Lecture 3 : model Antrian dan Aplikasinya

Lecture 3 : model Antrian dan Aplikasinya
[email protected]
Teknik industri 2015
Tujuan Model Antrian
• Mengetahui/menentukan besaran kinerja
sistem
• Menganalisa atau memperbaiki performance variabel – variabel sistem
• Menentukan suatu bentuk sistem biaya
minimum atau keuntungan maksimum
Minimasi Biaya
•
‐
‐
‐
‐
‐
‐
‐
Biaya menunggu ( cost of waiting )
Biaya menganggurnya karyawan
Kehilangan penjualan
Kehilangan langganan
Tingkat persediaan yang berlebihan
Kehilangan kontrak
Kemacetan sistem
Kehilangan kepercayaan dalam manajemen
cont
Rumus Expected total cost :
E(Ct) = E(Cs) + E(Cw) = SCs + ntCw
E(Cs) = expected total cost of service
E(Cw) = expected total cost of waiting
Kendall’s Notation
• Alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak
hanya model antrian tetapi juga asumsi –
asumsi yang harus dipenuhi
• Hampir semua literatur yang membahas
antrian menggunakan notasi ini.
Single channel – single phase system (M/M/1)
Kedatangan
Kepergian
Antrian
Fasillitas
Layanan
Asumsi
•
•
•
•
•
•
•
Kedatangan pelanggan akan dilayani dengan aturan FIFO
Tidak terdapat pelanggan yang melakukan balking atau renenging
Kedatangan bersifat independent satu sama yang lain
Pola kedatangan mengikuti pola distribusi poisson
Waktu layanan bersifat variabel dan independent namun rataan diketahui
Waktu layanan mengikuti pola distribusi eksponensial
Rata‐rata waktu layanan lebih cepat dari pada rata‐rata waktu kedatangan
Model – Model Antrian
Model 1 : M/M/1/I/I
Model 2 : M/M/S/I/I
Model 3 : M/M/1/I/F
Model 4 : M/M/S/F/I
Model M/M/1/I
Populasi (I)
Antrian (M)
Sumber
Tak terbatas
Tingkat kedatangan
poisson
Fasilitas Pelayanan
(M/1)
Tingkat pelayanan
poisson
Keluar
FCFS
(Panjang antrian tak terbatas) (I)
Bentuk Model Umum
Tingkat Kedatangan
Tingkat Pelayanan
Model 1 : M/M/1/I/I
Model 2 : M/M/S/I/I
Jumlah fasilitas
pelayanan
Besarnya
populasi
Panjang
antrian
Model 3 : M/M/1/I/F
Model 4 : M/M/S/F/I
Penjelasan Notasi
Singkatan
Penjelasan
M
Tingkat kedatangan dan pelayanan
poisson
D
Tingkat Kedatangan atau pelayanan
deterministik (diketahui konstan)
K
Distribusi erlang waktu antarkedatangan
atau pelayanan
S
Jumlah fasilitas pelayanan
I
Sumber populasi atau kepanjangan
antrian tak terbatas (infinite)
F
Sumber populasi atau kepanjangan
antrian terbatas (finite)
Notasi untuk model antrian
sumber tak terbatas
Notasi
Penjelasan
Ukuran
λ
Tingkat kedatangan rata ‐ rata
Unit/jam
1/λ
Waktu antar kedatangan rata ‐ rata
Jam/Unit
µ
Tingkat pelayanan rata ‐ rata
Unit/jam
1/µ
Waktu pelayanan rata ‐ rata
Jam/unit
σ
Deviasi standar tingkat pelayanan
Unit/jam
n
Jumlah individu dalam sistem pada
suatu waktu
Unit
Nq
Jumlah individu rata – rata dalam
antrian
Unit
nt
Jumlah individu dalam sistem total
(antrian dan sistem pelayanan)
unit
Cont Notasi
Penjelasan
Ukuran
Tq
Waktu rata – rata dalam antrian
Jam
Tt
Waktu rata – rata menunggu dalam sistem
Jam
S
Jumlah fasilitas layanan (channels)
Unit pelayanan
P
Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan
Ratio
Q
Kepanjangan maksimum sistem (antrian plus ruang
pelayanan)
Unit
Pn
Probabilitas jumlah n individu dalam sistem
Frekuensi relatif
Po
Probabilitas tidak ada individu dalam sistem
Frekuensi relatif
Pw
Probabilitas menunggu dalam antrian
Frekuensi relatif
Cs
Biaya pelayanan per satuan waktu per fasilitas pelayanan Rp/Jam/Server
Cw
Biaya untuk menunggu per satuan waktu per individu
Rp/Jam/Unit
Ct
Biaya total = SCs + ntcw
Rp/Jam
Model 2 : M/M/S/I/I
Populasi
tak
terbatas
(I)
Fasilitas
Pelayanan
M/S
Antrian
(M)
FCFS
(Panjang antrian tak terbatas) (I)
Keluar
Tingkat pelayanan
poisson
• Sistem multi channel single phase yang mempunyai antrian
tunggal dengan melalui beberapa fasilitas pelayanan
• Dua atau lebih individu dapat dilayani pada waktu bersamaan
oleh fasilitas fasilitas pelayanan yang berlainan
Model 3 : M/M/1/I/F
Populasi (I)
Antrian (M)
Sumber
Tak terbatas
Tingkat kedatangan
poisson
Fasilitas Pelayanan
(M/1)
Tingkat pelayanan
poisson
Keluar
FCFS
(Panjang antrian terbatas) (F)
Tingkat Kedatangan
Tingkat Pelayanan
Jumlah fasilitas
pelayanan
Besarnya
populasi
Panjang
antrian
Model 4: M/M/S/F/I
Populasi
terbatas
(F)
Fasilitas
Pelayanan
M/S
Antrian
(M)
FCFS
(Panjang antrian tak terbatas) (I)
Keluar
Tingkat pelayanan
poisson
• Karena formula antrian dengan populasi terbatas sulit di
pecahkan tabel – tabel antrian terbatas (finite queuing tables ) telah di generalisasikan untuk beberapa model model yang berbeda.
• Untuk dapat menggunakan tabel antrian terbatas harus
diketahui nilai N dan M dan menghitung nilai X
Notasi untuk model 4
Notasi
Penjelasan
U
Waktu rata – rata antar kedatangan per unit
T
Waktu rata – rata pelayanan per unit
H
Jumlah rata – rata yang sedang dilayani
J
Jumlah rata – rata unit yang sedang beroperasi
N
Jumlah unit dalam populasi
M
Jumlah channel pelayanan
X
Faktor pelayanan
D
Probabilitas bahwa suatu kedatangan harus menunggu
F
Faktor efisiensi menunggu dalam garis antrian