Gelombang Elektromagnetik

Gelombang Mikro
5
Gelombang Elektromagnetik
Gelombang elektromagnetik (em) terdiri dari
gelombang medan listrik E dan medan magnit
B yang menjalar bersama dengan kecepatan
sama dengan kecepatan cahaya. Ditinjau
gelombang em yang menjalar kea rah z, dapat
dinyatakan dalam gelombang sinus dan cosinus.
Bila gelombangnya berbentuk sinus, dapat
dituliskan,
E = E 0 sin (kz − ωt )
B = B0 sin (kz − ωt )
ω = 2πν , k = 2π λ ,
ν = λν
(2.1a)
(2.1b)
(2.1c)
E 0 dan B0 adalah amplitude medan listrik dan
magnit, berupa besaran vektor. Arah vektor E
dan B tidaklah bebas, tetapi harus mengikuti
hukum-hukum yang berlaku dalam teori
penjalaran gelombang em umum yang biasa
disebut persamaan Maxwell. Arah E harus tegak
lurus B. Bila medan E dan B masing-masing
menjalar pada bidang yang tetap dan saling
tegak lurus, ini disebut gelombang bidang atau
terpolarisasi bidang.
Gelombang Mikro
6
Apabila
persamaan
gelombang
di
atas
didiferensialkan dua kali masing ke t dan z ,
akan diperoleh persamaan umum gelombang
berjalan,
dengan v = ω k .
∂2E
1 ∂2E
=
∂z 2 v 2 ∂t 2
Demikian pula untuk medan
serupa.
(2.2)
B
bentuknya
Dari persamaan gelombang
(2.2) dapat
dituliskan lebih lanjut persamaan gelombang
dalam 3 dimensi, dituliskan,
1 ∂2E
∇2 E = 2 2
(2.3)
v ∂t
Penyelesaian umum persamaan ini dapat
dituliskan dengan
rr
E = E 0 e i (k ⋅r −ωt )
(2.4)
Untuk medan magnit B juga dapat dituliskan
degan cara yang sama. Medan E dan B ini juga
harus tetap memenuhi persamaan hukum
Maxwell.
2.1 Persamaan Maxwell
Persamaan Maxwell merupakan persamaan
matematik yang merepresentasikan kelakuan
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]
Gelombang Mikro
7
umum medan elektromagnit dalam suatu
medium dengan sumber medannya yaitu muatan
listrik q dan arus j. Apabila medium tersebut
mempunyai tetapan dielektrik ε dan tetapan
permeabilitas magnetik µ , persamaan Maxwell
secara umum dituliskan sebagai berikut:
r r ρ
∇⋅E =
(2.5a)
ε
r r
∇⋅B = 0
(2.5b)
r
r r
∂B
∇× E = −
(2.5c)
∂rt
r r
r
∂E
(2.5d)
∇ × B = µ j + εµ
∂t
Tetapan ε dan µ dapat dinyatakan dalam
tetapan ε 0 dan µ 0 untuk medium hampa,
ε = ε rε 0
µ = µr µ0
dengan ε 0 = 8,854 × 10 −12 C2/Nm2 dan µ 0 = 4π × 10 −7
Tm/Amp. ε r dan µ r adalah tetapan dielektrik
relatip dan permeabilitas relatip yang besarnya
bergantung pada jenis medium.
Dari persamaan Maxwell di atas, bila diberikan
harga q dan j tertentu, bentuk medan E dan B
nya dapat diturunkan.
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]
Gelombang Mikro
8
2.2 Penyeleseaian Persamaan Maxwell
Sederhana
Ditinjau keadaan sistem yang sederhana, yaitu
gelombang e.m diluar sumber dengan q = 0 dan j
= 0.
Persamaan Maxwell tanpa sumber menjadi,
r
∇⋅E = 0
r
∇⋅B = 0
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t r
r r
∂E
∇ × B = εµ
∂t
(2.6a)
(2.6b)
(2.6c)
(2.6d)
Dengan analisa vektor, dapat diturunkan medan
E dan B.
Bila persamaan (6c) dikenakan operasi
maka,
r r
r r r
∂∇ × B
∇×∇× E = −
∂t
r
∇×,
(2.7)
Substitusikan pers. (2.6d) ke pers. (2.7),
r
r r r
∂2E
∇ × ∇ × E = −εµ 2
∂t
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]
(2.8)
Gelombang Mikro
9
Dari analisa vektor, bentuk suku kiri dapat
dituliskan,
(
)
r r r r r r
r
r
∇ × ∇ × E = ∇ ∇ ⋅ E − ∇ 2 E = −∇ 2 E
(2.9)
Persamaan (2.8) menjadi,
r
r
∂2E
2
∇ E = εµ 2
∂t
(2.10)
Dari kedua persamaan itu dapat dituliskan
kecepatan gelombang e.m.
1
εµ
(2.11)
Untuk gelombang yang hanya menjalar ke arah z
saja, pers. (2.10), dituliskan,
∂2E
∂2E
= εµ 2
∂z 2
∂t
(2.12)
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]
dengan ω = k z v dan v = 1 εµ .
Dari bentuk pers. (2.13), dapat diambil
gelombang sinusnya yang bergerak pada bidang x
– z,
(2.14)
Medan magnet B dapat diturunkan dari pers.
(2.6c), untuk komponen yang mengandung E x ,
−
∂B y
∂E x ∂E x
∂B
+
=− z −
∂y
∂z
∂t
∂t
(2.15)
Substitusi pers. (2.14) ke dalam pers. (2.15),
diperoleh,
k z E0 x cos(k z z − ωt ) = −
∂B y
∂t
(2.16)
Bila pers. (2.16) diintegralkan ke t , maka
By =
kz
ω
× E 0 x sin (k z z − ωt )
(2.17)
Dari bentuk ini tampak arah medan B ⊥ E dan
dapat dituliskan,
Penyelesaian umumnya dapat dituliskan,
E = E 0 e i ( k z z −ω t )
10
E x = E0 x sin (k z z − ωt )
Ternyata persamaan ini bentuknya sama dengan
pers. (2.3), yaitu sebagai persamaan deferensial
gelombang e.m.
v2 =
Gelombang Mikro
(2.13)
B y = B0 y sin (k z z − ωt )
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]
(2.18)
Gelombang Mikro
11
Dapat pula dituliskan besaran skalarnya,
By =
k z Ex
ω
=
Ex
.
v
(2.19)
Bentuk yang lebih umum dapat dituliskan,
B=
E
.
v
(2.20)
Penjalaran medan magnet dan listrik ke arah z
tersebut dilukiskan pada gambar 2.1. Gelombang
tersebut tampak terpolarisasi bidang. Gelombang
ini dinamakan terpolarisasi ke bidang x – z,
dimana medan listriknya berada pada bidang x –
z. Bila nedan listrik berada pada bidang y – z,
dinamakan terpolarisasi ke bidng y – z.
Gelombang Mikro
12
Gelombang mikro atau gelombang elektromagnet
lainnya bisa tidak terpolarisasi bidang, misalnya
bergerak melingkar dala ruang koordinat bola,
akan sangat sulit dilukiskan penjalarannya.
Jenis penjalaran gelombang bergantung pada
sumbernya dan sistem ruang penjalarannya.
Pada bab kemudian akan dibicarakan lebih lanjut
penjalaran gelombang mikro dalam koordinat
kartesian dan koordinat silinder yang dikaitkan
dengan pengarahan gelombang atau pandu
gelombang.
2.3 Tenaga Gelombang Mikro
Gelombang
mikro
sebagai
gelombang
elektromagnit, mempunyai besaran tenaga
gelombang ataupun daya gelombang. Tenaga
gelombang e.m. secara umum dapat diturunkan
sama dengan gelombang medan listrik E dan
medan magnit B dalam teori listrik dan magenit.
Dari teori listrik tentang kapasitor, besarnya
rapat tenaga medan listrik yang tersimpan dalam
kapasitor sebanding dengan kuadrat medan
listriknya dituliskan,
u E = 12 εE 2
(2.21)
Gambar 2.1 Penjalaran gelombang bidang medan
E dan B ke arah z.
Dari teori magnet tentang kumparan, besarnya
rapat tenaga medan magnet yang tersimpan
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]
Gelombang Mikro
13
dalam kumparan sebanding dengan kuadrat
medan magnetnya,
uM =
1 B2
2 µ0
(2.22)
Bila dalam ruang ada medan listrik dan medan
magnet bersama, rapat tenaga medan listrik dan
magnetnya merupakan jumlahannya,
1
1 B2
u = εE 2 +
2
2 µ
(2.23)
Persamaan tenaga ini masih tetap berlaku untuk
gelombang medan e.m. tetapi fungsi waktu.
Disamping itu ada pergantungan medan listrik
dan medan magnet seperti dinyatakan oleh
pers.(2.20). Persamaan rapat tenaga e.m. (2.23)
bila dimasukkan ke pers. (2.20)
1
1 E2
u = εE 2 +
2
2 µv 2
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]
14
Untuk gelombang mikro terpolarisasi bidang x – z
yang menjalar ke z seperti di atas, besarnya rapat
tenaga gelombang adalah,
u = εE 02x sin 2 (k z z − ωt )
Atau
2
B0 y
u=
sin 2 (k z z − ωt )
µ
(2.25a)
(2.25b)
Satuan rapat tenaga ini dalam satuan SI adalah
Joule/m3dt. Dari pers.(2.25), dapat diturunkan
persamaan rapat tenaga rata-ratanya, karena
rata-rata dari sin 2 (k z z − ωt ) = 1 2 , maka
u = ε E02x 2 = B02y 2µ .
(2.26)
Secara umum rapat tenaga rata-rata gelombang
mikro, dapat ditunjukkan
u = εE 2 2 = B 2 2 µ
(2.27)
(2.24a)
Bila kecepatan gelombang dinyatakan dalam µ
dan ε ,
1 2 1 2
B2
2
u = εE + εE = εE atau u =
2
2
µ
Gelombang Mikro
(2.24b)
Dari rapat tenaga, dapat diturunkan besaran
daya gelombang e.m.
Dari pengertian daya gelombang yaitu besarnya
tenaga yang mengalir persatuan waktu,
persatuan luas; untuk gelombang yang menjalar
ke arah z di atas,
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]
Gelombang Mikro
15
P = u.vol /(luas.waktu )
Adz
=u
= uv
Adt
= εE 2 v
B 2v
=
= uv
µ
P=
2
B 2v
=
.
2µ
Satuan dari daya adalah watt.
16
Contoh.
(2.28a)
(2.28b)
(2.28c)
Untuk gelombang sinus atau cosinus, daya rataratanya,
εE 2 v
Gelombang Mikro
(2.29a)
(2.29b)
Suatu gelombang mikro di udara yang menjalar
ke arah z dalam ruang xyz, mempunyai daya
gelombang = 100 watt dan panjang gelombangnya
= 10 cm. Tuliskan komponen medan listrik dan
magnetnya.
Penyelesaian:
Di udara gelombang e.m. kecepatannya =
kecepatan cahaya = c, dapat diambil c = 3 × 10 8
m/s. Gunakan satuan SI,
k = 2π λ = 2π (0,1) = 62,8 rad/m.
ω = 2πν = 2π c λ = 2π 3 × 10 8 0,1 = 6π × 10 9 rad/s.
Dari persamaan daya (2.29a), dapat dituliskan,
E0 =
2P 
2 × 100

=
−12
8
ε 0 c  9,8 × 10 ⋅ 3 × 10 
B0 =
E 0 8 × 10 2
=
= 2,7 × 10 −6 T.
8
c
3 × 10
(
12
= 8 × 10 2 V/m.
)
E y = 8 × 10 2 sin 62,8 z − 6π × 10 9 t V/m
(
)
B z = 2,7 × 10 −6 sin 62,8 z − 6π × 10 9 t T.
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]
Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]