BAB II LANDASAN TEORI

BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini dibagi menjadi tiga bagian yaitu tinjauan pustaka, landasan
teori, dan kerangka pemikiran.
2.1
Tinjauan Pustaka
Goyal [4] pada tahun 1976 adalah salah satu orang yang pertama mengembangkan model persediaan integrasi produsen - pengecer tunggal. Ben-Daya
dan Raouf [2] pada tahun 1994 melakukan penelitian yang menghasilkan model
persediaan dengan mempertimbangkan lead time sebagai variabel keputusan sehingga memperoleh ekspektasi biaya total bersama dan waktu tunggu yang lebih
kecil.
Ouyang et al. [8] pada tahun 1996 mengembangkan model persediaan BenDaya dan Raouf [2] dengan menambahkan biaya kekurangan persediaan pada
kasus partial backorder. Pada kenyataannya biaya kekurangan persediaan sulit
diestimasi. Kemudian kendala tingkat layanan ditambahkan sebagai pengganti
biaya kekurangan persediaan. Kendala tingkat layanan bertujuan untuk membatasi tingkat kekurangan persediaan.
Menurut Zhang [14] pada tahun 1995, besarnya investasi untuk mengurangi
biaya persiapan dapat didekati dengan fungsi logaritma. Selanjutnya pada tahun
1999, Ouyang et al. [9] dalam penelitiannya menambahkan investasi sebagai
pertimbangan untuk mengurangi biaya persiapan. Dalam penelitian Pan dan
Yang [10] pada tahun 2002, mengasumsikan bahwa permintaan selama waktu
tunggu berdistribusi normal.
Pada kenyataannya karena terjadi kesalahan saat proses produksi atau kerusakan selama proses pengiriman dari produsen ke pengecer menyebabkan terdapat
5
beberapa barang yang mengalami kerusakan (cacat). Berdasarkan hal tersebut
Ho [3] pada tahun 2009 meneliti model persediaan integrasi produsen - pengecer
dengan terdapatnya barang cacat yang persentasenya diasumsikan berdistribusi
beta. Pada tahun 2012, Wei dan Qiu [13] memberikan kendala tingkat layanan
sebagai pengganti biaya kekurangan persediaan pada model persediaan terintegrasi produsen - pengecer. Pada tahun 2012 juga Lin [7] menambahkan faktor
pengaman untuk mengatasi kerugian kekurangan persediaan selama waktu tunggu. Kemudian Priyan dan Uthayakumar [11] pada tahun 2014 meneliti masalah
yang terjadi dalam sistem pengendalian yaitu terbatasnya gudang pengecer untuk
menyimpan semua barang yang dipesan
2.2
Teori Pendukung
Pada bagian ini diuraikan beberapa hal yang mendasari penelitian, yaitu konsep dasar statistik, persediaan (inventory), model persediaan produsen pengecer, kendala kapasitas gudang, kendala tingkat layanan, dan kondisi Kuhn
Tucker.
2.2.1
Konsep Dasar Statistik
Pada batasan masalah diberikan permintaan selama waktu tunggu berdistribusi normal. Berikut beberapa definisi tentang konsep dasar statistik berdasarkan Bain dan Engelhardt [1].
Definisi 2.2.1. Sebuah variabel random X adalah fungsi yang didefinisikan pada
ruang sampel S yang bersekawan dengan sebuah bilangan real yang dinyatakan
dengan X(e) = x, e ∈ S.
Terdapat dua buah tipe variabel random, yaitu variabel random diskrit dan
variabel random kontinu. Variabel random yang digunakan pada penelitian ini
adalah variabel random kontinu.
Definisi 2.2.2. Variabel random X dikatakan kontinu jika terdapat fungsi f (x)
yang disebut sebagai fungsi kepadatan probabilitas dari X sedemikian sehingga
6
fungsi distribusi kumulatifnya dapat didefinisikan sebagai
∫ x
F (X) =
f (t)dt.
−∞
Teorema 2.2.1. Fungsi f (x) adalah fungsi densitas probabilitas untuk variabel
random kontinu X jika dan hanya jika memenuhi sifat
∫ ∞
f (x) ≥ 0 untuk setiap x dan
f (x)dx = 1.
−∞
Definisi 2.2.3. Jika X merupakan variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f (x), maka nilai dari ekspektasi X dapat didefinisikan sebagai
∫ ∞
E(X) =
xf (x)dx
−∞
Definisi 2.2.4. Sebuah variabel random X dikatakan berdistribusi normal dengan
mean µ dan variansi σ 2 jika mempunyai fungsi densitas probabilitas
1 x−µ 2
1
f (x, µ, σ) = √ exp− 2 ( σ ) ,
σ 2π
dengan −∞ < x < ∞, −∞ < µ < ∞, σ > 0.
Jika diberikan z =
(x−µ)
σ
maka didapat fungsi densitas probabilitas (pdf)
normal standar (0, 1)
2
ϕ(z) =
z
√1 e 2
2π
−∞ < z < ∞.
(2.1)
Jika persamaan (2.1) merupakan pdf dari Z, maka fungsi distribusi kumulatif
normal standarnya adalah
∫
z
Φ(z) =
ϕ(t)dt.
−∞
Definisi 2.2.5. Suatu variabel random X berdistribusi beta, dinotasikan
X ∼ Beta(a,b) untuk a > 0, b > 0. Fungsi densitas probabilitas beta

 Γ(a+b) xa−1 (1 − x)b−1 , 0 ≤ x ≤ 1;
Γ(a)Γ(b)
f (x) =
 0,
untuk x lainnya
7
2.2.2
Persediaan (Inventory )
Menurut Handoko [5], persediaan merupakan suatu istilah yang digunakan untuk menunjukkan sumber daya yang disimpan sebagai antisipasi terhadap
pemenuhan permintaan dari waktu ke waktu.
Taha [12] menyatakan bahwa dasar untuk menentukan berapa jumlah pesanan dan kapan waktu yang tepat untuk memesan yakni dengan meminimumkan
biaya persediaan sebagai berikut.
1. Komponen biaya persediaan produsen
(a) Biaya penyimpanan yaitu biaya yang dikeluarkan oleh produsen untuk
proses penyimpanan barang hasil produksi selama waktu tertentu.
(b) Biaya persiapan yaitu biaya yang dikeluarkan produsen untuk persiapan produksi.
(c) Biaya garansi yaitu biaya yang dikeluarkan oleh pemasok untuk mengganti barang cacat yang diterima oleh pengecer.
(d) Biaya transportasi yaitu biaya yang dikeluarkan produsen saat melakukan pengiriman barang kepada pengecer
2. Komponen biaya persediaan pengecer
(a) Biaya pemesanan, yaitu besarnya biaya yang dikeluarkan pengecer untuk setiap kali melakukan pemesanan.
(b) Biaya pemeriksaan yaitu biaya yang dikeluarkan oleh pengecer untuk
proses pemeriksaan barang pada saat barang pesanan tiba.
(c) Biaya penyimpanan, yaitu biaya yang dikeluarkan oleh pengecer selama proses penyimpanan barang dari barang diterima sampai de- ngan
barang dijual kembali.
(d) Biaya stock out, terjadi apabila ada permintaan terhadap barang tetapi stok habis (stock out) yang berakibat kehilangan keuntungan dan
menurunnya tingkat kepercayaan pelanggan.
8
Selain biaya-biaya dalam sistem persediaan tersebut, terdapat 4 komponen
lain yang mempengaruhi sistem persediaan berdasarkan Hillier dan Lieberman
[6].
1. Waktu tunggu
Waktu tunggu adalah waktu antara pemesanan dan penerimaan barang.
Selama waktu permintaan tetap berlangsung. Jika persediaan selama waktu tunggu tidak memenuhi permintaan pelanggan maka dapat menyebabkan
kekurangan persediaan. Oleh karena itu menurut Ben-daya dan Raouf [2]
menyatakan bahwa perlu adanya pengurangan waktu tunggu untuk mempercepat kedatangan barang.
2. Persediaan pengaman
Persediaan pengaman merupakan persediaan tambahan yang diadakan untuk melindungi atau menjaga kemungkinan terjadinya kekurangan persediaan. Kasus kekurangan persediaan terjadi karena adanya ketidakpastian
permintaan dan kekurangan persediaan.
3. Titik pemesanan kembali
Titik pemesanan kembali merupakan suatu titik atau batas jumlah persediaan yang ada pada suatu saat dimana pesanan harus diadakan kembali.
Dalam penentuan titik pemesanan kembali harus diperhatikan besarnya
penjualan barang selama waktu tunggu dan persediaan minimum barang.
4. Siklus pemesanan
Siklus pemesanan adalah suatu cara pemesanan barang dengan interval
waktu yang konstan, misalnya tiap minggu atau tiap bulan. Hillier dan
Lieberman [6] mengklasifikasikan siklus pemesanan menjadi dua, yaitu
(a) periodic review, pemesanan dilakukan dengan interval waktu yang sama, misalnya setiap minggu atau setiap bulan, dan
(b) continuous review, pemesanan dilakukan ketika level persediaan mencapai titik pemesanan kembali.
9
2.2.3
Model Persediaan Produsen - Pengecer
Asumsi dalam penelitian ini mengacu pada Ho [3]. Berikut 6 asumsi dalam
penelitian ini yaitu
1. sistem persediaan terdiri dari produsen tunggal-pengecer tunggal untuk pemesanan satu jenis produk,
2. waktu tunggu (L) bersifat deterministik dan permintaan selama waktu
tunggu (X) diasumsikan berdistribusi normal.
3. pengecer melakukan pemesanan barang kepada produsen sejumlah q ketika
persediaan mencapai titik pemesanan kembali (continuous review ),
4. titik pemesanan kembali (r) merupakan penjumlahan dari ekspektasi per√
mintaan selama waktu tunggu (DL) dan persediaan pengaman (kσ L),
dengan D merupakan rata-rata permintaan pengecer per tahun dan k me√
rupakan faktor pengaman, sehingga r = DL + kσ L,
5. terdapat barang cacat yang persentasenya diasumsikan berdistribusi beta
sebesar γ yang merupakan variabel random dengan fungsi densitas probabilitas g(γ) γ (0 ≤ γ < 1) dengan rata - rata sebesar Y dan variansi sebesar
V , sehingga jumlah barang tidak cacat sebesar (1 − Y )q.
6. laju produksi produsen untuk barang tidak cacat lebih besar dari pada laju
permintaan pengecer, dengan kata lain (1 − Y )P > D.
Berdasarkan asumsi tersebut yang mengacu pada Ho [3] diperoleh model
persediaan terintegrasi produsen - pengecer seperti berikut.
Total biaya per satuan waktu untuk produsen adalah jumlahan dari biaya persiapan, biaya garansi, dan biaya penyimpanan sebagai
T Cv (m, q) =
dengan
D
mq(1−E(Y ))
2
SD
ωDY
hv Dq 1
(m − 1)(1 − Y )
m
+
+
[ +
−
],
mq(1 − Y ) 1 − Y
1−Y P
2D
2P
adalah ekspektasi jumlah produksi per satuan waktu.
2
2 2
(1−Y )
S, ωmY q, hv [ mq
+ m(m−1)q
− m2Pq ] berturut - turut adalah biaya persiapan,
P
2D
10
biaya garansi, biaya penyimpanan persediaan.
Sedangkan total biaya per satuan waktu untuk pengecer adalah jumlahan
dari biaya pemesanan, biaya transportasi, biaya pemeriksaan, dan biaya stockout
sebagai
T Cb (q, r, m) =
dengan
D
q(1−Y )
Ab
sD
Yq
D
[
+ F + πE(X − r)+ ] +
+
q(1 − Y ) m
(1 − Y ) 2(1 − Y )
+
+hb1 [r − DL + (1 − β)E(X − r) ],
adalah ekspektasi jumlah pesanan per satuan waktu. Ab , F, sq
berturut - turut adalah biaya pemesanan, biaya transportasi per pengiriman,
dan biaya pemeriksaan untuk pengecer. E(X − r)+ adalah ekspektasi kerugian
per siklus pemesanan dimana X merupakan permintaan selama waktu tunggu,
β adalah probabilitas terjadinya kerugian pada kasus backorder, π adalah biaya
stockout per unit, dan π0 adalah keuntungan marjinal per unit. hb1 [r − Dl + (1 −
β)E(X − r)+ ] adalah biaya penyimpanan barang non cacat per pengiriman.
Total biaya gabungan untuk produsen - pengecer adalah
JT C(q, r, m) =
dengan Y =
∫1
0
Ab + S
D(s + ωY )
D
[
+ F + πE(X − r)+ ] +
q(1 − Y )
m
1−Y
Uq
+ hb1 [r − Dl + (1 − β)E(X − r)+ ]
2(1 − Y )
hv Dq 1
(m − 1)(1 − Y )
m
+
[ +
−
],
1−Y P
2D
2P
γg(γ), U = hb1 + 2(hb2 − hb1 )Y + (hb1 − 2hb2 )(Y 2 + V ),
V = E(γ 2 ) − (Y )2 , dan π = π + π0 (1 − β).
2.2.4
Crashing Cost
Dalam melakukan pemesanan, adanya waktu tunggu datangnya barang
yang dipesan dimungkinkan terjadi. Menurut Ben-Daya dan Raouf [2], waktu
tunggu dapat diperpendek oleh perusahaan dengan penambahan biaya pengurangan (crashing cost). Crashing Cost merupakan biaya tambahan yang dikeluarkan untuk memperpendek waktu tunggu kedatangan barang. Menurut Lin
[7], waktu tunggu (L) mempunyai n komponen yang saling independen. Setiap
11
komponen ke-i mempunyai durasi minimum ai , durasi normal bi , i = 1, 2, , n,
dengan crashing cost per unit waktu ci , c1 ≤ c2 ≤ ... ≤ cn . Diberikan Li sebagai
lama waktu tunggu yang telah diperpendek menggunakan crashing cost dengan
i = 1, 2, ..., n. Nilai Li dapat dinyatakan sebagai Li = Σnj=1 bj − Σij=1 (bj − aj )
sehingga diperoleh nilai crashing cost per siklus untuk Lϵ(Li , Li−1 ) yaitu
i−1
C(L) = ci (Li−1 − L) + Σj=1
cj (bj − aj ).
2.2.5
Kendala Kapasitas Gudang
Masalah lain yang muncul dalam sistem pengendalian persediaan adalah
terbatasnya ruang penyimpanan untuk barang yang dipesan. Selanjutnya Priyan
dan Uthayakumar [11], meneliti masalah yang terjadi dalam sistem pengendalian
yaitu pada keterbatasan gudang pengecer untuk menyimpan semua barang yang
dipesan yang ditulis dengan pertidaksamaan seperti
fc q ≤ W
dengan fc merupakan ruang penyimpanan (gudang) per produk, q merupakan
jumlah barang yang dipesan termasuk barang cacat dan W merupakan total
ruang penyimpanan (gudang) yang tersedia.
2.2.6
Investasi Modal
Investasi modal merupakan biaya yang dikeluarkan untuk mengurangi biaya
persiapan awal. Menurut Zhang [14] pada tahun 1995, besarnya investasi untuk
mengurangi biaya persiapan dapat didekati dengan fungsi logaritma,
I(S) = αS CS
ln( SS0 ) 0 < S ≤ S0
dengan CS = 1θ ,
dengan I(S) merupakan investasi modal, S0 merupakan biaya persiapan awal,
S merupakan biaya persiapan setiap kali menyiapkan, θ merupakan persentase
penurunan pada S per satuan mata uang setiap kenaikan I(S).
12
2.2.7
Kendala Tingkat Layanan
Kekurangan persediaan pada saat waktu tunggu menyebabkan timbulnya
biaya kekurangan persediaan. Pada kenyataannya biaya tersebut sulit diestimasi
karena sulit menentukan biaya yang timbul akibat kehilangan keuntungan dan
menurunnya tingkat kepercayaan pelanggan yang dapat berakibat kehilangan
pelanggan. Wei dan Qiu [13] mengganti biaya kekurangan persediaan dengan
kendala tingkat layanan. Kendala tingkat layanan menunjukkan bahwa tingkat
kekurangan persediaan per siklus dibatasi. Kendala tingkat layanan ditetapkan
sebagai
ekspektasi jumlah permintaan karena kekurangan persediaan
≤α
jumlah persediaan pengecer per siklus
atau
E(X − r)
≤ α,
q
dengan α adalah proporsi permintaan yang tidak dapat dipenuhi, sehingga 1 − α
adalah tingkat layanan.
2.2.8
Kondisi Kuhn Tucker
Menurut Taha [12], kondisi Kuhn-Tucker merupakan pengembangan dari
metode Lagrange. Kondisi ini digunakan untuk mencari penyelesaian optimum
dari fungsi dengan kendala pertidaksamaan. Syarat perlu dan cukup dari kondisi
Kuhn-Tucker yaitu apabila fungsi objektif dan himpunan penyelesaiannya memenuhi kondisi tertentu pada fungsi konveks dan konkaf. Fungsi dengan kendala
pertidaksamaan memiliki permasalahan sebagai berikut.
Meminimumkan f (z),
(2.2)
terhadap kendala g(z) ≤ 0.
Permasalahan (2.2) memiliki penyelesaian optimum dan fisibel apabila memenuhi
keempat syarat Kuhn-Tucker sebagai berikut.
1. λ ≥ 0,
13
2. ∇f (z) − λ∇g(z) = 0,
3. λg(z) = 0,
4. g(z) ≤ 0.
Pada fungsi konveks, syarat Kuhn-Tucker menjadi syarat perlu dan cukup
untuk sebuah minimum mutlak. Jika permasalahannya meminimumkan suatu
fungsi, maka kendalanya berbentuk g(z) ≤ 0 dan λ ≥ 0 atau g(z) ≥ 0 dan λ ≤ 0.
2.3
Kerangka Pemikiran
Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun kerangka pemikiran dalam
penyelesaian penelitian ini. Penentuan asumsi dalam pembentukan model persediaan mengacu pada penelitian Ho [3]. Berdasarkan Ho [3] diperoleh model
persediaan terintegrasi produsen dan pengecer yang mempertimbangkan adanya
barang cacat dan mengasumsikan bahwa permintaan selama waktu tunggu berdistribusi free dengan terlebih dahulu menentukan biaya-biaya pada produsen
dan pengecer. Biaya pada produsen meliputi biaya persiapan, biaya garansi, biaya penyimpanan. Sedangkan biaya pada pengecer yaitu biaya pemesanan, biaya
pemeriksaan, biaya penyimpanan, dan biaya stock out. Selain itu menurut Ben
Daya dan Raouf [2], dalam melakukan pemesanan dimungkinkan adanya waktu tunggu datangnya barang yang dipesan. Salah satu jenis permintaan selama
waktu tunggu adalah sebagian konsumen bersedia menunggu dan sebagian tidak
bersedia atau disebut kasus partial backorder. Waktu tunggu dapat dikurangi
dengan penambahan biaya crashing cost yang mengacu pada Ben Daya dan Raouf [2]. Pengurangan waktu tunggu diperoleh dengan membagi waktu tunggu
menjadi n komponen. Adanya investasi modal merupakan hal yang berpengaruh dalam sistem persediaan. Investasi sebagai pertimbangan untuk mengurangi
biaya persiapan. Besarnya investasi untuk mengurangi biaya persiapan dapat didekati dengan fungsi logaritmik. Permintaan yang berlebih akan mengakibatkan
kekurangan persediaan (stockout). Akibatnya perusahaan dapat mengalami kerugian karena hilangnya kepercayaan pelanggan maupun kehilangan pelanggan.
14
Untuk mengatasi hal tersebut pengaman dapat digunakan sebagai pertimbangan.
Biaya kekurangan persediaan (shortage cost) sulit diestimasi sehingga diganti dengan kendala tingkat layanan untuk membatasi tingkat kekurangan persediaan.
Asumsi permintaan selama waktu tunggu yang digunakan adalah berdistribusi
normal. Selanjutnya ditambahkan kendala kapasitas gudang yang mengacu pada
Priyan dan Uthayakumar [11] sehingga diperoleh model persediaan terintegrasi produsen dan pengecer dengan adanya barang cacat, crashing cost, investasi
fungsi logaritma, kendala kapasitas gudang dan tingkat layanan.
Menurut Taha [12], kondisi Kuhn-Tucker digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan dengan kendala pertidaksamaan. Terlebih dahulu ditentukan titik
stasioner dari (m, q, k, L, S) menggunakan syarat 2 dan 3 dari kondisi KuhnTucker. Kemudian dibentuk algoritme sehingga diperoleh nilai (m, q, k, L, S)
yang optimum melalui iterasi. Selanjutnya diterapkan model persediaan pada
contoh yang mengacu pada Ho [3] dipadukan dengan Wei dan Qiu [13] serta Priyan dan Uthayakumar [11] sehingga didapatkan hasil (m∗ , q ∗ , k ∗ , L∗ , S ∗ ) dan total
biaya persediaan. Hasil tersebut diperiksa menggunakan syarat 1 dan 4 dari kondisi Kuhn-Tucker untuk mengetahui apakah merupakan penyelesaian optimum
dan fisibel.
15