BAB 5 STABILITAS BENDA TERAPUNG

Bab 5 Stabilitas Benda Terapung BAB 5 STABILITAS BENDA TERAPUNG 5.1 STABILITAS AWAL Sebagai dasar pemahaman mengenai struktur terapung maka diperlukan studi mengenai stabilitas benda terapung. Kestabilan sangat diperlukan suatu struktur terapung agar dapat tetap berada pada posisi yang seharusnya. Kondisi suatu perairan akan mempengaruhi keberadaan dari struktur terapung, salah satu dampaknya adalah pergerakan struktur dari posisi keseimbangan ke suatu posisi baru. Suatu benda dikatakan berada dalam keadaan seimbang (equilibrium) apabila resultan gaya dan resultan momen yang bekerja pada benda tersebut sama dengan nol. Jika benda tersebut dipengaruhi oleh gaya luar sehingga bergeser dari keadaan seimbangnya kemudian kembali lagi ke posisi awal maka struktur terapung tersebut berada dalam keseimbangan stabil (stable equilibrium) dan konsidisi tersebut disebut stabilitas positif. Sedangkan apabila suatu benda digeser dari posisi keseimbangannya ke suatu posisi baru dan kemudian tetap pada posisi baru tersebut, maka keseimbangan benda tersebut dikatakan keseimbangan netral (neutral equilibrium). Tetapi apabila suatu benda digerakan ke suatu posisi baru kemudian benda tersebut bergerak semakin menjauhi posisi awalnya maka keseimbangan benda tersebut dikatakan keseimbangan labil (unstable equilibrium) dan kondisi ini disebut stabilitas negatif terhadap acuan posisi awalnya. Pada suatu struktur terapung akan terdapat dua buah gaya vetikal yang bekerja, yakni gaya apung (bouyancy) yang mengarah ke atas dan berat struktur itu sendiri yang mengarah ke bawah. Resultan dari gaya tekan air keatas dapat digambarkan sebagai satu gaya yang bekerja pada titik pusat gaya apung (center of buoyancy) yang mengarah keatas. Sedangkan resultan dari gaya berat dapat digambarkan sebagai satu gaya yang bekerja pada titik pusat massa benda (center of gravity) yang mengarah ke bawah. Suatu struktur dikatakan berada dalam keseimbangan apabila resultan dari gaya‐gaya tersebut harus sama besarnya tetapi berlawanan arah dan berada pada satu garis vertikal. Gambar 5. 1 Momen positif. Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐1 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung Gambar 5. 2 Momen negatif. Pada gambar 5.1 dan gambar 5.2 terdapat tiga buah titik yakni titik pusat berat (center of gravity) (G), titik metacenter (M), dan titik pusat gaya apung (center of buoyancy) (B). 5.1.1 Titik Pusat Berat Titik pusat berat struktur didapat dengan membagi jumlah total dari momen pertama setiap komponen dengan berat total struktur. Proyeksi dari titik pusat berat yang menggambarkan jarak dari titik berat dalam arah memanjang terhadap suatu garis referensi disebut longitudinal center of gravity (LCG). Sedangkan jarak dari titik berat dalam arah melintang terhadap suatu garis referensi disebut transverse center of gravity (TCG). Gambar 5. 3 Proyeksi titik pusat berat. LCG dari sumbu y =
1
x dW W∫
Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” (5.1) 5‐2 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung VCG dari keel =
1
z dW W∫
TCG dari sumbu x =
1
y dW W∫
(5.2) (5.3) Dimana: W : berat total struktur dW
: berat komponen struktur
x,y,z
: koordinat komponen terhadap sumbu referensi 5.1.2 Titik Metacenter Perhatikan gambar berikut ini, suatu benda yang terapung tegak dimana posisi garis air pada benda yang terapung tegak tersebut adalah WL. Titik pusat gaya apung saat benda terapung tegak adalah titik B. Garis air W1L1 adalah posisi ketika benda tersebut diputar dengan sudut (sudut kecil) tanpa merubah volume benda yang terendam (displacement). Titik pusat gaya apung setelah benda diputar adalah B1. Garis yang melalui B dan tegak lurus WL akan berpotongan dengan garis yang melalui B1 dan tegak lurus W1L1 di titik M. Titik M disebut sebagai titik metacenter. Gambar 5. 4 Titik metacenter. Apabila benda yang terapung diputar tanpa merubah displacement, maka volume bagian benda yang tenggelam harus sama dengan volume bagian benda yang timbul. Adanya bagian benda yang tenggelam dan bagian benda yang timbul akan menyebabkan berpindahnya titik pusat gaya apung dari titik B ke titik B1. Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐3 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung 5.1.3 Titik Gaya Apung Titik pusat gaya apung (center of buoyancy) dari suatu struktur terapung berada pada titik pusat dari volume fluida yang dipindahkan. Jarak proyeksi titik pusat gaya apung terhadap suatu sumbu referensi dalam memanjang disebut LCB (longitudinal center of buoyancy), sedangkan jarak proyeksi titik pusat gaya apung terhadap sumbu referensi dalam arah vertikal disebut VCB (vertical center of buoyancy). Gambar 5. 5 LCB dan VCB. VCB = (1 ∇ )
z =T
∫A
w
z dz z =0
(5.4) (5.5) Dimana : ∇ : volume air yang dipindahkan Aw : luas bidang air LCB = (1 ∇ )
x =xr
∫
SA x dx x = x1
Dimana : ∇ : volume air yang dipindahkan SA : luas penampang lintang Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐4 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung 5.2 KARAKTERISTIK BENTUK Bidang air (waterplane), penampang melintang (transverse section), gelagar (bulkhead) merupakan bentuk bidang (2‐ D) yang karakteristiknya perlu diketahui dalam mendesain suatu kapal atau benda terapung lainnya. Bentuk bidang tersebut tidak dapat ditentukan dengan eksak, oleh karena itu perlu dilakukan metode pendekatan, salah satunya adalah dengan metode intergrasi numerik. Momen pertama M dan momen kedua I (momen inersia) merupakan karakteristik yang dimiliki oleh suatu bidang (2‐D), sebagai contoh adalah irisan bidang air. 5.2.1 Momen Pertama •
Momen sekitar sumbu – y M yy = ∫ x. y1. dx
L
(5.6) Momen sekitar sumbu y untuk sebuah daerah yang simetris terhadap sumbu x dirumuskan sebagai berikut: M yy = 2.∫ x. y1. dx
L
•
(5.7) Momen sekitar sumbu – x y1
M xx = ∫ ∫ y. dy. dx
L 0
(5.8) (5.9) Atau M xx = 1
2∫
y12 . dx
L
Momen sekitar sumbu x untuk sebuah daerah yang simetris terhadap sumbu x dirumuskan sebagai berikut: Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐5 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung y1
y1
L 0
L 0
M xx = ∫ ∫ y. dy. dx + ∫ ∫ (− y). dy. dx
M xx = 1
2∫
y12 . dx − 1
L
2∫
(5.10) (5.11) (5.12) y12 . dx = 0
L
5.2.2 Momen Inersia •
Momen inersia sekitar sumbu – y I yy = ∫ x 2 . y. dx
L
Momen inersia sekitar sumbu y untuk sebuah daerah yang simetris terhadap sumbu x dirumuskan sebagai berikut: I yy = 2∫ x 2 .y. dx
L
(5.13) Pada kasus sebuah bidang air I yy merupakan momen inersia longitudinal sekitar sumbu y. •
Momen inersia sekitar sumbu –x y1
I xx = ∫ ∫ y 2 . dy. dx L 0
I xx = 1
3∫
(5.14) (5.15) y13 . dx L
Momen inersia sekitar sumbu x untuk sebuah daerah yang simetris terhadap sumbu x dirumuskan sebagai berikut: y1
y1
I xx = ∫ ∫ y . dy. dx + ∫ ∫ (− y) 2 . dy. dx 2
L 0
L 0
Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” (5.16) 5‐6 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung I xx = 2
3∫
y13 . dx L
(5.17) Pada kasus sebuah bidang air I xx merupakan momen inersia transversal sekitar sumbu x. 5.3 INTEGRASI NUMERIK 5.3.1 Hukum Trapezoid Suatu trapesium yang memiliki panjang sisi yang berhadapan yakni y1, y2 dan tinggi h maka luas dari trapesium tersebut dirumuskan menjadi: A = 1 2 h (y1 + y 2 )
(5.18) Gambar 5. 6 Trapesium. Untuk suatu bentuk curvilinier dapat ditentukan luasannya dengan membagi bentuk tersebut kedalam beberapa trapesium. Gambar 5. 7 Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐7 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung x2
∫ f(x).d(x) ≈ (h/2).(y
1
+ y2 )
x1
(5.19) Dimana untuk lebih dari dua ordinat yang sama dan memiliki jarak yang sama berlaku: n
∫ f(x).d(x) ≈ h.(1 2 y
x1
1
+ y2 + y 3 + K + yn−1 + 1 2 yn ) (5.20) 5.3.2 Hukum pertama simpson (simpson’s first rule) Untuk menentukan luas dibawah kurva maka perlu dirumuskan terlebih dahulu persamaan dari kurva tersebut. Persamaan dari kurva dinyatakan dalam persamaan orde 3, yaitu: y = a0 + a1x + a2 x 2 + a3 x 3 (5.21) (5.22) (5.23) (5.24) Luas daerah dibawah kurva dinyatakan dengan persamaan: h
h
−h
−h
A = ∫ y dx = ∫ ( a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 ) dx
+h
A = ⎡a0 x + 1 2 a1x 2 + 1 3 a2x 3 + 1 4 a3x 4 ⎤ = 2a0h + 2 3 a2h3
⎣
⎦ −h
Diasumsikan luas dibawah kurva sebagai persamaan: A = L y1 + M y 2 + N y 3 Dengan melihat gambar berikut ini: Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐8 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung Gambar 5. 8 Dengan memasukan nilai batas (–h),0 dan (h) ke persamaan 5.9 maka didapatkan persamaan‐persamaan berikut: y 1 = a0 − a1h + a2h2 − a3h3 (5.25) (5.26) (5.27) y2 = a0 y3 = a0 + a1h + a2h2 + a3h3 Dengan mensubsitusikan 5.13, 5.14, 5.15 ke persamaan 5.12 maka didapatkan persamaan: A = (L + M + N)a0 − (L − N)a1h + (L + N)a2h2 − (L − N)a3h3 (5.28) Berdasarkan persamaan 5.11 dan persamaan 5.16 maka didapatkan rumusan berikut: L + M + N = 2h (5.29) (5.30) (5.31) L −N = 0 L + N = 2 3h
Dari persamaan 5.17, 5.18, 5.19 maka didapatkan nilai M, N, dan L sebagai berikut: Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐9 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung L = N = 13h
M = 4 3h
(5.32) (5.33) Maka didapatkan persamaan untuk mencari luas di bawah kurva sebagai berikut: A = 1 3 hy1 + 4 3 hy 2 + 1 3 hy 3 = 1 3 h(y1 + 4y 2 + y 3 )
(5.34) Persamaan 5.22 dikenal sebagai “simpson’s first rule” atau “3 ordinate rule”. Untuk kasus dimana luas dibawah kurva dapat dibagi menjadi dalam jumlah yang ganjil dan berjarak sama maka luas dibawah kurva tersebut dapat ditentukan dengan rumusan berikut ini: Gambar 5. 9 A1 = 1 3 h(y1 + 4y 2 + y 3 )
(5.35) (5.36) A 2 = 1 3 h(y 3 + 4y 4 + y 5 )
A 3 = 1 3 h(y 5 + 4y 6 + y 7 )
Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐10 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung (5.37) Dengan menjumlahkan rumusan 5.35, 5.36, 5.37 didapatkan suatu pola rumusan, sehingga untuk menghitung luas di bawah kurva dengan jumlah yang ganjil dan berjarak sama digunakan rumusan sebagai berikut: A = 1 3 h(y1 + 4y 2 + 2y 3 + 4y 4 + 2y 5 + 4y 6 + 2y 7 + K + yn )
(5.38) 5.3.3 Kasus khusus hukum pertama simpson Untuk menentukan luas dibawah kurva diantara dua ordinat jika diketahui tiga ordinatnya: Gambar 5. 10 Rumusannya adalah sebagai berikut: A1 =
A2 =
1
h(5y1 + 8y 2 − y3 ) 12
(5.39) (5.40) 1
h( − y1 + 8y 2 + 5y3 ) 12
Dimana jumlah dari persamaan 5.39 dan 5.40 sama memenuhi hukum pertama simpson. A = A1 + A 2 = 1 h(y1 + 4y 2 + y3 ) 3
(5.41) 5.3.4 Hukum kedua simpson Untuk menentukan luas dibawah kurva dimana diketahui 4 ordinanya: Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐11 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung Gambar 5. 11 x4
3
∫ f (x)dx = 8 h ( y
1
+ 3y 2 + 3y3 + y 4 )
x1
(5.42) 5.3.5 Hukum Tschebycheff (Tschebycheff’s rule) Gambar 5. 12 Hukum tschebycheff digunakan untuk menghitung luas dibawah kurva dimana luas tersebut sebanding dengan jumlah dari ordinat – ordinat yang berjarak tertentu. +L/ 2
∫
f (x)dx =
−L / 2
L
( y1 + y2 + y3 + K + yn −1 + yn )
n
(5.43) 5.4 KOEFISIEN BENTUK Pada suatu struktur terapung perlu diketahui bagian struktur yang terendam (hull geometry), dimana dengan diketahui hull geomerty maka dapat ditentukan koefisien – koefisien yang menentukan struktur tersebut lebar atau tipis. Koefisien – koefisien tersebut adalah sebagai berikut: 5.4.1 Koefisien Bentuk Bidang Air (Cwp) Koefisien bentuk bidang air (coefficient of fineness of waterplane) merupakan perbandingan antara luas bidang air tehadap luas bentuk persegi empat dengan panjang LWL dan lebar B. Rumusannya adalah sebagai berikut: Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐12 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung CWP =
AW
LWL .B (5.44) Dimana: AW : Luas bidang air LWL : Panjang persegi empat B : Lebar persegi empat Gambar 5. 13 Waterplane coefficient. 5.4.2 Koefisien Bidang Tengah Kapal (CM) Koefisien bidang tengah kapal (midship section coefficient) merupakan perbandingan antara luas bidang tengah kapal tehadap luas persegi panjang dengan sisi sarat (draft) T dan lebar B pada bidang tengah kapal. Rumusannya adalah sebagai berikut: CM =
AM
B.T (5.45) Dimana: AM : Luas bidang tengah kapal T : Sarat (draft) B : Lebar bidang tengah kapal Gambar 5. 14 Midship coefficient. Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐13 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung 5.4.3 Koefisien Balok (CB) Koefisien balok (block coefficient) merupakan perbandingan antara volume displacement tehadap volume balok dengan sarat (draft) T, lebar sisi B dan panjang antara perpendiculars LPP. Rumusannya adalah sebagai berikut: CB =
∇
B.T .LPP (5.46) Dimana: ∇ : Volume displacement T : Sarat (draft) B : Lebar maksimum kapal LPP : Panjang antara perpendicular Gambar 5. 15 Block coefficient. 5.4.4 Koefisien Prismatik Memanjang (CP) Koefisien prismartik memanjang (longitudinal prismatic coefficient) merupakan perbandingan antara volume displacement tehadap volume bentuk prisma dengan panjang LPP dan luas bidang tengah kapal. Rumusannya adalah sebagai berikut: Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐14 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung CP =
∇
AM .LPP (5.47) Dimana: ∇ : Volume displacement AM : Luas bidang tengah kapal LPP : Panjang antara perpendicular 5.4.5 Koefisien Prismatik Vertikal (CVP) Koefisien prismartik vertikal (vertical prismatic coefficient) merupakan perbandingan antara volume displacement tehadap volume bentuk prisma dengan panjang T dan luas bidang transversal sama dengan luas bidang air. Rumusannya adalah sebagai berikut: CP =
∇
AW .T (5.48) Dimana: ∇ : Volume displacement AW : Luas bidang air T : Sarat (draft) Gambar 5. 16 Longitudinal prismatic cofficient. Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐15 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung Contents BAB 5 ....................................................................................................................................................... 1 STABILITAS BENDA TERAPUNG ............................................................................................................... 1 5.1 STABILITAS AWAL .................................................................................................................... 1 5.1.1 Titik Pusat Berat .................................................................................................................. 2 5.1.2 Titik Metacenter.................................................................................................................. 3 5.1.3 Titik Gaya Apung ................................................................................................................. 4 5.2 KARAKTERISTIK BENTUK.......................................................................................................... 5 5.2.1 Momen Pertama ................................................................................................................. 5 5.2.2 Momen Inersia .................................................................................................................... 6 5.3 INTEGRASI NUMERIK............................................................................................................... 7 5.3.1 Hukum Trapezoid ................................................................................................................ 7 5.3.2 Hukum pertama simpson (simpson’s first rule) .................................................................. 8 5.3.3 Kasus khusus hukum pertama simpson ............................................................................ 11 5.3.4 Hukum kedua simpson ...................................................................................................... 11 5.3.5 Hukum Tschebycheff (Tschebycheff’s rule)....................................................................... 12 5.4 KOEFISIEN BENTUK................................................................................................................ 12 5.4.1 Koefisien Bentuk Bidang Air (Cwp) ..................................................................................... 12 5.4.2 Koefisien Bidang Tengah Kapal (CM).................................................................................. 13 5.4.3 Koefisien Balok (CB) ........................................................................................................... 14 5.4.4 Koefisien Prismatik Memanjang (CP)................................................................................. 14 5.4.5 Koefisien Prismatik Vertikal (CVP) ...................................................................................... 15 Gambar 5. 1 Momen positif. ................................................................................................................... 1 Gambar 5. 2 Momen negatif. .................................................................................................................. 2 Gambar 5. 3 Proyeksi titik pusat berat.................................................................................................... 2 Gambar 5. 4 Titik metacenter. ................................................................................................................ 3 Gambar 5. 5 LCB dan VCB........................................................................................................................ 4 Gambar 5. 6 Trapesium. .......................................................................................................................... 7 Gambar 5. 7............................................................................................................................................. 7 Gambar 5. 8............................................................................................................................................. 9 Gambar 5. 9........................................................................................................................................... 10 Gambar 5. 10......................................................................................................................................... 11 Gambar 5. 11......................................................................................................................................... 12 Gambar 5. 12......................................................................................................................................... 12 Gambar 5. 13 Waterplane coefficient. .................................................................................................. 13 Gambar 5. 14 Midship coefficient. ........................................................................................................ 13 Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐16 Bab 5 Stabilitas Benda Terapung Gambar 5. 15 Block coefficient.............................................................................................................. 14 Gambar 5. 16 Longitudinal prismatic cofficient. ................................................................................... 15 Laporan Tugas Akhir “Respon Dinamik Struktur Terapung” 5‐17