VEKTOR-VEKTOR DALAM R2 DAN R3

Vektor Ruang 2D dan 3D
Besaran
Skalar
Vektor
(Tidak mempunyai arah)
(Mempunyai Arah)
Vektor Geometris
• Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai
nilai mutlak tertentu.
• Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan
lain - lain), merupakan suatu besaran yang
mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu.
• Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis
berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan
ruang berdimensi 3.
• Arah panah menentukan arah vektor dan
panjang panah menentukan besarnya vektor.
Vektor Secara Geometri
• Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor
• Ujung panah disebut titik ujung vektor
• Vektor ditulis dalam huruf kecil (a, k, v, w, x), sedangkan
Skalar ditulis dengan huruf kecil miring (a, k, v, w, dan x)
• Jika  menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis
dengan lambang  = AB , panjang vektor u dinyatakan
dengan |u| dan panjang vektor AB dinyatakan dengan AB
AB  v
Vektor Secara Geometri
• Vektor - vektor yang panjang dan arahnya sama
disebut ekuivalen, vektor-vektor yang ekuivalen
dipandang sama walaupun mungkin terletak pada
posisi yang berbeda.
• Jika v dan w ekuivalen, kita tuliskan : v = w
B
A
Vektor AB
Vektor-vektor yang ekuivalen
Vektor Secara Geometri
Jika v dan w adalah dua vektor sembarang,
maka jumlah v dan w adalah vektor yang
ditentukan sebagai berikut :
• Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik
pangkalnya bertautan dengan titik ujung v.
• Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik
pangkal v ke titik ujung w.
w
v+w=w+v
v
v+w
Vektor Secara Geometri
• Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan
dinyatakan dengan 0.
• Jika v adalah sembarang vektor tak nol, maka –v,
negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang
besarnya sama dengan v, tetapi arahnya
terbalik.
v
-v
Vektor ini mempunyai
sifat :
v + (-v) = 0
Vektor Secara Geometri
Jika v dan w adalah dua vektor sembarang,
maka selisih w dari v didefinisikan sebagai :
v – w = v + (-w)
v
v-w
w
Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu
bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0
dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Kita
definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0
Vektor pada Sistem Koordinat
(aljabar)
Vektor Posisi (pada koordinat
Cartesius)
Operasi Vektor
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
Penjumlahan Vektor
Misalkan u dan v adalah vektor – vektor
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka u  v didefinisikan
v

u
u v
u
Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian vektor
 
u dengan skalar k, k u
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang vektor u dengan arah
Jika k > 0  searah dengan u
Jika k < 0  berlawanan arah dengan u
2u
u
 2u
Penjumlahan Vektor & Perkalian Skalar
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas
dapat dijelaskan sebagai berikut :
Misalkan a  a1 a2 , a3  dan
b  b1 , b2 , b3 
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
maka
1. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 
2. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 
3. k a  ka1 , ka2 , ka3 
Hasilnya
merupakan
Vektor
Perkalian 2 Vektor
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik (dot product)
 Hasil kali titik merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang yang sama
yang menghasilkan skalar
Hasil kali silang (Cross product)
 Hasil kali silang merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
Perkalian Titik (dot product)
Misalkan v, w adalah vektor pada ruang/dimensi
yang sama maka hasil kali titik antara dua vektor :
Hasilnya
merupakan Skalar
dimana

v

w

: panjang
: panjang
v,
w
: sudut keduanya
Perkalian Titik (dot product)
Contoh:
Tentukan hasil kali titik dari dua vektor
a  2iˆ dan b  2iˆ  2 ˆj
Jawab :
Karena tan  = 1 , artinya  = 450
ab  a
b cos 
1
 2. 8 .
2
2
= 4 (skalar)
a  b  a1 .b1  a 2 .b2
 2 .2  0.2
= 4 (skalar)
Perkalian Titik (dot product)
Beberapa sifat perkalian titik adalah:
ab  b a

 
  
a b  c  ab  ac


k a  b  k a  b  a  kb , dimana k  R
Proyeksi Ortogonal

u
 
Vektor ortogonal : vektor-vektor yang tegak lurus, v  w  0
Proyeksi Ortogonal

u
Proyeksi Ortogonal

u
Contoh:
Tentukan proyeksi ortogonal
vektor u terhadap vektor v
  2
 
u    4
 3 
 
 1 
 
v  3 
  4
 
Pv u 
u v
v
2
v
  2  1 

 

  4   3 
 3    4   1 
 

 2
3 
2
2 
1  3  (4) 

  4
 1 

 2  (12)  (12) 

 3 
26
  4


 1 

 26 

 3 
26 

  4
  1


   3
 4 


Perkalian Silang (Cross product)
Merupakan hasil kali antara 2 vektor di Ruang (R3) yang
menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor
yang dikalikan tersebut.
Perkalian Silang (Cross product)
Contoh :
Tentukan
Jawab :
w  u  v dimana u  1, 2,  2; v  (3, 0, 1)
ˆj
kˆ
w  u1 u2
u3
v1
v3
iˆ
v2
iˆ ˆj kˆ
 1 2 2
3 0
1
 2.1  0(2) iˆ  1.1  3(2) ĵ  1.0  3.2 k̂
 2 iˆ  7 ˆj  6 kˆ
Matriks & Ruang
Vektor
Pengantar Vektor
Latihan
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: a, b, c, d, e, f
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang
Vektor
Latihan
Answer: 2
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang
Vektor
Latihan
Answer: 5
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang
Vektor
Latihan
Matriks & Ruang
Vektor
Answer: d
Trace out the vector u starting at the tail and moving along the vectors a, b and c until you reach
the head of u.
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: b
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang
Vektor
Latihan
Answer: c
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang
Vektor
Latihan
Answer: a
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang
Vektor
Latihan
Answer: d
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang
Vektor