makalah-segitiga

MAKALAH
“SEGITIGA”
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian Matematika SMP
Dosen Pengampu : Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd
Di susun oleh :
Hepry Yurika
(14144100076)
Reza Nike Oktariani
(14144100098)
Syitoh Noviani
(14144100102)
Elga Dian Pertiwi
(14144100108)
Kelas : 3A3
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2015
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ............................................................................................................ i
SEGITIGA .............................................................................................................. 1
A. Pengertian Segitiga....................................................................................... 1
B. Jenis-jenis segitiga ....................................................................................... 1
1.
Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya ........................................ 1
2.
Jenis segitiga di tinjau dari sudut-sudutnya .............................................. 3
3.
Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisi dan besar sudutnya .............. 3
C. Sifat-sifat segitiga......................................................................................... 4
1.
Segitiga siku-siku ..................................................................................... 4
2.
Segitiga sama kaki .................................................................................... 5
3.
Segitiga sama sisi ..................................................................................... 6
D. Menggambar segitiga istimewa ...................................................................... 7
1.
Menggunakan busur derajat dan penggaris .............................................. 7
2.
Menggunakan Koordinat Cartesius .......................................................... 8
3.
Menggunakan Jangka ............................................................................... 9
E. Menggambar Segitiga Secara Umum......................................................... 11
1.
Menggambar segitiga jika diketahui ketiga sisinya ............................... 11
2.
Menggambar segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut yang
diapitnya......................................................................................................... 11
3.
Menggambar segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi persekutuan
kedua sudut .................................................................................................... 12
F.
Melukis Garis Tinggi, Garis Bagi, Garis Berat, dan Garis Sumbu Pada
Segitiga. ............................................................................................................. 13
1.
Melukis garis tinggi pada segitiga sembarang........................................ 13
2.
Melukis garis bagi pada segitiga sembarang .......................................... 13
3.
Melukis garis berat pada segitiga sembarang ......................................... 14
4.
Melukis garis sumbu pada segitiga sembarang ...................................... 15
G. Menghitung Besaran-Besaran Pada Segitiga ............................................. 15
1.
i|
Jumlah sudut-sudut segitiga yang membentuk sudut lurus .................... 15
2.
Menghitung besar salah salah satu sudut pada segitiga jika dua sudut
lainnya diketahui ............................................................................................ 16
3.
Hubungan sudut dalam dan sudut luar pada segitiga ............................. 17
H. Keliling dan Luas Segitiga ......................................................................... 18
1.
Keliling segitiga ..................................................................................... 18
2.
Luas Segitiga .......................................................................................... 19
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 22
ii |
SEGITIGA
A. Pengertian Segitiga
Dalam kehidupan sehari-hari, segitiga banyak manfaatnya. Sebagai
contoh jembatan atau tiang listrik untuk transmisi tegangan tinggi dibuat
dengan konstruksi bentuk segitiga. Dipilih berbentuk segitiga agar
konstruksinya kokoh.
Sebuah segitiga terbentuk apabila tiga titik yang tidak terletak pada satu
garis lurus saling dihubungkan. Hal ini berarti :
Segitiga adalah bidang datar yang dibatasi oleh tiga garis lurus dan
membentuk tiga sudut.
Gambar bangun ABC di samping adalah sebuah segitiga. Ketiga titik
segitiga tersebut, yaitu, AB, danC disebut titik sudut .AB, BC, dan AC disebut
sisi. Sisi-sisi dan sudut-sudut dalam segitiga ABC
disebut unsur-unsur sebuah segitiga.
Notasi untuk segitiga ABC sering digunakan
∆𝐴𝐵𝐶. Rincian tentang unsur-unsur ∆𝐴𝐵𝐶 pada
gambar
disamping
dapat
diterangkan
sebagai
berikut.
Sisi BC yang berhadapan dengan sudut A ditulis 𝑎
Sisi AC yang berhadapan dengan sudut B ditulis 𝑏
Sisi AB yang berhadapan dengan sudut C ditulis 𝑐
B. Jenis-jenis segitiga
Penanaman sebuah segitiga bergantung dari cara peninjauan .Peninjauan
ini meliputi panjang sisi-sisinya, sudut-sudutnya ataupun gabungan keduanya
1. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya
Penanaman segitiga yang ditinjau dari panjang sisi-sisinya meliputi :
segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga sembarang.
1|
a. Segitiga sama kaki
Segitiga sama kaki terbentuk dari dua
segitiga
siku-siku
kongruen
yang
diletakkan bersisian dan berimpit pada sisi
siku-siku yang sama panjang.
Gambar
disamping
bahwa 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷
memperlihatkan
merupakan
kaki
dari
segitiga sama kaki 𝐴𝐶𝐷, 𝐶𝐷 merupakan
alas, serta 𝐴𝐵 merupakan tinggi segitiga dan sering pula disebut
sebagai sumbu simetri 𝐴𝐶𝐷. Sudut 𝐶 = sudut D.
Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa :
Segitiga sama kaki terbentuk dari dua segitiga siku-siku kongruen
yang berimpit pada sisi siku-siku yang sama panjang.
b. Segitiga sama sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang
ketiga sisinya sama panjang.
c. Segitiga sembarang
segitiga sembarang adalah
Sigitiga yang panjang sisi-sisinya
tidak mencirikan segitiga sama kaki
maupun segitiga sama sisi disebut
segitiga sembarang.
Dari pernyataan diatas dapat
pula dinyatakan sebagai berikut :
2|
Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama
panjang.
Ketiga jenis segitiga yang telah di kenal itu bila dituliskan
dalam teori himpunan akan diperoleh hubungan sebagai berikut.
Misal : 𝐴 = himpunan segitiga sembarang
𝐵 = himpunan segitiga sama kaki
𝐶 = himpunan segitiga sama sisi
Maka 𝐴 ⊃ 𝐵 ⊃ 𝐶 atau 𝐶 ⊂ 𝐵 ⊂ 𝐴
2. Jenis segitiga di tinjau dari sudut-sudutnya
Pada topik sebelumnya kita telah mempelajari jenis
segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya. Sekarang akan
meninjau jenis segitiga berdasarkan ukuran sudut-sudutnya.
Apabila segitiga ditinjau dari ukuran-ukuran sudut,
maka nama segitiga itu mengikuti nama ukuran sudutnya,
yaitu :
a. Segitiga yang ketiga sudutnya lancip disebut segitiga
lancip.
b. Segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku disebut
segitiga siku-siku
c. Segitiga yang salah satu sudutnya tumpul disebut
segitiga tumpul.
3. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisi dan besar sudutnya
Pada pembahasan yang lalu telah mengenal jenis segitiga ditinjau dari
panjang sisi-sisinya dan ditinjau dari besar sudut-sudutnya secara terpisah.
Jenis segitiga yang ditinjau dari panjang sisi-sisi dan besar sudutnya antara
lain :
a. Segitiga sama kaki
Segitiga sama kaki jika dikaitkan dengan besar sudut-sudutnya
yang mungkin terbentuk adalah :
3|
b. Segitiga sama sisi
Segitiga sama sisi jika dikaitkan dengan besar sudut-sudutnya
adalah besar tiap sudutnya 60∘ . Untuk segitiga sama sisi tidak ada
penamaan khusus seperti segitiga sama kaki.
c. Segitiga sembarang
Segitiga sembarang yang mungkin terbentuk jika dikaitkan dengan
besar sudut-sudutnya adalah :
C. Sifat-sifat segitiga
1. Segitiga siku-siku
Pada pembahasan terdahulu telah di ketahui bahwa segitiga siku-siku
dapat dibentuk dari sebuah persegi panjang dengan
menarik
diagonalnya.
Perhatikan
gambar
disamping. Bidang ABCD adalah persegi panjang.
Dengan menarik diagonal AC, akan terbentuk dua
segitiga siku-siku
yang sama dan sebangun
(kongruen) yaitu ∆ABC dan ∆ADC.
Segitiga siku-siku mempunyai dua sisi siku-siku yang mengapit sudut
siku-siku dan satu sisi miring (hypotenusa).
Pada gambar diatas, ∆ABC mempunyai ciri-ciri :
4|
AB dan BC sebagai sisi siku-siku, AC sebagai hypotenusa dan sudut
ABC atau sudut B adalah sudut siku-siku (=900)
Dalam sebuah segitiga siku-siku, hypotenusa selalu terletak di depan
sudut siku-siku.
2. Segitiga sama kaki
Dua buah segitiga siku-siku yang kongruen dapat
mebentuk
sebuah
segitiga
sama
kaki
dengan
mengimpitkan salah satu sisi siku-siku yang sama
panjang dari kedua segitiga ersebut.
Perhatikan gambar disamping. Segitiga ABD dan
segitiga DBC adalah segitiga siku-siku yang kongruen.
Sisi BD adalah sisi siku-siku yang sama panjang dari
kedua segitiga tersebut. Jadi, segitiga ACD adalah
segitiga sama kaki dengan sisi AD=DC.
Di dalam segitiga sama kaki terdapat :
a. Dua sisi yang sama panjang, sisi tersebut
sering disebut kaki segitiga.
b. Dua sudut yang sama besar yaitu sudut
yang berhadapan dengan sisi yang panjangnya sama.
c. Satu sumbu simetri.
Segitiga sama kaki merupakan bangun simetri lipat dan
dapat menempati bingkainya dalam dua cara. Dari gambar
disamping terlihat bahwa :
5|

CD sebagai sumbu simetri.

A pindah ke B;B pindah ke A, dan C tetap.

AC pindah ke BC, maka AC=BC.

∠𝐶𝐴𝐵 pindah ke ∠𝐴𝐵𝐶, maka ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐶.
3. Segitiga sama sisi
Tiga buah garis lurus yang sama panjang
dapat membentuk sebuah segitiga sama sisi
dengan cara mempertemukan setiap ujung garis
satu sama lainnya.
Gambar (i) disamping menunjukkan gambar
tiga garis lurus yang sama panjang yaitu
AB=BA=CA.
Apabila
ujung-ujung
ketiga
garis
tersebut
saling
dipertemukan, A dengan A,B dengan B, dan C dengan C, maka akan
terbentuk segitiga sama sisi ABC sepertu terlihat pada gambar (ii) di
samping.
Didalam segitiga sama sama sisi terdapat :
a. Tiga sisi yang sama panjang,
b. Tiga sudut yang sama besar,
c. Tiga sumbu simetri.
Dari gambar (ii) diatas terlihat bahwa AB=AC=BC; ∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶,
garis putus-putus adalah sumbu simetri segitiga ABC.
Segitiga sama sisi merupakan bangun simetri lipat yang dapat
menempati bingkainya dengan 6 cara. Hal itu diilustrasikan pada gambar
berikut.
6|
D. Menggambar segitiga istimewa
Ada beberapa cara untuk menggambar segitiga istimewa diantaranya
dengan menggunakan busur derajat dan penggaris, koordinat cartesius, dan
jangka.
1. Menggunakan busur derajat dan penggaris
Segitiga siku-siku
Langkah-langkah :
1. Lukislah garis lurus AB sebagai sisi pertama dari segitiga ABC
2. Buatlah ∠𝐴𝐵𝐶 = 900 (dititik B) dengaan busur derajat dan ditandai
titik C.
3. Hubungkan titik A dan titik C. (lihat gambar berikut)
Segitiga sama kaki
Untuk menggambar segitiga sama kaki PQR dengan menggunakan
busur derajat dan penggaris pada kertas polos dapat di tempuh
dengan cara berikut ini.
1. Lukislah sisi PQ.
2. Pada titik Q buatlah ∠𝑃𝑄𝑅 menggunakan busur derajat dengan
ukuran sembarang (sudut ini bisa tumpul atau lancip sesuai dengan
ketentuan yang diberikan) dan tandai titik R.
3. Ukurlah sisi QR agar sama dengan sisi PQ.
4. Hubungkan titik P dan titik R tersebut. (lihat gambar berikut).
7|
Segitiga sama sisi
Langkah-langkah :
1. Lukislah garis KL,
2. Pada titik L buatlah ∠𝐾𝐿𝑀 = 600 dengan busur derajat dan tandai
titik M.
3. Ukurlah sisi LM agar sama dengan sisi KL.
4. Hubungkan titik K dengan titik M tersebut. (lihat gambar berikut)
2. Menggunakan Koordinat Cartesius
Sebuah segitiga dapat digambarkan pada koordinat cartesius apabila
diketahui koordinat titik-titik sudutnya.
Contoh 1:
Lukislah segitiga ABC apabila A(-2,1), B(3,1), dan C(3,4). Segitiga
apakah segitiga ABC ?
Penyelesaian:
8|
Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku.
3. Menggunakan Jangka
Segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi lebih mudah digambar
dengan menggunakan jangka.
Berikut ini ada beberapa cara menggambar segitiga dengan
menggunakan jangka.
Segitiga sama kaki
Cara pertama:
1. Lukislah satu sudut dengan membuat dua garis lurus yang saling
berpotongan.
2. Dari titik sudut tersebut pergunakan jangka untuk mengukur panjang
kaki-kaki sudut tersebut.
3. Hubungkan titik potong kaki sudut dengan hasil putaran jangka.
(perhatikan gambar berikut)
9|
Cara kedua:
1. Lukislah sisi segitiga yang ukurannya tidak sama dengan yang
lainnya.
2. Dari titik-titik ujung sisi tersebut, putar jangka sesuai dengan dasar
ukuran (jarak kaki jangka = kaki segitiga)
3. Hubungkan titik-titik ujung sisi tersebut dengan perpotongan hasil
putar jangka. (perhatikan gambar berikut)
Segitiga sama sisi
1. Lukislah salah satu sisi segitiga berdasarkan dasar ukuran yang
tersedia.
2. Dari titik-titik ujung sisi tersebut, putar jangka (jarak kaki sama
dengan panjang sisi segitiga (1)).
3. Hubungkan titik-titik ujung sisi tersebut dengan perpotongan hasil
putaran jangka. (perhatikan gambar berikut)
10 |
E. Menggambar Segitiga Secara Umum
Sebuah segitiga dapat digambar atau dilukis jika diketahui:
i) Tiga sisinya sekaligus, atau
ii) Dua sisi dan satu sudut yang diapit sisi tersebut, atau
iii) Dua sudut dan satu sisi yang merupakan kaki sekutu kedua sudut yang
diketahui.
1. Menggambar segitiga jika diketahui ketiga sisinya
Misalkan kita akan melukis ∆ABC dengan panjang ketiga sisinya
adalah AB = 3 cm, BC = 2 cm, dan AC = 4 cm.
Langkah-langkah:
1. Buatlah tiga ruas garis berukuran 3 cm, 2 cm, dan 4 cm sebagai dasar
ukuran.
2. Lukislah garis AB = 3 cm.
3. Ambillah jangka, buat kakinya berjarak 4 cm, putar jangka dari titik A.
4. Kemudian buat kaki jangka berjarak 2 cm, putar dari titik B.
5. Perpotongan kedua putaran jangka tadi tandai dengan titik C.
6. Hubungkan titik C dengan titik A dan titik B maka akan terjadi
segitiga ABC yang kita inginkan. (perhatikan gambar berikut)
2. Menggambar segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut yang
diapitnya
Misalnya kita akan melukis ∆PQR dengan ∠P = 30°, PQ = 4 cm, dan
PR = 5 cm.
11 |
Langkah-langkahnya:
1. Lukislah dan ukur ∠P = 30̊ menggunakan penggaris, jangka, dan
busur.
2. Ukur PQ = 4cm dan PR = 5 cm menggunakan penggaris.
3. Hubungkan titik R dan titik Q, maka akan terbentuk segitiga PQR yang
kita inginkan. (perhatikan gambar berikut)
3. Menggambar segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi
persekutuan kedua sudut
Misalnya kita ingin melukis ∆ABC dengan panjang AB = 5 cm,
∠CAB = 55°, dan sudut ∠CBA = 65°.
Langkah-langkahnya:
1. Lukis garis AB yang panjangnya 5 cm.
2. Dengan menggunakan busur derajat buatlah pada titik A sudut yang
besarnya 55° dan pada titik B sudut besarnya 65°. Kedua kaki sudutsudut tersebut berpotongan dititik C. (perhatikan gambar berikut)
12 |
F. Melukis Garis Tinggi, Garis Bagi, Garis Berat, dan Garis Sumbu Pada
Segitiga.
1. Melukis garis tinggi pada segitiga sembarang
Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari sebuah titik sudut dalam
segitiga yang tegak lurus pada sisi dihadapan sudut itu.
Cara melukis:
1. Lukis sebuah ∆ABC sembarang.
2. Lukis busur dengan pusat A yang
memotong garis BC dititik K dan L.
3. Lukislah dua busur masing-masing
berpusat di K dan L dengan lebar
jangka
yang
sama
dan
saling
berpotongan.
4. Tarik
garis
perpotongan
dari
dua
titik
busur
A
ke
tersebut
hingga memotong tegak lurus garis
BC di D.
5. Dengan cara yang sama, kita dapat
melukis garis tinggi dari B yang tegak
lurus AC dan garis tinggi dari C yang
tegak lurus AB.
6. Garis-garis
AD,
BE,
dan
CF
merupakan garis tinggi segitiga ABC.
Perlu diingat bahwa melukis garis tinggi pada segitiga merupakan
pengembangan melukis garis dari suatu titik di luar garis yang tegak lurus
garis tersebut.
2. Melukis garis bagi pada segitiga sembarang
Garis bagi adalah garis yang ditarik dari titik sudut dalam segitiga dan
membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama besar.
Cara melukis:
13 |
1. Lukis sebuah ∆ABC sembarang.
2. Lukis busur dengan pusat A yang
memotong garis AB dan AC di titik K
dan L.
3. Lukis dua busur dengan lebar jangka
yang sama di pusat K dan L sehingga
saling berpotongan.
4. Tarik garis dari titik A ke perpotongan
dua busur tersebut hingga memotong
garis BC di D.
5. Dengan cara yang sama kita dapat
melukis garis bagi BE, dan CF.
3. Melukis garis berat pada segitiga sembarang
Garis berat adalah garis yang ditarik dari sebuah sudut dalam segitiga
dan membagi sisi yang di hadapan sudut itu menjadi dua bagian sama
panjang.
Cara melukis:
1. Lukis sebuah ∆ABC sembarang.
2. Dengan pusat B dan C dan lebar
jangka
yang
sama,
lukis
busur
lingkaran yang berpotongan dua kali.
Hubungkan
keduanya
hingga
berpotongan dengan garis BC di titik
D. D merupakan titik tengah BC dan
garis AD merupakan garis berat
∆ABC.
3. Dengan cara yang sama kita bisa
dapatkan garis BE dan garis CF yang
merupakan garis berat ∆ABC.
14 |
Garis-garis AD, BE, dan CF masing-masing adalah garis berat pada
∆ABC dengan pusat berat di titik R. Titik R sering disebut sebagai titik
berat ∆ABC.
4. Melukis garis sumbu pada segitiga sembarang
Garis sumbu adalah garis yang tegak lurus dengan suatu sisi segitiga
dan membagi sisi tersebut menjadi dua bagian sama panjang.
Cara melukis:
1. Lukis sebuah ∆ABC sembarang.
2. Dengan pusat B dan C dan lebar
jangka
yang
sama,
lukis
busur
lingkaran yang berpotongan dua kali.
Hubungkan
keduanya
hingga
memotong sisi BC dan salah satu sisi
yang lain (dinamakan garis p) garis p
adalah garis sumbu pada sisi BC.
3. Dengan cara yang sama kita bisa
dapatkan garis q dan garis r yang
merupakan garis sumbu ∆ABC.
4. Garis-garis p,q dan r merupakan garis
sumbu pada ∆ABC.
G. Menghitung Besaran-Besaran Pada Segitiga
1. Jumlah sudut-sudut segitiga yang membentuk sudut lurus
Untuk menentukan jumlah sudut-sudut segitiga dapat dilakukan
dengan berbagai cara, yaitu mengukur masing-masing sudut dengan busur
derajat dan membentuk sudut lurus dari ketiga sudut segitiga tersebut.
Penekanan dalam topik ini adalah menentukan jumlah sudut-sudut segitiga
yang membentuk sudut lurus. Perhatikan gambar berikut ini!
15 |
Pada ∆ABC dalam gambar di atas, garis AB diperpanjang hingga E.
Dari titik B ditarik garis yang sejajar dengan AC, yaitu BD. Apabila
ukuran ∠BAC = a°, ∠ACB = c°,dan ∠ABC = b°, maka dapat dilihat
bahwa ∠DBE = ∠BAC = a° (sudut sehadap), dan ∠DBC = ∠ACB = c°
(sudut dalam berseberangan). Pada gambar di atas terlihat bahwa ketiga
sudut a° , b° dan c° membentuk garis lurus. Karena jumlah sudut pelurus
adalah 180°, maka a° + b° + c° = 180°, atau dapat disimpulkan bahwa
jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga adalah 180°.
2. Menghitung besar salah salah satu sudut pada segitiga jika dua sudut
lainnya diketahui
Untuk menghitung besar salah satu sudut pada segitiga jika dua sudut
lainnya diketahui yang perlu diingat adalah jumlah sudut-sudut dalam
suatu segitiga adalah 180.
Contoh:
Tentukan nilai x dari segitiga segitiga pada gambar berikut ini!
Penyelesaian:
a. 50° + 𝑥° + 𝑥° = 180° → 2𝑥° + 50° = 180
2𝑥° = 180° − 50° = 130°
16 |
𝑥° =
130°
2
= 65°
b. 𝑥° + 𝑥° + 𝑥° = 180° → 3𝑥° = 180
𝑥° =
180°
= 60°
3
c. 𝑥° + 2𝑥° + 3𝑥° = 180° → 6𝑥° = 180
𝑥° =
180°
= 30°
6
3. Hubungan sudut dalam dan sudut luar pada segitiga
Perhatikan gambar di samping.
Pada ∆ABC, sudut A1, B1, dan C1
disebut sudut dalam dari ∆ABC,
sedangkan sudut A2, B2, dan C2
merupakan sudut luar ∆ABC. ∠𝐴1
+ ∠𝐵1 + ∠𝐶1 = 180°. Sekarang kita
akan memperluas pembahasan tentang
hubungan sudut dalam dan sudut luar
pada segitiga.
Hal yang perlu diingat dalam menentukan hubungan ini adalah tentang
sudut berpelurus, yaitu ∠𝑃 berpelurus dengan ∠𝑄 bila ∠𝑃 + ∠𝑄 = 180°.
i) ∠𝐴2 berpelurus dengan ∠𝐴1 maka ∠𝐴1 + ∠𝐴2 = 180° atau ∠𝐴2 =
180° − ∠𝐴1 = ∠𝐵1 + ∠𝐶1 (∠𝐴1 + ∠𝐵1 + ∠𝐶1 = 180°)
ii) ∠𝐵2 berpelurus dengan ∠𝐵1 maka ∠𝐵1 + ∠𝐵2 = 180° atau ∠𝐵2 =
180° − ∠𝐵1 = ∠𝐴1 + ∠𝐶1 (∠𝐴1 + ∠𝐵1 + ∠𝐶1 = 180°)
iii)∠𝐶2 berpelurus dengan ∠𝐶1 maka ∠𝐶1 + ∠𝐶2 = 180° atau ∠𝐶2 =
180° − ∠𝐶1 = ∠𝐴1 + ∠𝐵1 (∠𝐴1 + ∠𝐵1 + ∠𝐶1 = 180°)
Dari keterangan tersebut dapat kita simpulkan
Besar sebuah sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah besar dua
sudut dalam yang tidak bersisian dengan sudut tersebut.
17 |
Contoh:
Perhatikan gambar di bawah. Hitinglah besar sudut luar 𝑝°, 𝑞°, dan 𝑟°!
Penyelesaian :
𝑝° = ∠𝐵𝐴𝐶 + ∠𝐴𝐶𝐵 = 44° + 89° = 133° atau 𝑝° = 180° − 47° = 133°
𝑞° = ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐴𝐶𝐵 = 47° + 89° = 136° atau 𝑞° = 180° − 44° = 136°
𝑟° = ∠𝐵𝐴𝐶 + ∠𝐴𝐵‫ = ﳜ‬44° + 47° = 91° atau 𝑟° = 180° − 89° = 91°
H. Keliling dan Luas Segitiga
1. Keliling segitiga
Sebuah segitiga mempunyai tiga sisi dan tiga sudut. Sisi yang terletak
di bawah disebut alas. Sudut yang berhadapan dengan alas disebut sudut
puncak, dan titik sudut puncak disebut titik puncak. Jarak terdekat antara
titik puncak dengan alas disebut tinggi segitiga.
Perhatikan gambar di samping. Pada segitiga ABC, AB sebagai alas
segitiga, C sebagai titik puncak, dan
CD sebagai tinggi segitiga.
Sisi di depan sudut A atau α adalah
BC ditulis a.
Sisi di depan sudut B atau β adalah
AC ditulis b.
Sisi di depan sudut C atau 𝛾 adalah
AB ditulis c.
Keliling segitiga sembarang adalah jumlah panjang ketiga sisinya.
Atau secara umum ditulis: Keliling (K) = a + b + c
18 |
Contoh:
Apabila sisi-sisi segitiga ABC adalah a = x cm, b = 2x cm, dan c =
4x cm serta keliling segitiga ABC = 28 cm, tentukan sisi-sisi segitiga ABC
tersebut!
Penyelesaian:
Keliling = a + b + c
→ 28 = 𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥
→ 28 = 7𝑥
𝑥=
28
=4
7
Jadi, a = 4 cm, b = 2 × 4 = 8 cm, dan c = 4 × 4 = 16
2. Luas Segitiga
Perhatikan gambar segitiga di samping. AB adalah alas segitiga, C
adalah titik puncak, dan CD adalah
tinggi segitiga ABC.
Persegi
panjang
ABEF
mempunyai panjang AB atau EF sama
dengan p, dan lebar AF atau BE sama
dengan ℓ, maka luas persegi panjang
ABEF = 𝑝 × ℓ.
Luas ABEF = luas ∆𝐴𝐷𝐶 + luas ∆𝐴𝐹𝐶 + luas ∆𝐵𝐷𝐶 + luas ∆𝐵𝐸𝐶.
Karena ∆𝐴𝐷𝐶 kongruen dengan ∆𝐴𝐹𝐶 dan ∆𝐵𝐷𝐶 kongruen dengan ∆𝐵𝐸𝐶
Luas ABEF = 2 × luas ∆𝐴〰𝐶 + 2 × luas ∆𝐵𝐷𝐶
= 2 × (luas ∆𝐴𝐷𝐶 + luas ∆𝐵〱𝐶)
= 2 × luas ∆𝐴𝐵𝐶,
1
Maka luas ∆𝐴𝐵𝐶 = 2 × luas persegi panjang ABEF
1
=2× 𝑝×ℓ
19 |
Karena 𝑝 = 𝐴𝐵 = alas segitiga ABC dan ℓ = 𝐵𝐸 = 𝐶𝐷 = tinggi segitiga
1
ABC, maka luas ∆𝐴𝐵𝐶 = 2 × alas × tinggi atau ditulis:
1
Luas segitiga = 2 × alas × tinggi
Secara umum ditulis:
𝐿=
1
×𝑎×𝑡
2
Catatan:
Alas dalam segitiga sering disimbolkan dengan huruf a dan tinggi
disimbolkan dengan huruf t serta luas dengan huruf L.
Contoh:
Segitiga KLM mempunyai titik-titik sudut K(-1,1), L(3,2), dan M(-1,4).
Tentukan luas ∆𝐾𝐿𝑀!
Penyelesaian:
Untuk menjawab soal ini, mula-mula kita gambarkan ∆𝐾𝐿𝑀 pada kertas
berpetak.
20 |
Dari gambar tersebut diperoleh:
Alas ∆𝐾𝐹𝑀 = 𝐾𝑀 = 3 cm
Tinggi ∆𝐾𝐿𝑀 = 𝐿𝑁 = 4 cm
Maka luas ∆𝐾𝐿𝑀 adalah:
1
1
𝐿 = 2 × 𝑎 × 𝑡 = 2 × 3 × 4 = 6 cm2
21 |
Soal Latihan
1. Diketahui ∆𝑃𝑄𝑅 dengan besar ∠𝑃 = 75°, ∠𝑄 = 9𝑦 − 2° dan ∠𝑅 = 4𝑦 + 3°.
Tentukan:
a. Nilai y
b. Besar ∠𝑄 dan ∠𝑅!
2. Perhatikan gambar berikut!
Berapakah luas ∆𝐷𝐸𝐻?
3. Suatu segitiga perbandingan panjang alas dan tingginya adalah 2:3, jika luas
segitiga itu 108 cm2, tentukan panjang alas dan tinggi sebenarnya?
4. TRS adalah segitiga dengan koordinat T(7,5), R(12,-1), dan S(2,-7)
a. Gambarlah ∆𝑇𝑅𝑆 pada kertas bepetak!
b. Tentukan jenis segitiga pada gambar tersebut!
5. PQR adalah segiriga dengan panjang PQ = (8x - 1) cm, QR = 10x dan PR = (5x
+ 1) cm. Jika kelilingnya 69 cm, tentukan panjang sisi-sisinya!
22 |
Kunci Jawaban
1. a.
P  Q  R  180
75  9 y  2  4 y  3  180
9 y  4 y  75  3  2  180
13 y  76  180
13 y  180  76
13 y  104
y 8
Jadi, nilai y = 8°
b.
Q  9 y  2  9(8 )  2
 72  2  70
R  4 y  3  4(8 )  3
 32  3  35
Jadi, besar ∠𝑄 = 70° dan ∠𝑅 = 35°.
1
2. luas ∆𝐷𝐸𝐻 = 2 × 16 × 7 = 56 𝑐𝑚2
3. Misalnya a = 2y dan t = 3y
1
L  at
2
1
108   2 y  3 y
2
108  3 y 2
36  y 2
y  36
a  2y
 2(6)
 12
t  3y
 3(6)
 18
y6
Jadi, alas segitiga 12 cm dan tingginya 18 cm.
23 |
4. a. Gambar ∆𝑇𝑅𝑆 pada kertas bepetak!
b. Gambar di atas adalah segitiga sama kaki
5. Panjang sisi-sisi segitiga PQR
K  PQ  QR  PR
69  (8 x  1)  10 x  (5 x  1)
69  8 x  1  10 x  5 x  1
69  8 x  10 x  5 x  1  1
69  23 x
x3
PQ  8x  1
QR  10 x
PR  5 x  1
 8(3)  1
 10(3)
 5(3)  1
 23
 30
 16
Jadi, panjang sisi PQ = 23 cm, QR = 30 cm, dan PR = 16 cm
24 |
DAFTAR PUSTAKA
Wilson, Sukmon. 2007. Matematika untuk SMP Kelas VII. Jakarta : Erlangga.
25 |
26 |