1. ( ) ( )ust - GEOCITIES.ws

Matematika Teknik
VEKTOR EUCLIDES
n
Pertama kali yang mempelajari tentang vektor di ℜ adalah Euclides, sehingga
n
n
semua bentuk vektor di ℜ dinamakan vektor Euclides dan himpunan vektor di ℜ
dinamakan ruang Euclides. Bentuk umum vektor Euclides diberikan berikut :
u = (u1 , u2 ,..., un )
; n ∈ B+
Penjumlahan antara dua buah vektor euclides dilakukan dengan menjumlahan
setiap kompenen yang seletak, sedangkan perkalian dengan skalar dilakukan dengan
mengalikan setiap kompenen dengan skalar tersebut. Berikut diberikan sifat-sifat
perkalian vektor euclides dengan skalar.
Misal s dan t merupakan skalar dan u, v vektor euclides. Maka
( )
2. s(u + v ) = su + s v
1. s t u = (st )u
3. (s + t )u = s u + t u
Norm atau panjang dari vektor Euclides, yaitu :
u =
u12 + u22 +...+ un2
Dari definisi di atas, dapat diturunkan suatu sifat panjang vektor euclides berikut. Misal
u ∈ ℜn dan t ∈ ℜ. Maka akan berlaku :
1. u ≥ 0
2. u = 0 bila dan hanya bila u = 0
3. t u = t u
Contoh :
1 
0 
4 
 
 
 
2 
5 
 − 1
Diketahui a = 3b − 2c + d dan b =  , c =  , d =   . Tentukan vektor a dan
−1
−2
−1
 
 
 
1 
2 
1 
panjangnya.
Jawab :
3  0  4  7 
  
    
 6   − 10   − 1  − 5 
a = 3b − 2c + d =   + 
+
=
−3
4   − 1  0 
  
    
 3   − 4  1   0 
Panjang, a = 49 + 25 = 74
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
Dua vektor tidak nol u , v ∈ ℜn dikatakan paralel bila u = v . Bila u = t v ,
u dan v akan mepunyai arah sama atau berlawanan bergantung dari t > 0 atau t < 0.
Jarak antara dua titik A dan B dengan vektor posisi u = (u1 , u2 ,..., un ) dan
v = (v1 , v2 ,..., vn ) yaitu :
d ( A, B) = u − v =
(u1 − v1)2 + (u2 − v2 )2 + ... + (un − vn )2
sedangkan hasilkali titik dua vektor Euclides tersebut diberikan :
u • v = u1 v1 + u2 v2 + ...+ un v n
Soal Latihan
1. Diketahui u = (1,2,3,−4) , v = ( − 1,0,2,1) dan w = ( 0,−2 ,3,−2) . Tentukan :
a. u − 2 v + w
b.
(u • v) w
(
)
d. d ( 2u − v , w)
c. d u, v + w
2. Tentukan sebuah vektor yang normnya satu dan pekalian Euclides dengan vektor
berikut sama dengan nol.
a. u = (1,−2)
b. u = (1,−2 ,3)
1 
 − 3
0 
 
 
 
 − 2
2 
1 
3. Diketaui x =  , y =   dan z =   . Carilah :
0
1
−2
 
 
 
3 
 −1 
1 
a. Vektor yang panjangnya 3 14 yang mempunyai arah yang sama dengan x
b. Vektor satuan yang arahnya berlawanan dengan vektor y − z
 − 2
1 
0 
 
 
 
1 
0 
 − 1




4. Bila x = 4 , y = − 1 dan z =  0  , Carilah :
 
 
 
−3
2 
1 
 − 4
1 
1 
 
 
 
a. Vektor yang panjangnya 10 yang paralel dengan vektor y − z
b. Semua vektor w ∈ ℜ5 sehingga x + 2 y + w paralel dengan z
c. Yang mana dari vektor w ∈ ℜ5 dari soal di atas yang mempunyai panjang 3 ?
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
1 
1 
 − 1
1 
 
 
 
 
 − 1
1 
 − 1
 − 1
5. Diketahui x =  , y =   , z =   dan w =   . Cailah
1
1
1
−1
 
 
 
 
1 
 − 1
1 
1 
a. Skalar r, s dan t ( bila ada ) sehingga berlaku r x + s y + t z = w
b. Skalar r dan s sehingga r x + s y paralel dengan z
c. Skalar r dan s sehingga r x + s y = 6
6. Misal u , v ∈ ℜn
( ) ( )
Carilah hubungan antara d (u, v )dan d (t v, t u ) dengan t skalar.
a. Tunjukkan d u, v = d v, u
b.
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung