a,f

BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
7.1 LIMIT FUNGSI
7.1.1 Limit fungsi di suatu titik
Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya
mendekati suatu titik
Illustrasi:
x3  1
 Diketahui f ( x) 
x 1
x
f(x)
y
1,1
3,310
1,01
3,030
1,001
3,003
↓
↓
3
1,000
?
f(x)
↑
↑
0,999
2,997
0,99
2,970
0,9
2,710
y = f(x)
f(x)
1
x
x
1
x
 Dari tabel dan grafik:
nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, dengan
cara mengambil x yang cukup dekat ke 1, tetapi
x  1.
 Notasi: lim f ( x)  3
x 1
Departemen Matematika IPB
1
Definisi: [Limit fungsi di suatu titik]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I
yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f(x)
ketika x mendekati a sama dengan L, ditulis
lim f ( x)  L
x a
apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L,
dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a,
tetapi x  a.
Catatan:
1. Notasi lain untuk limit f(x) ketika x mendekati a
sama dengan L adalah
f(x) → L,
bila x → a.
2. Fungsi f tidak harus terdefinisi di a.
3. Jika f terdefinisi di a, f(a) tidak harus sama dengan
L.
y
y
y
y = f(x)
y = f(x)
y = f(x)
L
L
a
L
x
f(a) = L
lim f ( x)  L
x a
a
f(a)  L
lim f ( x)  L
x a
x
a
x
f(a) tidak terdefinisi
lim f ( x)  L
x a
Contoh: Tentukan limit berikut.
1. lim x  1
x2  x  6
2. lim
x 3
x 3
x 1
3. lim
x 1
x 1
4. lim x
x 2

x 0
Departemen Matematika IPB
2
7.1.2 Limit satu sisi
Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya
mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau
kanan
Illustrasi:
 Diketahui: f(x) = ║x ║ , x  [-1,2)
y
y = f(x)
1
-1 0
1
2
x
-1
 Dari grafik:
 nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke -1,
dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0
dari arah kiri dan x  0. Situasi ini dilambangkan
lim f ( x)  1.
x 0
 nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 0,
dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0
dari arah kanan dan x  0. Situasi ini
dilambangkan
lim f ( x)  0.
x 0
Departemen Matematika IPB
3
Definisi: [Limit kanan]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b), kecuali
mungkin di a. Limit kanan f(x) ketika x mendekati a
(atau Limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kanan)
sama dengan L, ditulis
lim f ( x)  L
xa
apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L,
dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a
dan x > a.
Definisi: [Limit kiri]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (b,a], kecuali
mungkin di a. Limit kiri f(x) ketika x mendekati a
(atau Limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kiri)
sama dengan L, ditulis
lim f ( x)  L
xa
apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L,
dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a
dan x < a.
Teorema: [Hubungan limit di suatu titik dengan limit
satu sisi]
lim f ( x)  L jika dan hanya jika lim f ( x)  L  lim f ( x).
x a
x a
Contoh: Tentukan limit berikut.
y
1. lim f ( x) 2. lim f ( x)
5
x 1
4. lim f ( x)
3
5. lim f ( x)
6. lim f ( x)
1
x 3
y = f(x)
x 1
3. lim f ( x)
x 1
x a
x 3
x 3
Departemen Matematika IPB
x
1
3
4
7.1.3 Limit takhingga
Menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar
atau mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati
suatu titik
Illustrasi:
y
1
 Diketahui: f ( x)  2
x
y = f(x)
0
x
 Dari grafik:
nilai f(x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara
mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x  0.
 Notasi: lim f ( x)  
x 0
Definisi:
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I
yang memuat a, kecuali mungkin di a.Limit f(x) ketika
x mendekati a sama dengan , ditulis
lim f ( x)  
xa
apabila nilai f(x) dapat dibuat sebesar mungkin,
dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a,
tetapi
x  a.
Catatan:
Notasi lain untuk limit f(x) ketika x mendekati a sama
dengan  adalah
f(x) → ,
bila x → a.
Departemen Matematika IPB
5
Illustrasi:
y
1
 Diketahui: f ( x)   2
x
x
0
y = f(x)
 Dari grafik:
nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara
mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x  0.
 Notasi: lim f ( x)  
x 0
Definisi:
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I
yang memuat a, kecuali mungkin di a.Limit f(x) ketika
x mendekati a sama dengan -, ditulis
lim f ( x)  
xa
apabila nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan
cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi
x  a.
Catatan:
1. Notasi lain untuk limit f(x) ketika x mendekati a
sama dengan - adalah
f(x) → -,
bila x → a.
2. Definisi serupa dapat diberikan untuk limit tak
hingga satu sisi:
a. lim f ( x)   b. lim f ( x)  
x a
x a
c. lim f ( x)   d. lim f ( x)  
x a
Departemen Matematika IPB
x a
6
Contoh: Tentukan limit berikut.
2
1. lim
x 3 x  3
1
2. lim
x 1 ( x  1)( x  2)
x 1
3. lim 2
x 2 x ( x  2)
7.2 DEFINISI TEPAT LIMIT FUNGSI
Illustrasi:
x3  1
 Diketahui f ( x) 
x 1
x
y
f(x)
y = f(x)
1,1
3,310
1,01
3,030
f(x)
1,001
3,003
3
↓
↓
1,000
?
↑
↑
0,999
2,997
0,99
2,970
0,9
2,710
f(x)
1
x
x
1
x
 Dari tabel dan grafik:
2,710 < f(x) < 3,310 jika 0,9 < x < 1,1 dan x  1
2,970 < f(x) < 3,030 jika 0,99 < x < 1,01 dan x  1
2,997 < f(x) < 3,003 jika 0,999 < x < 1,001 dan x  1
mengakibatkan:
|f(x) – 3| < 0,3
jika 0 < |x - 1| < 0,1
|f(x) – 3| < 0,03 jika 0 < |x - 1| < 0,01
|f(x) – 3| < 0,003 jika 0 < |x - 1| < 0,001
Departemen Matematika IPB
7
 Jarak f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, jika
jarak x ke 1 cukup dekat dan x  1.
 Notasi jarak f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3:
 > 0, |f(x) - 3| < 
Notasi jarak x ke 1 cukup dekat dan x  1:
() > 0, 0 < |x - 1| < 
Perhatikan bahwa dalam hal ini  = /3
 Notasi jarak f(x) selalu dapat dibuat sedekat
mungkin ke 3, jika jarak x ke 1 cukup dekat & x 
1
 > 0, () > 0, sehingga berlaku:
 lim f ( x)  3 jika
dan
hanya
jika |f(x) - 3| < 
0
<
|x
1|
<

x 1
 > 0, () > 0, sehingga berlaku:
0 < |x - 1| <   |f(x) - 3| < 
Definisi: [Limit fungsi di suatu titik]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I
yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f(x)
ketika x men-dekati a sama dengan L, ditulis
lim f ( x)  L
x a
jika dan hanya jika  > 0, () > 0, sehingga
berlaku:
0 < |x - a| <   |f(x) - L| < 
Departemen Matematika IPB
8
y
y
y = f(x)
L+
L
L-
x
a
a- a
Diberikan  > 0 sebarang
a+
x
ada  > 0 yang berpadanan dengan

y
y = f(x)
L+
L
L-
a- a
y = f(x)
L+
L
L-
a+
x
sehingga 0 < |x - a| <   |f(x) - L| <

Contoh: Dengan menggunakan definisi - tentukan
limit berikut.
1. lim x  2
x 1
2. lim 2 x  1
x 2
7.3 HUKUM LIMIT
Teorema:
Misalkan c konstanta, n bilangan bulat positif dan
kedua limit
lim f ( x)
dan
lim g ( x)
x a
x a
ada, maka:
Departemen Matematika IPB
9
1. lim c  c
x a
2. lim x  a
xa
3. lim(cf ( x))  c lim f ( x)
x a
x a
4. lim( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
xa
xa
5. lim( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
xa
xa
6. lim( f ( x) g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
xa
f ( x)
f ( x) lim
x a
7. lim

x a g ( x)
lim g ( x)
xa
jika lim g ( x)  0
xa
xa
8. lim x n  a n
x a

9. lim( f ( x))  lim f ( x)
n
x a
x a
10. lim n x  n a

n
jika n genap, a  0
x a
11. lim n f ( x)  n lim f ( x)
x a
xa
jika n genap, lim f ( x)  0
xa
Contoh: Dengan menggunakan sifat-sifat limit,
tentukan limit berikut:
1. lim 7 x  1
2. lim(( x 2 1)( x  1))
2x
3. lim
x 1 2 x  1
4. lim 3 x  4
x 3
Departemen Matematika IPB
x 2
x 3
10
Teorema:
Jika f adalah polinom atau fungsi rasional dan a di
dalam derah asal f, maka lim f ( x)  f (a).
x a
Contoh: Tentukan limit berikut.
x 1
1. lim 2
x 1 x  1
(2  h)2  2
2. lim
h 0
h
x2  2 x
3. lim 2
x 2 x  4
Teorema:
lim f ( x)  L jika dan hanya jika lim f ( x)  L  lim f ( x).
x a
x a
x a
Contoh: Tentukan limit berikut jika ada. Jika tidak ada
jelaskan mengapa.
x 1
1. lim
2. lim x
3. lim ║x║
x 1 | x  1 |
x 0
x 2
Teorema:
Jika f(x)  g(x) pada waktu x dekat a (kecuali
mungkin di a) dan limit f dan g keduanya ada untuk x
mendekati a, makalim f ( x)  lim g ( x).
xa
x a
Teorema: [Teorema apit / jepit]
Jika f(x)  g(x)  h(x) pada waktu x dekat a (kecuali
mungkin di a) dan
lim f ( x)  L  lim h( x),
x a
x a
makalim g ( x)  L.
x a
Departemen Matematika IPB
11
Contoh: Tentukan limit berikut.
1

 2  
1. lim x 2 sin
2. lim x 1+sin 2   
x 0
x 0
x
 x 

3. Jika 3x  f ( x)  x3  2 untuk 0  x  2, tentukan lim f ( x).
x 1
7.4 KEKONTINUAN FUNGSI
Definisi: [Kekontinuan di suatu titik]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang I yang
memuat a. Fungsi f disebut kontinu di a, bila
lim f ( x)  f (a).
x a
Catatan:
1. Secara implisit definisi di atas mensyaratkan:
a. f(a) terdefinisi
b. lim f ( x) ada
xa
c. lim f ( x)  f (a).
x a
2. Ciri fungsi kontinu di suatu titik adalah grafik
fungsinya tersambung di titik tersebut.
3. Bila f tidak kontinu di a, dikatakan f diskontinu di a.
Contoh: Periksa kekontinuan fungsi f berikut. Di titik
mana fungsi tersebut diskontinu, jelaskan alasannya.
x2  x  2
1. f ( x) 
x2
y
y = f(x)
3
1
Departemen Matematika IPB
0
2
x
12
y
 x2  x  2

2. f ( x)   x  2
1

x2
3
x2
1
y = f(x)
0
x
2
y
1

3. f ( x)   x 2
1
y = f(x)
x0
x0
x
0
y
y = f(x)
3
4. f ( x)  ║x║
2
1
x
0
1
2
3
4
Jenis-jenis diskontinu:
1. diskontinu dapat dipindahkan : Contoh 1 dan 2
2. diskontinu tak hingga: Contoh 3
3. diskontinu lompatan : Contoh 4
Definisi: [Kekontinuan kanan]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b). Fungsi
f disebut kontinu kanan di a, bila lim f ( x)  f (a).
x a
Definisi: [Kekontinuan kiri]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (b,a]. Fungsi
f disebut kontinu kiri di a, bila lim f ( x)  f (a).
x a
Departemen Matematika IPB
13
Definisi: [Kekontinuan pada selang]
1. Fungsi f kontinu pada selang (a,b), jika f kontinu di
setiap titik pada selang tersebut.
2. Fungsi f kontinu pada selang [a,b], jika f kontinu di
setiap titik pada selang (a,b), kontinu kanan di a dan
kontinu kiri di b.
Contoh: Tentukan daerah kekontinuan fungsi f , jika
f ( x)  1  x 2
Teorema:
Jika fungsi f dan g kontinu di x = a dan c adalah
konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu
pada a:
1. f + g 2. f - g 3. cf 4. fg 5. f/g, jika g(a)  0.
Teorema:
Fungsi-fungsi berikut kontinu pada daerah asalnya:
1. polinom
2. fungsi rasional
3. fungsi trigonometri
4. fungsi akar.
Teorema: [Teorema limit fungsi komposisi]
Jika f kontinu pada b dan lim g ( x)  b, maka
x a
lim f ( g ( x))  f (lim g ( x))  f (b).
x a
x a
Teorema: [Teorema kekontinuan fungsi komposisi]
Jika fungsi g kontinu pada a dan f kontinu pada g(a),
maka fungsi komposisi f  g kontinu pada a.
Departemen Matematika IPB
14
Contoh: Tentukan daerah kekontinuan fungsi berikut:
1. f ( x)  sin( x  1)
3. f ( x)  1  x  x
2
2. f ( x) | x 2  3x  6 |
2
1 x
4. f ( x) 
x2
Teorema: [Teorema Nilai Antara]
Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan N
adalah bilangan di antara f(a) dan f(b), maka terdapat
c  (a,b) sedemikian sehingga f(c) = N.
y
y
y = f(x)
f(a)
f(b)
N
f(a)
a c
b
x
N
f(b)
a
y = f(x)
c1 c2 c3 b
x
Catatan:
Salah satu kegunaan Teorema Nilai Antara adalah
untuk menentukan akar suatu persamaan.
Contoh: Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara,
tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x5 - 3x4 - 2x3 + x + 1
memiliki akar real pada selang [0,1].
Departemen Matematika IPB
15
7.5 GARIS SINGGUNG, KECEPATAN DAN
LAJU PERUBAHAN LAINNYA
7.5.1 Garis singgung
Kurva C: y = f(x)
Titik P (a,f(a)) dan Q (x,f(x)) terletak pada kurva C
y
y = f(x)
y
y = f(x)
Tali busur
Q
Q
f(x)-f(a)
P
x-a
a
x
x
P
Garis singgung
x
f ( x)  f (a )
xa
Titik Q → titik P, diperoleh garis singgung
Kemiringan tali busur PQ: mPQ 
f ( x)  f (a)
mgs  lim
x a
xa
f ( a  h)  f ( a )
Jika h = x - a, maka mgs  lim
h 0
h
Kemiringan garis singgung:
Persamaan garis singgung kurva C di titik P (a,f(a)):
y  mgs ( x  a)  f (a)
Contoh: Tentukan persamaan garis singung dari kurva
C yang ditentukan oleh persamaan y = x3 - 2x di titik
(1,-1).
Departemen Matematika IPB
16
7.5.2 Kecepatan
Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus
Persamaan gerak s = f(t)
0
s
f(a+h) - f(a)
f(a)
f(a) + h
Kecepatan rata-rata pada selang waktu [a,a+h]:
Kecepatan rata-rata 
Perpindahan
f ( a  h)  f ( a )

Waktu
h
h → 0, diperoleh kecepatan (sesaat)
Kecepatan pada saat t = a:
f ( a  h)  f ( a )
v(a)  lim
h 0
h
Contoh: Sebuah bola dijatuhkan dari suatu menara
yang tingginya 450 meter. Jika persamaan gerak bola
adalah s = 4,9 t2, tentukan:
a. kecepatan bola setelah 5 detik.
b. seberapa cepat bola tersebut bergerak ketika
menyentuh tanah.
Departemen Matematika IPB
17
7.5.3 Laju perubahan lainnya
Misalkan peubah y bergantung pada peubah x: y = f(x)
Perubahan x: x = x2 – x1
Perubahan y: y = y2 – y1
Rata-rata laju perubahan y terhadap x:
y
f ( x2 )  f ( x1 )

x
x2  x1
x2 → x1, diperoleh kecepatan perubahan (sesaat) y
terhadap x
Kecepatan perubahan sesaat y terhadap x:
y
f ( x2 )  f ( x1 )
Kecepatan perubahan sesaat  lim
 lim
x2  x1 x
x2  x1
x2  x1
Contoh: Biaya produksi (dalam rupiah) x unit komoditas tertentu adalah C(x) = 5.000 + 10 x + 0,005 x2.
a. Tentukan rata-rata laju perubahan dari C terhadap x
ketika produksi diubah:
(i). x = 100 sampai x = 105
(ii). x = 100 sampai x = 101.
b. Tentukan kecepatan perubahan sesaat dari C
terhadap x, untuk x = 100.
Departemen Matematika IPB
18