Transformasi Linier

Transformasi Linier
Objektif:
1. definisi transformasi linier umum.
2. definisi transformasi linier dari Rn ke Rm.
3. invers transformasi linier.
4. matrix transformasi
5. kernel dan jangkauan
6. keserupaan
1.DEFINISI TRANSFORMASI LINIER UMUM
Transformasi linier umum adalah sebuah fungsi yang memetakan suatu ruang
vector B ke suatu ruang vector C, sehingga variable A dinyatakan sebagai transformasi
linier dari B ke C. Pernyataan tersebut ditunjukkan pada skema dibawah ini :
Jika A : B
C
Variabel akan disebut sebagai transformasi linier jika semua vector u dan v yang ada pada B
dan semua scalar c, seperti :
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u)
Transformasi linier akan tampak terlihat jelas jika B = C dan akan dinyatakan dalam
bentuk
A: B
B yang disebut dengan operator linier pada B.
Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi
tersebut antara lain :
Fungsi diatas bernilai real. Contoh : f(x) = 2x + sin x
Fungsi diatas merupakan fungsi 2 variabel. Contoh: f(x,y) = 2(x+y)
Fungsi diatas merupakan fungsi n variable. Contoh:
f(x1, x2,….,xn) = a1x1 + a2x2 + … + anxn
Fungsi diatas bernilai vektor. Contoh: f(t) = (2t + 1,t)
Fungsi diatas merupakan fungsi 2 variabel bernilai vektor.
Contoh: F(x,y) = (cos x, sin y)
2.FUNGSI DARI Rn KE Rm
Fungsi
adalah aturan yang mengkaitkan setiap x elemen di daerah definisi
di Rn ke f(x) elemen di daerah hasil di Rm. Fungsi diatas disebut juga transformasi dai Rn
ke Rm. Sistem persamaan linear (SPL) dapat dinyatakan dalam perkalian matriks vektor,
seperti:
,
dimana
vektor di Rm sedangkan
mxn. Matriks
vektor di Rn kemudian A matriks
disebut matriks standard untuk transformasi linier T.
Sedangkan transformasi nol dinyatakan dengan
dinyatakan dengan
.
Transformasi linier dari
invers berupa
dan transformasi identitias
jika
memiliki
.
Transformasi Elementer Pada Baris dan Kolom Matriks
Transformasi Elamenter pada matriks adalah:
Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris
ke j dijadikan baris ke i), ditulis Hij(A)
Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j
atau
sebaliknya), ditulis Kij(A)
 Memperkalikan baris ke i dengan skalar
 Memperkalikan kolom ke i dengan
 Menambah baris ke i dengan
 Menambah kolom ke i dengan
ditulis
, ditulis
kali baris ke j, ditulis
kali kolom ke j,ditulis
3.INVERS TRANSFORMASI LINIER
Jika suatu transformasi elementer adalah:
Bentuk Kampanyon
Koefisien-koefisien dari matriks tersebut adalah koefisien deret λ dari
persamaan
karakteristik:
Dua bentuk kampanyon, tergantung pada koefisien-koefisin yang muncul pada
kolom pertama atau baris terakhir. Contoh :
Kampanyon kolom
Kampanyon baris
Persamaan karakteristik :
CONTOH KASUS
Pada pertemuan enam ini akan dibahas contoh kasus menggunakan transformasi
linier. Dibawah ini diberikan sebuah matriks A dengan anggota matriksnya adalah:
Berdasarkan matriks tersebut, carilah matriks B yang dihasilkan sederetan transformasi
elementer
H31(-1) , H2(2) , H12 , K41(1) , K3(2) …..
Maka matriks B yang digunakan adalah:
4.MATRIKS TRANSFORMASI LINIER UMUM
Misalkan A adalah suatu matriks berorde m’n. Jika notasi matriks digunakan untuk
vektor di Rm dan Rn, maka dapat didefinisikan suatu fungsi T: RnRm dengan
T(x) = Ax
Jika x adalah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1; jadi T
memetakan Rn ke dalam Rm dan T linier
*teorema
Jika T: RnRm adalah transformasi linier, dan jika e1, e2, …, en adalah basis baku
untuk Rn, maka T adalah perkilaan oleh A atau
T(x) = Ax
dimana A adalah matriks yang mempunyai vektor kolom T(e1), T(e2),.., T(e3)
CONTOH
•
Carilah matriks baku (A) untuk tranformasi
T: R3R2 yang didefinisikan oleh
T(x) = (x1+x2, x2+x3), untuk setiap x = (x1, x2, x3) dalam Rn
Jawab
T: R3  R2
Basis baku dari R3 adalah:
– e1 = (1, 0, 0)  T(e1) = (1 + 0, 0 + 0) = (1, 0)
– e2 = (0, 1, 0)  T(e2) = (0 + 1, 1 + 0) = (1, 1)
– e2 = (0, 0, 1)  T(e3) = (0 + 0, 0 + 1) = (0, 1)
Maka matriks A nya adalah vektor kolom bentukan dari
T(e1), T(e2), dan T(e3), yaitu
Buktikan jawaban tersebut!
SOAL
•
Misalkan T: R3R2 adalah transformasi matriks, dan misalkan:
– T(1,0,0) = (1,1)
– T(0,1,0) = (3,0)
– T(0,0,1) = (4, -7)
Hitunglah:
a. Matriks transformasinya
b. T(1, 3, 8)
c. T(x, y, z)
5.KERNEL DAN JANGKAUAN
Jika T: VW adalah transformasi linier, maka himpunan vektor di V yang dipetakan
ke 0, dinamakan dengan kernel (atau ruang nol) dari T. himpunan tersebut dinyatakan oleh
ker(T).
Hipunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah T dari paling
sedikit satu vektor di V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh
R(T).
 Kernel dan jankauan pada matrix transformasi
Jika TA : Rn → Rm adalah perkalian matrix Amxn maka :
Kernel dari TA ruang nol A
Jangkauan dari TAruang kolom pada A
 Kernel dan jankauan pada transformasi Nol
Anggap T : V W adalah transformasi nol. Karena T memetakan setiap vektor pada
V ke 0  ker(T) = V
Apabila 0 adalah satu-satunya bayangan di bawah T dari vektor-vektor pada
VKer(T) = {0}
 Kernel dan jangkauan pada Operator indentitas
Jika I:V→V adalah operator identita Dimana I(v) = v untuk semua vektor pada V,
setiap vektor pada V merupakan bayangan dari suatu vektor,yaitu vektor itu sendiri
R(I ) = V.
Karena satu-satunya vektor yang dipetakan I ke 0 adalah 0
ker(I ) = {0}.
SIFAT TRANSFORMASI LINIER
Jika T:VW adalah trasnformasi linier, maka
– T(0) = 0
– T(-v) = -T(v) untuk semua v di V
– T(v-w) = T(v) – T(w) untuk semua v dan w di V
RANK DAN NULITAS
Jika T:VW adalah transformasi linier, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank
T, dan dimensi kernel dinamakan nulitas T
Jika T:VW adalah trasnformasi linier, maka
– Kernel dari T adalah sub-ruang dari V
– Jangkauan dari T adalah subruang dari W
6.KESERUPAAN
Jika L adalah transpormasi linieryang memetakkan rung vektor V berdmensi n kedalam
dirinya sndri, maka lambang matriks dari L akan bergantung pada basis terurut yang diplih
untuk p. Dengan menggunakan basis basis yang berbeda, maka di mugkinkan untuk
melambangkan l dengan matriks matriks n x n yang berbeda.
Kita mulai dengan meninjau satu contoh di dalam R2 . misalkan L adalah transpormasi
linieryang memetakan R2 kedalam dirinya sendiri yang di definisikan oleh
𝐿 (𝑥) = (2𝑥1 , 𝑥1 + 𝑥2 )𝑟
Karena
2
0
𝐿(𝑒1 ) = ( ) dan 𝐿(𝑒2 ) = ( )
1
1
Maka lambang matrik dari L relatif terhadap { e1, e2 } adalah 𝐴 = (
2 0
)
1 1
Jika kita menggunaka basis yang berbeda utk R2 , lambang matriks dari L akan berubah
sebagai conyoh kita akan mengguakan
1
−1
𝑢1 = ( ) dan 𝑢2 = ( )
1
1
untuk sebuah basis maka untuk menetukan lambang matriks dari L relaatif terhadap
[𝑢1 , 𝑢2 ], kita harus menentukan
𝐿(𝑢1 ), 𝐿 (𝑢2 ) dan menuskan vektor –vektor in sebagai kombinasi linier dari 𝑢1 dan
𝑢2 . Kita dapat menggunakan matrks A ntuk menentukan 𝐿(𝑢1 ), 𝐿 (𝑢2 ).
𝐿(𝑢1 ) = 𝐴𝑢1 = (
2 0 1
2
)( ) = ( )
1 1 1
2
𝐿(𝑢2 ) = 𝐴𝑢2 = (
−2
2 0 −1
)( ) = ( )
0
1 1
1
Untuk menyataakan vektor-vektor ini dalam 𝑢1 dan 𝑢2 , kita menggunakan matriks
transisi untuk mengubah basis terurt [e1, e2] menjadi [𝑢1 , 𝑢2 ], Marilah kita hitung matriks
transisi dari [𝑢1 , 𝑢2 ], ke V [ e1, e2] sederhana dapat di lihat di bawah ini
1
1
𝑈 = (𝑢1 + 𝑢2 ) = (
−1
)
1
Matriks transisi dari [e1, e2] ke [𝑢1 , 𝑢2 ] jadi
1
𝑈 −1 = [
1
2
1
−2
2
1]
untuk menentukan koordinat-koordinat dari 𝐿(𝑢1 ) 𝑑𝑎𝑛 𝐿 (𝑢2 ) relatif
2
terhadap [𝑢1 , 𝑢2 ] kalikan vektor-vektor ini dengan 𝑈 −1
1
𝐿(𝑢1 ) = 𝑈 −1 𝐴𝑢1 = [
1
2
1
−2
1
𝐿(𝑢2 ) = 𝑈 −1 𝐴𝑢2 = [
2 2
1] ⌊2⌋
2
=( )
0
2
1
2
1
−2
2 −2
1] ⌊ 0 ⌋
2
−1
)
1
=(
Daftar Pustaka
1.
http://downloads.ziddu.com/downloadfiles/7831855/Transformasi_Linier_A.pdf
2.
http://downloads.ziddu.com/downloadfiles/7831853/Transformasi_Linier_B.pdf
3. http://personal.fmipa.itb.ac.id/novriana/files/2010/09/6-transformasi-linier-dan-matriks.pdf
4. http://lovesthi.wordpress.com/2009/09/11/contoh-program-oopjdbc-dan- servletjsp/#respond