = 9 · 2, 2, -1Ò = · 9 , 9 ,- 9 Ò .
||u ||
Contoh Jika sudut antara tanjakan jalan dan horisontal
adalah 25∞, tentukan gaya tegangan tali agar dapat menahan mobil seberat 2 ton dalam keadaan setimbang.
25∞
y
T
a tan 25∞
-a
x
25∞
W = 2 ton
Buatlah sistem koordinat xoy dengan titik asal sebagai titik pusat massa mobil. Dalam sistem koordinat ini,
W = ·0,-2Ò dan T = ·-a,a tan 25∞Ò, a > 0.
Gaya tegangan tali untuk menahan mobil dalam keadaan
setimbang adalah panjang proyeksi dari w pada T, yaitu
||prT W || =
|T i W |
|T i W |
2 a tan 25
|| T || = ||T|| =
2
|| T||
a 1+ tan 2 25
ª 0,8452 ton.
Cara lain ||prT W || = || W ||sin 25 = 2◊0,4663 = 0,8452 ton.
V & FsPar
008
Contoh Jika g ∫ ax + by + c = 0, a dan b tak semua 0, tunjukkan vektor
·a,bÒ tegak lurus g dan jarak A(x0,y0) ke g adalah d =
| ax0 + by0 + c |
a 2 + b2
.
Untuk a dan b tak semua 0, terdapat tiga kasus yang mungkin terjadi
c
¾ a = 0 dan b π 0: g ∫ by + c = 0 ¤ g ∫ y = - b ¤ g // sb-x ¤ ·0,bÒ ^ g.
c
¾ a π 0 dan b = 0: g ∫ ax + c = 0 ¤ g ∫ x = - a ¤ g // sb-y ¤ ·a,0Ò ^ g.
¾ a π 0 dan b π 0: (- a ,0)Œg dan (0, - b )Œg ¤ · a ,- a ÒŒg ¤
c c
c c
¤ · a ,- a Ò i · a, b Ò = 0 ¤ · a ,- a Ò ^ · a, bÒ ¤ ·a,bÒ ^ g.
c
n
d
prn v
v
(x1,y1)
0
x
c
Karena (x1,y1) Πg, maka ax1 + by1 + c = 0, sehingga
ax1 + by1 = -c.
Dengan menggunakan proyeksi vektor diperoleh
d = jarak ( A, g ) = ||prn v || =
=
c
Misalkan (x1,y1) Œ g dan n = ·a,bÒ adalah vektor yang
tegak lurus garis g ∫ ax + by + c = 0. Buatlah vektor
v dari (x1,y1) ke (x0,y0), maka v = ·x0 - x1 , y0 - y1Ò.
y
A(x0,y0)
c
| a (x0 - x1) +b ( y0 - y1 ) |
a 2 + b2
=
| v in |
| v in | | · x0 - x1 , y0 - y1 Ò i · a ,b Ò |
||
n
||
=
=
||n ||
|| · a ,b Ò ||
||n ||2
| ax0 +by0 - ( ax1 +by1 )|
a 2 + b2
=
| ax0 +by0 + c |
a 2 + b2
.
Perkalian silang Hasilkali silang dari vektor ruang u = ·u1,u2,u3Ò dan
v = ·v1,v2,v3Ò, ditulis u ¥ v, didefinisikan sebagai vektor ruang
¾ u ¥ v = ·u2v3 - u3v2 , u3v1- u1v3 , u1v2 - u2 v1 Ò ; atau
i j k
u u
u u
u u
¾ u ¥ v = u1 u2 u3 = 2 3 i - 1 3 j + 1 2 k (bentuk determinan)
v2 v3
v1 v3
v1 v2
v1 v2 v3
Sifat perkalian silang Untuk vektor ruang u dan v berlaku
¾ u ¥ v ^ u dan u ¥ v ^ v (u ∑ (u ¥ v) = 0 = v ∑ (u ¥ v))
¾ u, v, dan u ¥ v membentuk sistem tangan-kanan
¾ || u ¥ v || = || u || || v || sin –(u,v)
u
¾ u // v ¤ u ¥ v = 0
u¥v
–(u,v)
||u ¥ v||
v
V & FsPar
009
Jika u = ·1,6,4Ò dan v = ·1,2,2Ò, maka
j k
6 4
1 4
1 6
ij+
k = 4 i + 2 j - 4 k = · 4, 2,- 4Ò .
6 4 =
2 2
1 2
1 2
2 2
Ilustrasi
i
u¥v = 1
1
v¥w
u
t
w
O
P
g
F
||u||cosg
||w|| sinq
q
g
q
v
w
v
Torsi Pada gambar kiri diperlihatkan sebuah benda dengan titik tetap O
dan P titik lain pada benda. Di P bekerja gaya F yang memutar benda
terhadap sumbu yang melalui O dan tegak lurus bidang (OP,F). Vektor
t = OP ¥ F dinamakan torsi, yang searah dengan sumbu putar dan besar-
nya || OP || || F || sin q , q = –(OP, F) .
Arti geometri perkalian silang Pada gambar tengah diperlihatkan sebuah jajargenjang yang dibentuk oleh vektor v dan w dengan q = –(v,w).
Alas dan tinggi jajar genjang ini adalah || v || dan || w || sin q, sehingga luasnya adalah L = || v || || w || sin q = || v ¥ w ||. (sifat perkalian silang)
Perkalian tripel skalar Perkalian tripel skalar dari vektor u, v, dan w
didefinisikan sebagai skalar u ∑ (v ¥ w). Jika u = ·u1,u2,u3Ò, v = ·v1,v2,v3Ò,
dan w = ·w1,w2,w3Ò, maka
Ê v v
v v v v ˆ
u i (v ¥ w) = ·u1, u2, u3Ò i Á 2 3 , - 1 3 , 1 2 ˜
w1 w3 w1 w2 ¯
Ë w2 w3
u1 u2 u3
v2 v3
v1 v3
v1 v2
= u1
- u2
+ u3
= v1 v2 v3 .
w2 w3
w1 w3
w1 w2
w1 w2 w3
Arti geometri Perkalian tripel skalar Pada gambar kanan diperlihatkan
sebuah paralel epipedum yang dibentuk vektor u, v, dan w. Luas alasnya
adalah || v ¥ w || dan tingginya adalah || u || | cos g |, dengan g = –(u,v ¥ w).
Volume paralel epipedum ini adalah
V = || v ¥ w || || u || | cos g | = || u || || v ¥ w || | cos g | = |u ∑ (v ¥ w)|.
V & FsPar
010
n
a
Persamaan kartesis bidang di ruang Pada gambar
diperlihatkan bidang a yang tegak lurus vektor taknol n = ·a,b,cÒ dan melalui titik P(x1,y1,z1). Jika titik
Q(x,y,z) pada a , maka vektor PQ = ·x - x1, y - y1, z - z1Ò
P
Q
Q(x,y,z)
P(x1,y1,z1)
PQ = ·x - x1, y - y1, z - z1Ò
terletak pada a . Karena PQ ^ n , maka PQ i n = 0 ,
akibatnya a : a (x - x1) + b ( y - y1) + c (z - z1) = 0.
Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk ax + by + cz = ax1 + by1 + cz1 = k,
k konstanta. Jadi persamaan bidang a adalah
a : ax + by + cz = d; a, b, dan c tak semua nol.
Jarak titik ke bidang Jarak titik A(x0,y0,z0) ke a : ax + by + cz = d adalah
d=
|ax0 + by0 + cz0 - d |
a 2 + b2 + c 2
Contoh Tentukan persamaan bidang a yang melalui titik A(2,-2,-1),
B(1,1,3), dan C(-2,3,1).
Vektor yang terletak pada bidang a adalah
AB = (1,1,3) - (2,-2,-1) = ·-1,3, 4Ò
n
C
a
A
B
AC = ( -2,3,1) - (2,- 2,-1) = ·- 4,5, 2Ò
Karena vektor normal bidang n memenuhi
n ^ AB dan n ^ AC , maka
i j k
n = AB ¥ AC = -1 3 4 = ·-14, -14,7 Ò = -7· 2,2,-1Ò .
-4 5 2
Ambillah n = ·2,2,-1Ò, maka a : 2x + 2y - z = k, k dicari. Karena a melalui
A(2,-2,-1), maka k = 4 - 4 + 1 = 1. Jadi a : 2x + 2y - z = 1.
Contoh Jika a : 2x + 2y - z = 1 dan b : x + 2y + 2z = 6, tentukan –(a ,b ).
Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua vektor normalnya. Di sini
na = · 2, 2, -1Ò, n b = ·1, 2, 2Ò dengan || na || = 3, || n b || = 3 , dan na i n b = 2 .
na in b
2
2
Karena cos –(na , n b ) = ||n ||||n || = 3◊3 = 9 , maka –(na , n b ) ª 77, 2 .
a
b
V & FsPar
011
Tampilan parameter kurva bidang Suatu kurva bidang dapat dituliskan dalam persamaan parameter x = x(t), y = y(t), t ΠI, kedua fungsi ini
kontinu pada suatu selang I. Cara penulisan lainnya adalah bentuk vektor
r(t) = x(t) i + y(t) j, t ΠI = [a,b].
Kurva tutup dan kurva sederhana Pada persamaan parameter x = x(t),
y = y(t), t Π[a,b], titik ujung kurva adalah P(x(a), y (a)) dan titik pangkal
kurva adalah Q(x (b), y (b)).
¾ Suatu kurva dengan titik pangkal dan titik ujung berimpit dinamakan
kurva tutup.
¾ Suatu kurva yang dijalani tepat satu kali (kecuali titik pangkal dan titik ujungnya) dinamakan kurva sederhana.
Contoh Tentukan persamaan parameter untuk lingkaran L: x 2 + y 2 = a 2.
Persamaan parameter L adalah x = a cos t, y = a sin t,
0 £ t £ 2p, atau r(t) = a cos t i + a sin t j, 0 £ t £ 2p.
Titik pangkal L ∫ r(0) = (a,0) dan titik ujung L ∫ r(2p)
= (a,0), sehingga L adalah lintasan tutup. Karena L dijalani tepat satu kali kecuali titik (a,0), maka L adalah
lintasan tutup sederhana. Dari x = a cos t dan y = a sin t
diperoleh persamaan lingkaran x 2 + y 2 = a 2.
y
x2 + y 2 = a2
(x,y)
y
t
-a
0
x
a
x
L
-a
x = a cos t y = a sin t
Lintasan tutup sederhana
Lintasan tidak tutup
dan tidak sederhana
Q
Lintasan tidak tutup dan
sederhana
Q
P
P
Kurva bidang
Persamaan kartesis
x2
a2
Elips
Hiperbol
x2
a2
-
+
y2
b2
y2
b2
=1
= 1, x > 0
Lintasan tutup dan tidak
sederhana
Lintasan tutup dan
sederhana
Persamaan parameter
x = a cos t, y = b sin t, 0 £ t £ 2p
x = a sec t, y = b tan t, - 12p < t < 12p
x = a cosh t, y = b sinh t, -• < t < •
V & FsPar
012
Keterdiferensialan fungsi parameter Jika x = x(t), y = y(t), t Œ I mempunyai turunan pertama yang kontinu dan x ¢(t) π 0 pada selang buka I,
dy
dy /dt
maka y adalah fungsi terdiferensialkan terhadap x dengan dx = dx /dt .
Ilustrasi Pada fungsi parameter x = a cos t, y = a sin t, 0 £ t £ 2p untuk
lingkaran L: x 2 + y 2 = a 2 diperoleh y adalah fungsi dari x dengan turunan
dy
dx
dy /dt
y
2a
y
P
R
t C
sikloid
x
M N pa
0
a cos t
x
= dx /dt = - a sin t = - y .
2pa
x
Sikloid Sikloid adalah kurva bidang yang merupakan jejak titik
pada roda lingkaran yang digelindingkan sepanjang garis lurus tanpa tergelincir.
¾ Gambar ini adalah roda lingkaran yang berpusat di C dan berjari-jari a
digelindingkan sepanjang sb-x dengan jejak titik P mulai dari (0,0).
¾ Pilih parameter t sudut searah jarum jam antara CP dengan posisi vertikalnya saat P di titik O. Karena ON = PN = at , maka x dan y adalah
x = OM = ON - MN = at - a sin t = a(t - sin t)
y = MP = NR = NC + CR = a + (-a cos t) = a(1 - cos t)
¾ Persamaan parameter sikloid adalah x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t), t > 0.
Turunan y terhadap x adalah
dy
dx
=
dy /dt
dx /dt
=
a sin t
a (1- cos t )
y
± 2 ay - y 2
y
=
, karena
y
cos t =1 - a fi a sin t = ± a 1 - cos 2t = ± a 1 - (1- a )2 = ± 2ay - y 2 .
Dari sini diperoleh 0 £ y £ 2a, titik minimumnya tercapai di x = k◊2pa
dan titik maksimumnya tercapai di x = pa + k◊2pa, k bilangan bulat.
Luas daerah di bawah satu busur sikloid dan di atas sb-x adalah
L=Ú
2p a
=
Ú
0
y dx = Ú
2p
a2
0
2
= 3p a .
2p
0
a(1 - cos t ) d(a (t - sin t )) = a 2 Ú
(
2p
0
(1 - cos t ) 2 dt
(1 - 2cos t + 12 + 12 cos 2t ) dt = a 2 32 t - 2sin t + 14 sin 2t
)
2p
0
V & FsPar
013
Fungsi Parameter di Bidang dan Ruang
Fungsi parameter di bidang adalah r (t ) = x(t )i + y (t ) j , a £ t £ b dan di
ruang adalah r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k , a £ t £ b . Fungsi parameter ini
bernilai vektor dengan peubah skalar.
Fungsi ini memuat informasi titik pangkal, titik ujung, arah, dan berapa
kali kurva dijalani; arahnya terbalik jika t diganti dengan (-t). (kekuatan)
Suatu kurva dapat ditulis sebagai fungsi parameter dengan lebih dari satu cara, aturannya tidak tunggal. (kelemahan)
Fungsi Parameter di Bidang
Fungsi Parameter di Ruang
y
z
2
\
\
t=a
t=a
t =a
\
r = r(t)
ttkpkl
t=a
ttkpkl
3
\
r = r(t)
t =b
t
ttkujung
j
t
t=b
k
r(t)
r(t)
t=b
0
i
0
t=b
x
ttkujung
j
y
i
x
r (t ) = x(t )i + y (t ) j , a £ t £ b
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k , a £ t £ b
x = x(t), y = y(t) ∫ fungsi real
x = x(t), y = y(t), z = z(t) ∫ fungsi real
y
z
L2
a
(p,q)
q
a
pi+qj
a
-a
0
a
L1
-a
p
0
x
t=0
x
L1: r (t) = a cos t i + a sin t j, 0 £ t £ 2p
y
x
fi x2+ y 2 = a2
L2 : s(t) = (acos t + p)i + (a sin t + q )j ,0 £ t £ 2p
fi (x - p) + ( y - q) = a
2
2
2
tabung
x2 + y2 = a2
heliks lingkaran
r (t) = a cos t i + a sin t j + bt k
t Œ , atau - • < t < •
y
Lintasan spiral
melilit tabung
}
x = x(t) = a cos t
fi x2 + y 2 = a2
y = y (t) = a sin t
tabung lingkaran
r (t) = a cos t i + a sin t j + bt k , -• < t < •
x
y
z
V & FsPar
014
Contoh Tentukan persamaan parameter dari y = 4 x - x 2, 0 £ x £ 4 , arah,
titik pangkal, titik ujung, gambarkan kurva, dan arah terbalik dari kurva.
y
Persamaan parameter:
r (t ) = t i + (4t - t 2 ) j , 0 £ t £ 4 .
arah: dari titik pangkal (0,0) ke titik ujung (4,0)
(2,4)
4
t=2
y = 4x - x2
t=0
t =0
0 titik
Jika arah kurva dibalik, aturan fungsinya:
s(t ) = -t i + ( -4t - t 2 ) j , - 4 £ t £ 0 .
titik pangkal: r(-4) = 4 i + 0 j = (4,0)
titik ujung:
r(0) = 0 i + 0 j = (0,0)
t=4
titik 4
x
pangkal
t=4
ujung
Contoh Tentukan persamaan parameter garis di ruang dengan vektor arah b π 0 dan vektor penyangga a. Tentukan juga persamaan kartesisnya.
Persamaan parameter: x = x(t) = a + tb, b π 0, t Œ .
Jika x = (x, y, z), a = (a1, a2, a3), dan b = (b1, b2, b3), maka (x, y, z) = (a1,a2,a3) + t (b1, b2, b3) . Samakan komponennya, diperoleh (x, y, z) = (a1+tb1, a2 +tb2, a3 +tb3) .
Eliminasi t dari x = a1+ tb1, y = a2 + tb2, dan z = a3 + tb3,
z
x
a
x
b
0
y
diperoleh
x
x - a1
b1
y - a2
= b
2
z-a
= b 3 , b1, b2 , b3 π 0.
3
Contoh Tentukan persamaan kurva yang merupakan perpotongan dari
tabung lingkaran x2 + y2 = a2 dengan bidang z = y kemudian gambarkan.
z
tabung
x2 + y2 = a2
bidang z = y
r = r(t)
0
x
y
Karena persamaan kurva harus memenuhi
x2 + y2 = a2, maka x = a cos t, y = a sin t, a > 0.
Karena persamaan kurva harus memenuhi
z = y, maka ambillah z = a sin t, a > 0.
Persamaan parameter dari kurva adalah
r(t) = a cos t i + a sin t j + a sin t k, 0 £ t £ 2p.
Bentuk kurva adalah elips yang dijalani
satu kali dengan sumbu panjang 2a 2
dan sumbu pendek a.
V & FsPar
015
Limit fungsi parameter Untuk fungsi parameter r = r(t), a £ t £ b dan
a £ t0 £ b, lim r (t) = L jika "e > 0 $d > 0 '0 < | t - t0 | < d fi || r (t) - L || < e .
t Æ t0
(r(t) dapat dibuat sebarang dekat ke L dengan cara membuat t cukup dekat ke t0 tetapi t π t0)
Kekontinuan fungsi parameter Fungsi parameter r = r(t) kontinu di t0,
a £ t0 £ b, jika lim r (t) = r (t0) dan kontinu pada suatu selang jika fungsi
t Æ t0
r = r(t) kontinu di setiap titik pada selang itu.
Sifat limit dan kekontinuan fungsi parameter Untuk fungsi parameter
r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, a £ t £ b, a £ t0 £ b, dan L = ( 1 , 2 , 3 ) ,
¾ lim r (t) = L ¤ lim x(t) = 1 , lim y (t) = 2 , dan lim z (t) = 3 ,
t Æ t0
t Æ t0
t Æ t0
t Æ t0
¾ r = r(t) kontinu di t0 ¤ x = x(t), y = y(t), dan z = z(t) kontinu di t0.
Turunan fungsi parameter Turunan fungsi parameter
r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, a £ t £ b
z
C : r = r(t)
r(t0)
garis
singgung
r(t0 + h) - r(t0)
r(t0 + h)
0
y
garis singgung: s(t) = r(t0) + t r ¢(t0)
x
di t0 Œ (a ,b ), ditulis r ¢(t0), didefinisikan
sebagai
r (t0 + h ) - r (t0 )
.
h
hÆ0
r ¢(t0) = lim
Turunan fungsinya di t Π[a ,b ], didefinisikan sebagai
r (t + h ) - r (t )
h
hÆ0
r ¢(t) = lim
Arti geometri r ¢(t0) ∫ vektor singgung di r (t0) pada kurva C: r = r(t), persamaan garis singgung di r (t0) pada kurva C adalah s(t) = r(t0) + t r ¢(t0).
Arti fisis r ¢(t0) ∫ vektor kecepatan di r (t0) pada gerak partikel sepanjang
kurva C: r = r(t).
Sifat turunan fungsi parameter Turunan dari fungsi parameter r = r(t)
= x(t) i + y(t) j + z(t) k, a £ t £ b adalah r ¢(t) = x ¢(t) i + y ¢(t) j + z ¢(t) k .
Jika fungsi r = r(t) dan s = s(t) terdiferensialkan di t Π[a ,b ], maka
¾ (r + s)¢(t) = r ¢(t) + s ¢(t) ¾(r ∑ s)¢(t) = r(t) ∑ s ¢(t) + r ¢(t) ∑ s(t)
¾ (r - s)¢(t) = r ¢(t) - s ¢(t) ¾(r ¥ s)¢(t) = r(t) ¥ s ¢(t) + r ¢(t) ¥ s(t) (di 3)
V & FsPar
016
Gerakan partikel sepanjang kurva Jika suatu partikel bergerak sepanjang kurva ruang C: r = r(t), maka untuk setiap saat t Π[a ,b ],
¾ Vektor posisi: r = r(t)
¾ Vektor kecepatan: v = v(t) = r ¢(t); laju: v = v(t) = || v(t) ||
¾ Vektor percepatan: a = a(t) = v ¢(t) = r ≤(t); percepatan: a = a(t) = || a(t) ||
Integral fungsi parameter
¾ Integral tak tentu dari fungsi r = r(t) pada selang I didefinisikan sebagai anti diferensialnya, Ú r (t ) dt = s(t ) + C ¤ s¢(t) = r(t) "t Œ I.
¾ Integral tentu dari fungsi r = r(t), a £ t £ b didefinisikan sebagai limit
b
 k =1r(ck ) Dtk , P suatu partisi untuk
|| P || Æ 0
jumlah Riemann, Ú r (t) dt = lim
a
n
[a ,b ], Dtk = tk - tk-1, ck Œ [tk-1 , tk], dan ||P|| = maks {Dtk : 1 £ k £ n}
Sifat integral fungsi parameter Jika r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, a £ t £ b,
maka ¾ Ú r (t) dt =
¾
b
Úa
(Ú x(t) dt ) i + (Ú y(t) dt ) j + (Ú z(t) dt ) k
b
b
b
r (t) dt = Ê Ú x(t) dt ˆ i + Ê Ú y (t) dt ˆ j + Ê Ú z (t) dt ˆ k
Ë a
¯ Ë a
¯ Ë a
¯
Panjang busur kurva Untuk kurva
C: y = f (x), a £ x £ b, f ¢ kontinu pada [a,b],
Dbi = busur ke-i ª talibusur ke-i
y
yi
yi-1
Dyi
C: r = r(t), a £ x £ b
Dbi
y = f (x)
a£x£b
Dx
i
Dbi ª
0
a
x i-1
Dxi2 +Dyi2
Panjang busur: L = Ú
xi b y
= 1+
b
a
( )
Dyi 2
Dxi Dxi .
1 + ( f ¢(x))2 dx
Untuk kurva C: r(t) = x(t) i + y(t) j dengan r¢(t) = x¢(t) i + y¢(t) j kontinu pada [a ,b ] dan || r ¢(t)|| = (x ¢(t))2 + ( y ¢(t))2 , dari Dbi = busur ke-i ª talibusur
ke-i diperoleh Dbi ª Dxi2 +Dyi2 =
Panjang busur: L = Ú
b
b
a
( ) ( )
Dxi 2
Dyi 2
+
Dti
Dti Dti .
b
(x ¢(t))2 + ( y ¢(t))2 dt = Ú || r ¢(t)|| dt .
a
Rumus L = Ú || r ¢(t)|| dt berlaku untuk untuk kurva ruang r = r(t), a £ t £ b.
a
V & FsPar
017
ln (1 + t )
1 - et
i
+
t
t
t Æ0
Contoh Hitunglah lim (
sin 2t
k
t
j+
)
ln (1 + t )
1/(1 + t )
1 - et
- et
Karena lim t
= lim 1 = 1, lim t = lim 1 = -1, dan
tÆ0
tÆ0
tÆ0
tÆ0
sin 2t
2 cos 2t
lim t = lim 1 = 2 , maka lim r (t ) = (1, -1, 2) = i - j + 2k .
tÆ0
tÆ0
tÆ0
Contoh Tentukan persamaan kartesis garis singgung di titik A(-1,0,p)
pada kurva C: r(t) = cos t i + sin t j + t k, t Π.
¾ Titik A(-1,0,p) terletak pada C karena r(p) = -i + 0 j + p k = (-1,0,p).
¾ Turunan fungsi r = r(t) adalah r ¢(t) = -sin t i + cos t j + k, sehingga vektor singgungnya adalah r ¢(p) = 0 i - j + k = (0,-1,1).
¾ Karena titik A tercapai pada saat t = p, maka persamaan garis singgung di
A pada kurva C adalah s(t) = r(p) + t r ¢(p) = (-1,0,p) + t(0,-1,1).
¾ Untuk menentukan persamaan kartesisnya, misalkan s(t) = (x,y,z), maka
x = -1, y = -t, dan z = p + t. Eliminasi t menghasilkan -y = z - p. Jadi
persamaan kartesis garis singgungnya adalah x = -1 dan y = p - z.
Contoh Suatu partikel bergerak dengan r(t) = cos t i + sin t j + et k , t Π.
Tentukan sudut antara vektor kecepatan dan percepatannya pada saat 0.
¾ Vektor kecepatan partikel ∫ v(t) = r ¢(t) = -sin t i + cos t j + et k, sehingga
vektor kecepatannya pada saat t = 0 ∫ v(0) = (0,1,1).
¾ Vektor percepatan partikel ∫ a(t) = r ≤(t) = -cos t i - sin t j + et k, sehingga
vektor percepatannya pada saat t = 0 ∫ a(0) = (-1,0,1).
¾ Gunakan v(0) ∑ a(0) = || v(0) || || a(0) || cos –(v(0),a(0)) dengan v(0) ∑ a(0)
= (0,1,1) ∑ (-1,0,1) = 1, || v(0) || = 2 , dan || a(0) || = 2 , diperoleh
1 = 2 cos –(v(0),a(0)),
atau
1
cos –(v(0),a(0)) = 2 .
¾ Jadi –(vektor kecepatan, vektor percepatan) di 0 ∫ –(v(0),a(0)) = 60∞.
Contoh Hitunglah panjang busur (keliling) lingkaran berjari-jari a > 0.
Tulislah lingkarannya dalam bentuk C: r(t) = a cos t i + a sin t j, 0 £ t £ 2p.
Karena || r ¢(t) || = a, maka L = keliling C = Ú
2p
0
|| r ¢(t)|| dt = Ú
2p
0
a dt = 2p a.
V & FsPar
018
p
Contoh Jika r(t) = sin t i + sin2t j + sin3t k, hitunglah Ú r (t )dt dan Ú r (t)dt.
(Ú sin t dt ) i + (Ú sin t dt ) j + (Ú sin t dt ) k
= - cos t i + ( t - sin 2t ) j + ( cos t - cos t ) k + C
r (t) dt = ( -cos t i + ( t - sin2t ) j + ( cos t - cos t ) k ) = 2 i +
¾ Ú r (t )dt =
2
1
2
¾Ú
p
0
1
2
0
3
1
4
1
3
1
4
1
3
3
p
3
0
1
p
2
1
j + 13 k .
Contoh Hitunglah panjang busur heliks lingkaran
C: r(t) = a cos t i + a sin t j + bt k, 0 £ t £ 2p.
Karena r ¢(t) = -a sin t i + a cos t j + b k, dengan || r ¢(t) || = a 2 + b 2 , maka
panjang busur C adalah L = Ú
2p
0
Contoh
y
v
v0
q
0
lintasan
peluru
x
|| r ¢(t)|| dt = Ú
2p
0
a 2 + b 2 dt = 2p a 2 + b 2 .
Sebutir peluru ditembakkan dari titik asal O dengan
laju awal v0 m/det dan –(peluru,sb-x positif) = q. Jika gesekan udara diabaikan, tentukan vektor posisi
untuk gerakan peluru ini dan tunjukkan lintasan pelurunya berbentuk parabol.
¾ Percepatan yang terkait dengan gaya gravitasi adalah a(t) = -9,8 j m/det2
dengan kondisi awalnya r(0) = 0 dan v(0) = v0 cosq i + v0 sinq j. Tentukan r = r(t) dengan mengintegralkannya dua kali.
¾ Dari a(t) = -9,8 j diperoleh v(t ) = Ú a(t ) dt = Ú ( -9,8 j) dt = -9,8t j + C1 de-
ngan C1 ditentukan dari v(0) = v0 cosq i + v0 sinq j. Karena v(0) = C1,
maka C1 = v0cosq i + v0sinq j , sehingga v(t ) = (v0cosq ) i + (v0sinq - 9,8t) j .
¾ Dari sini diperoleh r (t ) = Ú v (t ) dt = (v0cosq ) t i + ((v0sin q ) t - 4,9t 2) j + C2
dengan C2 ditentukan dari r(0) = 0. Karena r(0) = 0, maka C2 = 0. Jadi
vektor posisinya adalah r (t ) = (v0cosq ) t i + ((v0sin q ) t - 4,9t 2) j .
¾ Dari vektor posisi ini diperoleh x = (v0 cosq )t dan y = (v0 sinq )t - 4,9t 2.
x
(v sinq ) x
x2
4,9
Karena t = v cosq , maka y = v0 cosq - 4,9 2 2 = (tanq ) x - 2 2 x 2 .
v0 cos q
v0 cos q
0
0
sehingga y fungsi kuadrat dalam x dan lintasan pelurunya adalah parabol.