09_Transformasi

3/24/2014
TRANSFORMASI LINIER
BUDI DARMA SETIAWAN
PEMETAAN VEKTOR
• Jika V dan W adalah ruang vektor dan T adalah
sutu fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di
W dengan setiap vektor yang terletak di V, maka
dikatakan T memetakan V di dalam W.
• T: V  W
• Jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v,
maka w = T(v)
• w adalah bayangan dari v dibawah T
• Ruang vektor V dikatakan domain T
1
3/24/2014
CONTOH PEMETAAN VEKTOR
• Misalkan v = (x, y) adalah suatu vektor di R2
Dan ada sebuah fungsi T(v) = (x, x + y, x - y)
yang memetakan R2 ke R3
Maka jika v = (1,1) tentukan T(v)!
TRANSFORMASI LINIER
• Jika T: V  W adalah suatu fungsi dari ruang
vektor V ke dalam ruang vektor W, maka
Tdikatakan transformasi linier jika:
1. T(ku) = k T(u) untuk semua vektor u di dalam V
dan semua skalar k
2. T(u + v) = T(u) + T(v) untuk semua vektor u dan v
di V
2
3/24/2014
CONTOH
• Misalkan T:R2R2 adalah fungsi yang
didefinisikan oleh T(v) = (2x, y) dengan v = (x,
y) di R2. buktikan bahwa T merupakan
transformasi linier
Jawab
• Misalkan u = (x1, y1) dan v = (x2, y2)
• Bukti pertama:
T(u + v) = T((x1, y1) + (x2, y2))
= T(x1+x2, y1+y2)
= (2(x1+x2), (y1+y2))
= ((2x1, y1) + (2x2, y2))
T(u + v) = T(u) + T(v) => terbukti
3
3/24/2014
• Bukti kedua:
T(ku)
= T(kx1, ky1)
= (2kx1, ky1)
= k (2x1, y1)
T(ku) = k T(u) => terbukti
Jadi T adalah trasnformasi linier
SOAL
• Misalkan T: R2R3 adalah fungsi yang
didefinisikan oleh T(v) = (x, x+y, x-y) dengan v
= (x,y) di R2. Buktikan bahwa T merupakan
transformasi linier
• Buktikan linieritas transformasi T:R2R3
dengan T(x,y) = (2x+y, x-3y, 3x+1)
4
3/24/2014
MATRIKS TRANSFORMASI
• Misalkan A adalah suatu matriks berorde m’n.
Jika notasi matriks digunakan untuk vektor di
Rm dan Rn, maka dapat didefinisikan suatu
fungsi T: RnRm dengan
T(x) = Ax
Jika x adalah matriks n x 1, maka hasil kali Ax
adalah matriks m x 1; jadi T memetakan Rn ke
dalam Rm dan T linier
*teorema
• Jika T: RnRm adalah transformasi linier, dan
jika e1, e2, …, en adalah basis baku untuk Rn,
maka T adalah perkilaan oleh A atau
T(x) = Ax
dimana A adalah matriks yang mempunyai
vektor kolom T(e1), T(e2),.., T(e3)
5
3/24/2014
CONTOH
• Carilah matriks baku (A) untuk tranformasi
T: R3R2 yang didefinisikan oleh
T(x) = (x1+x2, x2+x3), untuk setiap x = (x1, x2, x3)
dalam Rn
jawab
• T: R3  R2
• Basis baku dari R3 adalah:
– e1 = (1, 0, 0)  T(e1) = (1 + 0, 0 + 0) = (1, 0)
– e2 = (0, 1, 0)  T(e2) = (0 + 1, 1 + 0) = (1, 1)
– e2 = (0, 0, 1)  T(e3) = (0 + 0, 0 + 1) = (0, 1)
• Maka matriks A nya adalah vektor kolom bentukan
dari T(e1), T(e2), dan T(e3), yaitu
• Buktikan jawaban tersebut!
6
3/24/2014
SOAL
• Misalkan T: R3R2 adalah transformasi
matriks, dan misalkan:
– T(1,0,0) = (1,1)
– T(0,1,0) = (3,0)
– T(0,0,1) = (4, -7)
Hitunglah:
a. Matriks transformasinya
b. T(1, 3, 8)
c. T(x, y, z)
KERNEL DAN JANGKAUAN
• Jika T: VW adalah transformasi linier, maka
himpunan vektor di V yang dipetakan ke 0,
dinamakan dengan kernel (atau ruang nol)
dari T. himpunan tersebut dinyatakan oleh
ker(T).
• Hipunan semua vektor di W yang merupakan
bayangan di bawah T dari paling sedikit satu
vektor di V dinamakan jangkauan dari T;
himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T).
7
3/24/2014
SIFAT TRANSFORMASI LINIER
• Jika T:VW adalah trasnformasi linier, maka
– T(0) = 0
– T(-v) = -T(v) untuk semua v di V
– T(v-w) = T(v) – T(w) untuk semua v dan w di V
RANK DAN NULITAS
• Jika T:VW adalah transformasi linier, maka
dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T,
dan dimensi kernel dinamakan nulitas T
• Jika T:VW adalah trasnformasi linier, maka
– Kernel dari T adalah sub-ruang dari V
– Jangkauan dari T adalah subruang dari W
8
3/24/2014
TEOREMA DIMENSI
• Jika T:VW adalah transformasi linier dari
ruang vektor V yang berdimensi n kepada
suatu ruang vektor W, maka:
Rank dari T + nulitas dari T = n
• Jika A adalah matriks m x n maka dimensi
ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah
n – rank(A)
CONTOH
• Diketahui sebuah SPL homogen yang
mempunyai ruang pemecahan berdimensi 2
memiliki matriks koefisien sebagai berikut
tentukan rank (A)
9
3/24/2014
Jawab
• Sesuai teorema sebelumnya bahwa Jika A
adalah matriks m x n, maka dimensinya
didefinisikan sebagai:
dimensi = n – rank(A)
sehingga rank (A) = n – dimensi = 5 – 2 = 3
CONTOH
• Tinjaulah basis S = {v1, v2, v3} untuk R3 dimana
v1 = (1, 1, 1); v2=(1, 1, 0); v3=(1, 0, 0), dan
misalkan T: R3R2 adalah transformasi linier
sehingga T(v1) = (1, 0); T(v2) = (2,-1); T(v3) =
(4,3). Carilah T(2, -3, 5)
10
3/24/2014
jawab
• Nyatakan v = (2, -3, 5)sebagai kombinasi linier dari v1,
v2, dan v3:
v = k1v1 + k1v2 + k3v3
• Didapat k1=5; k2=-8; dan k3=5
• Sehingga:
(2,-3,5) = 5v1 – 8v2 + 5v3
T(2,-3,5) = 5T(v1) – 8T(v2) + 5T(v3)
=5(1,0) – 8(2,-1) + 5(4,3)
=(9,23)
TERIMA KASIH
11