vektor

Pertemuan 2
Aritmatika Vektor
Topik Bahasan
• Perkalian vektor dengan skalar
• Perkalian Vektor dengan Vektor:
> Dot Product : Model dot product,
Sifat dot product
Perkalian
Vektor dengan Skalar
Perkalian Vektor dengan skalar
• Untuk sembarang vektor a dengan α, maka:
o panjang αa = | α |.|a|
o jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a
o jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah
dengan a
o jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0
• Untuk vektor a dalam koordinat kartesian
jika a = [a1,a2,a3] maka:
αa = [αa1, αa2, αa3]
Perkalian Vektor dengan Skalar
• Perkalian vektor dengan skalar menghasilkan
vektor
α = skalar
x=αa
a = vektor
Vektor x merupakan hasil perkalian antara vektor a dengan skalar α
 Jika α positif arah x searah dengan a
 Jika α negatif arah x berlawanan dengan a
α = 3,
a
x = 3a
aR
Arahnya sesuai dengan yang dikehen
daki
Dalam sistem sumbu Kartesian vektor
satuan biasanya dinyatakan sebagai :
aX atau I , aY atau j dan az atau k.
Z
k
j
i
X
Y
● Sistem sumbu Kartesian dan
komponen vektor
Z+
RZ
k
i
R< x , y , z >
j
RY
Y+
RX
X+
R< x , y , z > menyatakan koordinat vektor R
i ┴ j ┴ k dan IiI = IjI = IkI = 1
i = vektor satuan arah sumbu X+
j = vektor satuan arah sumbu Y+
k = vektor satuan arah sumbu Z+
7
Perkalian vektor dgn skalar
a
Jika u    dan k bilangan real ,
b
 a   ka 
maka : ku  k     
 b   kb 
Contoh 1 :
• Diketahui
:
• Hitunglah
: 5u
• Jawab
:
 4 
u 
  5



 4   20 
5u  5
  5
 
  25 


 

Sifat Perkalian vektor dan skalar
•
•
•
•
•
•
•
αa = aα
α(ka) = (αk)a
α(a+b) = αa + αb
(α+k) a = αa + ka
1.a = a
0.a = 0
(-1) a = -a
Komulatif
Asosiatif
Distributif
Distributif
Elemen netral
Elemen central
Elemen invers
Latihan(1)
1. Diketahui :
  3
 4 
u 
 2 
 , v
  6





• Hitunglah
:
1. 2u = u2
2. -4v = -v4
3. 3u + 3v =(u + v )3
4. 2u– 3v
Latihan(1)
2. Buktikan bahwa sifat perkalian vektor dan
skalar adalah benar dengan
menggunakan latihan soal no 1
Perkalian Titik
(Dot Product)
Visualisasi
• Vektor-vektor diposisikan sehingga titik
pangkalnya berimpitan
• Memiliki sudut antara dua vektor yaitu Ø
(dibaca teta) yang memenuhi 0 ≤ Ø ≤ π
Rumus
• Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam
ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan
Ø adalah sudut antara u dan v, maka hasil
kali titik u.v adalah:
u.v = |u||v| cos Ø jika u ≠ 0 dan v ≠ 0
u.v = 0
jika u = 0 dan v = 0
Contoh 2
Jika |a| = 5, |b| = 4.
sudut antara kedua
vektor 60.
maka a.b = ….
Jawab:
a.b = |a||b|cos
60
|a| = 5
= 5.4. cos 60
= 20.½ = 10
15
Contoh 3
|b| = 6
|a| = 4
Jika |a| = 6, |b| = 4.
sudut antara kedua
vektor 90.
maka a.b = ….
Jawab:
a.b = |a||b|cos
= 6.4. cos 90
= 24.0 = 0
16
Jika a = a1i +a2j + a3k dan
b = b1i + b2j +b3k maka
Hasil perkalian titik padaVektor
dirumuskan dengan
a.b =a1b1 + a2b2 + a3b3
17
Contoh 4
Jika a = 3i + 2j + k dan
b = 6i -2j + 3k maka
hasil kali vektor b.a = ....
Jawab:
b.a = b1a1 + b2a2 + b3a3
= 6.3 + (-2).2 + 3.1
= 18 – 4 + 3
= 17
18
Sifat-sifat Perkalian Titik
a.b = b.a
k(a .b) = ka.b = kb.a
a.a = |a|²
a.(b ± c) = a.b ± a.c
a.b = 0 jika dan hanya jika a  b
19
Cara lain menyatakan dot produc
a.b dituliskan juga sebagai (a,b) : Inner Product
|a| dituliskan pula sebagai
|| a || (a, b)
Besaran Sudut vektor
• Dengan rumus hasil kali titik dua vektor,
besaran sudut dapat ditentukan antara
dua vektor.
• Dari a.b = |a||b|cos, dapat diperoleh
a.b
cos  
ab
Contoh 5
Tentukan besar sudut antara
vektor a = 2i + j - 2k dan
vektor b = -j + k
Jawab:
a.b
cos  
ab
cos  
2.0  1.( 1)  (2).1
2  1  (2) . (1)  1
2
2
2
2
2
22
cos  
cos  
cos  
2.0  1.( 1)  (2).1
2 2  12  (2) 2 . (1) 2  12
3
9. 2
 cos  
3
3 2
1
x 2  2
2
2
2
cos = -½2
Jadi  = 135
23
Latihan 2
1. Jika a = -3i + 4j + 2k ,
b = 4i -2j + k dan
c = -4j + 2k
Carilah
• a(b – c)
• a(b + c)
• a.(b – c) = a.b – a.c
a.b = (-3)4 + 4(-2) + 2.1
= -12 – 8 + 2
= -18
• a.c = (-3).0 + 4(-4) + 2.2
= 0 – 16 + 4
= -12
a.b – a.c = -18 – (-12) = -6
• Jadi a.(b – c) = -6
a.b + a.c = -18 + (-12) = -30
• Jadi a.(b + c) = -30
Kesimpulan
• Perkalian vektor dengan skalar merupakan
perbesaran atau pengecilan vektor, dengan
bilangan skalar merupakan satuan
pembandingnya.
• vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor
basis
• Rumus untuk dot product
u.v = |u||v| cos Ø
jika u ≠ 0 dan v ≠ 0
u.v = 0
jika u = 0 dan v = 0
• Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan
menghasilkan suatu nilai skalar
Tugas (2)
1. Dua vektor u =
  3
 
6
  5
 
dan v =  2 
x
  2
 
adalah saling tegak lurus,
maka carilah nilai x yang memenuhi.
2. Diketahui |a|=2 ;|b|=3, dan b.(a + b) =12. Carilah besar sudut
antara vektor a dan b
3. Jika diketahui vektor a = [2,3,0], b=[4,-2,2].
Tentukanlah: panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara
vektor a dan b,
TUGAS (2)
4. Diketahui titik-titik A(4,3,5), B(2,3,1) dan
C(5,2,4). AB wakil dari u dan AC wakil dari
v . Carilah kosinus sudut dan besar sudut
yang dibentuk oleh vektor u dan v