TEORI ANTRIAN

TEORI ANTRIAN
 Proses terbentuknya antrian: bila terdapat pemakai jasa pelayanan yang lebih dari
satu sedangkan fasilitas pelayanan terbatas. Kondisi ini bisa terjadi baik pada
industri jasa maupun industri manufaktur.
 Pemakai fasilitas: bisa berbentuk orang, bahan baku, komponen, mesin dan
peralatan yang semuanya merupakan sumber daya dan mempunyai nilai ekonomi.
Dengan menuggu pelayanan maka menimbulkan pemborosan yang harus ditekan.
 Teori antrian bukan satu teknik optimasi, tetapi merupakan alat analitis yang akan
memberikan informasi efektif mengenai suatu permasalahan (Mardiono, 1986).
 Prosedur yang berhubungan dengan masalah antrian (Mardiono, 1986):
1. Menentukan dan menghubungkan variabel-variabel dari satu situasi untuk
menetapkan permasalahan,
2. Menurunkan distribusi yang sesuai, berdasarkan data yang tersedia dan
menggunakan tes statistik yang sesuai
3. Menggunakan distribusi di atas untuk mengembangkan karakteristik operasi
yang menentukan sistem secara keseluruhan.
4. Memperbaiki hasil dari sistem melalui pemakaian model keputusan yang
sesuai dan berdasarkan karakteristik operasi.
 Masalah utama yang dibahas dalam teori antrian:
1. Berapa panjang antrian sebaiknya? → berkaitan dengan kepentingan pemakai
fasilitas
2. Berapa jumlah fasilitas pelayanan yang memadai? → berkaitan dengan
kepentingan penyedia fasilitas.
 Dasar pengembangan Teori Antrian:
- Pola kedatangan pemakai fasilitas
- Pola pelayanan yang diberikan
mengikuti distribusi kemungkinan tertentu
 Teori antrian hanya dapat digunakan untuk menganalisis model sistem yang
sederhana. Untuk kondisi yang rumit, sistem dapat dianalisis menggunakan
simulasi.
 Proses dasar yang diasumsikan oleh setiap model antrian adalah sebagai berikut:
Pemakai jasa yang membutuhkan pelayanan muncul dari suatu sumber input
sepanjang waktu. Pemakai jasa ini memasuki sistem antrian dan bergabung
pada antrian. Pada waktu-waktu tertentu anggota antrian ini dipilih untuk
dilayani menurut aturan yang disebut disiplin pelayanan. Pelayanan yang
dibutuhkan kemudian dilaksanakan oleh mekanisme pelayanan, setelah itu
pemakai jasa meninggalkan sistem antrian. Hal ini dapat dilihat pada Gambar
berikut:
Unit-unit yang
membutuhkan pelayanan
Sumber
Input
Antrian
Langganan/Pemakai
Jasa
Mekanisme
Pelayanan
Sistem Antrian
Unit-unit yang
telah dilayani
Gambar: Skema Sistem Antrian
Untuk sumber input yang tidak terbatas tidak berpengaruh pada kemampuan sumber
input untuk mengahasilkan konsumen.
 Tak terbatas : kedatangan konsumen pada fasilitas pelayanan tidak dipengaruhi
oleh jumlah mereka yang sedang berada dalam sistem.
 Pola statistik kedatangan konsumen biasa diasumsikan mengikuti distribusi
Poisson → jumlah
KARAKTERISTIK SISTEM ANTRIAN
1. Kapasitas sistem: ditandai oleh jumlah pemakai jasa maksimum yang dapat
ditampung oleh sistem (terbatas atau tidak terbatas)
Kasus balking → konsumen yang datang pada suatu fasilitas pelayanan batal
masuk karena jumlah konsumen dalam sistem lebih dari
angka tertentu.
Kasus reneging →konsumen yang sudah mengantri di suatu fasilitas
pelayanan, karena telah menunggu lebih dari selang waktu
tertentu pergi sebelum dilayani.
2. Disiplin pelayanan: menentukan urutan pelayanan yang digunakan (FIFO,
random, prioritas tertentu, dll)
3. Mekanisme pelayanan: satu sarana atau lebih; paralel atau seri. Waktu pelayanan
berdistribusi exponensial atau yang lainnya.
 Notasi Kendall untuk Model Antrian
(a / b / c) : (d / e / f)
a : distribusi kedatangan atau waktu antar kedatangan
b : distribusi kepergian atau distribusi waktu pelayanan
c : jumlah saluran pelayanan paralel dalam sistem
d : disiplin pelayanan
e : jumlah pemakai jasa maksimum dalam sistem yang diperbolehkan, (dalam
antrian + dalam pelayanan)
f : sumber input
Kode a, b, c yang umum digunakan adalah sebagai berikut:
M : kedatangan atau kepergian berdistribusi Poisson atau distribusi waktu
antar kedatangan dan waktu pelayanan adalah exponensial.
D : waktu antar kedatangan atau pelayanan tetap.
Ek : distribusi waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan mengikuti
distribusi Erlang, dengan parameter k.
GI : distribusi kedatangan atau antar kedatangan bebas
(General
Independent)
G : distribusi kepergian umum (General)
Simbol untuk d:
FCFS : first come first served (datang paling awal dilayani paling awal)
LCFS : last come first served (datang paling akhir dilayani paling awal)
SIRO : service in random order (dilayani menurut urutan acak)
GD : general service dicipline (disiplin pelayanan umum)
Simbol c digantikan dengan angka tertentu, sedang e dan f menunjukkan terbatas
dan tidak terbatas.
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
1
Contoh pemakaian simbol di atas, (M/M/c) : (FCFS/N/~) berarti kedatangan
berdistribusi Poisson, kepergian juga Poisson dengan jumlah sarana pelayanan paralel
c, first come first served jumlah maksimum pemakai jasa dalam sistem N, dengan
sumber input tidak terbatas.
 Notasi antrian
δ : standar deviasi
λ : laju kedatangan (jumlah kedatangan per satuan waktu)
μ : laju pelayanan (jumlah yang dilayani per satuan waktu)
1/μ : waktu pelayanan rata-rata
1/λ : waktu antar kedatangan rata-rata
Ρ : λ/ μ : utilisasi potensial
Lq : jumlah konsumen rata-rata yang menunggu untuk dilayani
Ls : jumlah konsumen rata-rata yang menunggu dalam sistem (termasuk yang
sedang dilayani)
Wq : waktu rata-rata menunggu untuk dilayani
Ws : waktu rata-rata menunggu di dalam sistem (termasuk waktu penga-matan)
n : jumlah satuan dalam sistem
c : jumlah fasilitas pelayanan paralel
N : panjang antrian maksimum yang tersedia
Pn : kemungkinan tepat terdapat n konsumen di dalam sistem
Pw : kemungkinan menunggu dalam antrian
 Hubungan antara Ws , Wq, Ls, dan Lq
Menurut definisi: Little : Ls = λ Ws
Lq = Ls λ/ μ = λ Wq
 Penetapan model antrian
1. Sistem pelayanan komersial
Langganan memperoleh pelayanan dari organisasi-organisasi komersial,
pelayanan dari orang ke orang pada suatu lokasi yang tetap, seperti: salon
kecantikan, bank, kantin, pompa bensin, dll.
2. Sistem transportasi
Langganannya berupa kendaraan/alat angkut, contoh: mobil-mobil yang
menunggu di gerbang tol atau lampu lalu lintas, truk yang menunggu untuk
dimuati dan dibongkar, pesawat yang menunggu untuk mendarat atau lepas
landas dari suatu landasan. Conoth lain: tempat parkir, dalam hal ini mobilmobil sebagai langganan dan areal parkir sebagai pelayan. Di sini tidak ada
antrian karena langganan yang datang akan pergi ke tempat parkir lain jika
tempat parkir telah penuh.
3. Sistem pelayanan industri
Contoh: sistem pemindahan bahan, sistem perawatan, proses produksi, dll.
PROSES BIRTH AND DEATH
 Kebanyakan model dasar antrian menganggap bahwa input (unit kedatangan) dan
output (leaving unit) dari sistem antrian terjadi menurut proses birth and death
(kelahiran – kematian)
 Kelahiran : kedatangan calling unit yang baru dalam sistem antrian.
 Kematian : keberangkatan unit yang telah dilayani.
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
2
 Proses kelahiran dan kematian ini terjadi secara random yang rata-rata terjadinya
hanya bergantung pada keadaan yang sedang berlangsung (current state) dari
sistem (jumlah calling unit dalam sistem antrian)
1. Birth postulate. Sistem pada state En (n = 0, 1, 2, …) pada saat t, kemungkinan
bahwa tepat ada satu kelahiran selama interval waktu t sampai dengan (t + t)
adalah [λn t + 0(t)], di mana λn positif konstan.
2. Death postulate. Sistem pada state En (n = 0, 1, 2, …) pada saat t,
kemungkinan bahwa tepat ada satu kematian selama interval waktu t sampai
dengan (t + t) adalah [μn t + 0(t)], di mana μ0 = 0 dan μn positif konstan
untuk n > 0.
3. Multiple jump postulate. Sistem pada state En (n = 0, 1, 2, …) pada saat t,
kemungkinan bahwa jumlah kombinasi kelahiran dan kematian lebih dari satu
selama interval waktu t sampai dengan (t + t) adalah 0(t).
(0(t) adalah fungsi dari t yang karena t <<< (kecil sekali, mendekati nol),
maka fungsi tersebut akan memenuhi persamaan:
0t 
lim
0
t  0
t
Sebagai akibat dari postulate 3, maka postulate 1 akan tetap berlaku walaupun
kalimat “tepat ada 1 kelahiran” diganti dengan kalimat “tepat ada 1 kelahiran
dan tanpa kematian”. Postulate 2 juga tetap berlaku walaupun kalimat “tepat
ada 1 kematian” diganti dengan “tepat ada 1 kematian dan tanpa kelahiran”.
 Selama interval waktu t s/d (t + t) harus terjadi salah satkejadian mutually
exclusive berikut:
1. tepat ada 1 kelahiran tanpa kematian.
2. tepat ada 1 kematian tanpa kelahiran
3. jumlah kelahiran dan kematian lebih besar dari 1
4. tidak ada kelahiran atau kematian.
Jumlah kemungkinan kejadian tersebut adalah 1, sehingga kemungkinan
terjadinya kejadian 4 adalah:
P(4)  1  [ P(3)  P(2)  P(1)]
Kesimpulan: Sistem dengan state En (n = 0, 1, 2, …) pada saat t, kemungkinan
bahwa tidak terjadi kelahiran dan tidak terjadi kematian pada interval waktu t
sampai dengan (t + t) adalah :
[1  n t    n t   0t ]
 Untuk n → 0, sistem dapat mencapai state En pada saat (t + t) dari sistemnya
pada saat t, dalam salah satu cara dari keempat cara mutually exclusive berikut:
State pada saat t
En-1
En+1
?
En
Maka:
Event dari t s/d (t + t)
Satu kelahiran
Satu kematian
Banyak event
Tidak terjadi sesuatu
Probabilitas
Pn 1 t n 1 t  0t 
Pn 1 t  n 1 t  0t 
0t
Pn t 1  n t   n t  0t 
Pn t  t   Pn1 t n 1 t  0t  Pn1t  n1 t  0t 0t   Pn t 1 n t   n t  0t 
Gabungkan 0(t)
Pn t  t   Pn 1 t n1 t  Pn1t  n 1 t  Pn t 1 n t   n t  0t 
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
3
Kurangi kedua ruas dengan Pn(t), kemudian dibagi dengan t, diperoleh:
Pn t  t  Pn t 
0t 
 n1 Pn1 t   n1 Pn1 t  n   n  Pn t 
t
t
 Untuk t positif:
0t 
 Pn t  t  Pn t 

lim
 lim
 Pn1 t   n1 Pn1 t  n   n  Pn t 

t  0 
t  0  n 1
t
t 



dPn t 
 n1 Pn1 t   n1 t  Pn1 t  n   n  Pn t  ………………….(1)
dt
Untuk n > 0
Jika n = 0, λ-1 = 0, dan μ0 = 0, maka:
dP0 t 
 1 P1 t   0 P0 t  …………………………………………..(2)
dt
SOLUSI STEADY STATE
 Jika sistem antrian telah mencapai kondisi steady state, maka probabilitas {Pn(t)}
menjadi konstan dan independen terhadap waktu.
 Solusi steady state untuk Pn ini bisa didapat dengan 2 pendekatan yaitu:
1. Dengan menyelesaikan Pn(t) dalam kasus transien dengan t → 
dP t 
2. Dengan menetapkan n  0
dt
 Karena solusi transien ini tidak dapat digunakan untuk proses kelahiran-kematian,
maka akan digunakan pendekatan kedua. Asumsikan bahwa:
lim
Pn t   Pn
t 
 dPn t 
lim

0
t 
 dt 
Untuk t →  maka persamaan (1) dan (2) menjadi:
0  n1 Pn1   n1 Pn1  n   n  Pn jika n  0
Sehingga
0  1 P1  0 P0
jika n  0
P1 
 Untuk n = 0, maka didapat:
0
P
1 0
 Untuk n > 0 didapat:
Pn 1 
n
 P  P
Pn  n n n 1 n 1
 n1
 n1
 Sementara, perhatikan ruas kanan kedua. Jika n > 1, maka:
 n1
 n Pn  n1 Pn1   n 
Pn1 
 n1 Pn1  n2 Pn2 
  n1 Pn 1
n

 n
  n1 Pn 1  n 2 Pn2
 Ulangi perhitungan dengan nilai n yang lebih kecil, sehingga akhirnya didapat:
 n Pn  n 1 Pn 1  1 P1  0 P0
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
4
 Dari persamaan untuk n = 0, diketahui bahwa
 n Pn  n1 Pn1  0 , karena itu:
Pn 

Pn 
1 P1  0 P0
sehingga
n 1
Pn 1
n

n 1  n  2
Pn  2   ..........

 n   n 1

n 1 n 2 n 3  0
P
  n 1  n  2  1 0
 Persamaan ini dapat ditulis secara ringkas, sebagai:
n 1
Pn 
 Karena
i 0 i
n
i 1  i

P
n0
untuk n  1, 2, ...
P0
 1 , maka
n

1
P0 
dimana
n 1

1
n 1
i 0 i
L   n Pn
n 0
n
i 1  i

dan
Lq   (n  s) Pn
ns
 Hubungan yang lain:
W 
L

, Wq 
Lq

 adalah tingkat kedatangan rata-rata dalam jangka waktu yang panjang
dimana:

   n Pn
n 0
 Solusi steady state ini diturunkan dengan asumsi bahwa parameter-parameter  n
dan  n adalah sedemikian sehingga kondisi steady state dapat tercapai. Asumsi ini
berlaku jika  

 1.
S
MODEL-MODEL SINGLE SERVER (S = 1)
1. Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial
 Model ini merupakan kasus khusus dari proses kelahiran-kematian yang
mengkombinasikan proses kelahiran murni dengan proses kematian murni. Jadi
n   untuk n  0,1, 2, ... dan  n   untuk n = 1, 2, …
 Dari solusi steady state (   ) diperoleh:
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
5
1
P0 
i 0 i

1
n 1
1

n 1

 

n0


n
i 1  i


 1 


 1   


n
1
 1 

Untuk n > 0
n 1
i 0 i
Pn  P0 n
 P0   
 
i 1  i
 Karena  
n

, maka:

Pn  1     n
untuk n = 0, 1, 2, …
 Dengan demikian:
d
 n 
n 0
n  0 d
d   n
d  1 
 1    


     1    
d  n0 
d  1   


L   n1     n  1     
L

1 


 
 Dengan cara yang sama:

Lq   n  1 Pn  L 11  P0 
n 1
2
Lq 
    
 Dengan asumsi (   ) , tentukan variabel random T sebagai waktu menunggu
dalam sistem (termasuk pelayanan) untuk suatu kedatangan random dengan
disiplin pelayanan FCFS.
 Jika kedatangan random, didapatkan sistem dalam state En, maka akan menjadi
unit ke n+1 dalam garis (sistem).
W  E T 
1
1

 1      
 Waktu menunggu yang lebih relevan : waktu menunggu yang hanya sampai
pelayanan dimulai. Untuk itu tetapkan T’ sebagai waktu menunggu dalam antrian
(tidak termasuk waktu pelayanan) untuk suatu kedatangan random dengan disiplin
pelayanan FCFS.
 Jika kedatangan ini didapatkan tidak ada langganan dalam sistem, maka ia akan
langsung dilayani sehingga:
Wq  E T ' 

    
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
6
2. Input Poisson dan Waktu Pelayanan Sembarang
2
 Asumsi : waktu pelayanan rata-rata 1/μ dengan varians  . Maka jika   
didapat:
  1,
P0  1 
2  2   2
Lq 
21  
L    Lq
Wq 
Lq

W  Wq  1

3. Input Poisson dan Waktu Pelayanan Konstan
2
 Waktu pelayanan untuk setiap langganan adalah konstan sehingga  = 0. Karena
Lq 
itu:
2
21  
 Demikian juga untuk L, Wq dan W.
 Lq dan Wq harganya setengah kali harga Lq dan Wq untuk model waktu pelayanan
eksponensial.
4. Input Poisson dan Waktu Pelayanan Erlang
 Rata-rata 1/μ dan  2 = 1/Kμ2. K adalah parameter-parameter distribusi yang
berharga positip. Karena itu:
2
Lq 
Wq 
1
2
2
1 K
2
K

2 K      
21  
1 K

2     
W  Wq 
1

L  W
5. Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial dengan Antrian Terbatas
 Model ini seperti model 1., hanya saja panjang garis (antrian) tidak boleh melebihi
sejumlah tertentu (dinyatakan dengan M).
 Setiap langganan yang datang pada saat antrian sudah penuh, harus meninggalkan
sistem tanpa mendapat pelayanan.
 Jadi, model ini adalah kasus khusus dari proses kelahiran-kematian dimana:

n  
0
,
jika n  0,1, 2,..., M  1
,
jika n  M
Dan μn = μ untuk n = 1, 2, …
 Steady state dicapai:
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
7
P0 
1
    

M
n 0
n
1
1 

M 1
1  /    1  M 1
 1  /  


 Sehingga
 1   n

untuk n = 0, 1, 2, …, M
Pn  
M 1 
 1  
M
 1   M d
    n 
L   nPn  
M 1 
n 0
 1   n 0 d
 1   d  M n 

 
 
M 1 
1



 d  n 0 
 1   d  1  M 1 



 
M 1 
 1   d  1  
 M  1  M  M M 1  1

1  M 1 1  


M  1  M 1
L

1 
1  M 1
 Dengan S = 1, maka Lq  L  1 P0 
 Di sini tidak perlu    . Ekspektasi waktu menunggu:
L
L
W
, Wq  q

di mana:


M 1
n 0
n 0
   n Pn    Pn   1 PM 
6. Model Sumber Terbatas
 Sumber input terbatas artinya, ukuran dari populasi langganan adalah terbatas
(misalkan sebanyak M)
 Contoh: sejumlah M mesin yang harus diperbaiki/dioperasikan oleh seorang
montir/operator. Mesin-mesin ini berada di dalam garis (antrian) apabila sedang
menunggu untuk dilayani, dan berada di luar sistem antrian apabila sedang
berjalan (running)
 Jika unit berada di luar sistem antrian pada saat t, maka probabilitas bahwa unit ini
akan masuk ke dalam sistem pada saat (t + t) adalah [λt + 0(t)].
 Jika unit sedang dilayani pada saat t, maka probabilitas bahwa unit ini akan selesai
dilayani pada saat (t + t) adalah [μt + 0(t)].
 Dua hal di atas menunjukkan bahwa, baik waktu yang digunakan di luar sistem di
antara pelayanan maupun waktu pelayanan, mempunyai distribusi eksponensial
dengan rata-rata (1/λ) dan (1/μ).
 Jika sistem berada dalam state En pada saat t dengan (M-n) unit berada di luar
sistem maka probabilitas bahwa tepat ada satu unit baru memasuki sistem selama
interval waktu t sampai (t + t) adalah (M-n)λ t + 0(t). Karena itu, model ini
sebenarnya merupakan kasus khusus dari proses kelahiran-kematian, di mana:
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
8
M  n  , jika n  0,1, 2,..., M
, jika n  M
0
Dan μn = μ untuk n = 1, 2, …,M
n  
 Hasil steadystate adalah:
1
P0  M
M !   n
 

n  0 M  n  

M!   
Pn 
  P
M  n !   0
n
jika n 1, 2, ..., M

1 P0 
n 0

M

L   nPn  Lq  1 P0   M  1 P0 
n0

Lq   n  1 Pn  M 
M
W 
L
, Wq 

di mana:
Lq


M 1
n 0
n 0
   n Pn   M  n  Pn   M  L 
MODEL-MODEL MULTIPLE SERVER (S > 1)
1. Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial
 Model ini menggunakan asumsi bahwa kedatangan terjadi menurut input Poisson
dengan parameter λ, dan waktu pelayanan untuk masing-masing unit mempunyai
distribusi eksponensial dengan rata-rata (1/μ).
 Jadi, distribusi waktu pelayanan sama, tanpa memperhatikan pelayanan mana dari
sejumlah S pelayan yang melakukan pelayanan untuk unit.
 Tingkat rata-rata untuk seluruh sistem antrian adalah tingkat rata-rata di mana unit
yang sudah dilayani meninggalkan sistem, dan bergantung pada state sistem En.
 Tingkat pelayanan rata-rata per pelayanan yang sibuk adalah μ, karena itu tingkat
pelayanan keseluruhan adalah μn = nμ jika n ≤ S.
 Jika n ≥ S, berarti semua pelayan sibuk sehingga μn = Sμ.
 Model ini merupakan kasus khusus dari proses kelahiran-kematian dengan λn = λ
(untuk n = 0, 1, 2, …) dan
n 
S 
n  
, jika 0  n  S
, jika n  S
 Jika λ < Sμ (tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari tingkat pelayanan ratarata maksimum), maka hasil steady state-nya adalah:
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
9
P0 
1
S 1

n0
P0 
 /     /  
n
S
n!
S!

  / S 
n S
nS
1
S 1
 /     /  S
1

n0
n!
S ! 1   / S
n
  /  
 n! P0

Pn  
n
  /   P
 S !S n  S 0
n
dan
jika 0  n  S
jika n  S
dengan    / S , maka
P  /   
Lq  0
2
S !1 
S
Wq 
Lq
W  Wq 
;

1


1

L   Wq    Lq 



 Untuk mendapatkan distribusi kemungkinan dari waktu menunggu, asumsikan
bahwa disiplin pelayanannya FCFS.
 Notasi standar P(>t) digunakan untuk menyatakan probabilitas bahwa suatu
kedatangan random harus menunggu dalam antrian (sebelum dilayani) adalah
lebih besar dari t. jelas bahwa penungguan dalam antrian ini terjadi jika ada S atau
lebih unit di dalam sistem.

P 0   Pn
nS
 /  
P
S
0
S!


j
j 0
P  /  
 0
S !1  
S
P  t   e  S  t 1    P 0
 Jika variabel random W adalah waktu menunggu termasuk pelayanan dari suatu
kedatangan random, maka (untuk t ≥ 0)
P W  t   e
 t
 P0  /  S
1
 S !1  
 1 e   t  S  1   /    


S

1


/



 Jika Wq adalah variabel waktu menunggu dalam antrian (tidak termasuk waktu
pelayanan) dari suatu kedatangan random, maka untuk t ≥ 0 didapat:
P Wq  t   1 PWq  0 e  S  t 1   
Dimana
P Wq  0  Pn
S 1
n 0
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
10
 1  e   t  S 1   /   
 diganti dengan μt
Jika S 1  /  = 0 maka 
 S 1   /  
2. Input Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial dengan Antrian Terbatas
 Model ini ekivalen dengan model 1, kecuali bahwa panjang antrian (garis) tidak
boleh melebihi sejumlah tertentu M. Jadi, merupakan kasus khusus dari proses
kelahiran-kematian, di mana:

n  
, jika 0  n  M
, jika n  M
0
n  , jika 0  n  S
S  , jika n  S
n  
Jadi :
  /  
 n! P0

  /  n
Pn  
P0
nS
S
!
S



 0
n
; jika n  min S , M 
; jika S  n  M
; jika n  M
Di mana :
P0 
1
min S , M 

 /     /  
n
S
n!
n0
S!
  



n  S 1 S


nS
M
M
Jika M ≤ S, biasanya Lq = 0 dan L   n Pn
n 0
Jika M > S, maka
P  /   
1  M S  M  S   M S 1  
Lq  0
2
S !1  
S
Dan
L   n Pn  Lq  S 1  Pn 
n 0
 n 0 
S 1
S 1
W dan Wq dicari dengan cara yang sama seperti pada model 5 pada S = 1.
3. Model Sumber Terbatas
 Model ini merupakan kasus khusus dari proses kelahiran-kematian, di mana:
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
11
M  n 
 0
, jika n  M
n  
n 
S 
, jika n  M
, jika 0  n  S
n  
, jika n  S
Maka:
M!
n



P

/

, jika 0  n  S
0
 M  n ! n!

M!
n




/

, jika S  n  M
Pn   P0
nS


M

n
!
S
!
S



, jika n  M
 0
Di mana:
1
P0 
S 1
M
M!
M!
n
n





/



/



nS
n  0 M  n !n!
n  S M  n ! S ! S
Lq   n  S  Pn
M
nS
L   n Pn  Lq  S 1  Pn 
n 0
 n 0 
L
L
W
; Wq  q di mana    M  L 
S 1
S 1


MODEL SWALAYAN (Self-service model)
 Pada model ini jumlah pelayan menjadi tidak terbatas, karena setiap pelanggan
melayani dirinya sendiri. Model ini merupakan pengembangan dari, model 1
untuk S > 1, dengan jumlah pelayan = ~
 Dari model 1 tersebut, bahwa:
 /  

n
Pn
P0 
n!

P0
, karena
n 0
1
1  /   
P
 /  

2
2!

1
e
 /  
n
 1 , maka:
 e  / 
Sehingga didapat:
e   /   /  
Pn 
n!
n
n  0,1, 2,
yang berdistribusi Poisson dengan rata-rata E{n} = λ/μ.
Disamping itu didapat pula:
L = E{n} = λ/μ
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
12
W = 1/μ
Lq = Wq = 0
Soal Latihan:
1. Di sebuah gedung pertunjukkan hanya terdapat satu loket penjualan tiket.
Penonton yang datang untuk membeli tiket mengikuti distribusi Poisson dengan
rata-rata 30 orang per jam. Waktu yang diperlukan untuk melayani seorang
pembeli berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 90 detik. Berapakah:
a. Probabilitas ada 5 pembeli di depan loket?
b. Ekspektasi panjang antrian termasuk yang sedang dilayani?
c. Ekspektasi panjang antrian tidak termasuk yang sedang dilayani?
d. Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem (termasuk waktu pelayanan)?
e. Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian (tidak termasuk waktu pelayanan)?
f. Probabilitas bahwa seorang pembeli tiket harus menunggu sedikitnya 8 menit
sejak ia datang di depan loket hingga selesai mendapatkan tiket?
2. Seperti soal no. 1, tetapi ada dua loket penjualan.
3. Di suatu Puskesmas, pasien datang dengan mengikuti distribusi Poisson dengan
rata-rata 30 orang per jam. Ruang tunggu Puskesmas itu hanya mampu
menampung 14 orang pasien. Waktu pelayanan setiap pasien berdistribusi
eksponensial dengan rata-rata 20 orang per jam. Berapakah:
a. Tingkat kedatangan efektif pada Puskesmas itu?
b. Probabilitas bahwa seorang pasien yang datang tidak akan menunggu
(langsung dilayani)?
c. Probabilitas bahwa seorang pasien yang datang akan mendapatkan kursi yang
kosong di ruang tunggu tersebut?
d. Ekspektasi waktu menunggu hingga seorang pasien dapat meninggalkan
Puskesmas itu?
4. Dua orang montir diminta untuk memperbaiki 5 buah mesin. Kerusakan masingmasing mesin berdistribusi Poisson dengan rata-rata 3 mesin/jam. Waktu yang
diperlukan untuk memperbaiki mesin-mesin tersebut berdistribusi eksponensial
dengan rata-rata 15 menit. Berapakah:
a. Probabilitas bahwa kedua montir itu menganggur?
b. Probabilitas bahwa salah seorang montir menganggur?
c. Ekspektasi jumlah mesin yang belum diperbaiki?
5. Di sebuah fasilitas swalayan, kedatangan terjadi dengan mengikuti distribusi
Poisson dengan rata-rata 50/jam. Waktu pelayanan per pelanggan berdistribusi
eksponesial dengan rata-rata 5 menit. Berapakah:
a. Ekspektasi jumlah langganan pada fasilitas itu?
b. Persentase waktu menganggurnya fasilitas itu?
Laboratorium Sistem Produksi Jur-TI UPNV YK
PUR/POII/T.Permainan.doc
13