modified value-at-risk under capm by armax-gar - Statday

PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
(T.3)
MODIFIED VALUE-AT-RISK DI BAWAH CAPM DENGAN PENDEKATAN
MODEL ARMAX-GARCH 2
(MODIFIED VALUE-AT-RISK UNDER CAPM BY ARMAX-GARCH MODEL
APPROACH)
Sukono
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran
E-mail: [email protected]
Abstrak
Dalam paper ini dibahas pengukuran risiko investasi berdasarkan Modified Value-at-Risk
di bawah Capital Asset Pricing Model. Diasumsikan bahwa return indeks pasar memiliki ratarata tak-konstan serta terdapat efek long memory. Rata-rata dari return indeks pasar
diestimasi menggunakan model-model ARFIMA. Diasumsikan pula bahwa premi risiko saham
berkorelasi dengan premi risiko pasar, dan premi risiko saham beberapa waktu sebelumnya.
Korelasi tersebut akan dianalisis menggunakan pendekatan model ARMAX-GARCH. Modified
Value-at-Risk selanjutnya dirumuskan berdasarkan Capital asset Pricing Model dengan
pendekatan model ARMAX-GARCH tersebut. Untuk mengukur kinerja Modified Value-at-Risk
yang telah dirumuskan dilakukan dengan back testing. Back testing dilakukan berdasarkan
metode Lopez II. Sebagai studi kasus, dianalisis beberapa data saham yang diperdagangkan
dalam pasar modal di Indonesia.
Kata kunci: Modified Value-at-Risk, CAPM, ARFIMA, ARMAX-GARCH, Back Testing.
Abstract
In this paper discussed the measurement of investment risk based on the Modified Value-atRisk under the Capital Asset Pricing Model. It is assumed that the market index returns have
non-constant mean and there are long-memory effect. The mean of the return of market index is
estimated using ARFIMA models. It is assumed also that the risk premium shares correlated with
the market risk premium, and risk premium share some time earlier. Such correlations will be
analyzed using ARMAX-GARCH model approach. Modified Value-at-Risk subsequently
formulated based on the Capital Asset Pricing Model with ARMAX-GARCH approach to model
them. To measure the performance of Modified Value-at-Risk that has been formulated carried
out with back testing. Back testing is conducted based on the method of Lopez II. As a case study,
data were analyzed several stocks that are traded in capital markets in Indonesia.
Keywords: Modified Value-at-Risk, CAPM, ARFIMA, ARMAX-GARCH, Back Testing.
1. PENDAHULUAN
Risiko adalah sebagai perbedaan antara hasil yang diharapkan (expected return) dan
realisasinya. Makin besar penyimpangannya, makin tinggi risikonya (Dowd, 2002). Investor
bersedia menerima risiko yang lebih besar tetapi harus dikonpensasi dengan kesempatan
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
24
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
investasi untuk mendapatkan return yang juga besar. Makin besar hasil yang diinginkan
makin besar pula risikonya (Khindanova & Rachev, 2005). Sebaliknya, makin kecil risiko yang
dihadapi makin kecil pula hasil yang akan diperoleh. Keputusan investasi yang dibuat oleh
investor didasarkan pada expected return dan variansi sebagai ukuran risiko (Froot et al.,
2007). Namun, akhir-akhir ini risiko lebih populer diukur menggunakan kuantil atau sering
disebut sebagai Value-at-Risk (VaR). VaR digunakan untuk mengukur risiko return aset yang
berdistribusi normal. Bilamana suatu return aset (saham) tidak berdistribusi normal, risiko
diukur berdasarkan Modified VaR (MVaR) (Dowd, 2002; Sukono, 2011).
Premi risiko return saham seringkali dipengaruhi oleh premi risiko return indeks pasar.
Hubungan pengaruh premi return indeks pasar terhadap premi risiko return saham dapat
digambarkan oleh regresi Capital Asset Pricing Model (CAPM) (Allen & Bujang, 2009;
Firnandez, 2002). Sehingga regresi CAPM dapat digunakan untuk menentukan harga aset
(saham) berisiko. Premi risiko return saham pada waktu tertentu selain dipengaruhi oleh
premi risiko return indeks pasar, seringkali juga oleh premi risiko return saham beberapa
waktu sebelumnya, dan juga residual pada waktu tertentu serta sebelumnya (Sukono, 2011).
Karakteristik demikian tersebut memenuhi karakteristik model autoregressive moving
average X (ARMAX) (Franses & Oest, 2004; Hu et al., 2000). Return indeks pasar seringkali
memiliki rata-rata dan volatilitas tak konstan, dan bahkan terdapat efek long memory. Ratarata dan volatilitas tak konstan serta efek long memory demikian dapat dianalisis
menggunakan pendekatan runtun waktu (time series) (Kang & Yoon, 2007; Tsay, 2005).
Paper ini menganalisis ukuran risiko yang dikenali sebagai Modified Value-at-Risk
(MVaR), yang mana saham yang dianalisis diasumsikan mengikuti bentuk CAPM.
Terutamanya bentuk-bentuk CAPM tak standar yang mengikuti model ARMAX. Diasumsikan
pula bahwa return indeks pasar memiliki rata-rata dan volatilitas tak konstan, serta terdapat
efek long memory. Rata-rata dan efek long memory akan diestimasi menggunakan pendekatan
model autoregressive fractionally integrated moving average (ARFIMA), sedangkan volatilitas
tak konstan akan diestimasi menggunakan model generally autoregressive contional
heteroscedastic (GARCH). Nilai MVaR, selanjutnya akan dihitung berdasarkan regresi CAPM
yang mengikuti model ARMAX tersebut. Untuk mengevaluasi kinerja MVaR yang telah
dihasilkan berdasarkan metode di atas, dilakukan dengan back test. Back testing dilakukan
menggunakan pendekatan metode Lopez II. Paper ini bermaksud melakukan pengukuran
MVaR beberapa saham yang diperdagangkan dalam pasar modal di Indonesia berdasarkan
metode-metode tersebut di atas.
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
25
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
2. METODOLOGI
Misalkan Pit dan rit berturut-turut menyatakan harga dan return aset i ( i  1,..., N dan N
banyaknya aset yang dianalisis), pada waktu t ( t  1,..., T , T periode observasi data). Return
aset rit dihitung menggunakan rumus rit  ln( Pit / Pit 1) . (Tsay, 2005; Dowd, 2002). Data
return tersebut selanjutnya dilakukan analisis sebagai berikut.
2.1
Pemodelan Runtun Waktu Return Indeks Pasar
Pemodelan rata-rata. Identifikasi efek long memory terhadap data return indeks pasar
rmt . Identifikasi dilakukan dengan metode rescale range (R/S) atau metode Geweke dan
Porter-Hudak (GPH). Estimasi parameter diferensi fraksional dm ( m menyatakan indeks
pasar), dilakukan menggunakan metode maximum likelihood (Tsay, 2005). Selang
kepercayaan (1   )100% untuk dm ialah dˆm  z /2 . d m  dm  dˆm  z1 /2 . d m dengan dˆm
estimator dari dm , dan z / 2 persentil distribusi normal standar bila diberikan tingkat
signifikansi  . Misalkan dm diferensi fraksional yang akan diuji hipotesis. Misalkan pula
 d m deviasi standar dari dm . Uji hipotesis dilakukan terhadap H 0 : dˆm  0 melawan
H1 : dˆm  0 menggunakan zd  d m /  d . Kriteria uji adalah tolak H 0 jika nilai zd  z / 2
m
m
m
atau zd m  z1 / 2 (Korkmaz et al., 2009; Sukono et al., 2009; Tsay, 2005).
Proses diferensi fraksional didefinisikan sebagai:
(1  B) dm rmt  amt , 0,5  d m  0,5 ;
(1)
dengan {amt } deret residual white noise, dan B menyatakan operator backshift. Jika
deret diferensi fraksional (1  B)d m rmt mengikuti model ARMA( p, q ), maka rmt disebut
proses autoregressive fractionally integrated moving average derajat p , d dan q , atau
ARFIMA( p, d , q ) (Sukono et al., 2009; Kang & Yoon, 2007; Tsay, 2005). Persamaan model
ARMA( p, q ) adalah
p
q
rmt   m0   g 1 mg rmt  g  amt   h1mh amt  h ,
(2)
dengan  m 0 konstanta dan  mg ( g  1,..., p ) serta  mh ( h  1,..., q ) koefisien parameter
model rata-rata return indeks pasar rmt . Diasumsikan {amt } barisan residual white noise
dengan rata-rata nol dan variansi  a2 (Tsay, 2005).
m
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
26
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
Tahapan proses pemodelan rata-rata meliputi: (i) Identifikasi model, (ii) Estimasi
parameter, (iii) Uji diagnosis, dan (iv) Prediksi (Tsay, 2005).
Pemodelan volatilitas. Pemodelan volatilitas return sekuritas dilakukan menggunakan
model-model generalized autoregressive conditional heteroscedastic (GARCH). Misalkan  mt
2
dan  mt
berturut-turut rata-rata dan volatilitas return indeks pasar rmt , pada waktu t (
t  1,..., T dan T periode observasi data). Residual amt tersebut di atas memiliki persamaan
2
amt  rmt   mt . Volatilitas  mt
akan mengikuti model GARCH derajat  dan n atau ditulis
GARCH(  , n ), bila

n
2
2
amt   mt  mt ,  it2   m0   k 1 mk amt
 k   l 1  ml mt l   mt ,
(3)
dengan  m 0 konstanta dan  mk ( k  1,..., ) serta  ml (l  1,..., n ) koefisien parameter
model volatilitas return indeks pasar rmt . Diasumsikan { mt } barisan variabel acak saling
bebas dan berdistribusi identik (iid) dengan rata-rata 0 dan variansi 1,  m0  0 ,  mk  0 ,
 ml  0 , dan
max( , n)
 k 1
( mk   mk )  1 (Sukono et al., 2009; Tsay, 2005; Shi-Jie Deng,
2004).
Tahapan proses pemodelan volatilitas meliputi: (i) Estimasi model rata-rata, (ii) Uji
efek ARCH, (iii) Identifikasi model, (iv) Estimasi model volatilitas, (v) Uji diagnosis, dan (vi)
Prediksi.
Menggunakan model rata-rata (2) dan volatilitas (3), prediksi dilakukan bertujuan
2  ˆ 2 (1) , yakni prediksi 1 untuk menghitung rata-rata ˆ mt  rˆmT (1) dan variansi ˆ mt
mT
langkah ke depan setelah periode waktu ke T (Tsay, 2005).
2.2
Pemodelan CAPM Pendekatan ARMAX
Asumsi-asumsi yang mendasari CAPM digunakan dalam pembahasan pada bagian ini.
Misalkan rit return saham i ( i  1,..., N dan N banyaknya saham yang dianalisis) pada waktu
t , rmt return indeks pasar pada waktu t , dan r ft return aset bebas risiko pada waktu t . Jika
diasumsikan return aset bebas risiko memiliki rata-rata  f  E (r ft ) konstan, dan variansi
 2f  Var ( r ft )  0 , maka bentuk CAPM standar adalah
rit   f  i 0  i 0 (rmt   f )  uit .
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
27
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
Parameter koefisien i 0 dan i 0 dapat diestimasi menggunakan metode kuadrat terkecil
(least square) (Sukono et al., 2009; Fernandez, 2003).
Merujuk pada model ARMAX (Li He & Karny, 2003; Moore et al., 2003, persamaan
CAPM pendekatan model ARMAX dapat dinyatakan sebagai
L
S
rit   f  i 0  i 0 (rmt   f )   il (rit l   f )  uit   is uit  s ,
l 1
(12)
s 1
dengan L panjang lag untuk premi risiko saham, dan S panjang lag untuk residual uit .
Parameter i 0 , i 0 , il ( l  1,..., L ) dan is ( s  1,..., S ) dapat diestimasi menggunakan
metodel maksimum likelihood. Melalui persamaan (12) dapat diestimasi rata-rata return
saham i ( i  1,..., N dan N banyaknya saham yang dianalisis)
pada waktu t , yakni ˆi .
Sedangkan estimator variansi dan kurtosis dari return saham i pada waktu t , yakni ˆi2 , dan
Kˆ i diestimasi melalui model GARCH dari residual kuadrat uit2 .
2.3. Kurtosis Model GARCH Dari uit2
Dalam bagian ini, akan dibahas ekses kurtosis dari model GARCH(1,1). Cara yang sama
dapat diterapkan untuk model GARCH lainnya. Model yang dibahas adalah
uit   it  it ,  it2   i 0   i1ait2 1  i1 it2 1
(4)
dengan  i 0  0 ,  i1  0 , i1  0 ,  i 0  0 , dan { it } barisan iid yang memenuhi
E ( it )  0 , Var ( it )  1 , E ( it4 )  K i  3
(5)
Di mana K i ekses kurtosis dari residual  it . Berdasarkan asumsi, diperoleh sebagai
berikut:
 Var (uit )  E ( it2 ) 
i 0
1  ( i1  i1)
 E (uit4 )  ( K i  3) E (uit4 ) dengan E(uit4 ) ada.
Mengambil kuadrat persamaan volatilitas (4), diperoleh
 it4   i20   i21uit4 1  i21 it4 1  2 i 0 i1ait2 1  2 i 0 i1 it2 1  2 i1 i1 it2 1uit2 1
(6)
Mengambil ekpektasi persamaan (6) dan menggunakan dua sifat tersebut di atas,
diperoleh
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
28
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
 i20 (1  i1  i1 )
E ( it4 ) 
(7)
[1  ( i1  i1 )][1   i21 ( K  2)  (i1  i1 )2 ]
i
dengan 0   i1  i1  1 dan 1  i21( K i  2)  (i1  i1 )2  0 . Ekses kurtosis dari uit , jika
ada, adalah
Ku 
i
E (uit4 )
[ E (uit2 )]2
3 
( K  3)[1  (i1  i1) 2 ]
i
1  2i21  (i1  i1 )2  K i21
i
(8)
3
Menurut Tsay (2005), ekses kurtosis ini dapat ditulis yang lebih informatif. Pertama,
pandang kasus  it berdistribusi normal. Dalam hal, K  0 , dan secara aljabar dapat
i
ditunjukkan bahwa
(g )
K

ui
6 i21
1  2 i21  ( i1  i1) 2
,
(9)
Di mana superskrip (g) digunakan untuk menunjukkan distribusi Gausian. Hasil ini
memiliki dua implikasi penting: (a) Kurtosis uit ada, jika 1  2 i21  ( i1   i1 )2  0 , dan (b)
(g )
jika  i 0  0 , maka Ku
i
 0 , menunjukkan bahwa model GARCH(1,1) tidak memiliki heavy
tails.
Kedua, pandang kasus  it tidak Gaussian. Menggunakan hasil sebelumnya, diperoleh
Ku 
i
K  K (i1  i1 )  6 i21  3K  i21
i
i
i
1  2 i21  (i1  i1) 2  K  i21
i

K i  Ku( g )  5 K i Ku( g )
6
i
i
(10)
(g)
1  1 K i Ku
6
i
Ini dimiliki oleh semua model GARCH dengan ketentuan kurtosis ada. Misalnya, jika
i1  0 , maka berubah menjadi model ARCH(1). Dalam kasus ini, mudah untuk menunjukkan
bahwa Ku( g )  6i21 / (1  3 i21 ) dengan 1  3 i21 , dan ekses kurtosis dari uit adalah
i
(g)
(g)
5
K  2 K i21  6i21 K i  Kui  6 K i Kui
i
i

Ku 
3 i
i
(g)
1  ( K  3) i21
1  3i31  K i21
1  1 K i Ku
i
i
6
i
( K  3)(1  i21)
(11)
Hasil-hasil sebelumnya telah ditunjukkan bahwa model GARCH(1,1) koefisien  i1
memainkan peranan penting dalam menentukan perilaku tail dari uit . Jika  i1  0 , maka
Ku( g )  0 dan Kui  K i . Dalam hal ini, perilaku tail dari uit adalah sepadan dengan
i
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
29
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
standarisasi residual  it . Namun, jika  i1  0 , maka Ku( g )  0 dan uit suatu proses yang
i
memiliki heavy tails (Tsay, 2005; Shi-Jie Deng, 2004).
Untuk distribusi Student- t standar dengan derajat kebebasan
v , diperoleh
E ( it4 )  6 / (v  4)  3 jika v  4 . Oleh sebab itu, ekses kurtosis dari  it adalah K  6 / (v  3)
i
untuk v  4 . Ekses kurtosis dari uit menjadi Kui  [6  (v  1) Ku( g ) ] / [v  4  K u( g ) ] dengan
i
i
1  2 i21 (v  1) / (v  4)  ( i1   i1 )2  0 (Tsay, 2005; Shi-Jie Deng, 2004).
2.4 Modified VaR Normal
Perluasan Cornish-Fisher digunakan untuk menentukan persentil dari distribusidistribusi tak normal. Perluasan Cornish-Fisher dimaksudkan untuk memberikan faktor
penyesuaian terhadap persentil yang diestimasi dari distribusi non-normalitas, dan
penyesuaian yang diberikan dari normalitas adalah “kecil”. Oleh karena itu, perluasan
Cornish-Fisher dapat digunakan untuk estimasi VaR bilamana Profit/Loss (P/L) memiliki
distribusi non-normalitas (Dowd, 2002; Kindanova & Rachev, 2005).
Pandang bahwa z persentil dari distribusi normal standar untuk tingkat konfidensi
 (misalnya, z0,05  1.645 , dan sebagainya). Maka perluasan Cornish-Fisher adalah:
1
1
1
z  ( z2  1) S  ( z3  3z ) K  (2 z3  5 z ) S 2  higher order terms
6
12
36
di mana S skewness dan K kurtosis suatu distribusi (Dowd, 2002). Jika kita hilangkan
higher order terms karena diasumsikan pengaruhnya semakin kecil dari normalitas,
perluasan menjadi:
1
1
1
z  ( z2  1) S  ( z3  3 z ) K  (2 z3  5 z ) S 2
6
12
36
Untuk menggunakan perluasan, dilihat nilai persentil z dari tabel distribusi probabilitas
normal standar. Ini ekivalen dengan menyesuaikan persentil normal z untuk skewness dan
atau kurtosis (Dowd, 2002).
Keberadaan non-normalitas dalam aset dapat sebagai petunjuk untuk memilih
portofolio berbeda berkenaan dengan asumsi. Menurut Dowd (2002), Cornish-Fisher pada
tahun 1937 mengembangkan suatu ukuran baru di mana risiko diukur dengan deviasi
standar, skewness (untuk return asimetri) dan kurtosis (untuk return fat tailes). Ukuran ini
disebut Modified VaR (atau MVaR), adalah serupa dengan Value-at-Risk secara klasik.
Menurut Sukono (2011) dan Dowd (2002), MVaR dirumuskan sebagai:
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
30
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011

1
1
1

 
MVaR  W0  i   z  ( z2  1)Si  ( z3  3z ) Ki  (2 z3  5 z )Si2   i  (13)
6
24
36

 

di mana i rata-rata,  i deviasi standar, Si skewness, Ki kurtosis, dari return saham i
dan z persentil distribusi normal standar dengan tingkat signifikansi  .
2.5
Back Testing
Menurut Dowd (2002), metode Back test dapat dilakukan menggunakan pendekatan
evaluasi hasil prediksi (forecast) yang diperkenalkan oleh Lopez
pada tahun 1998-an.
Misalkan rit adalah tingkat kerugian (jika negatif) atau keuntungan (jika positif), return
saham i ( i  1,..., N dan N banyaknya saham yang dianalisis), yang dihasilkan pada periode
t , dan VaRit prediksi VaR untuk return saham i pada periode t , fungsi indikator kerugian
observasi return saham i pada periode t diberikan sebagai berikut:
 f (r ,VaRit ), jika rit  VaRit
Cit   it
,
 g ( rit ,VaRit ), jika rit  VaRit
(14)
di mana f ( rit ,VaRit )  g ( rit ,VaRit ) .
Untuk uji hipotesis nol bahwa model VaRit adalah “terbaik”, dapat digunakan fungsi
quadratic probability score (QPS) diberikan oleh:
QPSi 
2 n
(Cit  p)2 ,

n j 1
(15)
di mana p nilai probabilitas yang dapat ditentukan sama dengan tingkat signifikansi
(biasanya sebesar 5%). Nilai QPS terletak di antara rentang [0, 2], dan nilai QPS mendekati
pada nol, adalah model terbaik (Dowd, 2002). Merujuk persamaan (15), rentang [0, 2]
menunjukkan bahwa angka 0 adalah nilai minimum terjadi bila seluruh rit  VaRit , dan angka
2 adalah nilai maksimum terjadi bila seluruh rit  VaRit .
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Data yang dianalisis meliputi sepuluh saham terdiri dari saham-saham: INDF, DEWA,
AALI, LSIP, ASII, TRUB, HDMT, BMRI, UNTR, dan BBRI. Selanjutnya, nama-nama saham
tersebut secara berturut-turut diberi simbol S1 sampai dengan S10 . Data indeks pasar yang
dipergunakan adalah Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG), dan data aset bebas risiko
adalah obligasi. Data tersebut diakses melalui website http://www.finance.go.id//. Data
saham masing-masing ditentukan return-nya, dan kemudian digunakan untuk pemodelan
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
31
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
rata-rata dan volatilitas berikut ini. Pengolahan data dilakukan dengan bantuan software: MS
Excel 2007, Eviews 4 dan R.
3.1
Pemodelan Rata-rata dan Volatilitas Data Return Indeks Pasar
Estimasi model rata-rata IHSG. Dalam analisis, Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)
digunakan sebagai indeks pasar. Selanjutnya dihitung return indeks pasar, kemudian
diidentifikasi efek long memory, diestimasi model rata-rata dan model volatilitas.
Identifikasi efek long memory. Untuk mengidentifikasi efek long memory, dilakukan
dengan mengestimasi parameter diferensi fraksional dm dalam persamaan (1). Estimasi
dilakukan menggunakan metode Gewek dan Porter-Hudak, dengan bantuan software R. Hasil
estimasi diperoleh nilai diferensi fraksional dˆm  0,3613183 ; dan deviasi standar
ˆ d m  0,1462239 . Untuk meyakinkan adanya pola long memory, dilakukan uji hipotesis
H 0 : dˆm  0 melawan H1 : dˆm  0 . Berdasarkan hasil perhitungan, diperoleh statistik
Z  5,86 . Sedangkan untuk tingkat signifikansi   0,05 , berdasarkan distribusi normal
standar diperoleh nilai Z1 0,5/ 2  1,96 . Karena nilai Z lebih besar dari nilai Z1 0,5/ 2 ,
disimpulkan bahwa hasil uji adalah signifikan. Artinya data return indeks pasar terdapat efek
long memory. Interval konfidensi 95% untuk parameter diferensi fraksional dˆm ditentukan
berdasarkan
rumus
dˆm  Z /2 .ˆ dm  d m  dˆm  Z1 /2 .ˆ dm ,
dan
hasilnya
adalah
0.074719  d m  0.647917 . Karena dˆm terletak dalam interval 0,5  dm  0, 5 , disimpulkan
bahwa dˆm adalah benar signifikan. Langkah selanjutnya menggunakan nilai diferensi
fraksional dˆm  0,3613183 untuk estimasi model rata-rata dan model volatilitas.
Estimasi model rata-rata IHSG. Dalam bagian ini digunakan software Eviews 4 untuk
estimasi model rata-rata. Data return indeks pasar yang telah didiferensi fraksional
dˆm  0.3613183 akan diestimasi model rata-ratanya. Tahap pertama adalah identifikasi dan
estimasi model rata-rata. Identifikasi dilakukan dengan melalui sampel autocorrelation
function (ACF) and partial autocorrelation function (PACF) data diferensi fraksional.
Berdasarkan pada pola ACF dan PACF, model tentatif yang mungkin untuk data return indeks
pasar adalah model ARMA(1,1). Dari estimasi model, dapat ditunjukkan bahwa model
ARMA(1,1) signifikan. Merujuk pada (2), model ARMA(1,1) memiliki persamaan
rmt  0, 239800 rmt 1 
0,997450 amt 1  amt , atau model ARFIMA(1, dˆm ,1), di mana
dˆm  0,3613183 ; dengan persamaan (1  0, 239800 B)(1  B)0,3613183 rmt  (1  0,997450 B ) amt .
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
32
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
Tahap kedua, dilakukan uji diagnosis terhadap model ARMA(1,1). Uji diagnosis
dilakukan menggunakan correlogram dari residual model ARMA(1,1) dan uji hipotesis LjungBox. Hasil uji menunjukkan bahwa residual model ARMA(1,1) adalah white noise. Lebih
lanjut, dilakukan uji normalitas terhadap residual amt . Hasil uji menunjukkan bahwa amt
berdistribusi normal. Sehingga disimpulkan model cukup signifikan.
Estimasi model volatilitas IHSG. Dalam bagian ini juga digunakan software Eviews 4
untuk estimasi model volatilitas. Dalam tahap pertama, dilakukan deteksi keberadaan unsur
autoregressive conditional heteroscedasticity (ARCH) terhadap residual amt dari model
ARMA(1,1). Deteksi dilakukan dengan menggunakan metode uji ARCH-LM. Hasil deteksi
menunjukkan bahwa nilai perhitungan  2 (obs * R-Square) adalah 3,921869 dengan
probabilitas 0,0000 atau lebih kecil 5%, yang berarti terdapat unsur ARCH.
Tahap kedua, dilakukan identifikasi dan estimasi model volatilitas. Model volatilitas
yang digunakan adalah model generalized autoregressive conditional heterscedasticity
2
(GARCH) merujuk persamaan (3). Berdasarkan correlogram residual kuadrat amt
, grafik ACF
menurun secara gradual setelah lag 1, sedangkan grafik PACF turun secara dratis setelah lag
1. Berdasarkan hal tersebut, ditetapkan model volatilitas tentatif adalah GARCH(1,1).
Estimasi model volatilitas dilakukan secara serempak dengan model ARMA(1,1). Setelah
dilakukan observasi berkali-kali dalam estimasi model volatilitas, akhirnya diperoleh model
terbaik adalah ARMA(1,1)-GARCH(1,1). Model tersebut memiliki persamaan rata-rata
rmt  0, 073579rmt 1
0,997326amt 1  amt
2  1, 04  10 8  0,077409 a 2
 mt
mt 1
dan
2
0,886862 mt
1   mt .
persamaan
volatilitas
Dalam proses pemodelan
volatilitas juga ditunjukkan bahwa berdasarkan uji ARCH-LM, residual  mt dari model
ARMA(1,1)-GARCH(1,1) adalah white noise. Selanjutnya, persamaan rata-rata dan volatilitas
2  ˆ 2 (1)
tersebut digunakan untuk mengestimasi nilai ˆ mt  rˆmt (1) = 0,0547027 dan ˆmt
mt =
0,0018864; merupakan prediksi 1-langkah ke depan secara rekursif.
3.2
Perhitungan MVaRi dan Back Testing
Sebelum melakukan perhitungan MVaRi , perlu diestimasi persamaan CAPM pendekatan
model ARMAX-GARCH terlebih dahulu. Estimasi dilakukan dengan menggunakan bantuan
software Eviews 4. Untuk masing-masing return saham S1 sampai dengan S10 , estimasi
persamaan CAPM pendekatan model ARMAX dilakukan dengan merujuk pada persamaan
(12). Residual dari model ARMAX, yakni uit selanjutnya digunakan untuk mengestimasi
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
33
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
model volatilitas data return saham i ( i  1,...,10 ), pada sepuluh saham S1 sampai dengan
S10 . Estimasi model volatilitas dilakukan dengan merujuk persamaan (3). Hasil estimasi
model diberikan dalam Tabel-1 kolom dua (yaitu: ”model”). Menggunakan estimator model
ARMAX-GARCH tersebut, kemudian dilakukan estimasi nilai-nilai rata-rata dan deviasi
standar untuk masing-masing saham S1 sampai dengan S10 . Hasil estimasi nilai-nilai ratarata dan deviasi standar diberikan dalam Tabel-1 kolom ˆi dan kolom ˆ i .
Melalui model volatilitas, juga digunakan untuk mengestimasi nilai-nilai kurtosis untuk
masing-masing saham S1 sampai dengan S10 . Estimasi nilai kurtosis dilakukan dengan
merujuk persamaan (11). Hasil estimasi nilai-nilai kurtosis untuk masing-masing saham S1
sampai dengan S10 diberikan dalam Tabel-1 kolom Kˆ i . Model GARCH adalah model simetri
(Gausian), oleh karena itu skewness diasumsikan sama dengan 0. Sehingga, perhitungan
Modified Value-at-Risk (MVaR) hanya melibatkan parameter ˆi , ˆ i dan Kˆ i . Perhitungan
MVaRi untuk masing-masing saham S1 sampai dengan S10 , dilakukan dengan merujuk
persamaan (13). Tingkat signifikansi
ditentukan sebesar  = 0,05; sehingga dari tabel
distribusi normal standar diperoleh persentil z0,05  1, 645 . Hasil perhitungan MVaRi untuk
masing-masing saham S1 sampai dengan S10 diberikan dalam Tabel-1 kolom MVaRi .
Tabel-1 Hasil Estimasi Model, Perhitungan MVaRi dan Back Testing
Saham
( Si )
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
Model
ARMAX(1,1)GARCH(1,1)
ARMAX(1,1)ARCH(2,1)
ARMAX(1,1)GARCH(1,1)
ARMAX(1,1)GARCH(1,1)-M
ARMAX(1,1)GARCH(1,1)
ARMAX(1,1)GARCH(1,1)
ARMAX(1,1)GARCH(1,1)
ARMAX(1,1)GARCH(1,1)
ARMAX(1,1)GARCH(1,1)
ARMAX(1,1)ARCH(1,1)-M
Rata-rata
( ˆi )
Dev.
Standar
( ˆi )
Kurtosis
( Kˆ i )
MVaRi
QPSi
0,014364
0,037918
2,884444
0,047247
0,046195
0,012776
0,027372
2,834820
0,031699
0,048987
0,016777
0,030585
2,915390
0,032919
0,043281
0,013865
0,032695
2,87615
0,039259
0,034378
0,019022
0,028064
2,924787
0,026578
0,038325
0,037195
0,025206
3,038834
0,003761
0,047840
0,015886
0,031613
3,019924
0,035480
0,038638
0,017182
0,030165
3,027223
0,031832
0,051941
0,019588
0,015457
2,900240
0,005527
0,034575
0,015356
0,022365
3,023342
0,020984
0,041034
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
34
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
Setelah dihitung MVaRi untuk masing-masing saham S1 sampai dengan S10 ,
selanjutnya perlu dilakukan back testing. Back testing tersebut dilakukan untuk mengukur
kinerja dari model MVaRi yang digunakan. Back testing dilakukan dengan merujuk
persamaan (14) dan (15), yang hasilnya diberikan dalam Tabel-1 kolom QPSi . Besarnya
QPSi yang dihasilkan untuk masing-masing saham S1 sampai dengan S10 , menunjukkan
bahwa nilai-nilainya berada dalam rentang [0, 2], dan cenderung mendekati 0. Berarti bahwa
model MVaRi cukup baik sebagai ukuran risiko saham S1 sampai dengan S10 . Besarnya
risiko untuk masing-masing saham S1 sampai dengan S10 dapat dilihat dalam Tabel-1 kolom
MVaRi . Besarnya ukuran risiko tersebut dapat dijadikan sebagai bahan pertimbangan dalam
berinvestasi berupa saham individual, khusus saham S1 sampai dengan S10 .
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil identifikasi, bahwa return indeks pasar terdapat efek long memory
dengan estimator diferensi fraksional dˆm  0.3613183 . Pada data return indeks pasar
terdiferensi fraksional, rata-rata dan volatilitasnya mengikuti model ARFIMA(1, dˆm ,1)GARCH(1,1). Rata-rata indeks pasar yang diestimasi menggunakan model ARFIMA(1, dˆm ,1)GARCH(1,1) selanjutnya digunakan untuk membentuk regresi CAPM dengan pendekatan
model ARMAX, pada data return saham S1 sampai dengan S10 . Melalui model-model ARMAXGARCH yang dihasilkan, selanjutnya digunakan untuk mengestimasi nilai-nilai rata-rata,
deviasi standar dan kurtosis untuk masing-masing saham S1 sampai dengan S10 . Karena
model GARCH merupakan model simetri (Gausian), maka skewness diasumsikan sama dengan
nol. Estimator rata-rata, deviasi standar dan kurtosis yang dihasilkan, selanjutnya digunakan
untuk menghitung Modified Value-at-Risk (MVaR) masing-masing saham S1 sampai dengan
S10 . Berdasarkan hasil back testing, menunjukkan bahwa nilai QPS masing-masing saham S1
sampai dengan S10 berada dalam rentang [0, 2], dan cenderung mendekati 0. Hal ini
menunjukkan bahwa MVaR di bawah CAPM dengan pendekatan ARMAX-GARCH cukup baik
digunakan untuk mengukur risiko return saham S1 sampai dengan S10 .
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
35
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
5.
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
DAFTAR PUSTAKA
Allen, D.E. & Bujang, I. (2009). Conditional Beta Capital Asset Pricing Model (CAPM) and Duration
Dependece Test. Working Paper. 18th World IMACS/MODSIM Congress, Cains, Australia 13-17
July 2009. http://www.mssanz.org.au/modsim09. (Diakses 10 Januari 2010).
Dowd, K. (2002). An Introduction to Market Risk Measurement. New Delhi, India: John Wiley & Sons, Inc.
Firnandez, V. (2002). The CAPM Value at Risk Different Time Scales. Working Paper. Center for Applied
Economics (CEA), Department of Industrial Engineering at the University of Chile. .
http://www.dii.uchile.cl/~ceges/ publicaciones/ceges57.pdf. (Diakses 10 November 2007).
Franses, P.H. & Van Oest, R., 2004, On the Econometrics of the Koyck Model, Econometric Institute
Report 2004-07, http://www.publishing.eur.nlfir/ asset/1190/ei200407.pdf. (Diakses 20
December 2009).
Froot, K.A., Venter, G.G. & Major, J.A. (2007). Capital and Value of Risk Transfer. Working Paper. New
York: Harvard Business School, Boston, MA 02163. Http://www.people.hbs.edu/kfroot/.
(Diakses 6 Desember 2009).
Hu, J., Kumamaru, K. & Hirasawa, K. (2000). Quasi-ARMAX Modeling Approaches to Identification and
Prediction of Nonlinear Systems. IFAC System Identification. Santa Barbara, California, USA, 2000.
www.hflab.ips.waseda.ac.jp/.../sysid00.pdf. (Diakses 10 September 2011).
Korkmaz, T., Cevic, E.I. & Ozatac, N. (2009). Testing for Long Memory in ISE Using ARFIMA-FIGARCH
Model and Structural Break Test. International Research Journal of Finance and Economics. ISSN
1450-2887 Issue 26 (2009). http://www. Eurojournals.com/ finance.htm. (Diakses 2 Januari
2011).
Kang, S.H. & Yoon, S-M. (2007). Value-at-Risk Analysis of the Long Memory Volatility Process: The Case
of Individual Stock Return. Working Paper. School of Commerce, University of South Australia. .
http://www.korfin.org/ data/journal/21-1-04.pdf. (Diakses 5 Desember 2008).
Khindanova, I.N. & Rachev, S.T., Value at Risk : Recent Advances, Working Paper, University of
California,
Santa
Barbara
and
University
of
Karlsruhe,
Germany,
2005.
http://www.econ.ucsb.edu/papers/wp3-00.pdf... (Diakses 10 November 2008).
Li He & Karny, M. (2003). Estimation and Prediction with ARMMAX Model: A Mixture of ARMAX
Models with Common ARX Part. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing,
2003; 00: 1-15. www.library.utia.cas.cz/.../karny-... (Diakses 5 Agustus 2011).
Moore, S., Lai, J. & Shankar, K. (....). ARMAX Modal Parameter Identification for Structures Excited with
Piezoceramic Actuators. Working Paper. School of Aerospace, Civil, and Mechanical Engineering,
University of New South Wales, Australian Defence Force Academy Canberra, Australia.
www.sem-proceedings.com/.../sem.org-IMAC-XXI.. (Diakses 3 September 2011).
Shi-Jie Deng. (2004). Heavy-Tailed GARCH models: Pricing and Risk Management Applications in
Power Market. IMA Control & Pricing in Communication & Power Networks. 7-17 Mar. 2004.
http://www.ima.umn. edu/talks/.../deng/power_workshop_ima032004-deng.pdf. (Diakses 12
Maret 2007).
Sukono, Subanar & Rosadi, D. (2010). Analisis VaR Dibawah CAPM Berdistribusi Koyck dengan
Volatilitas Tak Konstan dan Efek Long Memory. Jurnal Bionatura: Jurnal Ilmu-ilmu Hayati dan
Fisik (Journal of Life and Phisical Sciences), Vol. 12, No. 3, Desember 2010, pp. 117-123 (ISSN:
1411-0903). (Terakreditasi: SK Dirjen Dikti No. 110/Dikti/Kep/2009).
Sukono. (2011). Pengukuran VaR dengan Volatilitas Tak Konstan dan Efek Long Memory. Disertasi.
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gajah mada.
Yogyakarta.
Tsay, R.S. (2005). Analysis of Financial Time Series. Second Edition. Hoboken, New Jersey: John Wiley &
Sons, Inc.
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
36