modul-aljabar-vektor

Modul 4: Vektor pada Bidang dan Ruang
Kasiyah M Junus
Siti Aminah
1
Sasaran pemelajaran
Setelah mempelajari modul ini, pemelajar diharapkam memahami operasi pada
vektor baik secara aljabar maupun geometri.
2
Vektor
Definisi: vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Luas
Gaya
Panjang
Kecepatan
Massa
Percepatan
Suhu
Perubahan Letak
Skalar
3
Vektor
Jenis-jenis vektor
Vektor Fisik
v
Vektor Aljabar
v = (a, b)
Vektor Geometri
(a, b)
b
v
a
4
Penyajian vektor geometri
y
a = a
B
AB
A
A
AB
z
B
Notasi vektor:
Vektor ditulis dengan huruf tebal atau miring dengan anak panah di atasnya,
untuk membedakan dengan skalar:
AB = a = a
5
x
Penyajian vektor aljabar
y
A(2, 3)
v
B(7,4)
v = (5, 1)
Q(7, 3)
5 dan 1 adalah komponen dari v
P(5, 1)
x
v2
v1
v = ( v 1 , v2 ) =
v2
v1
6
komponen dari v.
Menentukan komponen vektor
y
v
B(c, d)
v = (c-a, d-b)
A(a, b)
P(c-a, d-b)
x
z
Vektor dengan titik pangkal (a, b) titik
akhir (c, d), maka vektor tersebut secara
aljabar adalah (c-a, d-b),
komponen-komponen vektor: c-a dan d-b
B(d, e, f)
f-c
A(a, b, c)
e-b
y
x
Komponen vektor: a-d, e-b, f-c
7
Kesamaan vektor
a
c
y
b
x
a, b, c
Besar vektor
tidak tergantung posisi
8
a=b=c
Kesamaan dua vektor fisik
a = (0, y)
c = ( 0, y)
b = ( 0, y)
a=b=c
Berat benda tetap meskipun posisinya berubah.
9
Kesamaan dua vektor geometri
Dua vektor sama jika dan hanya jika panjang dan arahnya sama,
tidak tergantung posisinya pada sistem koordinat.
10
Kesamaan dua vektor aljabar
•
Dua vektor aljabar sama jika dan hanya jika komponen-komponen yang
bersesuaian sama.
a1
a2
a1
a2
a3
11
=
b1
b2
=
b1
b2
b3
Jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2
Jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2 dan a3 = b3
Jumlahan Vektor
•
Menjumlahkan dua vektor fisik:
F2
F1
F3
F2
F1
F3 = F1 + F2
Jika dua gaya dijumlahkan, maka efeknya sama dengan menerapkan resultantenya.
12
Jumlahan Vektor
Menjumlahkan dua vektor geometri:
y
y
b
a
13
a+b
Jumlahan Vektor
Menjumlahkan dua vektor aljabar
Misalnya a = (a1, a2), b = (b1, b2), maka a+ b = (a1 + b1, a2 +b2)
Apakah kamu mempunyai metode yang berbeda dalam menjumlahkan dua vektor
geometri?
y
y
y
C(a1+b1, a2+b2)
B(b1, b2)
a+b
a
b
A(a1, a2)
a = (a1, a2)
14
x
x
x
b = (b1, b2)
a+b = (a1+b1, a2+b2)
Latihan
1.
u
v
Manakah vektor yang merupakan u+v ?
a
b
Jawab: a
v
a
u
15
c
d
Latihan
2.
a
b
Manakah vektor yang merupakan a+b ?
d
e
Jawab: e
a
b
e
16
f
g
Latihan
3. u = (5, 6) dan v = (3, 2)
Apakah vektor yang merupakan hasil dari u+v?
a = (2, 4)
b = (8, 8)
c = (15, 12)
d = (8, 4)
4. u = (5, 6) dan v = (3, 2)
Apakah vektor yang merupakan hasil dari u - v?
a = (2, 4)
b = (8, 8)
c = (15, 12)
d = (8, 4)
17
Jawab: b
Jawab: a
Latihan
5.
b
a
tentukan vektor c sedemikian hingga b = a + c
k
i
h
Jawab: h
?h
b
a
18
j
Vektor nol dan vektor satuan
Vektor nol
Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol, digambarkan sebagai titik, vektor nol
0. Secara aljabar vektor nol adalah vektor yang semua komponennya nol: 0 = (0, 0)
pada bidang dan 0 =(0, 0, 0) pada ruang.
y
y
0 vektor nol
x
0 vektor nol
19
z
x
Vektor nol dan vektor satuan
Vektor satuan
• Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1.
y
c
a
j=(0, 1)
i=(1, 0)
20
b
x
Perkalian vektor dengan skalar
b
a
b searah dengan a, panjang b lima kali panjang a, ditulis b = 5a
a
-a
2a
-1/2a
1/3a
• Jika k > 0 maka ka searah dengan a, dengan panjang k kali panjang a
• Jika k<0, ka berlawanan arah dengan a, dengan panjang k kali panjang
a.
• Jika k = -1, maka ka = -a (negative dari a). Sifat –a + a = 0 (vektor nol)
dapat dilihat pada sifat-sifat aritmetika vektor
• Dua vektor sejajar, maka yang satu merupakan perkalian skalar yang
lain.
21
Pengurangan
•
Tentukan a – b dan b-a
b
-b
a
-a
a
-b
a-b
b
-b
a-b
a
-a
b-a
22
-a
b
b
v
v
u
u
b-a
a
b
u-v
v
u
v-u
Hubungan tiga vektor pada bidang
Diberikan a, b, c
a
c
b
c
a
c
a
b
ka
lb
b
c
ka
lb
c = ka + lb
23
Basis standar bidang R2
•
Basis standard bidang R2 adalah: {i = (1, 0), j = (0, 1)}.
•
Setiap vektor v = (v1, v2) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi
linier v = v1i + v2j
y
y
v=(v1, v2)
v = (v1 v2)
v2j
j=(0, 1)
i=(1, 0)
v1i
v = v1i + v2j
24
x
Basis standar R3
Basis standard bidang R3 adalah:
{i = (1, 0, 0), j = (0, 1,0), k = (0, 0, 1)}
Setiap vektor (a, b, c) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier ai + bj +ck
y
y
P(ai, bj, ck)
P(a, b, c)
k
j
z
25
i
x
x
z
Sifat-sifat Aritmetika Vektor
1. Jumlahan vektor bersifat tertutup, yaitu: jumlahan dua vektor selalu
menghasilkan tepat satu vektor
2. Jumlahan dua vektor bersifar komutatif.
y
y
b
a
a = (a1, a2), b = (b1, b2)
a+b = (a1+b1, a2+b2)
b+a = (b1+a1, b2+a2)
26
x
x
a1+b1 = b1+a1 dan a2+b2 = b2+a2
( sifat komutatif penjumlahan skalar)
Sifat Assosiatif Jumlahan
3. jumlahan vektor bersifat assosiatif
y
y
c b
a
x
a = (a1, a2), b = (b1, b2), c = (c1, c2)
x
a+(b+c) = (a1+(b1+c1), a2+(b2+c2))
(a+b)+c = ((a1+b1)+c1, (a2+b2)+c2)
(sifat assosiatif penjumlahan skalar)
27
Vektor nol: elemen identitas
4. vektor nol merupakan elemen identitas terhadap jumlahan.
y
y
b
0
28
b+0
x
x
b = (b1, b2), 0 = (0,0)
b+0 = (b1, b2)
b+0 = (b1+0, b2+0)
( sifat identitas penjumlahan skalar)
Negatif vektor
5. jumlahan vektor dengan negatifnya menghasilkan vektor nol.
y
y
b
0
-b
x
b = (b1, b2), -b = (-b1,-b2)
b+(-b) = (b1+(-b1), b2+(-b2))
29
x
b+(-b) = (0, 0) = 0
Sifat-sifat Aritmetika Vektor (lanjt)
6. perkalian vektor dengan dua skalar berturut-turut, dapat dilakukan dengan
mengalikan skalarnya terlebih dahulu
y
y
3u
u
x
x
y
u = (v1,v2)
v = 3u = 3(v1,v2) = (3v1,3v2)
w = 2v = 2(3v1,3v2) = (6v1,6v2)
6u
x = (3x2)u = 6(v1,v2) = (6v1,6v2) = w
x
30
Sifat aritmetika (lanjt)
7. hasil kali skalar dengan jumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan
mengalikan masing-masing vektor dengan skalar, baru kemudian
dijumlahkan.
y
y
y
2(u+v)
u+v
2v
v
u
u = (u1,u2), v = (v1,v2)
u+v = (u1+v1,u2+v2)
31
2u+2v
x
x
2(u+v) = (2(u1+v1),2(u2+v2))
2u
x
2u+2v = 2(u1,u2)+2(v1,v2)
= 2(u1+v1,u2+v2)
= (2(u1+v1),2(u2+v2))
Sifat Aritmetika (lanjt)
8. Hasil kali vektor dengan jumlahan dua skalar, sama dengan jumlahan dua
vektor setelah dikalikan dengan masing-masing skalar.
y
y
3u
u
x
x
y
u = (u1, u2)
3u = (3u1, 3u2)
(2+1)u = 2u + u
u
= 2(u1, u2)+(u1, u2)
2u
x
32
= (3u1, 3u2)
Sifat Aritmetika (lanjt)
9. Perkalian vektor dengan skalar nol, menghasilkan vektor nol.
10. Mengalikan vektor dengan skalar 1 tidak mengubah vektor tersebut.
y
y
u
0(u)
x
x
y
u = (u1, u2)
0u = 0(u1, u2)
= (0, 0)
1u
1u = 1(u1, u2)
x
33
= (u1, u2)
Norm (panjang) vektor
y
v
norm/panjang vektor v adalah ||v|| =
x
v12  v22
y
v
x
z
34
norm/panjang vektor v adalah ||v|| = v12  v22  v32
Norm vektor sebagai jarak dua titik
y
v
Q(a2, b2, c2)
P(a1, b1, c1)
x
z
panjang vektor v adalah jarak antara titik P ke Q
35
Hasil kali titik (dot product)
y
C
jika titik pangkalnya berimpit maka sudut antar dua vektor
dapat ditentukan.
b
α
A
a
B
x
Definisi 1: Jika α adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan
0 jika a = 0 atau b = 0
a.b 

||a|| ||b|| cos .
a, b tidak nol, dengan π ≥α ≥0.
Dapat ditunjukkan bahwa hasil kali titik dapat didefinisikan juga dengan rumus lain
Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2
36
Bukti
Bukti:
Berdasarkan rumus cosinus,
||a-b||2 = ||a||2 +||b||2 – 2||a|| ||b|| cos
||a|| ||b|| cos = ½(||a||2 +||b||2- ||a-b||2).
2
2
||a||2 = a1  a2
y
C
b
α
A
a-b
a
B
x
||b||2 = b12  b22
||a-b||2 =
(a1  b1)2  (a2  b2 )2  a12  a22  2a1a2  b12  b22  2b1b2
a.b = ||a|| ||b|| cos  = ½(||a||2 +||b||2- ||a-b||2)
= a1b1 + a2b2
37
Hasil kali titik di R3z
v
b
A
α
a
C
x
B
Definisi 1:hasil kali titik (dot product)
Jika α adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan
0 jika a = 0 atau b = 0
a.b =
||a|| ||b|| cos .
untuk a, b vektor tak nol dengan 0≥α ≥π.
Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R3, maka a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
38
Quiz
1. Benar atau Salah: hasil kali titik dua vektor hasilnya vektor lain
2. Diketahui a dan panjangnya dua kali b, panjang b sama dengan k satuan, a dan b
membentuk sudut 45 derajat. Tentukan a.b.
a. 2k2
c. √2k2
e. 2√2k
b. 2√2k2
d. 6√2k
3.
(0, 6)
Maka a.b adalah
a. 0
c. (5, 6)
e. (6, 5)
b
b. 30
d. 1
a
(5, 0)
4. Hitunglah u.v, jika u = (10, 0) dan v = (25, 0)
a. 0
c. (35, 0)
e. (10, 25)
b. 250 d. (250, 0)
5. Diketahui ||a|| = 5, ||b|| = 6, dan sudut antara keduanya 120. Hitung a.b
a. 0
c. (5, 6)
e. -15
b. 15√3
d. 15
39
Sudut dan hasil kali titik dua vektor
Perhatikan kembali rumus pertama hasil kali titik
a.b = ||a|| ||b|| cos  dengan π ≥α ≥0.
Panjang vektor selalu positif atau nol, sedangkan cos α bisa positif, negatif atau nol
tergantung pada nilai α
y
< 0, jika sudutnya tumpul
cos α =0
cos α <0
cos α >0
u.v
x
40
= 0, jika u dan v ortogonal
> 0 jika sudutnya lancip
Latihan:
||b||=7
||b||=7
α
||a||=8
||a||=5
α
α
||a||=5
||b||=8
a.b= ?
a.b=?
a.b=?
Jawab:35 cosα
Jawab: 64x0=0
Jawab: -35cos(π-α)
Jika dua vektor berimpit, maka hasil kali titiknya ………………..
Jawab: hasil kali panjangnya
Jika salah satu vektor adalah nol, maka hasil kali titiknya ………….
Jawab: 0
41
Norm dan hasil kali titik
v = (v1, v2)
||v|| = (v.v)1/2 =
B
v12  v22
v
A
x
Misal, diberikan 2 vektor v, cosinus sudut antara v dengan v adalah 1.
Maka v.v = ||v|| ||v|| atau ||v|| = ( v.v)1/2
2
2
2
Di R3: norm/panjang vektor v adalah ||v|| = (v.v)1/2 = v1  v2  v3
42
Hasil kali titik dan perkalian matriks
•
Berdasarkan definisi, jika a, b vektor-vektor di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2. Jika a
dan b, dipandang sebagai vektor-vektor baris maka a.b = abT
•
a = (a1,a2) dan b = (b1,b2)
•
b 
a.b = a1b1 + a2b2 =  a1 a 2   1  = abT
 b2 
Jika a, b vektor-vektor di R3,
Maka
43
a. b = a1b1 + a2b2 + a3b3 =  a1 a 2
 b1 
a 3   b2 
 b3 
= abT
Sifat-sifat hasil kali titik
Diberikan u = (5,3), dan v = (4,6)
• Tentukan u.v dan v.u. Apa kesimpulanmu?
Diberikan u = (a,b), dan v = (c,d). Hitunglah dan simpulkan:
• Apakah u.v = v.u?
Perkalian titik memenuhi sifat simetri, yaitu u.v = v.u
44
Latihan:
1. Diberikan u = (5, 3), v = (4, 6), dan skalar k = 4.
Hitunglah (ku).v dan k(u.v)
Apa kesimpulanmu?
2. Diberikan u = (a, b), v = (c, d), dan skalar k.
Tentukan (ku).v dan k(u.v).
Apa kesimpulanmu?
Perkalian titik memenuhi sifat (ku).v = k(u.v)
45
Latihan:
3. Diberikan u = (5,3), v = (4,6), dan w = (4,7).
Tentukan u.(v+w) dan u.v + u.w
Apakah u.(v+w) = u.v + u.w?
4. Diberikan u = (a,b), v = (c,d), dan w = (e,f).
Tentukan u.(v+w) dan u.v + u.w? Apa kesimpulanmu?
Perkalian titik memenuhi sifat yaitu u.(v+w) = u.v + u.w
46
Sifat-sifat hasil kali titik (lanjt)
Diberikan v = (4, 6, 1) dan u = (0, 0, 0)
• Tentukan v.v dan u.u
Diberikan v = (a, b, c) vektor pada ruang
• Tentukan v.v?
• kapan v.v = 0?
47
4 sifat penting hasil kali titik
Perkalian titik memenuhi sifat:
• u.v = v.u
• (ku).v = k(u.v)
• u.(v+w) = u.v + u.w
• v.v = ||v||||v||, dan 0 untuk v = 0
48
Proyeksi ortogonal pada sumbu koordinat
y
v = vx + vy
v
vy
x
vx
49
Proyeksi ortogonal dan dekomposisi
u
u2
u1
b
u1 adalah komponen u sepanjang b atau proyeksi ortogonal u pada b
u1 = projb u
u2 tegak lurus u1 dan u = u1 + u2 disebut komponen u tegak lurus b.
u2 = u – u1
= u – proyb u
proyb u = u.b
b
||b||2
u – proyb u = u – u.b
||b||2 b
50
Bukti:
Bukti:
Karena u1 paralel dengan b maka dapat dituliskan u1 = kb, maka
u = u1 + u2 = kb + u2
Dengan menggunakan sifat perkalian titik,
u.b = (kb + u2).b = k||b||2 + u2.b
Karena u2.b = 0 (sudutnya 90o ), maka
u.b = k||b||2
k = u.b/||b||2
Sehingga
proyb u = u.b/||b||2 b
51
Hasil kali silang
u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3)
u x v = (u2v3 – u3v2)i + (u3v1 – u1v3)j + (u1v2 – u2v1)k
=
u2 u3
v2 v3
u1 u3
,
v1 v3
u1 u2
,
v1 u2
Prosedur menentukan u x v
u1 u2 u3
v1 v2 v3
Komponen pertama (i):
52
… u2 u3
… v2 v3
det
u2
u3
v2
v3
Hasil kali silang
Komponen kedua (j):
u1 … u3
det
v1 … v3
Komponen ketiga (k):
u1 u2 …
det
v1 v2 …
Contoh: hitung v x w dengan v = (1,4,-4) dan w = (0,3,2)
vxw=
4
-4
3
2
,
1
-4
0
2
= (20, -2, 3) = 20i -2j +3k
53
,
1
4
0
3
u1 u3
v1 v3
u1 u2
v1 v2
Hasil kali silang (lanjt)
Prosedur menentukan uxv
u1 u2 u3
v1 v2 v3
Komponen pertama (i):
Komponen kedua (j):
Komponen ketiga (k):
54
… uu22 uu33
… vv22 vv33
u1 uu33
u1 …
v1 vv33
v1 …
u2
u1 uu2 1 …
v2
v1 vv2 1 …
Prosedur menentukan v x u
Prosedur menentukan vxu
v1 v2 v3
u1 u2 u3
Komponen pertama (i):
Komponen kedua (j):
… v2 v3
… u2 u3
v1 … v3
u1 … u3
Komponen ketiga (k):
55
v1 v2 …
u1 u2 …
Prosedur (lanjt)
Jika dua baris A ditukat tempat maka nilai determinannya dikalikan -1, jadi
… u2 u3
… v2 v3
u1 … u3
v1 … v3
u1 u2 …
v1 v2 …
=
=
=
-
… v2 v3
… u2 u3
v1 … v3
u1 … u3
v1 v2 …
u1 u2 …
Terlihat bahwa u x v = - (v x u)
56
Hasil kali silang vektor satuan standard
z
k
i
(0, 0, 1)
j
i
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
y
k
x
ixj = (0x0-1x0)i – (1x0 – 0x0)j +(1x1 – 0x0)k = k
jxi= -k
jxk = i
kxj = -i
kxk = ?
kxi = ?
ixk = ?
57
j
Bentuk determinan hasil kali silang
i
A=
j
k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
u x v = det(A)
=
+
i
+ +
j
k
i
j
u1 u2 u3
u1 u2
v1 v2 v3
v1 v2
-
-
-
u x v = (u2v3 – u3v2)i + (u3v1 – u1v3)j + (u1v2 – u2v1)k
58
Sifat-sifat hasil kali silang
•
•
•
•
•
uxv = -v x u
Jika u // v maka uxv = -v x u= 0,
akibatnya u x u = 0
(ku) x v = u x (kv) = k(u x v)
u x (v+w) = u x v + u x w
u.(v x w) = (u x v).w (hasil kali triple skalar)  tunjukkan dengan
serangkaian determinan.
ixj
(0, 0, 1)
j
j
i
(1, 0, 0)
x
59
(0, 1, 0)
y
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
i
x
jxi
(0, 0, -1)
y
Perkalian skalar tripel
hasil kali triple skalar didefinisikan:
u1 u2 u3
u . (v x w)
=
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u . (v x w) = u .
v2
v3
w2 w3
v2
=
v3
w2 w3
u1 u2 u3
=
v1 v2 v3
w1 w2 w3
60
i
v1 v3
w1 w3
v1
u1
j
v3
w1 w3
u2
+
+
v1 v2
w1 w2
v1
k
v2
w1 w2
u3
Contoh:
Diberikan a = 3i -2j +5k, b = i +4j -4k, c = 3j +2k
a.(b x c) =
c.(a x b) =
b.(c x a) =
61
3 -2
5
1
4
-4
0
3
2
0
3
2
3
-2
5
1
4
-4
1
4
-4
0
3
2
3
-2 5
= 49
= 49
= 49
Sifat perkalian skalar tripel
a.(b x c) =
3
-2
5
1
4 -4
0
3
= 49
2
Dengan sifat determinan maka
3
-2
5
0
3
2
1
4
-4
= -49
(tukar baris3 dan 2)
Maka a.(b x c) = c.(a x b) = b.(c x a)
•
•
62
Bagaiman dengan ax(b.c)?
Jawab: tidak terdefinisi
0
3
2
3
-2
5
1
4
-4
= 49
(tukar baris2 dan 1)
Hubungan antara perkalian titik dan silang
(dot and cross product)
•
Jika U, V dan W adalah vektor dalam ruang 3 dimensi, maka
–U . ( U x V ) =0, (U x V orthogonal terhadap U)
–V . ( U x V ) = 0, (U x V orthogonal terhadap V)
U V
63
2
 U
2
V
2
 (U  V ) 2
Luas jajar genjang
C
v
A
•
64
D
t
u
B
Luas = ||AB|| t (luas = alas x tinggi)
= ||AB|| ||AC|| sin a ( karena t = ||AC|| sin a)
= ||AB x AC||
= ||uxv||
Persamaan garis
y
Persamaan garis l adalah:
l
A(a1,a2)
y-a2=((c2-b2)/(c1-b1))*(x-a1)
Garis l sejajar dengan vektor v, maka
gradiennya sama dengan gradien arah
vektor v. Dengan menggunakan
persamaan
C(c1,c2)
v
B(b1,b2)
x
y-y1 = m(x-x1)
Kita dapat peroleh persamaan garisnya
Contoh:
Misal untuk komponen-komponen diatas A(1,3), B(3,1), dan C(6,3), maka persamaan
garis l adalah
y-3 = ((3-1)/(6-3))*(x-1)
y = 2/3 x -7/3
65
Persamaan garis (lanjt)
y
A1 (x, y, z)
l
A0 A = tv
Dapat dituliskan:
(x-x0, y-y0, z-z0) = (ta, tb, tc)
A0 (x0 ,y0 ,z0)
v
Maka didapat persamaan parametric
untuk garis l adalah
(a,b,c)
x
x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc
z
Contoh:
Misal diminta mencari persamaan parametric dari garis yang melewati titik (1, 2, -3)
dan sejajar dengan vektor v = (4, 5, -7). maka persamaannya adalah
x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = -3 – 7t (-∞ < t < ∞)
66
Refleksi
•
•
67
Tulislah 5 hal paling penting yang telah kamu pelajari pada modul ini,
Tuliskan juga 5 hal yang ingin kamu pelajari lebih lanjut.