Ruang Vektor - FMIPA Personal Blogs

Ruang Vektor
Tujuan:
1. Mengingat kembali persamaan garis dan bidang di ruang.
2. Memahami aksioma ruang vektor, kombinasi linier dan
ruang bagian.
3. Mengingat kembali pengertian bebas dan bergantung linier,
basis dan dimensi.
Arti geometris dari determinan
Jika A matriks 2x2, |det(A)| = area dari jajaran genjang
dibentuk oleh 2 vektor.
Jika A matriks 3x3, |det(A)| = volume dari parallepipedum
dibentuk oleh 3 vektor.
Persamaan garis dan bidang di ruang
Garis di ruang dimensi 2: persamaannya adalah
y –a = m (x – b)
(jadi diperlukan kemiringan m dan titik yang dilalui (a,b))
Bidang di ruang dimensi 3:
Diperlukan inklinasi (kemiringan) dan titik yang dilalui.
Untuk menyatakan inklinasi adalah satu vektor yang tegak
lurus terhadap bidang.
n
Misal suatu bidang melalui titik P0 ( x0 , y0 , z0 ) dan mempunyai
vektor normal n =(a b c). Misal P(x,y,z) suatu titik berada pada
bidang.
1. Persamaan bidangnya adalah
n  P0 P  0
2. atau bentuk normal persamaan bidang:
a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0
3. atau bentuk vektor persamaan bidang:
n  (r  r0 )  0
di mana r0  OP0 , r  OP
4. atau bentuk parameter persamaan garis di bidang:
x  x0  ta, y  y0  tb, z  z0  tc
di mana titik P0 ( x0 , y0 , z0 ) dilalui bidang dan vektor
v  (a, b, c) paralel dengan
bidang.
Contoh:
Cari persamaan bidang yang melalui titik (3,-2,1) dan tegak
lurus terhadap vector
Cartesius.
n =(1 2 2). Gambar pada koordinat
Bila diketahui SPL berikut:
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1
a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2
a31 x1  a32 x2  a33 x3  b3
Apa arti geometrisnya?
Pengertian geometris:
a11 x1  a12 x2  b1
a21 x1  a22 x2  b2
Pengertian geometris:
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1
a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2
a31 x1  a32 x2  a33 x3  b3
Yang tidak memiliki solusi: (a), (b), (c)
Yang memiliki banyak solusi: (d), (e)
Yang memiliki solusi tunggal: (f)
Ruang Vektor
Ruang vektor V adalah himpunan vektor tak kosong di mana 2
operasi berlaku: penjumlahan dan perkalian dengan skalar.




Setiap dua vektor a dan b dan kombinasi liniernya a  b ,
α dan β bilangan real, merupakan anggota dari V, dan
memenuhi sifat berikut:
untuk operasi penjumlahan:
   
1.a  b  b  a
     
2.(a  b )  c  a  (b  c )


3.a  0  a


4.a  (a )  0
untuk perkalian dengan skalar:

 

1.c(a  b )  ca  cb



2.(c  k )a  ca  ka


3.c(ka )  (ck )a
 
4.1a  a
n
Contoh ruang vektor: R , ruang vektor (matriks) M 2 x 2 , ruang
vektor M mxn .
Ruang bagian :
Diketahui W himpunan bagian tak kosong dari V. W disebut
ruang bagian jika W adalah ruang vektor dengan operasi yang
sama digunakan di V.
Contoh: Himpunan garis yang melewati titik origin adalah
3
ruang bagian dari R .
Kombinasi Linier
Suatu vektor
w disebut kombinasi linier dari vektor-vektor
 

a1 , a2 ,..., am jika dapat dituliskan



w  c1a1  c2 a2    cm am
dimana c1 , c2 ,, cm adalah skalar.
u = (1,2,-1) dan v =(6,4,2) di R 3 .
Apakah vektor berikut kombinasi linier dari u dan v ?
Contoh: Diketahui vektor
(a)
w =(9,2,7),
(b)
y =(4,-1,8).
Span (membangun) ruang vektor
 

Himpunan vektor S={ a1 , a2 ,..., am } di sebut membangun V
v anggota dari V dapat dinyatakan dalam
 

a
,
a
,...,
a
kombinasi linier dari 1 2
m , yaitu



v  c1a1  c2 a2    cm am
jika setiap
  
a
Contoh: Apakah himpunan vektor T={ 1 , a2 , a3 } membangun
3 ?
1
 2
  1
        
a1    1, a2   1 , a3   0 
2
 3
2
 
 
 
Bebas linier
 

a
,
a
,...,
a
Diketahui S={ 1 2
m }, persamaan vektor



c1a1  c2 a2    cm am  0
paling sedikit punya satu solusi yaitu c1  0, c2  0,..., cm  0 .
Jika c1  0, c2  0,..., cm  0 adalah satu-satunya solusi maka
S disebut bebas linier.
Arti geometris dari bebas linier:
2
3
 Di R dan R , misal 2 vektor digambar pada ruang
koordinat dengan titik asal berada di titik origin.
Himpunan 2 vektor itu bebas linier jika dan hanya jika
kedua vektor tidak berada dalam satu garis.
3
 Di R , misal 3 vektor digambar pada ruang koordinat
dengan titik asal berada di titik origin. Himpunan 3 vektor
itu bebas linier jika dan hanya jika ketiga vektor tidak
berada dalam satu bidang.
 

n
Misal S={ a1 , a2 ,..., am } himpunan vektor di R , jika m > n
maka S bergantung linier.
  
a
Contoh: Apakah himpunan vektor T={ 1 , a2 , a3 } bebas linier
3 ?
1
 2
  1
        
a1    1, a2   1 , a3   0 
2
 3
2
 
 
 
di
Basis
Basis dari V adalah minimum himpunan vektor bebas linier
yang membangun V.
 

Jika V adalah ruang vektor dan S={ a1 , a2 ,..., am } adalah
himpunan vektor di V. S adalah basis dari V jika
1. S bebas linier
2. S membangun V.
Ruang vektor dapat mempunyai lebih dari satu basis.
Contoh: Standard basis
3
 Di R : iˆ =(1,0,0), ĵ =(0,1,0), k̂ (0,0,1).
n
 Di R : e1 =(1,0,0,…,0), e 2 =(0,1,0,…,0) , … , e n =(0,0,…,0,1)
1 0  0 1  0 0  0 0
, 
, 
, 

M 2 x 2 : 
 Di ruang matriks
 0 0  0 0 1 0  0 1
Contoh:
  
1. Karena T={ a1 , a2 , a3 } bebas linier dan membangun di
 3 maka T merupakan basis di  3 .
2. Tunjukkan bahwa setiap vektor di  dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linier dari basis baku dan basis T.
3
Contoh: carilah sebuah subhimpunan dari vektor-vektor
r1  (1,2,0,3), r 2  (2,5,3,6), r 3  (0,1,3,0), r 4  (2,1,4,7), r 5 
yang membentuk sebuah basis untuk ruang yang dibangun oleh
vektor-vektor di atas.
Dimensi
Himpunan vektor V disebut berdimensi hingga jika memuat
 

a
,
a
,...,
a
himpunan vektor berhingga 1 2
n yang merupakan basis
dari V. Dimensi dari V adalah n.
Ruang baris dan ruang kolom sebuah matriks; Rank
Definisi:
Misal diberikan matriks mxn
 a11

 a21
A


a
 m1
a12
a22

am 2
 a1n 

 a2 n 
  

 amn 
vektor-vektor
r1  (a11, a12 ,, a1n ),
r 2  (a21, a22 ,, a2 n ),

r m  (am1 , am 2 ,, amn )
yang dibentuk dari baris-baris dari A dinamakan vektor-vektor
baris dari A,
sedangkan vektor-vektor
 a11 
 a12 
 a1n 






 a21 
 a22 
 a2 n 
c1  
, c2  
, , c m  




 






a 
a 
a 
 m1 
 m2 
 mn 
yang dibentuk dari kolom-kolom dari A dinamakan vektorvektor kolom dari A.
Subruang di  yang dibangun oleh vektor-vektor baris
disebut ruang baris (row space).
n
Subruang di  yang dibangun oleh vektor-vektor kolom
disebut ruang kolom (column space).
Teorema: Operasi Baris Elementer (OBE) tidak mengubah
ruang baris suatu matriks.
m
Vektor-vektor baris yang tak nol di dalam bentuk eselon baris
dari matriks A membentuk suatu basis dari ruang baris A.
Sedangkan vektor-vektor kolom yang tak nol di dalam bentuk
eselon baris dari matriks
kolom A.
At membentuk suatu basis dari ruang
Contoh: cari basis dari masing-masing ruang baris dan ruang
kolom dari A
1 0 1 1 


A  3 2 5 1 
 0 4 4  4 .


Jika A adalah sembarang matriks, maka ruang baris dan ruang
kolom dari A memiliki dimensi yang sama.
Dimensi dari ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks
A dinamakan rank dari A.
Latihan:
1. Tunjukan vektor-vektor berikut bebas linier: (-1 4 0), (8 4
-3),(0 6 -9)
Pilih sembarang vektor (u v w), apakah keempat vektor
bebas linier?
2
2. Tunjukan mana himpunan yang merupakan basis di R .
a. u1  (2,1), u2  (0,3),
b. w1  (3,9), w2  (4,12) .
2
p

1

x

x
, p2  x  1
3. Tunjukan himpunan vektor 1
bukan merupakan basis di ruang vektor P2 .
4. Tentukan basis dan dimensi untuk ruang solusi dari SPL
homogen berikut:
x1  x2  x3  0,
2 x1  x2  2 x3  0,
 x1  x3  0.