PANJANG DAN SUDUT DALAM RHD Panjang

Matematika Teknik
PANJANG DAN SUDUT DALAM RHD
Panjang vektor dan sudut antara dua vektor di dalam RHD sangat bergantung
dari definisi hasilkali dalamnya. Secara umum suatu vektor akan mempunyai panjang
yang tidak sama di dalam dua RHD yang berbeda, demikian juga mengenai sudut
antara dua vektor.
Misal V merupakan ruang hasilkali dalam dan u , v ∈ V . Maka :
1
a. Panjang atau Norm dari u didefinisikan : || u || = u, u 2
( )
b. Jarak antara u dan v didefinisikan : d u, v = u − v = u − v, u − v
1
2
Contoh :
Diberikan
RHD
ℜ
3
dengan
hasilkali
dalam
u, v = u1v1 + 2u2 v2 + u3v3 ,
u = (u1, u2 , u3 ) dan v = (v1, v2 , v3 ) . Hitung panjang a dan jarak antara vektor a dan b
bila a = (1,−5, 2)dan b = (− 2,3,−1)
Jawab :
Panjang a , a = 1 + 2(− 5)2 + 2 2 = 55
( )
Jarak antara a dan b , d a, b =
(1 + 2)2 + 2(− 5 − 3)2 + (2 + 1)2
= 146
Misal u dan v vektor tak nol di RHD. Berdasarkan ketidaksamaan Cauchy
Schwarz didapatkan :
 u, v

 u v

2
 ≤ 1 atau − 1 ≤ u , v ≤ 1

u v

Dari hasil di atas dapat diturunkan suatu definisi cosinus sudut antara u dan v ,
berikut :
u, v
( 0 ≤ θ ≤ π)
cos θ =
u v
Contoh :
3
Hitung cosinus dari sudut antara vektor a dan b di dalam RHD ℜ sebagaimana contoh
sebelumnya.
Jawab :
Panjang b,
b =
( )
(− 2)2 + 2 32 + (− 1)2
= 23
Hasilkali dalam antara a dan b , a, b = 1(− 2) + 2(− 5 )3 + 2(− 1) = −29
Misal θ sudut antara a dan b . Maka Cosinus sudut antara a dan b :
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
cos θ =
a, b
=
a b
− 29
− 29
=
55 23
1269
Dua buah vektor u dan v di dalam RHD akan saling tegak lurus atau
u , v = 0. Bila vektor u tegak lurus terhadap himpunan vektor W
ortogonal bila
maka dikatakan u ortogonal terhadap W. Dari ortogonalitas dapat diperoleh suatu
sifat : Bila u dan v saling ortogonal dalam suatu RHD maka berlaku :
u+ v
2
= u
2
+ v
2
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 4 ) Tentukan norm, jarak dan besar cosinus sudut dari vektor dalam
ruang hasilkali dalam Euclides bila :
1. u = (1,2) dan v = (0,−3)
2. u = ( − 3,1,2 ) dan v = ( 4,0,−3)
3. u = ( − 2,0, −2 ) dan v = ( − 1,2,1)
4. u = ( 0,−3,1,2) dan v = ( − 1,4 ,0,−3)
( Nomor 5 sd 7 ) Tentukan norm, besar cosinus sudut dan jarak antara A dan B di dalam
M2x2
yang
mempunyai
hasilkali
dalam
berikut:
 a1 b1 
 a2 b2 
A, B = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 ; A = 
 dan B = 
 bila :
 c1 d1 
 c2 d2 
 1 2
0
5. A = 
 dan B = 
 3 4
1
 − 2 1
2
6. A = 
 dan B = 
 0 3
0
1

0
− 1

0
 1 0
7. A = −B = 

 − 2 1
( Nomor 8 sd 10 ) Misalkan p dan q suku banyak di P2 yang mempunyai hasilkali
dalam : p, q = ak + bl + cm ; p = a + bx + cx 2 dan q = k + lx + mx2 . Tentukan nilai
s agar p ortogonal terhadap q, bila :
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
2
2
8. p = 2 + x + 3 x dan q = 1 +7 x + s x
2
2
9. p = s + s x + x dan q = s + 5 x + 6 x
2
2
2
10. p = s + s x - 3 x dan q = s - 2 s x + s x
11. Diketahui RHD ℜ
3
dengan hasilkali dalam
u, v = 2u1v1 + 3u2 v2 + u3v3 ,
u = (u1, u2 , u3 ) dan v = (v1, v2 , v3 ) . Tentukan vektor c ∈ℜ3 dengan syarat bahwa :
hasilkali dalam antara a dan c sama dengan 4, hasilkali dalam antara b dan c sama
dengan –1 dan jarak antara a dan c sama dengan 1, bila a = (1,−1,1) dan b = (2, −1,−1) .
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung