Keep running BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh dicetak tebal. Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R cetak tebal A ). Dalam huruf yang b R a 7/18/2017 Fisika Terapan 1 Keep running PENJUMLAHAN VEKTOR Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c. Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua. b S R T=R+S T c a 7/18/2017 Fisika Terapan 2 Keep running BESAR VEKTOR RESULTAN Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan : (1.1) T R 2 S 2 2RS cos θ θ S R T=R+S T Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S 7/18/2017 Fisika Terapan 3 Keep running PENGURANGAN VEKTOR Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan. D D=A–B B -B A 7/18/2017 Fisika Terapan 4 Keep running CONTOH Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu ! B 40 km U 10 km S 20 km 7/18/2017 Fisika Terapan 5 Keep running CONTOH 40 km Jawab : B C 20 km 10 km A 10 km 40 km Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D. Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah : 40 2 10 2 10 17 m 7/18/2017 Fisika Terapan 6 Keep running VEKTOR SATUAN R (1.2) R Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. Vektor satuan didefenisikan sebagai : r •Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif •Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif •Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif 7/18/2017 Fisika Terapan 7 Keep running PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS Rz R Ry Rx Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk Vektor dalam 2 Dimensi Besar vektor R adalah : R R x R y R z Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. 2 7/18/2017 2 Fisika Terapan 2 8 Keep running CONTOH Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor Jawab : y (-2,5) ujung Ry (2,2) pangkal x Rx a. Vektor perpindahan : R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j 7/18/2017 Fisika Terapan 9 Keep running CONTOH y (-2,5) ujung Ry (2,2) pangkal x Rx b. Sudut yang dibentuk : tan c. 1 Ry Rx 3 tan 1 37 o 4 Besar vektor R = R x 2 R y 2 3 2 4 2 5 satuan 7/18/2017 Fisika Terapan 10 Keep running PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j yA + yB yB yA (1.3) B B A xB xA A xA + xB 7/18/2017 Fisika Terapan 11 Keep running CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i 4j Tentukan : a. A + B dan A + B b. A B dan A B Jawab : a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j -B AB A B = 5i 2j A + B = 5 2 ( 2) 2 29 b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j A B = 12 6 2 37 7/18/2017 Fisika Terapan 12 Keep running SOAL 1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya! 2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan ! 4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C 7/18/2017 Fisika Terapan 13 Keep running SOLUSI 1. R = Rxi + Ryj Diketahui : Rx = R cos = 4 cos 60o = 2 3satuan Ry = R sin = 4 sin 60o = 2 satuan Dengan demikian R = 2i + 2 3 j satuan Vektor satuan : r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ 3j Y R 7/18/2017 60o X Fisika Terapan 14 Keep running SOLUSI Y 2. 2 R X 1 5 a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0). Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j. 2 2 b. R = R x R y 4 2 2 2 2 5 m c. r R 2 5 i 5 j R 5 5 7/18/2017 Fisika Terapan 15 Keep running SOLUSI 2 2 3. Besar vektor A = 3 4 = 5 satuan Dengan demikian nilai c = 2 satuan 4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j b. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j -5i + 12j = 5 2 122 = 13 satuan 7/18/2017 Fisika Terapan 16 Keep running PERKALIAN SKALAR Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku : A . B = AB cos (1.4) Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka : A . B = axbx + ayby + azbz (1.5) Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain. A 7/18/2017 Fisika Terapan B 17 Keep running PERKALIAN SKALAR Perhatikan animasi di samping ini ! Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i.i=j.j=k.k=1 i.j=j.k=k.i=0 7/18/2017 Fisika Terapan 18 Keep running CONTOH Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B ! Jawab : Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4). A A .B cos AB A . B = (3i + 4j) . (4i 2j) = 3.4 + AB 4.(-2) = 4 B Besar vektor A = 3 4 5 2 2 Besar vektor B = 4 ( 2) 20 2 A .B 2 cos AB 125 7/18/2017 2 Dengan demikian = 79,7o Fisika Terapan 19 Keep running PERKALIAN VEKTOR Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : AB=C (1.6) Besar vektor C adalah : C = AB sin (1.7) Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. B C=AB B C = -C’ A A 7/18/2017 C’ = B A Fisika Terapan 20 Keep running PERKALIAN VEKTOR Perhatikan animasi di samping ini ! Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : ii=jj=kk=0 i j = k ; j k = i; k i = j j i = -k ; k j = -i; i k = -j 7/18/2017 Fisika Terapan 21 Keep running PERKALIAN VEKTOR Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut. Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini : 7/18/2017 Fisika Terapan 22 Keep running CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i 2j + k Tentukan : a. A B b. Buktikan A B = -B A Jawab : a. A B = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k b. B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A B terbukti 7/18/2017 Fisika Terapan 23 Keep running SOAL 1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k ! 2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k ! 3. Diberikan tiga buah vektor : A=1i+2j–k B=4i+2j+3k C=2j–3k Tentukan : a. A . (B C) b. A . (B + C) c. A (B + C) 4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus ! 7/18/2017 Fisika Terapan 24 Keep running SOLUSI 1. Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A : A 12 2 2 ( 1)2 6 Besar vektor B : B 3 2 ( 4)2 5 A .B 7 Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : cos AB 5 6 o Dengan demikian = 55,1 A 2. AB B Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya : A.B 4.1 2.3 ( 1).( 4 ) 14 A B A cos 2 2 2 B 26 1 3 ( 4 ) 7/18/2017 Fisika Terapan 25 Keep running SOLUSI 3. a. b. c. 4. B C = (4i + 2j + 3k) (2j – 3k) = 8(i j) – 12(i k) – 6(j k) + 6(k j) = 8k + 12j 12i A . (B C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4 B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 A (B + C) = (i + 2j – k) (4i + 4j) = i – 4j – 4k Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0 R . S = RxSx + RySy + RzSz Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka : R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0 7/18/2017 Fisika Terapan 26 Keep running BESARAN FISIS Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya. S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8) S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada. Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja. 7/18/2017 Fisika Terapan 27 Keep running BESARAN FISIS Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x. Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1. y y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 x Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas. 7/18/2017 Fisika Terapan 28 Keep running BESARAN FISIS Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu. 50 t (detik) x (meter) 0 9 1 4 2 1 30 3 0 25 4 1 20 5 4 15 6 9 10 7 16 8 25 9 36 45 40 x(t) = (t – 3)2 x(t) 35 5 0 7/18/2017 0 1 2 3 4 5 t 6 7 8 Fisika Terapan 9 10 29 Keep running BESARAN FISIS E(r) 9 r (m) E (N/C) 8 1 9 7 2 2,25 6 3 1 4 0,5625 5 0,36 6 0,25 7 0.1837 8 0,1406 9 0,1111 10 0,09 5 4 Ek 3 q r2 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC. 7/18/2017 Fisika Terapan 30 Keep running CONTOH 1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x ! F x 7/18/2017 Fisika Terapan 31 Keep running CONTOH 2. Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t! Q Q = q(1 – e-At) q t 7/18/2017 Fisika Terapan 32 Keep running DIFERENSIAL Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu. Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan f(x) oleh persamaan : f (c h) f (c ) (1.9) h h0 m lim f(c+h) f(c) P c 7/18/2017 x c+h Fisika Terapan 33 Keep running DIFERENSIAL Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi : f ( x' ) f ( x ) f ( x ) m lim lim x x' x x' x x ' x (1.10) Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : dy f’(x) Dxy dx Berlaku untuk turunan : 1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a) 2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b) 3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c) 4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d) 5. Dx(xn) = nXn-1 (1.11e) 7/18/2017 Fisika Terapan 34 Keep running DIFERENSIAL Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk : dB A dC Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh : Jarak Kecepa tan waktu v Usaha waktu P Daya dW dt dq I dt Mua tan Arus waktu 7/18/2017 dx dt Fisika Terapan 35 Keep running CONTOH Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : a. Fungsi arus sebagai waktu b. Besar arus saat t = 0 c. Gambarkan grafik I(t) Jawab : a. Besar arus I : dQ d I q(1 e At ) qAe At qA dt dt b. Pada saat t = 0 harga I adalah : I(t) c. I = qAe-A.0 = qA t 7/18/2017 Fisika Terapan 36 Keep running INTEGRAL Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x. 55 50 45 40 35 y 30 Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8. 25 20 15 x 10 5 0 0 1 x0 7/18/2017 2 x1 3 x2 4 x3 5 xx4 6 x5 7 x6 8 x7 Fisika Terapan 9 10 37 Keep running INTEGRAL Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan : A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x 7 A (n 7 ) f ( x i ) x i0 Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi. Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga. n 8 i0 1 A lim A (n) lim f ( x i )x f ( x )dx n 7/18/2017 n Fisika Terapan 38 Keep running INTEGRAL Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain. Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk : R S dT Sebagai contoh : Usaha = Gaya jarak W F ds Fluks = Medan luas E dA 7/18/2017 Fisika Terapan 39 Keep running CONTOH Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu Jawab : a. Usaha yang dilakukan : W F dx kx dx 21 kx 2 b. W x 7/18/2017 Fisika Terapan 40 Keep running SOAL 1. Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan : a. Grafik F terhadap x b. Perubahan Gaya F terhadap jarak c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm 2. Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. Tentukan : V (volt) a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x 8 b. Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik 4 V, tentukan fungsi E(x) c. Gambarkan grafik E terhadap x 10 7/18/2017 x (m) Fisika Terapan 41 Keep running SOAL 3. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : a. Gambarkan grafik v(t) b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) d. Gambarkan grafik a(t) e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu f. Posisi saat kecepatan v = 0 7/18/2017 Fisika Terapan 42 Keep running SOLUSI 1. a. F (N) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1. b. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x (cm) Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh dF = A – 2Bx = 103 – 104x dx 7/18/2017 Fisika Terapan 43 Keep running SOLUSI 1. c. Usaha yang dilakukan W F dx W= 2. a. : 2 Bx 2 dx A 21 x 2 B 31 x 3 2 Ax 3.10 2 9.10 3.10 36.10-4A – 9.10 2 234.10-6B = 2,43 Joule V (volt) Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b. 8 4 Untuk titik (0,4) 10 Untuk x (m) titik (10,8) 0.a + b = 4 10.a + b = 8 Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4 7/18/2017 Fisika Terapan 44 Keep running SOLUSI dV( x ) 2. b. Medan listrik E(x) = = 2,5 dx Dengan demikian nilai E(x) konstan. E (V/m) 2. c. 2,5 v (m/s) 20 x (m) 15 3. a. 10 5 0 -5 -10 -15 -20 7/18/2017 x (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Fisika Terapan 9 10 45 Keep running SOLUSI 3. b. Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s. 3. c. Percepatan a(t) = 3. d. a (m/s2) 10 dv( t ) = 10 – 4t dt 5 0 -5 -10 -15 -20 x (m) 0 7/18/2017 1 2 3 4 5 6 7 8 Fisika Terapan 9 10 46 Keep running SOLUSI 3. e. Fungsi posisi x(t) = v ( t ) dt 10 t 2t 2 dt 5 t 2 32 t 3 3. f. Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di : x(5) = 5.5 2 2 5 3 3 125 41 32 3 Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m 7/18/2017 Fisika Terapan 47