pertemuan14

Pertemuan 14
RUANG VEKTOR
1. RUANG-NEUCLIDES
Konsep generalisasi dari vektor
atau
yang telah diketahui, sebuah vektor di
terurut
, begitu juga vektor di
dikembangkan pada subbab ini. Seperti
dinyatakan oleh sepasang bilangan
dinyatakan tiga bilangan terurut
. Permasalahan mulai timbul setelah
yaitu apakah perlu konsep
vektor dikembangkan
, dan bagaimana visualisasinya. Jawabnya tentu perlu
dikembangkan ke
, bahkan sampai
. Hal ini dapat dilihat pada sistem
persamaan linear yang telah dibicarakan pada subbab sebelumnya yang ternyata
permasalahan vektor bukan hanya sampai
melainkan sampai
. Masalah
visualisasi tidak dapat dilaksanakan karena dunia ini hanya disusun oleh konsep tiga
dimensi.
Definisi 1:
Sebuah vektor di
Pada
atau
dinyatakan oleh
bilangan terurut yaitu
.
sebuah urutan bilangan di atas ada maknanya yaitu sebagai titik atau
sebagai vektor. Dalam
keduanya dianggap sama sehingga
merupakan
generalisasi titik sekaligus generalisasi vektor.
Definisi 2:
Vektor nol ialah vektor yang semua entrinya nol, misalkan
Misalkan u, v
.
, dua vektor disebut sama, atau u = v, jika dan hanya jika
1.1 Operasi-operasi pada Vektor di
1. Penjumlahan
Misalkan u, v
, didefinisikan
.
Contoh 1
Diketahui
Hitunglah
.
.
Penyelesaian
tidak terdefinisi karena
sedangkan
.
.
2. Perkalian dengan Skalar
Misalkan
skalar, didefinisikan
.
Contoh 2
Jika diketahui
, hitunglah
.
Penyelesaian
.
Dari didefinisikannya perkalian dengan skalar, kita memperoleh operasi pengurangan
yaitu
Sifat-sifat Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar.
Misalkan
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
skalar, dalam hal ini berlaku
h.
Kedelapan sifat di atas nantinya akan diambil sebagai sebuah kebenaran (aksioma)
dan ditambah dengan dua aksioma ketertutupan yang dipakai untuk mendefinisikan
ruang vektor.
3. Hasil-kali Titik (Hasil-kali dalam Euclides)
Misalkan
, didefinisikan
Contoh 3
Jika
diketahui
,
hitunglah
Penyelesaian
tidak terdefinisi, karena
, sedangkan
Sifat Hasil-kali Titik. Misalkan
.
adalah skalar, dalam hal ini berlaku
a.
b.
c.
d.
, jika
, dan
, jika
Keempat sifat di atas nantinya akan diambil sebagai kebenaran (aksioma) untuk
membentuk definisi hasil-kali dalam.
4. Norma/ Besar/ Panjang Vektor
Dari sifat hasil-kali titik bagian
di atas, dijamin bahwa hasil-kali titik antara vektor
dengan vektor itu sendiri tak-negatif yang oleh karena itu dapat digunakan untuk
mendefinisikan norma atau panjang vektor. Misalkan
didefinisikan
Contoh 4
Jika diketahui
, hitunglah norm atau panjang vektor ini.
Penyelesaian
Panjang vektor ini dapat diperoleh dari
5. Sudut antara Dua Vektor
Secara geometri kita tak mampu menggambarkan (memvisualisasikan) vektor
oleh
karena itu sudut di antara dua vektor pun bukanlah sudut dalam makna yang dapat
digambarkan seperti itu, melainkan sudut dalam makna gagasan saja. Misalkan
didefinisikan sudut di antara vektor dan dinyatakan sebagai kosinusnya:
Contoh 5
Jika diketahui
dan
hitunglah sudut yang
dibentuk oleh kedua vektor ini.
6. Jarak antara Dua Vektor
Hasil lain dari sifat hasil-kali titik pada bagian
mendefinisikan jarak antara dua vektor. Misalkan
sebelum ini dapat digunakan
didefinisikan
Contoh 6
Jika diketahui
dan
, hitunglah jarak kedua
vektor ini.
Penyelesaian
Himpunan semua vektor di
yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan, perkalian
dengan skalar, dan hasil-kali titik yang telah didefinisikan di atas disebut ruang n
Euclides.
6.1.2 Proyeksi Ortogonal
Misalkan
proyeksi ortogonal pada
Yakni komponen yang ortogonal pada
adalah
.
 SOAL-SOAL
1. Misalkan
hitunglah:
a.
b.
c.
d.
2. Kerjakan kembali Soal 1 untuk
a.
e.
b.
f.
c.
g. kosinus sudut antara
d.
h. kosinus sudut antara
3. Kerjakan kembali Soal 1 untuk
a.
b.
c. Komponen
yang ortogonal terhadap .
dan
dan
d. Komponen yang ortogonal terhadap .
4. Tentukan
dan
sehingga
ortogonal terhadap
dan
5. Tentukan
begitu juga jika ortogonal pada
sehingga sudut antara
dan
.
sebesar
.
6.2 RUANG VEKTOR
Seperti yang telah dinyatakan sebelumnya dengan memperhatikan vektor
matriks
dan
yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan
skalar yang mempunyai sifat yang sama mendorong didefinisikannya ruang vektor
berikut.
Definisi 3:
Misalkan V adalah himpunan yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar (dalam hal ini skalar adalah bilangan real). V disebut ruang
vektor jika memenuhi sepuluh aksioma berikut.
1. Untuk setiap
berlaku
2. Untuk setiap
berlaku
3. Untuk setiap
4. Ada
berlaku
dan berlaku
5. Untuk setiap
, ada
6. Untuk setiap
dan setiap
7. Untuk setiap
untuk setiap
dan berlaku
dan setiap
, berlaku
, berlaku
8. Untuk setiap
dan setiap
, berlaku
9. Untuk setiap
dan setiap
berlaku
10. Untuk setiap
berlaku
Anggota ruang vektor disebut vektor.
Dengan definisi ruang vektor yang demikian ini maka istilah “vektor” menjadi sangat
luas; sebuah matriks ataupun fungsi disebut vektor juga panjang himpunan matriks atau
fungsi itu yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar
tersebut memenuhi kesepuluh aksioma di atas.
Sebagai contoh, oleh karena kesepuluh aksioma tersebut diambil dari vektor
matriks
dan
yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang
biasa (standar), maka
dan matriks
adalah ruang vektor.
Contoh yang lain ialah himpunan semua polinom berderajat maksimal
yang dilengkapi
dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang biasa yang
dilambangkan dengan .
Bentuk umum polinom ini adalah
di mana
konstanta real,
Dan
, dan polinom ini disebut polinom berderajat .
Operasi yang biasa pada polinom.
Misalkan
maka
Bukti. (Bahwa
1. Ambil
Maka
Ruang Vektor)
berarti kedua vektor ini dapat diuraikan sebagai
2. Ambil
berarti kedua vektor ini dapat diuraikan sebagai
3. Ambil
berarti ketiga vektor ini dapat diuraikan sebagai
Maka
4. Ada
, yaitu
{bilangan real nol}, dan ambil
dapat diuraikan sebagai
Maka
, yang berarti vektor ini
5. Ambil
, yang berarti vektor ini dapat diuraikan sebagai
dan ada
Sehingga
6. Ambil
, yang berarti vektor ini dapat diuraikan sebagai
ambil
Karena
7. Ambil
maka
, yang berarti kedua vektor ini dapat diuraikan sebagai
dan
ambil
, sehingga
maka
sehingga
8. Ambil
yang berarti vektor ini dapat diuraikan sebagai
kemudian
9. Ambil
yang berarti vektor ini dapat diuraikan sebagai
Kemudian
10. Ambil
yang berarti vektor ini dapat diuraikan sebagai
kemudian
Dengan kesepuluh pembuktian ini dapat diambil kesimpulan bahwa
ruang vektor.
Contoh 7
merupakan
Jika
diketahui
vektor
dan
,
hitunglah:
a.
b.
Penyelesaian
Contoh 8 (Himpunan Vektor Nol)
Buktikanlah bahwa
yang dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian skalar
biasa termasuk ruang vektor.
Penyelesaian
termasuk ruang vektor karena memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor
berikut.
1.
2.
3.
4. Ada
yang bersifat
5. Jika
maka
selalu
ada
,
sehingga
6.
7.
8.
9.
10.
Contoh 9 (Vektor pada Bidang yang Melalui Titik Asal)
Persamaan bidang yang melalui titik asal adalah
himpunan semua vektor
. Buktikanlah bahwa
pada bidang yang melalui titik asal dinyatakan oleh
yang
perkalian skalar biasa dalam
dilengkapi
dengan
penjumlahan
dan
merupakan ruang vektor.
Penyelesaian
1. Ambil
yang
memenuhi
berarti
dan
persamaan
kedua
ini
atau
2. Ambil
.
dan kerana
juga anggota
terpenuhilah aksioma ke-2.
3. Ambil
juga anggota
4. Ada
maka
begitu pula
sehingga dipenuhi aksioma yang ke-3.
karena
maka dipenuhi aksioma ke-4.
5. Ambil
dan karena
juga anggota
ada
karena
. Dan oleh karena
ini juga anggota
akan ditunjukkan bahwa
diperlihatkan
dan
9. Ambil
dan
yang berarti akan
memenuhi
7. Ambil
8. Ambil
dan
maka dipenuhi aksioma yang ke-5.
6. Ambil
kemudian ambil
juga anggota
ini
dan jumlah dari kedua
, yang berarti
dan
vektor
dan
persamaan
skalar dank arena
skalar real maka dipenuhi aksioma ke-7.
kemudian ambil
skalar, dank arena
juga anggota
skalar real maka dipenuhi aksioma ke-8.
kemudian ambil
skalar, dank arena
juga anggota
skalar real maka dipenuhi aksioma ke-9.
10. Ambil
Karena kesepuluh aksioma telah dipenuhi, himpunan vektor tersebut juga merupakan
ruang vektor.
Contoh 10 (Bukan Ruang Vektor)
Andaikan
yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan yang
biasa di matriks 2 x 2 dan perkalian dengan skalar yang biasa di matriks 2 x 2. Buktikan
bahwa bukan ruang vektor.
Penyelesaian
Dari definisi
ini terlihat ada ketidakbiasaan disbanding himpunan matriks 2 x 2 yaitu
entri pada baris pertama kolom pertama yang harus 1. Oleh sebab itu
bukan ruang
vektor karena tidak terpenuhi aksioma ketertutupan terhadap operasi penjumlahan.
Berikut diberikan contoh penyangkal (contoh yang tidak memenuhi aksioma)
yaitu
Jika
dan ditambahkan diperoleh vektor
kolom pertama bukan 1 (satu), sehingga
yang memiliki entri baris pertama
bukanlah ruang vektor seperti pada
, yang
mensyaratkannya.
Contoh 11 (Bukan Ruang Vektor)
Jika
himpunan semua vektor di
, dengan operasi penjumlahan
Sedangkan perkalian dengan skalar
Buktikan bahwa
ini bukan ruang vektor!
Penyelesaian
Dari definisi
terlihat ada yang tidak biasa yaitu operasi penjumlahan pada entri
pertama dan kedua, yang secara intuisi kemungkinan kegagalan aksioma ruang vektor
adalah di sini: oleh karena itu dicari contoh penyangkal yang sesuai, misalnya
dan
. Kemudian,
Karena
berarti
yang dengan demikian
 SOAL-SOAL
ini tidak memenuhi aksioma ke 2 yaitu aksioma komutatif
ini bukanlah ruang vektor.
Untuk tiap-tiap soal di bawah ini tunjukkan bahwa himpunannya merupakan ruang
vektor atau jika bukan ruang vektor berikan contoh penyangkalnya.
1. Misalkan
himpunan semua vektor di
dengan operasi yang didefinisikan
sebagai berikut: untuk
maka
sedangkan
2. Misalkan
himpunan semua vektor di
dengan operasi yang didefinisikan
sebagai berikut: untuk
maka
sedangkan
3. Misalkan
.
himpunan semua matriks berordo 2 x 2 dengan operasi yang
didefinisikan sebagai berikut: untuk
dan
maka
dan
4. Misalkan
himpunan vektor di
dengan syarat
5. Misalkan
himpunan polinom di
himpunan vektor di
syarat
,
.
yang mempunyai bentuk
dengan kedua operasi yang biasa di vektor
himpunan semua matriks berordo 2 x 2, dengan bentuk
dan
.
yang mempunyai bentuk
dengan kedua operasi yang biasa di vektor
dengan syarat
7. Misalkan
,
, dengan kedua operasi yang biasa di vektor
dengan syarat
6. Misalkan
yang mempunyai bentuk
.
dengan
sedangkan kedua operasi yang biasa pada matriks
2 x 2.
8. Misalkan
syarat
9. Misalkan
himpunan semua matriks berordo 2 x 2, dengan bentuk
dengan
sedangkan kedua operasi yang biasa pada matriks 2 x 2.
himpunan polinom di
dan
yang mempunyai operasi penjumlahan untuk
yang
didefinisikan
oleh
dan perkalian skalar yang biasa di
vektor
.
10. Misalkan
himpunan semua penyelesaian sistem persamaan linear homogen
dengan
berordo
dengan operasi yang biasa pada
.