Matematika Teknik VEKTOR EUCLIDES n Pertama kali yang mempelajari tentang vektor di ℜ adalah Euclides, sehingga n n semua bentuk vektor di ℜ dinamakan vektor Euclides dan himpunan vektor di ℜ dinamakan ruang Euclides. Bentuk umum vektor Euclides diberikan berikut : u = (u1 , u2 ,..., un ) ; n ∈ B+ Penjumlahan antara dua buah vektor euclides dilakukan dengan menjumlahan setiap kompenen yang seletak, sedangkan perkalian dengan skalar dilakukan dengan mengalikan setiap kompenen dengan skalar tersebut. Berikut diberikan sifat-sifat perkalian vektor euclides dengan skalar. Misal s dan t merupakan skalar dan u, v vektor euclides. Maka ( ) 2. s(u + v ) = su + s v 1. s t u = (st )u 3. (s + t )u = s u + t u Norm atau panjang dari vektor Euclides, yaitu : u = u12 + u22 +...+ un2 Dari definisi di atas, dapat diturunkan suatu sifat panjang vektor euclides berikut. Misal u ∈ ℜn dan t ∈ ℜ. Maka akan berlaku : 1. u ≥ 0 2. u = 0 bila dan hanya bila u = 0 3. t u = t u Contoh : 1 0 4 2 5 − 1 Diketahui a = 3b − 2c + d dan b = , c = , d = . Tentukan vektor a dan −1 −2 −1 1 2 1 panjangnya. Jawab : 3 0 4 7 6 − 10 − 1 − 5 a = 3b − 2c + d = + + = −3 4 − 1 0 3 − 4 1 0 Panjang, a = 49 + 25 = 74 Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung Matematika Teknik Dua vektor tidak nol u , v ∈ ℜn dikatakan paralel bila u = v . Bila u = t v , u dan v akan mepunyai arah sama atau berlawanan bergantung dari t > 0 atau t < 0. Jarak antara dua titik A dan B dengan vektor posisi u = (u1 , u2 ,..., un ) dan v = (v1 , v2 ,..., vn ) yaitu : d ( A, B) = u − v = (u1 − v1)2 + (u2 − v2 )2 + ... + (un − vn )2 sedangkan hasilkali titik dua vektor Euclides tersebut diberikan : u • v = u1 v1 + u2 v2 + ...+ un v n Soal Latihan 1. Diketahui u = (1,2,3,−4) , v = ( − 1,0,2,1) dan w = ( 0,−2 ,3,−2) . Tentukan : a. u − 2 v + w b. (u • v) w ( ) d. d ( 2u − v , w) c. d u, v + w 2. Tentukan sebuah vektor yang normnya satu dan pekalian Euclides dengan vektor berikut sama dengan nol. a. u = (1,−2) b. u = (1,−2 ,3) 1 − 3 0 − 2 2 1 3. Diketaui x = , y = dan z = . Carilah : 0 1 −2 3 −1 1 a. Vektor yang panjangnya 3 14 yang mempunyai arah yang sama dengan x b. Vektor satuan yang arahnya berlawanan dengan vektor y − z − 2 1 0 1 0 − 1 4. Bila x = 4 , y = − 1 dan z = 0 , Carilah : −3 2 1 − 4 1 1 a. Vektor yang panjangnya 10 yang paralel dengan vektor y − z b. Semua vektor w ∈ ℜ5 sehingga x + 2 y + w paralel dengan z c. Yang mana dari vektor w ∈ ℜ5 dari soal di atas yang mempunyai panjang 3 ? Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung Matematika Teknik 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1 − 1 5. Diketahui x = , y = , z = dan w = . Cailah 1 1 1 −1 1 − 1 1 1 a. Skalar r, s dan t ( bila ada ) sehingga berlaku r x + s y + t z = w b. Skalar r dan s sehingga r x + s y paralel dengan z c. Skalar r dan s sehingga r x + s y = 6 6. Misal u , v ∈ ℜn ( ) ( ) Carilah hubungan antara d (u, v )dan d (t v, t u ) dengan t skalar. a. Tunjukkan d u, v = d v, u b. Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung