HASILKALI DALAM Pembahasan terdahulu berkisar masalah pada

Matematika Teknik
HASILKALI DALAM
Pembahasan terdahulu berkisar masalah pada ruang vektor umum, berikut akan
dibahas masalah yang terkait dengan ruang vektor khusus, diawali pembahasan ruang
hasilkali dalam dengan definisi hasilkali dalam.
Misal diberikan ruang vektor V. Maka fungsi yang mengaitkan setiap pasang
vektor di V, misal u dan v terhadap suatu bilangan real dan dinotasikan u , v
disebut hasilkali dalam / perkalian dalam bila berlaku aksioma berikut :
1. Simetri : u , v = v , u
2. Aditivitas : u + v , w = u, w + v , w
3. Homogenitas : k u, v = k v , u
4. Positivitas : u , u ≥ 0 dan u , u = 0 ⇔ u = 0
Bila paling sedikit satu aksioma tidak dipenuhi maka
u,v
bukan merupakan
hasilkali dalam. Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasilkali dalam
Ruang Hasilkali Dalam ( RHD ).
u,v
disebut
2. u , v = u1v1 + 2u3v3 dengan u = (u1, u2 , u3 ) dan v = (v1, v2 , v3 )
Jawab :
1. Sifat
simetri
dipenuhi,
u , v = u1v1 + 2u 2v2 = v1u1 + 2v2u2 = v , u .
Misal
Contoh :
Selidiki apakah berikut mendefinisikan hasilkali dalam
1. u , v = u1v1 + 2u2v2 dengan u = (u1, u2 ) dan v = (v1, v2 )
w = (w1 , w2 ) . Maka sifat aditifitas dipenuhi :
u + v, w = (u1 + v1 )w1 + 2(u2 + v2 )w2 = [u1w1 + 2u2 w2 ] + [v1w1 + 2v2 w2 ]
= u,w + v, w
Misal k skalar. Maka :
k u, v = (ku1 )v1 + 2(ku2 )v2 = k [u1v1 + 2u2 v2 ] = k u , v .
Ini
menunjukkan
sifat
homogenitas. Terakhir akan diperlihatkan berlakunya sifat positifitas, yaitu :
a. u , u = u12 + 2u22 ≥ 0 sebab u12 ≥ 0 dan 2u22 ≥ 0
b. 0 = u , u = u12 + 2u22 ⇔ u1 = u2 = 0 ⇔ u = 0
2. Kita perhatikan sifat homogenitas
tidak dipenuhi. Untuk menunjukkan tidak
berlakunya sifat ini, dapat diambil satu contoh.
Ambil vektor tidak nol, u = (0,1,0 ) . Dan ternyata didapatkan hasilkali dalam sama
dengan nol, u , u = 0
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
Misal u = (u1 , u2 ,..., un ) dan v = (v1 , v2 ,..., vn ) ∈ℜn . Bila
u,v
didefiniskan
u , v = u1v1 +...+ un vn , maka memenuhi
sebagai hasilkali dalam Euclides, yakni :
n
aksioma hasilkali dalam. Ruang vektor ℜ yang dilengkapi dengan hasilkali dalam
Euclides disebut Ruang Hasilkali Dalam Euclides.
Misal u dan v vektor -vektor di dalam ruang hasilkali dalam V. Maka
berdasarkan ketidaksamaan Cauchy Schwarz didapatkan sifat :
u,v
2
≤ u,u v,v
Bila V merupakan ruang hasilkali dalam Euclides maka bentuk ketidaksamaan Cauchy
Schwarz :
(u1v1+...+ unvn )2 ≤ ( u12 + ...+un2 )( v12 + ...+ vn2)
dengan u = (u1 , u2 ,..., un ) dan v = (v1 , v2 ,..., vn ) .
Soal latihan
( 1 sd 10 ) Manakah berikut yang merupakan hasilkali dalam :
1. u, u = ad + 2be + cf ; u = (a , b, c ) dan v = (d , e, f )
2. u, u = ad − 2be + cf ; u = (a , b, c ) dan v = (d , e, f )
3. u, u = ad + cf ; u = ( a ,b , c) dan v = (d , e, f )
4. u , v = 3 ak + 2 bl ; u = (a ,b , c) dan v = (k , l , m)
5. u, v = ak + b2 l 2 + cm ; u = (a ,b , c) dan v = (k , l , m)
6. u, v = 2ac + ad + bc + 2bd ; u = ( a , b ) dan v = ( c, d )
7.
8.
9.
 a1
A, B = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 ; A = 
 c1
 a1
A, B = a1a2 + 2b1b2 + c1c2 + d1d 2 ; A = 
 c1
b1 
 a2 b2 
 dan B = 

d1 
 c2 d2 
b1 
 a2 b2 
 dan B = 

d1 
 c2 d 2 
p, q = ak + 3bl + 2cm ; p = a + bx + cx 2 dan q = k + lx + mx2
10. p, q = 2ak + bl − cm ; p = a + bx + cx 2 dan q = k + lx + mx2
( 11 sd 16 ) Dari soal di atas hitunglah nilai hasilkali dalam bila :
11. u = (1,−2,3) dan v = ( 0,3,4 )
12. u = (2,−5,3) dan v = (1,3,−4)
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
 1 − 2
 0 − 2
13. A = 
 dan B = 

3 0 
3 1 
 − 1 3
 1 4
14. A = 
 dan B = 

 0 1
 − 2 1
2
2
15. p = 1 + 2 x - 3 x dan q = -1 - 2 x + x
2
2
16. p = 2 x - 3 x dan q = 1 + 3 x
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung