bab 1 vektor dan skalar

BAB 1 VEKTOR DAN SKALAR
Definisi
Vektor adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah.
Contoh: perpindahan, kecepatan, dan percepatan
Skalar adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar tetapi tanpa arah.
Contoh: massa, panjang, waktu, suhu
Aljabar Vektor merupakan operasi-operasi penjumlahan, pengurangan,
dan perkalian dalam aljabar dari vektor-vektor.
Notasi :
Vektor bidang : a = a1, a2
Vektor ruang : a = a1, a2, a3
Bilangan-bilangan a1, a2, dan a3 disebut komponen-komponen a.
Representasi dari vektor a = a1, a2 adalah ruas garis lurus AB
dari sembarang titik A(x, y) ke titik B(x + a1, y + a2). Representasi
khusus dari a adalah ruas garis lurus OP dari titik asal ke titik
P(a1, a2). Dalam hal ini a disebut vektor posisi dari titik P(a1, a2).
B(x+a1, y+ a2)
y
Contoh
P(a1, a2)
Carilah vektor yang dinyatakan oleh
ruas garis dengan titik awal A(2, -5, 0)
dan titik akhir B(-3, 1, 1).
A(x, y)
O
x
Panjang vektor a = a1, a2 adalah
a  a12  a22
Panjang vektor a = a1, a2, a3
a  a12  a22  a32
y
Penjumlahan Vektor
Jika a = a1, a2 dan b = b1, b2, maka a + b
a+b
b
didefinisikan oleh
a + b  a1  b1 , a2  b2
Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara
serupa.
a
O
x
Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika c skalar dan a = a1, a2, maka vektor ca didefinisikan oleh
ca  ca1 , ca2
Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara serupa.
Contoh
Jika a = 4, 0,3 dan b = -2, 2, 5, carilah vektor a + b, 3b, 2a+ 5b,
dan 2a + 5b .
Jawab:
Sifat-Sifat Vektor
Jika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k dan l
adalah skalar, maka
1. a + b = b + a
5. k(a + b) = ka + kb
2. a + (b + c) = (a + b) + c
6. (k + l)a = ka + la
3. a + 0 = a
7. (kl)a = k(la)
4. a + (-a) = 0
8. 1a = a
z
Vektor Basis baku
i = 1, 0, 0 j = 0,1, 0
k= 0, 0, 1
k
i
x
j
y
Jika a = a1, a2, a3, maka dapat kita tuliskan
a = a1, a2, a3 = a1, 0, 0 + 0, a2, 0 + 0, 0, a3
= a1 1, 0, 0 + a2 0, 1, 0 + a3 0, 0, 1 
a = a 1i + a 2 j + a 3 k
Contoh
Jika a = i + 2j – 3k dan b = 4j + 5k, nyatakan 2a + 5b dalam i, j,
dan k.
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Misalnya, i, j
dan k. Jika a vektor tak nol, maka vektor satuan yang searah a
adalah
u=
1
a
a=
a
a
Contoh
Carilah vektor satuan dalam arah vektor 2i + j – 2k.
1.
Nyatakan manakah yang merupakan vektor dan merupakan skalar: berat,
kalor jenis, kerapatan, volum, kecepatan, kalori, momentum, energi, jarak
2.
Sebuah mobil bergerak ke arah utara seauh 3 km, kemudian 5 km ke arah
timur laut. Gambarkan perpindahan ini secara grafis dan tentukan vektor
perpindahan resultannya secara grafis dan secara analitis
3.
Perlihatkan bahwa penjumlahan vektor adalah assosiatif.
4.
Diketahui a = 3, -2, 1, b = 2, -4, -3, c = -1, 2, 2 carilah besarnya a,
a+b+c, dan 2a-3b-5c
5.
.
Diketahui a = 2, -1, 1, b = 1, 3, -2, c = -2, 1, -3, dan d = 3, 2, 5
carilah skalar-skalar k, l, m sehingga d=ka+lb+mc