model peredaman gelombang laut yang menyebabkan evolusi

MODEL PEREDAMAN GELOMBANG LAUT YANG
MENYEBABKAN EVOLUSI TERHADAP WILAYAH
PANTAI
Skripsi
disajikan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Progam Studi Matematika
Oleh :
Ahmad Bahrul Ms
4150404023
MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2009
PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa isi skripsi ini tidak terdapat karya yang
pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi,
dan sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya yang diterbitkan oleh orang
lain, kecuali yang secara tertulis dirujuk dalam skripsi ini dan disebutkan dalam
daftar pustaka.
Semarang, Februari 2009
Ahmad Bahrul Ms
NIM. 4150404023
ii
PENGESAHAN
Skripsi ini telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA
UNNES pada
Hari
:
Tanggal
:
Panitia Ujian
Ketua
Sekretaris
Drs. Kasmadi Imam S, M.S.
NIP. 130781011
Drs. Edy Soedjoko, M.Pd.
NIP. 131693657
Penguji
Isnaeni Rosyida, S. Si, M. Si.
NIP. 132205927
Penguji/Pembimbing I
Penguji/ Pembimbing II
Drs. Moch. Chotim, M.S
NIP. 130781008
Dr. St. Budi Waluya
NIP. 132046848
iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
Motto:
1. Pergunakanlah baik-baik lima hal sebelum datangnya lima hal. Yaitu
masa mudamu sebelum masa tuamu, sehatmu sebelum sakitmu,
kekayaanmu sebelum miskinmu, waktu luangmu sebelum waktu
sibukmu, dan hidupmu sebelum matimu.
2. Dan janganlah kamu berputus asa, sesungguhnya putus asa adalah
sahabat dari setan. Teruslah berusaha untuk cita-citamu.
3. Berdoa’alah kamu untuk akhiratmu dan bekerjalah kamu untuk
duniamu seakan-akan kamu akan mati besok.
Persembahan:
Kupersembahkan skripsi ini dengan sepenuh cinta
karena Allah kepada:
Kedua orangtuaku: Isro’dan Khoiriyah atas pengorbanan tulus
yang selama ini mereka curahkan.
Untuk adik-adikku: Fadlilah Malik, Abu Thoyyib, dan
Khosyi Falaqiya yang selalu menjadi pendukung diriku.
Kupersembahkan pula buat nenekku: Hj. Salamah yang selalu
memberiku dukungan dalam belajar.
Juga semua pihak yang turut membantu atas selesainya Skripsi ini.
Semoga karya ini dapat menjadi pemicu dalam mengukir berjuta
prestasi yang diridhoi-Nya, amin.
iv
KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat
Rahmat, Hidayah dan Karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul “Model Peredaman Gelombang Laut yang Menyebabkan Evolusi
terhadap Wialayah Pantai” sebagai syarat mendapat gelar Sarjana Sains.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis mendapat dukungan, bantuan dan
bimbingan dari beberapa pihak. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima
kasih kepada:
1.
Prof. Dr. Soedijono Sastroatmojo, M.Si, Rektor Universitas Negeri
Semarang (UNNES).
2.
Drs. Kasmadi Imam S, M.S, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam (FMIPA) UNNES.
3.
Drs. Edy Soedjoko, M.Pd, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES.
4.
Drs. M. Chotim, M.Si, Dosen Pembimbing Utama Skripsi.
5.
Dr. ST. Budi Waluya, M. Si, Dosen Pembimbing Pendamping Skripsi.
6.
Seluruh dosen Matematika yang telah memberikan bekal ilmu yang tak
ternilai selama belajar di Jurusan Matematika.
7.
Ayah dan Ibu tercinta atas doa dan dukungannya sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini.
8.
Sahabat-sahabatku di Cost Fress yang telah memberi semangat dan dorongan
dalam penulisan Skripsi ini.
9.
Teman-teman
angkatan
2004
matematika
v
yang
selalu
meberikan
kebersamaan dan semangat belajar untuk menyelesaikan Skripsi ini.
10. Semua pihak yang telah ikut memberikan semangat pada diriku untuk
berjuang dalam menyelesaikan Skripsi.
Penulis menyadari Skripsi ini masih jauh dari sempurna dan banyak
kekurangannya. Untuk itu dengan segala kerendahan hati penulis akan menerima
segala kritik dan saran demi kesempurnaan penulisan skripsi ini. Besar harapan
penulis semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua. Amin.
Semarang,
Penulis
vi
Februari 2009
ABSTRAK
Ahmad Bahrul Ms. 4150404023. Model Peredaman Gelombang Laut yang
Menyebabkan Evolusi terhadap Wilayah Pantai. 2008. 83 halaman.
Ilmu matematika memiliki peran penting dalam kehidupan. Salah
satunya adalah pemanfaatan persamaan diferensial, salah satu contoh fenomena
alam yang memerlukan persamaan diferensial sebagai persamaannya adalah
gelombang laut. Gelombag laut dapat terjadi karena adanya pengaruh gaya luar
yang secara kontinu yaitu angin yang selalu bertiup di atas permukaan air laut
yang menimbulkan getaran pada permukaannya sehingga terjadilah gelombang.
Hal tersebut dapat dipelajari dalam suatu persamaan diferensial. Persamaan
diferensial parsial terdapat tiga kondisi batas yaitu Dirichlet, Neuman, dan Robin.
Merujuk dari latar belakang di atas maka tujuan dari skripsi ini adalah
(a) Mencari bentuk pemodelan gelombang laut yang mengakibatkan evolusi
terhadap wilayah pantai, (b) Mencari bentuk penyelesaian persamaan gelombang
tersebut, (c) Mencari bentuk peredamaan dari persamaan gelombang laut tersebut
yang sekaligus dapat mengurangi evolusi terhadap wilayah pantai.
Landasan teori yang digunakan dalam skripsi ini adalah (a) Hukum
Newton, (b) Gelombang, (c) Model-model Gelombang, (d) Persamaan Diferensial
Biasa, (d) Persamaan Diferensial Parsial, dan (e) Masalah-masalah Nialai Awal
dan Syarat Batas.
Metode penulisan skripsi ini yaitu kajian pustaka dengan langkahlangkah (a) Kajian Pustaka, (b) Perumusan Masalah, (c) Analisis dan Pemecahan
Masalah, dan (d) Penarikan Simpulan.
Berdasarkan analisis diperoleh hasil (a) Persamaan gelombang laut
yang disebabkan oleh pengaruh gaya luar yaitu angin adalah utt − c 2u xx = Px (t ) .
(b) Solusi dari model persamaan gelombang laut dengan suatu kondisi
u ( x,0) = ϕ ( x) dan ut ( x,0) = ψ ( x) yang diberikan dan Px (t ) sebagai pengaruh
gaya
luar
diberikan
oleh
x
+
ct
1
1
1
(c)
Bentuk
u ( x, t ) = [φ ( x + ct ) + φ ( x − ct ) ] +
∫ ψ ( s)ds + ∫ ∫ Px (t )dxdt .
2
2c
x − ct
2c
Δ
persamaan peredaman gelombang laut tersebut yaitu utt + c 2u xx = − Px (t ) , dan
solusi dari persamaan peredaman gelombang laut dengan kondisi awal dan syarat
yang
sama
adala
∞
1
nπ
cn π
⎫
⎧
dengan
sin( t ) ⎬ sin
x−
u ( x, t ) = ∑ ⎨( An + Bn ) cos( t ) + ( An − Bn )
∫ ∫ Px (t )dxdt
2c Δ
L
L
⎭
⎩
L
L
1 ⎞
nπx , dan
⎛1
1 ⎞
nπx . n = 1,2, L .
⎛1
An = ⎜ +
dx
Bn = ⎜ −
dx
⎟ ∫ φ ( x) sin
⎟ ∫ (φ ( x) − ψ ( x) )sin
L
L
⎝ L cnπ ⎠ 0
⎝ L cnπ ⎠ 0
n =1
Kata Kunci : persamaan differensial, waves with a source, gelombang laut
vii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ………………………………………………………...
i
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN……………………... ii
HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………………. iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN …………………………………………... iv
KATA PENGANTAR……………………………………………………….. v
ABSTRAK …………………………………………………………………... vii
DAFTAR ISI …………………………………………………………………viii
DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………... x
BAB 1
PENDAHULUAN …………………………………………......... 1
3.1 Latar Belakang ……………………………………………… 1
3.2 Rumusan Masalah …………………………………………... 7
3.3 Tujuan ………………………………………………………. 8
3.4 Manfaat ……………………………………………………... 8
3.5 Sistematika ………………………………………………….. 9
BAB 2
LANDASAN TEORI ……………………………………………. 11
2.1 Hukum Newton ……………………………………………... 11
2.1.1 Hukum Pertama Newton ……………………………... 11
2.1.2 Hukum Kedua Newton ………………………………. 11
2.1.3 Hukum Ketiga Newton ………………………………. 12
2.2 Gelombang ………………………………………………….. 12
2.2.1 Pulsa Gelombang …………………………………….. 13
2.2.2 Laju Gelombang ……………………………………… 15
2.3 Model-model Gelombang …………………………………... 15
2.3.1 Persamaan Gelombang Banjir ………………………... 15
2.3.2 Masalah Cauchy untuk Persamaan Gelombang ……… 16
2.3.3 Persamaan Gelombang Umum ………………………. 17
2.4 Persamaan Diferensial Biasa ………………………………... 18
2.4.1 Persamaan Diferensial Linear Order Satu ……………. 21
viii
2.4.2 Persamaan Diferensial Linear Order Dua ……………. 22
2.4.3Persmaan
Diferensial
Biasa
Linear
Order
Dua
Homogen dengan Koefisien Konstan ………………... 23
2.5 Persamaan Diferensial Parsial ………………………………. 27
2.6 Masalah-masalah Nialai Awal dan Syarat Batas …………… 28
BAB 3
METODE PENULISAN SKRIPSI ……………………………… 30
3.1 Kajian Pustaka ……………………………………………… 30
3.2 Perumusan Masalah ………………………………………… 30
3.3 Analisis dan Pemecahan Masalah …………………………... 30
3.4 Penarikan Simpulan ………………………………………… 30
BAB 4
PEMBAHASAN ………………………………………………...... 32
4.1 Pemodelan Persamaan Gelombang …………………………. 32
4.2 Solusi Persamaan Gelombang ………………………………. 36
4.3 Model Peredaman pada Persamaan Gelombang ……………. 40
4.4 Inteprestasi Persamaan Gelombang Sebelum dan Sesudah
Peredaman ………………………………………………….. 46
BAB 5
PENUTUP ………………………………………………………. 50
5.1 Simpulan ……………………………………………………. 50
5.2 Saran ……………………………………………………….. 51
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………. 52
LAMPIRAN ………………………………………………………………… 54
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Gelombang Laut ………………………………………………….
2
Gambar 2. Gambar Analisa Gelombang Laut ……………………………….. 32
(a) Gelombang mula-mula diam sebagai asumsi adalah sebuah
batang yang homogen ..............................................................
32
(b) Gelombang yang bergerak setelah dipengaruhi oleh gaya luar
berupa angin yang secara kontinu bertiup di atas permukan
air Laut ..................................................................................... 32
Gambar 3. Pemodelan Gelombang Laut …………………………………….. 33
(a) Permukaan mula-mula mendapat gaya luar dan terdapat
tegangan permukaan ................................................................
33
(b) Pergerakan Gelombang setelah memperoleh gaya dan
perubahan tegangan permukaan...............................................
33
(c) Gaya-gaya yang bekerja pada Gelombang .............................
34
Gambar 4. Plot Gelombang pada f(x,t) = 0 sebelum teredam ………………. 46
Gambar 5. Plot Gelombang pada f(x,t) = 1 sebelum teredam ………………. 47
Gambar 6. Plot Gelombang pada f(x,t) = cos(x) sebelum teredam …………. 47
Gambar 7. Plot Gelombang pada f(x,t) = 0 setelah teredam ………………… 48
Gambar 8. Plot Gelombang pada f(x,t) = 1 setelah teredam ………………… 48
Gambar 9. Plot Gelombang pada f(x,t) = cos(x) setelah teredam …………… 49
x
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Ilmu matematika bersifat universal sangat erat kaitannya dengan kehidupan
nyata. Peran matematika pada masalah kehidupan nyata maupun dengan ilmuilmu lain disajikan dalam bentuk pemodelan matematika. Salah satu aplikasi
dalam ilmu matematika adalah model matematika yang berupa persamaan
diferensial.
Banyak fenomena alam yang menggunakan model matematika berupa
persamaan diferensial. Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat
satu atau lebih turunan-turunan fungsi yang tidak diketahui (Waluya, 2006:2).
Salah satu contoh fenomena alam yang memerlukan persamaan diferensial
sebagai persamaannya adalah gelombang laut. Proses terjadinya gelombang laut
yang dikemukakan di dalam catatan Rovicky tentang “Gelombang Laut”
menyatakan bahwa, “gelombang laut itu lebih dipengaruhi oleh proses
atmospheric dari pada proses dari geologic”. Artinya proses-proses serta kondisi
udara lebih berpengaruh terhadap kondisi gelombang laut dari pada proses dari
dasar laut.
Gelombang pada air sebenarnya merupakan gelombang permukaan yang
bergerak di perbatasan antara air dan udara. Gerakan setiap partikel air di
permukaan berbentuk lingkaran atau elips. Sedangkan di bawah permukaan juga
ada gerakan gelombang transversal ditambah gelombang longitudinal seperti
digambarkan di bawah ini (Giancoli, 2001:386).
1
2
Gambar 1. Gelombang
Udara yang bergerak akan mempengaruhi tegangan permukaan pada air
laut, sehingga ketika permukaan air laut tidak mampu mempertahankan
kesetimbangan tegangan permukaannya, maka air laut akan membentuk
gelombang dan terbawa oleh arah angin. Hal ini, ditegaskan oleh Helmholts
tentang prinsip dasar terjadinya gelombang laut, yaitu: “jika ada dua massa benda
yang berbeda kerapatannya (densitasnya) bergesekkan satu sama lain, maka pada
bidang gerakannya akan terbentuk gelombang.
Gerakan permukaan gelombang dapat dikelompokkan sebagai berikut:
a. Gerak Osilasi, yaitu gelombang akibat molekul air bergerak melingkar.
Gerak osilasi biasanya terjadi di laut lepas, yaitu pada bagian laut dalam.
Adanya gelombang dibangkitkan oleh kecepatan angin, lamanya angin
bertiup, luas daerah yang ditiup angin (fetch), dan kedalaman laut.
Gelombang ini memiliki tinggi dan lembah gelombang. Puncak
gelombang akan pecah di dekat pantai yang disebut breaker atau gelora.
b. Gerak Translasi, yaitu gelombang osilasi yang telah pecah lalu seperti
memburu garis pantai, bergerak searah dengan gelombang tanpa
3
diimbangi gerakan mundur. Gelombang ini tidak memiliki puncak dan
lembah yang kemudian dikenal dengan istilah surf. Gelombang ini
dimanfaatkan untuk olah raga surfing.
c. Gerak Swash dan Back Swash berbentuk gelombang yang telah
menyentuh garis pantai. Kedatangan gelombang disebut swash,
sedangkan ketika kembali disebut back swash.
Oleh karena itu, hampir tidak pernah terlihat permukaan laut dalam keadaan
tenang sempurna, selalu saja ada gelombang, bisa berupa riak kecil ataupun
gelombang yang besar. Setiap gelombang mempunyai tiga unsur yang penting
yakni panjang, tinggi dan periode. Antara panjang gelombang dan tinggi
gelombang tidak terdapat hubungan yang pasti, tetapi gelombang yang
mempunyai panjang yang jauh akan mempunyai kemungkinan mencapai
gelombang yang tinggi pula.
Gelombang yang ditemukan di permukaan laut pada umumnya terbentuk
karena adanya proses alih energi dari angin ke permukaan laut, atau pada saat-saat
tertentu disebabkan oleh gempa di dasar laut. Gelombang ini merambat ke segala
arah membawa energi tersebut yang kemudian dilepaskannya ke pantai dalam
bentuk hempasan gelombang.
Gelombang yang terhempas ke pantai akan melepaskan energi. Makin tinggi
gelombang makin besar tenaganya memukul ke pantai. Pasir laut atau terumbu
karang yang membuat dangkalnya suatu perairan berfungsi sebagai peredam
pukulan gelombang. Oleh sebab itu, pegambilan pasir laut atau perusakan
terumbu karang memberikan kesempatan lebih besar bagi gelombang untuk
4
menggempur dan merusak kestabilan garis pantai. Gelombang yang datang
menuju pantai dapat menimbulkan arus pantai yang berpengaruh terhadap proses
sedimentasi/abrasi di pantai.
Pola arus pantai ini ditentukan terutama oleh besarnya sudut yang dibentuk
antara gelombang yang datang dengan garis pantai. Jika sudut datang itu cukup
besar, maka akan terbentuk arus menyusur pantai (longshore current) yang
disebabkan oleh perbedaan tekanan hidrostatik.
Jika sudut datang relatif kecil atau sama dengan nol (gelombang yang
datang sejajar dengan pantai), maka akan terbentuk arus meretas pantai (rip
current) dengan arah menjauhi pantai di samping terbentuknya arus menyusur
pantai. Diantara kedua jenis arus pantai ini, arus menyusur pantailah yang
mempunyai pengaruh lebih besar terhadap transportasi sedimen pantai.
Aktifitas gelombang di pantai adalah faktor utama yang aktif menyebabkan
erosi pantai. Dengan demikian, hembusan angin menjadi faktor penting yang
menentukan terjadi akan tidaknya erosi pantai di tempat-tempat atau segmensegmen pantai tertentu dan pada musim-musim tertentu. Arah angin menentukan
segmen-segmen pantai yang akan tererosi, sedangkan kecepatan angin atau
“fetch” menentukan kekuatan gelombang yang terbentuk dan memukul ke pantai.
Arus dekat pantai menentukan arah pergerakan muatan sedimen di
sepanjang pantai. Arus itu memindahkan muatan sedimen dari satu tempat ke
tempat yang lain di sepanjang pantai atau membawa muatan sedimen dari satu sel
pantai ke sel pantai yang lain atau membawa muatan sedimen keluar dari perairan
lepas pantai. Pola arus dekat pantai perkembanganya ditentukan oleh gelombang
5
yang bergerak menghampiri pantai. Dengan demikian, faktor angin juga secara
tidak langsung mempengaruhi transportasi muatan sedimen.
Menurut Dauhari(1996), ombak merupakan salah satu penyebab yang
berperan besar dalam pembentukan pantai. Ombak yang terjadi di laut dalam pada
umumnya tidak berpengaruh terhadap dasar laut dan sedimen yang terdapat di
dalamnya. Sebaliknya ombak yang terdapat di dekat pantai, terutama di daerah
pecahan ombak mempunyai energi besar dan sangat berperan dalam pembentukan
morfologi pantai, seperti menyeret sedimen (umumnya pasir dan kerikil) yang ada
di dasar laut untuk ditumpuk dalam bentuk gosong pasir, di samping mengangkut
sedimen dasar, ombak berperan sangat dominan dalam menghancurkan daratan
(erosi laut). Daya pengahancur ombak terhadap daratan/batuan dipengaruhi oleh
beberapa faktor antara lain keterjalan garis pantai, kekerasan batuan, rekahan pada
batuan, kedalaman laut di depan pantai, bentuk pantai, terdapat atau tidaknya
penghalang di muka pantai dan sebagainya.
Bebeda dengan ombak yang bergerak maju ke arah pantai, arus laut,
terutama yang mengalir sepanjang pantai merupakan penyebab utama yang lain
dalam membentuk morfologi pantai. Arus laut terbentuk oleh angin yang bertiup
dalam selang waktu yang lama, dapat pula terjadi karena ombak membentur
pantai secara miring. Berbeda dengan peran ombak yang mengangkut sedimen
tegak lurus terhadap arah ombak, arus laut mampu membawa sedimen yang
mengapung maupun yang terdapat di dasar laut. Pergerakan sedimen searah
dengan pergerakan arus, umumnya menyebar sepanjang garis pantai. Bentuk
morfologi spit, tombolo, beach ridge atau akumulasi sedimen di sekitar jetty dan
6
tanggul pantai menunjukkan hasil kerja arus laut. Dalam hal tertentu arus laut
dapat pula berfungsi sebagai penyebab terjadinya abrasi pantai.
Keseimbangan antara sedimen yang dibawa sungai dengan kecepatan
pengankutan sedimen di muara sungai akan menentukan berkembangnya dataran
pantai. Apabila jumlah sedimen yang dibawa ke laut dapat segera diangkut oleh
ombak dan arus laut, maka pantai akam dalam keadaan stabil. Sebaliknya apabila
jumlah
sedimen
melebihi
kemampuan
ombak
dan
arus
laut
dalam
pengangkutannya, maka dataran pantai akan bertambah.
Semua gejala mekanika klasik dapat digambarkan hanya dengan tiga hukum
sederhana yang dinamakan hukum Newton tentang gerak (Tipler, 1998: 87).
Hukum pertama Newton menyatakan bahwa benda dalam keadaan diam atau
bergerak dengan kecepatan konsatan akan tetap diam atau terus pada benda itu.
Kecenderungan ini digambarkan dengan mengatakan bahwa benda mempunyai
kelembaman. Hukum pertama Newton dikenal juga dengan hukum kelembaman.
Hukum kedua Newton menyatakan bahwa percepatan sebuah benda
berbanding terbalik dengan massanya dan sebanding dengan gaya eksternal yang
bekerja padanya (Tipler, 1998: 88). Gaya adalah suatu pengaruh pada sebuah
benda yang menyebabkan benda mengubah kecepatannya. Massa adalah sifat
intrisik sebuah benda yang mengukur resistansinya terhadap percepatan. Hukum
ketiga Newton menggambarkan sifat penting dari gaya, yaitu bahwa gaya-gaya
selalu terjadi perpasangan (Tipler, 1998: 97).
Hukum ketiga Newton dikenal juga dengan hukum interaksi atau hukum
aksi reaksi. Ketiga hukum Newton tersebut digunakan untuk menemukan bentuk
7
pemodelan persamaan gelombang, setelah diperoleh persamaannya kemudian
akan dicari solusi dari persamaan tersebut. Solusi persamaan diferensial parsial
adalah fungsi yang memenuhi persamaan diferensial parsial yang diberikan.
Dikatakan solusi umum jika fungsi tersebut masih memuat konstanta, dan disebut
solusi khusus jika tidak terdapat konstanta, yang didapatkan dengan
mensubtitusikan nilai-nilai awal dan syarat batas, yaitu:
(1) Kondisi Dirichlet (D), jika u telah ditentukan.
(2) Kondisi Neuman (N), jika turunan normalnya
(3) Kondisi Robin (R), jika
∂u
= u n telah ditentukan.
∂n
∂u
+ au telah ditentukan, dengan a adalah
∂n
fungsi dari x, y, z, t .
Dari pemaparan di atas maka penulis menekankan pada permasalahan yang
mempelajari persamaan gelombang dalam menyelesaikan masalah peredaman
gelombang laut yang dapat menyebabkan evolusi terhadap wilayah pantai.
1.2
Rumusan Masalah
Dalam penelitian ini ada beberapa masalah yang akan diungkapkan untuk
mengetahui model-model matematika yang digunakan untuk mencari persamaan
gelombang yang menyebabkan wilayah pantai menjadi tervolusi. Masalahmasalah yang akan diungkap adalah:
1) Bagaimana
mencari
bentuk
pemodelan
gelombang
laut
yang
mengakibatan evolusi terhadap wilayah pantai?
2) Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan gelombang laut yang
mengakibatkan evolusi terhadap wilayah pantai yang telah diperoleh?
8
3) Bagaimana cara mencari bentuk peredaman persamaan gelombang dan
arus laut tersebut yang sekaligus dapat mengurangi evolusi terhadap
wilayah pesisir pantai?
1.3
Tujuan
Penelitian ini dimaksudkan dengan tujuan untuk mengetahui:
1) Bentuk pemodelan gelombang laut yang mengakibatkan evolusi
terhadap wilayah pantai.
2) Bentuk penyelesaian persamaan gelombang laut yang mengakibatkan
evolusi wilayah pantai yang telah diperoleh.
3) Cara menemukan bentuk peredaman persamaan gelombang dan arus laut
tersebut yang sekaligus dapat mengurangi evolusi terhadap wilayah
pesisir pantai.
1.4
Manfaat
Penelitian ini dimaksudkan untuk memberikan manfaat bagi mahasiswa
maupun masyarakat luas, diantaranya:
1.4.1
Manfaat Umum bagi masayarakat luas)
1) Agar masyarakat mengetahui bagaimana pentingnya menjaga daerah
pantai dari arus laut dan gelombang yang mengevolusi wilayah
pantai.
2) Agar masyarakat dapat saling menjaga dan melestarikan budi daya
daerah pesisir pantai supaya dalam jangka waktu yang lama tidak
terjadi kerusakan yang lebih parah.
3) Memberikan solusi tentang evolusi yang terjadi di wilyah pantai.
9
4) Untuk
menghindari
dan
mengidentifikasi
masalah-masalah
gelombang laut yang menyebabkan kerusakan dan bencana bagi
masa depan.
1.4.2
Manfaat Khusus (bagi mahasiswa)
1) Agar
mahasiswa
mampu
menerapkan
ilmunya
khususnya
matematika untuk mengatasi masalah yang sering terjadi di wilayah
pantai.
2) Agar mahasiswa daapt mempelajari model-model persamaan
diferensial sebagai penyelesaian dan pengatasan gelombang dan arus
laut yang mengevolusi wilayah pantai.
1.5
Sistematika
Dalam skripsi yang berjudul “Model Peredaman Gelombang Laut yang
Menyebabkan Evolusi terhadap Wilayah Pantai” secara garis besar memiliki tiga
bagian, yaitu :
(1) Bagian awal
Bagian awal skripsi ini terdiri dari halaman sampul, halaman judul,
abstrak, lembar pengesahan, motto dan pengesahan, kata pengantar, daftar
isi, dan daftar gambar.
(2) Bagian isi
Bagian isi skripsi terdiri dari tiga bab yaitu bab I Pendahuluan yang
berisi latar belakang, permasalahan, tujuan, dan sistematika penulisan
skripsi; bab II Landasan Teori, bab III Metode Penulisan Skripsi, bab IV
pembahasan, dan bab V Simpulan dan saran.
10
(3) Bagian akhir
Bagian akhir skripsi terdiri dari daftar pustaka dan lampiran.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Hukun Newton
2.1.1 Hukum pertama Newton
Hukum pertama Newton menyatakan bahwa suatu benda tetap pada
keadaan awalnya yang diam atau bergerak dengan kecepatan sama kecuali
benda tersebut dipengaruhi oleh suatu gaya tidak seimbang atau gaya eksternal
neto (jumlah vektor semua gaya yang bekerja pada benda tersebut) (Tipler,
1998: 87). Kecenderungan ini menggambarkan bahwa suatu benda mempunyai
kelembaman atau keajegan, sehingga hukum pertama Newton seringkali
dinamakan hukum kelembaman.
2.1.2 Hukum kedua Newton
Gaya eksternal neto sebuah benda adalah penyebab benda mengalami
percepatan. Percobaan menunjukkan bahwa jika kombinasi gaya-gaya
diberikan pada sebuah benda, maka benda tersebut akan
memiliki percepatan (besar dan arah). Arah percepatan tersebut sama dengan
arah gaya eksternal neto. Newton mengemas semua hubungan ini dan
digabungkan dengan hasil percobaan dalam sebuah pernyataan singkat yang
dikenal dengan hukum kedua Newton tentang gerak, yaitu:
“jika suatu gaya eksternal neto bekerja pada sebuah benda, maka
benda akan mengalami percepatan tersebut sama dengan arah gaya eksternal
neto. Vektor gaya total sama dengan massa benda dikalikan dengan
11
12
percepatan benda. Dalam bentuk persamaan,
(Hukum kedua
Newton).
2.1.3
Hukum ketiga Newton
Sebuah gaya yang bekerja pada sebuah benda merupakan hasil dari
interaksi benda tersebut dengan benda yang lain, jadi gaya selalu berpasangan.
Apabila dilakukan sebuah gaya pada sebuah benda, maka benda tersebut juga
melakukan gaya yang arahnya berlawanan dengan arah gaya yang diberikan.
Suatu percobaan menunjukkan bahwa ketika dua benda bersentuhan, kedua
gaya yang diberikan kepada masing-masing benda selalu memiliki besar yang
sama dan arah yang berlawanan.
Hukum ketiga Newton tentang gerak mengatakan bahwa jika seuah
benda A melakukan sebuah gaya pada benda B (sebuah aksi), maka benda B
melakukan sebuah gaya pada benda A (sebuah reaksi). Kedua gaya ini
memiliki besar yang sman tetapi arahnya berbeda (Young and Freedman, 2000:
106). Hukum ketiga Newton dikenal dengan hukum aksi reaksi.
2.2
Gelombang
Getaran dan gelombang merupakan subyek yang saling berhubungan erat.
Apakah itu gelombang laut, gelombang pada senar, gelombang gempa bumi,
gelombang cahaya, gelombang radio, gelombang listrik, atau gelombang suara di
udara mempunyai getaran sebagai sumbernya. Amplitudo adalah tinggi
maksimum dari sebuah gelombang atau jarak maksimum antara puncak dan titik
nol-nya. Amplitudo akan sama besarnya walaupun diukur dari puncak ataupun
dari dasar lembah suatu gelombang. Sebuah siklus penuh suatu gelombang (satu
13
periode) adalah dimulai dari titik nol ke puncak gelombang, lalu ke titik nol,
dilanjutkan ke dasar lembah, dan kembali lagi ke titik nol.
Fase adalah titik waktu tertentu dalam sebuah siklus gelombang. Fase
diukur dalam satuan derajat, dengan
mewakili awalan dari siklus tersebut dan
mewakili akhir dari siklus tersebut. Titik puncak pada
diantara puncak positif dan puncak negatif, yaitu
adalah
, titik nol berada
, dan titik puncak negatif
. Frekuensi adalah jumlah siklus gelombang yang muncul dalam satu
detik. Frekuensi diukur dalam hertz (Hz).
2.2.1 Pulsa Gelombang
Bila seutas tali (atau pegas) yang diregangkan diberi suatu sentakkan
bentuknya berubah sepanjang waktu secara teratur. Lengkungan yang
dihasilkan oleh sentakkan tali menjalar menyusuri tali sebagai suatu pulsa
gelombang. Dalam hal ini, gangguan dalam medium merupakan perubahan
bentuk tali dari bentuk kesetimbangannya, yakni perubahan bentuk tali tegang.
Pulsa gelombang menjalar pada tali dengan laju tertentu yang bergantung pada
tegangan tali dan rapat massanya (massa per satuan panjang). Begitu bergerak
pulsa gelombang dapat berubah bentuk. Misalnya, pulsa gelombang dapat
tersebar (terurai) secara perlahan. Efek ini disebut dispersi. Biasanya dispersi
diabaikan dan dianggap pulsa gelombang menjalar dengan bentuk yang hampir
konstan.
Pulsa gelombang pada ujung lainnya bergantung pada bagaimana tali
diikatkan di ujungnya. Jika tali diikat pada suatu penopang tegar, pulsa
gelombang akan terpantul dan akan dikembalikan secara terbalik. Ketika tiba
14
dipenopang tetap, pulsa gelombang mengerjakan gaya ke atas pada penopang.
Penopang tetap mengerjakan gaya yang sama, namun berlawanan arah pada
tali, sehingga menyebabkan pulsa terbalikkan pada peristiwa pemantulan.
Jika tali diikatkan pada suatu gelang licin yang massanya dapat
diabaikan yang bebas bergerak secara vertikal pada tiang, susunan ini
mendekati kondisi ujung bebas bagi tali. Bila pulsa gelombang tiba, mka pulsa
gelombang tersebut mengerjakan gaya ke atas pada gelang dan gelang bergerak
ke atas. Gelang melampui tinggi pulsa gelombang, sehingga pulsa gelombang
yang terpantul tidak dikembalikan secara terbalik. Jika tali diikatkan pada tali
tali lain yang rapat massanya berbeda, maka sebagian pulsa gelombang akan
ditransmisikan (diteruskan) dan sebagian lagi akan dipantulkan.
Pada dasarnya yang dipindahkan dalam gerak gelombang bukanlah
elemen massa tali melainkan gangguan terhadap bentuk tali yang disebabkan
oleh sentakkan pada salah satu ujungnya. Sebenarnya, elemen massa tali
bergerak dalam arah tegak lurus tali dan dengan demikian tegak lurus adalah
arah gerak pulsa gelombang. Gelombang dengan gangguan yang tegak lurus
arah penjalaran disebut gelombang transversal. Sedangkan gelombang
dengan
arah
gangguan
sejajar
arah
penjalaran
disebut
gelombang
longitudinal.
Gelombang air bukan sepenuhnya gelombang transversal maupun
sepenuhnya gelombang longitudinal, melainkan suatu kombinasi antara
keduanya. Partikel air bergerak menurut lintasan melingkar kedua komponen
transversal dan longitudinal.
15
2.2.2 Laju Gelombang
Sifat umum gelombang adalah lajunya bergantung pada sifat-sifat
medium, tetapi tidak bergantung pada gerak relatif sumber gelombang terhadap
medium. Misalnya, laju gelombang pada tali hanya bergantung pada sifat-sifat
tali. Demikian pula laju gelombang bunyi yang dihasilkan oleh terompet kereta
api hanya bergantung pada sifat-sifat udara dan tidak bergantung pada gerak
kereta api.
Jika pulsa gelombang dikirimkan melalui tali yang panjang dengan
mudah dapat ditunjukkan bahwa laju penjalaran pulsa gelombang bertambah
bila tegangan tali ditinggikan. Selanjutnya, jika dipunyai dua tali ringan dan
tali berat, dengan tegangan yang sama, maka pulsa gelombang akan menjalar
lebih lambat pada tali yang berat. Jadi, laju penjalaran gelombang pada tali
berhubungan dengan tegangan dan massa per satuan panjang.
2.3
Model-model Gelombang
2.3.1 Persamaan Gelombang Banjir
Pada waktu J.J. Stoker mempelajari sifat gelombang banjir di sungai,
Stoker menurunkan persamaan diferensial sebagai berikut:
(v0 + c0 )2
dc1
1
2
gB
2
− 3c1 + c1gS ( −
)=0
dξ
v0 3c0 gB + 2c0 2
Dalam persamaan ini g menyatakan percepatang gravitasi ( g = 32,16
(1)
kaki
). B
det 2
menyatakan lebar sungai (setiap penampang melintang yang lurus pada arah
aliran sungai dianggap sebagai siku empat lebar B tetap, tetapi kedalaman
y merupakan peubah), S menyatakan kemiringan dasar sungai, v0 adalah
16
kecepatan gelombang, c0
c0 = ( gy 0 )
1
2
dihubungkan dengan kedalaman awal y0 oleh
(ingat bahwa c0 mempunyai satuan kecepatan), c1 merupakan
fungsi yang tidak diketahui yang dihubungkan dengan kedalaman y dari
waktu, x menyatakan peubah tempat yang sumbunya sejajar dengan arah
aliran sungai.
Persamaan (1) merupakan persamaan Bernoulli dan karena itu dapat
diselesaikan dengan metode yang berkaitan dengan tipe persamaan diferensial
tersebut. Tetapi hasilnya tidak praktis, jadi metode numeris mungkin lebih
tepat sebagai suatu alat penyelesaian.
2.3.2 Masalah Cauchy untuk Persamaan Gelombang
Persamaan gelombang homogen dalam dimensi satu adalah:
utt − c2uxx = 0
(2.a)
persamaan tersebut adalah sebuah persamaan hyperbolik dan satu dari tiga
pokok persamaan dalam persamaan differensial parsial. Persamaan (2.a) adalah
dibawah transformasi oleh variable sebagai berikut :
ξ = x − ct , τ = x + ct
persamaan gelombang itu ditransformasi kedalam bentuk
Uτξ = 0,
U = U (ξ ,τ )
yang dapat terintegrasi dua kali diperoleh solusi umum
U (ξ , τ ) = F (ξ ) + G (τ )
dimana F dan G adalah fungsi sebarang. Jadi, solusi umum untuk (2.a)
adalah:
17
u ( x, t ) = F ( x − ct ) + G ( x + ct )
(2.b)
karenanya, solusi dari persamaan gelombang adalah superposisi dari kanan dan
kiri perjalanan gelombang yang berpindah pada kecepatan c .
Masalah Cauchy untuk persamaan gelombang adalah :
utt − c2uxx = 0 , x ∈ ℜ , t > 0 ,
u ( x ,0 ) = f ( x ),
(2.c)
ut (x,0) = g(x), x ∈ ℜ.
(2.d)
dimana f didefinisikan jarak awal dari tali tak hingga dan g didefinisikan
sebagai percepatan awal. Persamaan ini adalah orde dua dalam t , jadi kedua
posisi dan percepatan harus ditetapkan pada awalnya.
Ada rumusan analisis sederhana untuk solusi masalah Cauchy (2.c) dan
(2.d). itu disebut rumusan D’Alembert dan itu diberikan oleh :
x + ct
u ( x, t ) =
1
1
g ( s ) ds .
( f ( x − ct ) + f ( x + ct )) +
2c x −∫ct
2
(2.e)
2.3.3 Persamaan Gelombang Umum
Persamaan differensial yang mengatur kasus dalam dimensi satu sering
dikenal sebagai “persamaan gelombang”:
∂σ x
∂ 2u
= ρ 2 + Px (t )
∂x
∂t
dengan
(3.a)
σ x adalah tegangan aksial dalam arah x , ρ adalah kerapatan massa
dari bahan dan u adalah perpindahan aksial. Persamaan diatas adalah sebuah
pernyataan kesetimbangan dinamis pada suatu saat dan dapat diturunkan
dengan memakai hukum ke-2 Newton. Suku sisi kiri menyatakan gaya internal
18
sedangkan suku ρ (
∂ 2u
) = ρ u tt menyatakan gaya inersia atau gaya kinetik
∂t 2
terhadap perubahan gerak gelombang, utt adalah percepatan dan Px (t) adalah
gaya eksternal dari gelombang. Jika bahan diasumsikan elastic linear, maka
σ x = Eε x = E
hukum tegangan–regangan adalah:
jika diturunkan terhadap x , maka diperoleh:
∂u
∂x
∂σ x ∂ 2u
E 2
∂x
∂x
(3.b)
(3.c)
dengan E adalah modulus elastik dan Ex adalah gradien u atau regangan
aksial. Subtitusikan persamaan (3.c) ke persamaan (3.a), maka diperoleh:
E
Besaran
2.4
∂ 2u
∂ 2u
=
ρ
+ Px (t )
∂t 2
∂x 2
E
ρ
(3.d)
= Cx dinamakan kecepatan perambatan gelombang elastik.
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih
turunan-turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui (Waluyo, 2006: 1).
Berikut adalah contoh-contoh persamaan diferensial:
(1)
.
(4.a)
.
(2)
(3)
(4)
(4.b)
.
(4.c)
.
(4.d)
19
Jika terdapat variabel bebas tunggal seperti persamaan (4.a) dan (4.b) maka
turunannya merupakan turunan biasa dan persamaannya disebut persamaan
diferensial biasa. Jika terdapat dua atau lebih variabel bebas seperti persamaan
(4.c) dan (4.d) maka turunannya merupakan turunan parsial (sebagian) dan
persamaannya disebut persamaan diferensial parsial.
Bentuk umum persamaan diferensial biasa adalah:
.
(4.e)
Persamaan (4.e) menyatakan hubungan antara variabel bebas
terikat
dan variabel
dan berbagai variasi turunannya (Waluyo, 2006: 2).
Order persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari
turunan yang muncul dalam persamaan (Kreszig, 1999: 4). Persamaan diferensial
pada persamaan (4.e) berorder n, pada persamaan (4.a) dan (4.c) adalah
persamaan diferensial berorder satu, sedangkan pada persamaan (4.b) dan (4.d)
adalah persamaan diferensial berorder dua.
Bentuk umum persamaan diferensial order satu adalah:
.
(4.f)
Untuk memudahkan notasi, digunakan notasi turunan, seperti
.
dan seterusnya serta
Solusi persamaan diferensial (4.f) pada interval terbuka
sebuah fungsi
,
sedemikian sehingga
persamaan (4.f) untuk setiap
pada interval
adalah
ada dan memenuhi
. Sehingga persamaan (4.f)
20
menjadi sebuah persamaan jika diganti fungsi yang tak diketahui
dengan
dengan ,
(Kreszig, 1999: 4).
Jadi solusi persamaan diferensial berorder n pada persamaan (4.e) pada
interval
adalah sebuah fungsi
sedemikian sehingga
ada dan memenuhi persamaan (4.e)
untuk setiap
pada interval
. Sehingga persamaan (4.e) menjadi
sebuah persamaan jika diganti fungsi yang diketahui
dengan ,
dengan
dan
seterusnya.
Contoh 1.
Dipunyai
.
Jelas
, dengan
.
Solusi yang diperoleh pada Contoh 1 masih memuat konstanta sebarang
sehingga disebut Solusi umum (general solution). Jika diganti C dengan bilangan
tertentu (C = 2 atau yang lain) maka didapatkan solusi khusus (Kreszig, 1999: 5).
Persamaan diferensial (4.e) dikatakan linear jika F adalah linear dalam
. Secara umum persamaan diferensial biasa linear
variabel-variabel
order n adalah
.
(4.g)
Persamaan yang tidak dalam bentuk persamaan (4.g) merupakan persamaan
tak linear (Waluyo, 2006: 6). Contoh persamaan tak linear adalah persamaan
pendulum
.
21
. Persamaan diferensial
Persamaan tersebut tak linear karena suku
juga tak linear karena suku
dan
.
2.4.1 Persamaan Diferensial Linear Order Satu
Persamaan diferensial linear order satu adalah persamaan yang
berbentuk:
(4.1.a)
dengan
kontinu pada suatu interval. Jika
maka persamaan
defferensial tersebut merupakan persamaan homogen, sebaliknya jika
maka persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan tak
homogen (Kreszig, 1999: 33).
Untuk menemukan solusi persamaan (4.1.a), kalikan dengan sebuah
fungsi yang belum diketahui
, maka diperoleh persamaan:
.
(4.1.b)
Nyatakan ruas kiri persamaan (4.1.b) sebagai turunan dari sebuah fungsi yaitu
. Jadi haruslah
sama dengan
Jelas
.
(4.1.c)
.
Pilih
Jadi
.
.
(4.1.d)
22
Karena
memenuhi persamaan (4.1.c) maka persamaan (4.1.b)
dapat disederhanakan menjadi:
(4.1.e)
Integralkan kedua ruas persamaan (4.1.e), maka diperoleh:
atau
.
(4.1.f)
Contoh 2. Temukan solusi masalah nilai awal
,
Penyelesaian.
Jelas
.
Jadi
.
Jelas
Jadi
.
.
2.4.2 Persamaan Diferensial Biasa Linier Order Dua
Persamaan diferensial linear order dua adalah persamaan diferensial
dengan bentuk
(4.2.a)
23
dan
Dengan
interval I. Jika
jika
adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada suatu
maka persamaan diferensial tersebut homogen, tetapi
maka persamaan diferensial tersebut tidak homogen (Kreszig,
1999: 65). Berikut adalah contoh-contoh persamaan diferensial biasa linear
order dua.
1.
2.
Jika persamaan (4.2.a) dengan
dab
adalah fungsi-fungsi
konstan maka persamaan (4.2.a) merupakan persamaan diferensial biasa linear
order dua dengan koefisian konstanta yang dapat dinyatakan sebagai
.
(4.2.b)
2.4.3 Persamaan Diferensial Biasa Linear Order Dua Homogen Dengan
Koeffisien Konstanta
Persamaan (4.2.b) dengan
adalah persamaan diferensial biasa
linear order dua homogen dengan koefisien konstanta.
.
(4.3.a)
adalah solusi persamaan (4.3.a).
(4.3.b)
Dipunyai
Tulis
Jelas
dan
.
(4.3.c)
Jadi
.
(4.3.d)
24
Jadi persamaan (4.3.b) merupakan solusi persamaan (4.3.a) jika m memenuhi
persamaan (4.3.d). Persamaan (4.3.d) merupakan persamaan karakteristik dari
persamaan (4.3.a). Dari persamaan (4.3.d) didapatkan nilai m yaitu
dan
(4.3.e)
Jadi solusi persamaan (4.3.a) adalah:
dan
Kasus
(4.3.f)
:
Jelas
Jelas
dan
adalah solusi persamaan (4.3.a).
Jadi
.
Bukti:
dan
Jelas
(
.
)
Jelas ay'' + by' + cy = a Am1 em1 x + Bm2 em2 x +
2
2
(
) (
b Am1e m1x + Bm2 e m2 x + c Ae m1 x + Be m2 x
(
)
(
)
)
= am1 + bm1 + c Ae m1 x + am2 + bm2 + c Be m2 x
2
2
= 0 Aem1 x + 0 Be m1 x = 0.
:
Kasus
Jelas
.
Jelas
adalah solusi persamaan (4.3.a).
Tulis
Bukti:
.
25
dan
Jelas
.
Jelas
.
Karena persamaan (4.3.a) adalah persamaan diferensial order dua maka perlu
dipunyai dua solusi untuk membangun solusi umumnya. Untuk mencari solusi
kedua yang bebas liniear, misalkan solusinya dalam bentuk
(4.3.g)
yaitu dengan mengganti konstanta
dengan suatu fungsi
. Metode ini
dikenal sebagai metode reduksi dari order (reduction of order).
dan
Jelas
.
(4.3.h)
Jelas ay '' + by ' + cy = 0
(
⇔ v (ay
) (
)
⇔ a v '' y1 + 2v ' y ' + vy1 + b v ' y1 + vy1 + cvy = 0
''
1
''
)
'
+ by '1 + cy1 + av '' y1 + 2av ' y ' + bv ' y1 = 0
⇔ av '' y1 + 2av ' y ' + bv ' y1 = 0
⎛ y '' b ⎞
⇔ v '' + v ' + ⎜⎜ 2 1 + ⎟⎟ = 0
⎝ y1 a ⎠
b
−
⎛
⎞
⎜ − b e 2a
⎟
b⎟
''
'⎜
2
a
⇔ v +v 2
+
=0
b
⎜
⎟
−
a
e 2a
⎜
⎟
⎝
⎠
''
⇔ v = 0.
.
Jadi
Jadi
Kasus
adalah solusi umum persamaan (4.3.a).
:
26
Jelas
Tulis
dan
Jadi
.
dan
.
Tulis
dan
.
Jelas
dan
adalah solusi persamaan (4.3.a).
Tulis
Jelas
dan
dan
.
adalah solusi persamaan (4.3.a).
Tulis
Jelas
.
adalah solusi persamaan (4.3.a).
Bukti:
Jelas
dan
[(
)
(
]
)
Y ' ' = e ax αβ B − β 2 A cos β x − αβ A − β 2 B sin β x +
[
e ax (α 2 B − αβ A)sin β x − (α 2 A − αβ B )cos β x
[
]
]
[
]
= e ax { (α 2 − β 2 )A + 2αβ B cos β x + (α 2 − β 2 )B − 2αβ A sin βx}
{[(
)
]
[(
)
Jelas pY '' + qY ' + rY = peαx α 2 − β 2 A + 2αβ B cos β x + α 2 − β 2 B
− 2αβ A]sin β x} + qeαx [(αB − β A)sin β x +(αA + βB )cos β x ] +
reαx ( A cos βx + B sin β x )
27
[
]
[
= eαx { p (α 2 − β 2 ) + qα + r A cos β x + p (α 2 − β 2 ) + qα + r ]}+
(2 pα + q )β (B cos βx − A sin βx ) = 0.
Contoh 3. Selesaikan
.
Penyelesaian.
Tulis
.
Persamaan karakteristik :
.
Akar-akar karakteristiknya adalah
.
Jadi solusi umumnya adalah
.
Contoh 4. Selesaikan
,
Penyelesaian.
Persamaan karakteristik
.
Jadi solusi umumnya adalah
2.5
Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan yang mengandung
satu atau lebih turunan parsial dari suatu fungsi yang tidak diketahui dengan dua
atau lebih peubah bebas (Kreyszig, 1999: 582). Persamaan diferensial dengan
peubah bebas x dan y merupakan suatu identitas yang menghubungkan peubah
bebas dengan peubah tak bebas u ( x , y ) dan turunan parsial dari u ( x , y )
(Strauss,1973: 1). Order suatu persamaan diferensial parsial didefinisikan sebagai
turunan tertinggi dari suatu persamaan diferensial parsial (Strauss, 1973: 1).
Beberapa contoh bentuk persamaan diferensial parsial linear orde dua yang
penting:
28
(1)
2
∂ 2u
2 ∂ u
=
c
∂t 2
∂x 2
persamaan gelombang dimensi satu
(5.a)
(2)
∂u
∂ 2u
= c2 2
∂t
∂x
persamaan panas dimensi satu
(5.b)
(3)
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x 2 ∂y 2
persamaan laplace dimensi satu
(5.c)
(4)
∂ 2u ∂ 2u
+
= f ( x, y )
∂x 2 ∂y 2
persamaan poison dimensi dua
(5.d)
(5)
2
∂ 2u ⎞
∂ 2u
2⎛ ∂ u
⎜
c
+
=
⎜ ∂x 2 ∂y 2 ⎟⎟
∂t 2
⎝
⎠
persamaan gelombang dimensi dua
(5.e)
(6)
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
persamaan laplace dimensi tiga
(5.f)
Untuk memudahkan notasi, digunakan pangkat bawah untuk menotasikan
turunan parsial, seperti u x =
∂u
∂u
, u xy =
. Konsep penting dari persamaan
∂x
∂y∂x
diferensial parsial adalah kelinieran. Menurut Strauss (1973: 2) suatu fungsi
dikatakan bersifat linier jika untuk setiap u, v di domain dan sembarang konstanta
c berlaku :
f (u + v ) = f (u ) + f (v ) dan f ( c ⋅ u ) = c ⋅ f (u ) .
(5.g)
Solusi dari sebuah persamaan diferensial adalah sebuah fungsi yang
mempunyai turunan parsial yang memenuhi persamaan diferensial yang diberikan.
2.6
Masalah-masalah Nilai Awal dan Syarat Batas
Suatu persamaan diffrensial memiliki lebih dari satu solusi. Agar dapat
diperoleh solusi tunggal dari persamaan diferensial tersebut, maka ditentukanlah
suatu kondisi. Kondisi itu sendiri terdiri dari dua bagian yaitu kondisi awal dan
29
kondisi batas. Suatu kondisi awal biasanya berhubungan dengan waktu t0
(Strauss, 1973, 19).
Kondisi awal pada kasus getaran dawai adalah u(x, t0 ) = φ(x) dan
ut (x, t0 ) =ψ (x) dengan φ ( x ) adalah posisi awal dan ψ (x) adalah kecepatan
awal. Masalah mencari solusi dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi
awal adalah masalah nilai awal (MNA).
Dalam masalah fisika selalu dikerjakan pada suatu daerah domain D
(Strauss, 1973, 19). Pada kasus getaran yang terjadi pada seutas dawai daerah
domainnya adalah 0 ≤ x ≤ l dengan l adalah panjang dawai. Jadi batas dari
domain terdiri dari dua titik yaitu x = 0 dan x = l .
Terdapat tiga jenis kondisi batas yang penting yaitu:
(1) Kondisi Dirichlet (D), jika u telah ditentukan.
(2) Kondisi Neuman (N), jika turunan normalnya
(3) Kondisi Robin (R), jika
∂u
= u n telah ditentukan.
∂n
∂u
+ au telah ditentukan.
∂n
Contoh kondisi batas pada domain 0 ≤ x ≤ l
(1) Kondisi Dirichlet, u ( 0, t ) = f (t ) dan u (l , t ) = g (t )
(2) Kondisi Neuman,
(3) Kondisi Robin,
∂
∂
u (0, t ) = h(t ) dan
u(l , t ) = i(t )
∂n
∂n
∂
∂
u (0, t ) + a ⋅ u (0, t ) = j (t ) dan u (l , t ) + a ⋅ u (l , t ) = k (t )
∂n
∂n
Selanjutnya masalah mencari solusi dari suatu persamaan diferensial yang
memenuhi kondisi batas disebut masalah nilai batas (MNB).
BAB 3
METODE PENULISAN SKRIPSI
3.1
Kajian Pustaka
Dalam penulisan skripsi ini, metode penulisan yang dilakukan penulis
adalah melalui kajian pustaka. Penulis mengambil beberapa pustaka yang relevan
untuk digunakan sebagai literatur dalam menentukan pemodelan dan solusi dari
persamaan gelombang laut serta mencari model peredaman persamaan gelombang
laut terebut.
3.2
Perumusan Masalah
Perumusan masalah diperoleh melalui uraian pada latar belakang dengan
mengacu pada beberapa pustaka yang ada. Selanjutnya dengan menggunakan
pendekatan teoritik maka dapat ditemukan jawaban dari permasalahan sehingga
tercapai tujuan skripsi.
3.3
Analisis dan Pemecahan Masalah
Pada analisis dan pemecahan masalah penulis terlebih dahulu membuat
suatu pemodelan dari suatu batang homogen yang dianggap sebagai suatu keadaan
permukaan air laut. Kemudian berdasarkan pendapat para ahli melalui
penelusuran
pustaka,
maka
penulis
mendapatkan
asumsi-asumsi
untuk
memperoleh suatu persamaan gelombang laut yang bersifat non-homogen.
3.4
Penarikan Simpulan
Untuk penarikan simpulan penulis menggunakan teknik induksi, yaitu
berdasarkan uraian pada pembahasan maka akan diperoleh jawaban dari
permasalahan. Selanjutnya, penulis dapat menuliskan beberapa saran yang
30
31
digunakan untuk pengembangan masalah persamaan peredaman gelombang laut
agar dapat digunakan untuk menyelasaikan masalah-masalah pada dunia nyata.
BAB 4
PEMBAHASAN
4.1
Pemodelan Persamaan Gelombang
Bila ada sebuah gaya yang tergantung pada waktu yang disebabkan oleh
faktor-faktor seperti tumbukkan, ledakan maupun pembebanan karena gempa
bumi dan lain-lain yang mengenai sebuah medium, maka gaya ini akan
dipancarkan melalui medium sebagai gelombang (tegangan). Pada umumnya
gelombang semacam ini merambat dalam ketiga arah ruang (spatial). Pada
keadaan dan asumsi tertentu, adalah untuk melakukan idealisasi medium tersebut
sebagai medium satu-dimensi. Gambar 2 di bawah ini adalah menunjukkan
pergerakan gelombang sebelum dan sesudah mendapat pengaruh gaya luar.
(a)
(b)
Gambar 2. Gambar Analisa Gelombang Laut
(a) Gelombang mula-mula diam sebagai asumsi adalah sebuah batang yang
homogen.
(b) Gelombang yang bergerak setelah dipengaruhi oleh gaya luar berupa angin
yang secara kontinu bertiup di atas permukan air Laut.
32
33
Sebuah asumsi bahwa lautan yang luas sebagai sebuah batang homogen
dengan luas penampang sebarang (Gambar 3). Sebuah gaya yang tergantung pada
waktu Px (t ) yang bekerja pada batang akan menyebabkan terjadinya getaran
dalam batang tersebut, sehingga ada sebuah sebuah gelombang yang merambat
bolak-balik di dalam batang. Asumsi bahwa jika gaya tersebut bekerja pada
permukaan laut adalah angin yang selalu berhembus di atas permukaan laut.
Gaya-gaya yang bekerja pada gelombang yang bergerak dapat diketahui dengan
memperhatikan potongan kecil gelombang pada permukaan (yaitu dari titik x
sampai
) pada sumbu X. Perhatikan gambar 3 di bawah ini:
Px(t)
(a)
Px(t)
(b)
34
F2
u
β
Q
F2 sin( β )
F2 cos(β )
(c)
F1 cos(α )
F1 sin(α )
α
P
F1
x
x + Δx
X
Gambar 3. Pemodelan Gelombang Laut
(a) Permukaan mula-mula mendapat gaya luar dan terdapat tegangan
permukaan.
(b) Pergerakan Gelombang setelah memperoleh gaya dan perubahan tegangan
permukaan.
(c) Gaya-gaya yang bekerja pada Gelombang.
Persamaan diferensial pada gelombang laut dapat diperoleh dengan
memperhatikan gaya-gaya yang bekerja pada bagian permukaan air laut tersebut
(pada selang ( x, x + Δx) ). Gaya tegang pada permukaan laut merupakan garis
singgung pada setiap titik di permukaan laut tersebut.
Tulis F1 : gaya yang bekerja pada titik P dan
F2 : gaya yang bekerja pada titik Q .
Gaya-gaya yang bekerja pada arah horizontal adalah F1 cos(α ) dan
F2 cos( β ) . Perhatikan bahwa setiap titik pada permukaan merupakan hanya
bergerak secara vertikal dan tidak ada yang bergerak secara horizontal, maka gaya
yang bekerja pada arah horizontal harus konstan (Kreyszig, 1999: 586).
35
Jelas F1 cos α = F2 cos β = F = konstan .
Gaya-gaya yang pada arah vertikal adalah − F1 sin(α ) dan F2 sin( β ) .
Berdasarkan hukum kedua Newton, jumlah dari kedua ini sama dengan massa dari
bagian air laut ( ρ Δx ) dikalikan dengan percepatan ( utt ).
Jelas F2 sin(β ) − F1 sin(α ) = ( ρ Δx) ⋅ utt
⇔
F2 sin( β ) F1 sin(α ) ρ Δx
−
=
⋅ u tt
F2 cos( β ) F1 cos(α )
F
⇔ tan( β ) − tan(α ) =
ρ Δx
F
⋅ u tt .
karena tan( α ) dan tan( β ) adalah merupakan gradien pada x dan x + Δx , maka
dan
Jadi tan( β ) − tan(α ) =
.
ρΔx
F
⋅ u tt
⇔ u x ( x + Δx, t ) − u x ( x, t ) =
⇔
ρ Δx
F
⋅ u tt
1
[u x ( x + Δx, t ) − u x ( x, t )] = ρ ⋅ utt .
Δx
F
karena Δx → 0 , maka
Jadi u xx =
Tulis c 2 =
ρ
F
F
ρ
⋅ u tt .
.
Jadi utt − c 2u xx = 0 .
.
36
Asumsi bahwa persamaan utt − c 2u xx = 0 adalah gaya reaksi yang terjadi
pada gelombang, sedangkan berdasarkan hukum ketiga Newton gaya aksi sama
dengan gaya reaksi, dimana gaya reaksi pada gelombang laut ditimbulkan adanya
angin yang berhembus di atas permukaan laut. Gaya aksi pada kasus ini
dilambangkan dengan Px (t ) yang juga disebut sebagai gaya luar atau gaya
eksternal dari gelombang. Jadi diperoleh gaya gelombang laut sebelum terjadi
peredaman adalah utt − c 2u xx = Px (t ) .
4.2
Solusi Persamaan Gelombang
Pada kasus persamaan gelombang dengan suatu sumber atau sering dikenal
dengan persamaan gelombang non-homogen yang dapat ditulis sebagai:
utt − c 2u xx = Px (t )
(6.a)
dengan suatu kondisi u ( x,0) = ϕ ( x) dan ut ( x,0) = ψ ( x) , dimana Px (t ) dapat di
interprestasikan sebagai pengaruh gaya luar pada sebuah getaran yang sangat
panjang sampai tak hingga. Oleh karena, L = ∂ t − c 2∂ x adalah operator linear,
2
2
maka solusinya akan di jumlahkan dari tiga bagian, satu untuk ϕ , ψ dan Px (t ) .
Dua bagian pertama adalah persamaan gelombang homogen, dimana dapat
diselesaikan sebagai berikut:
Tulis persamaan gelombang sebagai:
utt − c 2u xx = 0
untuk − ∞ < x < ∞
ini adalah persamaan orde dua paling sederhana, kemudian difaktorkan sebagai
berikut :
∂ ⎞⎛ ∂
∂ ⎞
⎛∂
utt − c 2u xx = ⎜ − c ⎟⎜ − c ⎟u = 0
∂x ⎠
∂x ⎠⎝ ∂t
⎝ ∂t
37
maka solusi umum dari persamaan di atas adalah:
u ( x, t ) = f ( x + ct ) + g ( x − ct )
dengan menggunakan nilai awal u ( x,0) = ϕ ( x) dan ut ( x,0) = ψ ( x) , dimana ϕ
dan ψ adalah sebarang fungsi dari x .
Solusi dari persamaan gelombang utt − c 2u xx = 0 dengan kondisi awal
u (x,0) dan ut (x,0) ditemukan dari rumusan umum u ( x, t ) = f ( x + ct ) + g ( x − ct ) ,
dengan meletakkan t = 0 dalam u ( x, t ) = f ( x + ct ) + g ( x − ct ) , maka diperoleh:
ϕ ( x) = f ( x) + g ( x)
(6.b)
kemudian persamaan u ( x, t ) = f ( x + ct ) + g ( x − ct ) diturunkan terhadap t dan
dengan meletakkan t = 0 , maka diperoleh:
ψ ( x) = cf ' ( x) − cg' ( x)
(6.c)
Sekarang persamaan (6.b) diturunkan dan dieliminasi dengan persamaan (6.c),
maka diperoleh:
ϕ ' ( x) = f ' ( x) + g ' ( x)
dan
1
ψ ( x) = f ' ( x) − g ' ( x)
c
dari persamaan di atas maka:
ϕ ' ( x) = f ' ( x) + g ' ( x)
1
ψ ( x) = f ' ( x) − g ' ( x)
c
1
c
ϕ ' ( x) − ψ ( x) = 2 g ' ( x)
⇔ g ' ( x) =
1
1⎛ '
⎞
⎜ ϕ ( x) − ψ ( x) ⎟
2⎝
c
⎠
dan
ϕ ' ( x) = f ' ( x) + g ' ( x)
⇔ f ' ( x) = ϕ ' ( x) − g ' ( x)
∴ f ' ( x) =
1
1⎛ '
⎞
⎜ ϕ ( x) − ψ ( x) ⎟
2⎝
c
⎠
38
kemudian f ' ( x) dan g ' ( x) diintegralkan, diperoleh:
1⎛
1
⎞
f (s ) = ∫ ⎜ϕ ' ( s) + ψ ( s) ⎟ds
2⎝
c
⎠
0
s
s
1
1
= ϕ (s) + ∫ψ (s)ds + A
2
2c 0
dan
1⎛
1
⎞
g (s) = ∫ ⎜ϕ ' ( s) − ψ ( s) ⎟ds
2⎝
c
⎠
0
s
s
1
1
= ϕ ( s) − ∫ψ ( s)ds + B
2
2c 0
dimana A dan B adalah suatu konstanta, karena dari persamaan (6.b) diperoleh
A + B = 0 . Ini mengatakan bahwa f dan g adalah rumusan umum persamaan
(6.a). Subtitusikan s = x + ct ke dalam fungsi f dan s = x − ct ke dalam fungsi
g , maka diperoleh:
u ( x, t ) = f ( x + ct ) + g ( x − ct )
x + ct
x − ct
1
1
1
1
= ϕ ( x + ct ) +
ψ ( s)ds + ϕ ( x − ct ) −
ψ ( s)ds
∫
2
2c 0
2
2c ∫0
x + ct
1
1
= [ϕ ( x + ct ) + ϕ * x − ct )] +
ψ ( s)ds
2
2c x −∫ct
Jadi solusi homogen dari persamaan gelombang di atas adalah:
x + ct
1
1
u( x, t ) = [ϕ ( x + ct ) + ϕ ( x − ct )] +
ψ ( s)ds
2
2c x −∫ct
kemudian akan ditunjukkan solusi karakteristik dari persamaan gelombang
utt − c 2u xx = Px (t ) dengan kondisi awal yang sama pada persamaan gelombang
39
homogen, untuk menyelesaikan persamaan karakteristik pada persamaan
gelombang ini adalah dengan menggunakan metede operator, dimana metode ini
sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan difusi dengan suatu sumber dan
disini akan dicoba untuk menyelesaiakan persamaan gelombang.
Penyelesaian dengan metode operator ini adalah kembali ke bentuk ODE.
Bentuk persamaan ODE adalah:
d 2u
+ A2u (t ) = f (t )
2
dt
u (0) = ϕ ,
du
(0) = ψ
dt
(6.d)
dimana A 2 adalah suatu konstanta positif (atau bilangan genap positif matrik
persegi). Solusi dari persamaan (6.d) adalah:
t
u (t ) = S (t )ϕ + S (t )ψ + ∫ S (t − s) f (s)ds
'
0
dengan
S (t ) = A−1 sin tA dan S ' (t ) = costA
(6.e)
adalah solusi dari masalah (6.d) S (t )ψ dalam kasus ϕ = 0 dan f = 0 . Setelah itu
dikembalikan ke PDE, maka penyelesaian dari
utt − c 2u xx = f ( x, t )
dengan
u ( x,0) = ϕ ( x) ,
ut ( x,0) = ψ ( x)
dari ODE diberikan operator dasar oleh bentuk ψ , sehingga
ζ (t )ψ =
1 x + ct
ψ ( y )dy = v( x, t )
2c ∫x − ct
dengan v ( x, t ) merupakan penyelesaian dari bentuk vtt − c 2vxx = 0 , untuk
v( x.0) = 0 ,
vt ( x,0) = ψ ( x) , dimana ζ (t ) adalah operator sumber. Dari (6.e)
diharapkan bentuk ϕ adalah
∂
(ζ (t )ϕ ) , kenyataannya adalah:
∂t
40
∂
∂ 1 x + ct
1
ζ (t )ϕ =
ϕ ( y )dy = [cϕ ( x + ct ) − (−c)ϕ ( x − ct )]
∫
−
x
ct
∂t
∂t 2c
2c
untuk mendapatkan bentuk solusi dari
Px (t ) ,
maka pada persamaan
t
u (t ) = S ' (t )φ + S (t )ψ + ∫ S (t − s ) f ( s )ds dengan φ = ψ = 0 , maka analog untuk
0
persamaan tersebut menjadi bentuk
t
u (t ) = ∫ ζ (t − s ) f ( s )ds
0
dari persamaan ζ (t )ψ =
1 x + ct
ψ ( y )dy = v( x, t ) dengan mengganti t menjadi
2c ∫x − ct
t − s , maka diperoleh ζ (t − s)ψ =
1 x + c (t − s )
ψ ( y )dy dan di subtitusikan ke dalam
2c ∫x − c (t − s )
t
persamaan u (t ) = ∫ ζ (t − s ) f ( s )ds , maka diperoleh solusi untuk Px (t ) adalah
0
u ( x, t ) =
t
⎡1
∫ ⎢⎣ 2c ∫
0
x + c (t − s )
x − c (t − s )
1
⎤
f ( y , s ) dy ⎥ds =
Px (t ) dxdt
2c ∫ ∫Δ
⎦
Jadi solusi total untuk persamaaan gelombang utt − c 2u xx = Px (t ) adalah
u ( x, t ) =
x + ct
1
[φ ( x + ct ) + φ ( x − ct )] + 1 ∫x − ctψ (s)ds + 1 ∫ ∫Δ Px (t )dxdt .
2
2c
2c
Contoh Soal.
Dipunyai
persamaan
Gelombang
utt − c 2u xx = Px (t ) ,
dengan
u ( x,0) = x ,
ut ( x,0) = sin(x) , tunjukkan Solusi dari persamaan tersebut jika Px (t ) = 0 ,
Px (t ) = 1 , dan P (t ) = cos( x) (Lihat lampiran).
4.3
Model Peredaman pada Persamaan Gelombang
Pada permukaan air laut mempunyai tegangan permukaan, dimana tegangan
tersebut adalah gaya untuk mempertahankan dari pengaruh gaya luar. Jika
41
tegangan permukaan tersebut ditinggikan, maka untuk merumuskan dalam
permasalahan persamaan Gelombang Laut di atas yaitu dengan cara menurunkan
percepatan atau memperkecil percepatannya, dalam hal ini untuk menurunkan
percepatan, maka dalam rumus tersebut dengan menegatifkan percepatan ( − utt ),
artinya dalam tanda negatif tersebut menandakan percepatannya mengecil, maka
diperoleh:
− u tt − c 2 u xx = Px (t ) ⇔ u tt + c 2 u xx = − Px (t ) .
Penyelesaian persamaan tersebut akan diselesaiakan dengan metode variabel
pemisah pada selang 0 < x < L , dimana dipunyai persamaan utt + c 2u xx = Px (t )
dan
diberikan
kondisi
awal
u ( x,0) = φ ( x) ,
ut ( x,0) = ψ ( x) ,
dan
u (0, t ) = u ( L, t ) = 0 .
Solusi homogen dengan variabel pemisah persamaan di atas adalah:
Tulis u tt = −c 2 u xx , untuk 0 < x < L ,
u (0, t ) = u ( L, t ) = 0, ∀t ≥ 0 ,
dan u ( x,0) = φ ( x) ,
ut ( x,0) = ψ ( x) .
Tulis u ( x, t ) = X ( x)T (t ) .
Jelas utt = X ( x) T " (t ) dan u xx = X " ( x)T (t ) .
Jadi u tt = −c 2 u xx ⇔ X ( x)T " (t ) = −c 2 X " ( x)T (t )
⇔
Tulis
T " (t )
X " ( x)
.
=−
2
X ( x)
c T (t )
T " (t )
X " ( x)
=−
=k.
2
X ( x)
c T (t )
(8.a)
(8.b)
(8.c)
(8.d)
42
Jelas X " ( x) + k X ( x) = 0
dan T " (t ) − c 2 k T (t ) = 0 .
(8.e)
(8.f)
Penyelesaian persamaan (8.e):
Jelas u (0, t ) = 0 ⇔ X (0)T (t ) = 0 dan u ( L, t ) = 0 ⇔ X ( L)T (t ) = 0
Pilih T (t ) ≠ 0 .
Jelas X (0) = 0 dan X ( L) = 0 .
Kasus k < 0 :
Tulis k = − p 2 .
Jelas X " ( x) − p 2 X ( x) = 0 .
Jadi X ( x) = Ae px + Be− px .
Karena X (0) = 0 dan X ( L) = 0 maka A = B = 0 .
Jadi X ( x) = 0 dan u ( x, t ) = 0 (bukan solusi nontrivial).
Kasus k = 0 :
Jelas X " ( x) = 0 .
Jadi X ( x) = ax + b .
Karena X (0) = 0 dan X ( L) = 0 maka a = b = 0 .
Jadi X ( x) = 0 dan u ( x, t ) = 0 (bukan solusi nontrivial).
Kasus k > 0 :
Tulis k = μ 2 .
Jelas X " ( x) + μ 2 X ( x) = 0 .
Jadi X ( x) = A cos(μx) − B sin( μx) .
(8.g)
43
Jelas X (0) = A = 0 dan X ( L) = B sin( μL) = 0 .
Kasus B = 0 :
Jadi X ( x) = 0 dan u ( x, t ) = 0 (bukan solusi nontrivial).
Kasus B ≠ 0 :
Jelas sin( μL) = 0
⇔ μL = nπ
⇔μ=
nπ
.
L
(8.h)
Pilih B = 1 :
Jadi X ( x) = X n ( x) = sin
nπ
x,
L
n = 1,2,L
(8.i)
Penyelesaian persamaan (8.f) :
⎛ nπ ⎞
Jelas k = μ = ⎜
⎟ .
⎝ L ⎠
2
2
Tulis λ n =
cnπ
.
L
Jadi T " (t ) − λ n T (t ) = 0 .
2
Jadi Tn (t ) = An e
λn t
+ Bn e
− λn t
, dengan
e λnt = cos(t ) + λn sin(t )
e −λnt = cos(t ) − λn sin(t )
.
cnπ
cnπ
⎛
⎞
⎛
⎞
Jadi Tn (t ) = An ⎜ cos( t ) +
sin( t ) ⎟ + B n ⎜ cos( t ) −
sin( t ) ⎟ .
L
L
⎝
⎠
⎝
⎠
nπ
cnπ
⎧
⎫
Jadi u n ( x, t ) = ⎨( An + B n ) cos( t ) + ( An − B n )
sin( t ) ⎬ sin
x , n = 1,2,L .(8.j)
L
L
⎩
⎭
∞
∞
nπ
cnπ
⎧
⎫
Jadi u ( x, t ) = ∑ u n ( x, t ) = ∑ ⎨( An + B n ) cos( t ) + ( An − B n )
sin( t ) ⎬ sin
x.
L
L
⎭
n =1
n =1 ⎩
44
adalah solusi homogen dari persamaan (8.a) pada selang 0 < x < L .
∞
Jelas u ( x,0) = ∑ ( An + B n )sin
n =1
nπ
x = φ ( x) .
L
(8.k)
Persamaan (8.k) adalah deret Fourier sinus untuk φ ( x ) .
2
nπx
dx ,
Jadi An + Bn = ∫ φ ( x) sin
L0
L
L
n = 1,2,L
(8.l)
∞
cnπ
⎧
Jelas u t ( x, t ) = ∑ ⎨− ( An + B n ) sin( t ) +
( An − Bn ) cos(t )⎫⎬ sin nπ x .
L
L
⎭
n =1 ⎩
cnπ
( An − Bn )sin nπ x = ψ ( x ) ,
L
n =1 L
∞
Jelas u t ( x,0) = ∑
n = 1,2,L
(8.m)
Persamaan (8.m) adalah deret Fourier sinus untuk ψ ( x ) .
cnπ
(A n − Bn ) = 2 ∫ψ ( x) sin nπx dx .
Jadi
L
L0
L
L
(8.n)
Dari (8.l) dan (8.n), maka diperoleh:
1 ⎞
nπx
⎛1
An = ⎜ +
dx , dan
⎟ ∫ φ ( x) sin
L
⎝ L cnπ ⎠ 0
L
1 ⎞
nπx
⎛1
Bn = ⎜ −
dx .
⎟ ∫ (φ ( x) −ψ ( x) )sin
L
⎝ L cnπ ⎠ 0
L
n = 1,2,L
Jadi solusi homogen persamaan Gelombang Laut yang teredam adalah
∞
∞
nπ
cnπ
⎧
⎫
sin( t ) ⎬ sin
x,
u ( x, t ) = ∑ u n ( x, t ) = ∑ ⎨( An + B n ) cos( t ) + ( An − B n )
L
L
⎭
n =1
n =1 ⎩
1 ⎞
nπx
⎛1
dx , dan
dengan An = ⎜ +
⎟ ∫ φ ( x) sin
L
⎝ L cnπ ⎠ 0
L
1 ⎞
nπx
⎛1
Bn = ⎜ −
dx .
⎟∫ (φ ( x) − ψ ( x))sin
L
⎝ L cnπ ⎠ 0
L
n = 1,2,L
45
Sekarang akan dicari solusi partikular persamaan peredaman gelombang
yang diberikan oleh bentuk Px (t ) . Solusi dari persamaan non-homogen
persamaan tersebut dapat dicari menggunakan rumusan D’Alembert, dimana
solusi untuk Px (t ) diberkan oleh
u ( x, t ) =
t
⎡1
∫ ⎢⎣ 2c ∫
0
x + c (t − s )
x − c (t − s )
1
⎤
f ( y , s ) dy ⎥ds =
Px (t ) dxdt .
2c ∫ ∫Δ
⎦
Jadi solusi partikular persamaan Gelombang Laut yang teredam adalah sama
dengan persamaan sebelum teredam dikarenakan faktor dari Px (t ) adalah
pengaruh gaya dari luar jadi solusinya tetap. Persamaan total dari persamaan
Gelombang Laut yang teredam adalah jumlah dari persamaan homogen dengan
partikular.
Jadi solusi totalnya adalah
u ( x, t ) =
∞
⎧
∑ ⎨⎩( A
n =1
n
+ Bn )cos( t ) + ( An − Bn )
cnπ
nπ
1
⎫
x+
Px (t ) dxdt ,
sin( t ) ⎬ sin
L
L
2c ∫ ∫Δ
⎭
1 ⎞
nπx
⎛1
dx , dan
dengan An = ⎜ +
⎟ ∫ φ ( x) sin
L
⎝ L cnπ ⎠ 0
L
1 ⎞
nπx
⎛1
Bn = ⎜ −
dx .
⎟∫ (φ ( x) − ψ ( x))sin
L
⎝ L cnπ ⎠ 0
L
n = 1,2,L
Contoh Soal.
Pada kasus yang sama dengan permasalahan contoh soal di atas dimana diberikan
persamaan peredaman Gelombang dan dengan kondisi yang sama sebagai berikut
utt + c 2u xx = Px (t ) ,dengan u ( x,0) = x , ut ( x,0) = sin(x) , dan u (0, t ) = u (l , t ) = 0
46
tunjukkan Solusi dari persamaan tersebut jika Px (t ) = 0 ,
Px (t ) = 1 , dan
Px (t ) = cos( x ) (Lihat lampiran).
4.4
Inteprestasi Persamaan Gelombang Sebelum dan Sesudah Peredaman
Pengolahan persamaan Gelombang menggunakan maple sebelum terjadi
peredaman yang tidak dipengaruhi gaya luar ketinggian gelombang hanya
mencapai 1, sedangkan setelah dipengaruhi oleh gaya luar menunjukkan
perubahan ketinggian yang semakin meninggi dikarenakan pengaruh gaya luar
yang secara kontinu bergerak di atas permukaan laut. Jadi dengan kata lain gaya
luar berpengaruh terhadap pergerakan permukaan air laut yang terjadi. Perhatikan
gambar di bawah ini:
Gambar 4. Plot Gelombang pada f(x,t) = 0 sebelum teredam
47
Gambar 5. Plot Gelombang pada f(x,t) = 1 sebelum teredam
Gambar 6. Plot Gelombang pada f(x,t) = cos(x) sebelum teredam
48
Persamaan Gelombang setelah terjadi peredaman dengan menggunakan
maple dapat terlihat bahwa pergerakan gelombang terjadi perlambatan yang
diperlihatkan oleh gambar berikut:
Gambar 7. Plot Gelombang pada f(x,t) = 0 setelah teredam
Gambar 8. Plot Gelombang pada f(x,t) = 1 setelah teredam
49
Gambar 9. Plot Gelombang pada f(x,t) = cos(x) setelah teredam
Gambar tersebut di atas mempelihatkan pergerakan gelombang menjadi
lebih rendah ketinggiannya dibandingkan sebelum terjadi peredaman. Oleh karena
itu,
pergerakan
ketinggian
gelombang
yang
menjadi
semakin
rendah
menyebabkan pergerakan gelombang lebih cepat menghilang dari pada
sebelumnya. Jadi dengan begitu evolusi wilayah pantai menjadi semakin kecil.
Selain plot di atas juga diperlihatkan dalam lampiran pada kasus faktor gaya
luar yang lain. Seperti sin(x), sin(-x) dan cos(-x), kasus tersebut juga memberikan
arti yang sama seperti sebelumnya dimana pada kasus peredaman pergerakan
gelombang menjadi semakin rendah dari pada gelombang sebelum teredam.
BAB 5
PENUTUP
5.1 Simpulan
Dari pembahasan di atas dapat ditarik simpulan sebagai berikut:
1.
Persamaan diferensial parsial gelombang laut yang dapat menyebabkan
evolusi terhadap wilayah pantai adalah u tt − c 2 u xx = Px (t ) .
2.
Solusi persamaan diferensial parsial gelombang laut yang dapat
menyebabkan evolusi terhadap wilayah pantai dengan formula
D’Alembert adalah
u ( x, t ) =
3.
x + ct
1
[φ ( x + ct ) + φ ( x − ct )] + 1 ∫x −ct ψ (s)ds + 1 ∫ ∫Δ Px (t )dxdt
2
2c
2c
Model peredaman persamaan gelombang laut yang menyebabkan evolusi
terhadap wilayah pantai dan solusi dari model peredaman tersebut adalah
u tt + c 2 u xx = − Px (t ) solusi dari persamaan tersebut dengan kondisi
Dirichlet adalah
∞
nπ
cnπ
1
⎧
⎫
u ( x, t ) = ∑ ⎨( An + B n ) cos( t ) + ( An − B n )
x−
Px (t ) dxdt
sin( t ) ⎬ sin
L
L
2c ∫ ∫Δ
⎭
n =1 ⎩
nπx
1 ⎞
⎛1
dengan An = ⎜ +
dx , dan
⎟ ∫ φ ( x) sin
L
⎝ L cnπ ⎠ 0
L
1 ⎞
nπx
⎛1
Bn = ⎜ −
dx .
⎟ ∫ (φ ( x) − ψ ( x) )sin
L
⎝ L cnπ ⎠ 0
L
n = 1,2, L
Melalui persamaan diferensial parsial dapat diketahui model
persamaan gelombang laut yang menyebabkan evolusi terhadap wilayah
pantai serta bentuk peredaman persamaan gelombang laut tersebut yang dapat
50
51
dilihat bentuk model gelombangnya melalui maple. Maple memberikan
bentuk model gelombang dan animasinya yang dapat digunakan untuk suatu
penelitian dalam keadaan nyata.
5.2 Saran
Berdasarkan pembahasan, penulis mengajukan saran agar aplikasi
persamaan diferensial parsial dapat dilanjutkan dengan persamaan order
diferensial yang lebih tinggi sehingga dapat lebih detail bentuk-bentuk
persamaan gelombang yang lainnya. Selain itu dapat juga dicari bentuk
pemodelan persamaan peredaman gelombang laut yang lain dengan penelitian
yang lebih nyata penerapannya dalam kehidupan. Melalui persamaan
diferensial parsial tersebut dapat diketahui persamaan gelombang laut serta
dapat dicari model peredamannya sehingga dapat memberikan manfaat bagi
kehidupan.
DAFTAR PUSTAKA
Chorin, A.2005.Minyak Redakan Badai. University of California, Berkeley,
AS
http://www.kompas.com/teknologi/news/0507/27/202955.htm
tgl : 1/10/2007
Desai, C.S.1996.Dasar-dasar Metode Elemen Hingga.Jakarta: Erlangga.
Finizio, N. dan Ladas, G.1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan
Penerapan Modern, (2rd Edition).Alih Bahasa oleh Santoso,
W.Jakarta:Erlangga.
Giancoli, D.C.2001.Fisika.Alih Bahasa oleh Hanum, Y.Jakarta: Erlangga.
Haberman, R. 1998. Elemntary Aplied Partial Differential Equation: With
Fourier Series and Boundari Value Problems. (3rd Edition). USA:
Prentice-Hall.
Hadi, S. dkk. Pemodelan Evolusi (Erosi-Akrasi) Pantai Akibat Pengaruh
Gelombang dan Arus Laut. ITB. Departemen Geofisika dan
Meteorologi.
http://www.dikti.depdiknas.go.id/p3m/abstrakHB/AbstrakHB01.pdf
tgl: 18/04/2007
Haeqal, Y.A.2003. System Architechture (Data and Network Communication
Technology).buku karangan Stephen Burd. Thompson Course of
Technology.http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/MTIPSOKS/2005/PSOSK-08-Teknologi_dan_Data_Jaringan_Komputer.
pdf tgl:29/04/2007
Kreyszig, E. 1999. Advance Engeneering Mathematics, (8th edition). New
York: John Wiley & Sons, Inc.
Logan. J.D.1998.Applied Partial Differentian Equations. New York: SpringerVerlag.
Nagle, R. E & Saff, E. B. 2006. Fundamentals of Differential Equations and
Boundary Value Problems. New York: Addison-Wesley Publishing
Company.
Purba, M. 2003. Pertimbangan Ekologi dan Abrasi/Erosi Pantai. IPB, Bogor
http://www.kompas.com/kompas-cetak/0312/10/bahari/728562.htm
tgl : 2/10/2007
52
53
Rossing, T.D. 1983. The Science of Sound. London: Addison-Wesley
Publishing Company.
Rovicky.2007.Gelombang Laut. http://rovicky.wordpress.com/2007/01/10/
gelombang-laut/ tgl: 29/04/2007
Tipler, P.A. 1998. Fisika : untuk Saint dan Teknik. (Jilid 1). Jakarta: Erlangga.
Tung, K.Y. 2003. Visualisasi dan Simulasi Fisika dengan Aplikasi Program
Maple. Yogyakarta: Andi
Sneddon, I.1957.Element of Partial Differential Equations. New York:
McGraw-Hill Kogakusha, Ltd.
Strauss, W.A.1992.Partial Differentian Equations an Introduction. New York:
John Wiley and Sons, Inc.
Waluya, S.B. 2006. Persamaan Differensial. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Young, H.D. and Roger A.F. 2000. University Physics (Ninth Edition). USA:
Addison Wesley Publishing Company, inc.
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>