Vektor dan Operasinya - FMIPA Personal Blogs

Vektor dan Operasinya
Tujuan:
1. Mengingat kembali definisi vektor secara geometri dan aljabar.
2. Mahir menghitung perkalian titik, panjang vektor, sudut antara
dua vektor, vektor proyeksi.
Skalar: besaran saja
Vektor: besaran dan arah
Vektor secara geometri
B: Titik akhir
v = AB
A: Titik pangkal
Vektor pada sistem koordinat (aljabar)
v = (v1 , v2 ) (di ruang dimensi dua),
v + w = (v1 , v2 ) + (w1 , w2 ) = (v1  w1 , v2  w2 )
w
vw
v
wv
v
v
w
w
k v = (kv1 , kv2 ) , k skalar
k
v
v
2
2
panjang vektor v : v  v1  v2
w  v  v  w
Vektor Posisi (pada koordinat Cartesius):
p = OP , q = OQ ,
PQ = (q1  p1, q2  p2 )
P ( p1 , p2 )
Q (q1 , q2 )
p
q
0
v
= (v1, v2 , v3 ) (di ruang dimensi tiga)
Contoh: gambarkan vektor-vektor berikut:
p  (2,3), q  (1,4), r  (3,1), p  r, q  r
Perkalian Titik
v dan w vektor, θ adalah sudut antara v dan w .
 v w cos  , jika v  0, w  0
vw  
0
, jika v  0, w  0
v  w  v1w1  v2 w2
cos  
v
θ
w
vw
v w
Vektor ortogonal: vektor-vektor yang tegak lurus, v  w  0
Sifat operasi perkalian titik
Jika u , v dan w adalah vektor (dimensi 2 atau 3), k adalah skalar
1.
2.
u ∙v=v∙u
u ∙ (v+w) = u ∙ v
+
u ∙w
3. k( u ∙
4.
v )= (k u ) ∙ v = u ∙ (k v )
v ∙ v > 0 jika v ≠ 0, dan v ∙ v = 0 jika v
=0
Proyeksi ortogonal u
Harus ada referensi suatu vektor lain, misal a .
Mengurai u menjadi 2 bagian: sejajar dengan suatu vektor a dan
tegak lurus terhadap vektor a .
w2
u
w1
a
Vektor u adalah jumlah dari w1 dan w2 , dimana w1 sejajar dengan
a dan w2 tegaklurus terhadap a .
Kita tulis:
w1 =p a u : proyeksi ortogonal u pada a , atau komponen vektor u
sepanjang a .
w2 = u - p a u : komponen vektor u tegaklurus terhadap a .
Teorema:
Jika u dan a adalah vektor-vektor dimensi 2 atau 3, dan u ≠ a ,
maka
u a
pa u =
2
a
a
Dengan demikian:
u - pa u = u -
u a
2
a
a
u a
Dan
Dimana
|p a u |=
cos  
ua
u a
2
a
a 
u a
2
a
a 
ua
2
a
a
ua
 u cos
a
, θ sudut antara u dan a
Contoh: Tentukan proyeksi ortogonal u  (2,3) terhadap a  (2,1) .
Vektor dan Operasinya
Tujuan:
1. Mahir menghitung perkalian silang dan memahami arti
geometris serta penggunaannya.
2. Mahir menghitung perkalian tripel skalar dan memahami arti
geometris serta penggunaannya.
Perkalian silang


Misal a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1, b2 , b3 ) , perkalian silang antara
  
adalah vektor v  a  b sebagai berikut:


a dan b

1. Jika salah satu atau keduanya merupakan vektor nol maka v  0


2. Jika a dan b sejajar dengan arah yang sama atau berlawanan

v
maka  0 .

v
3. Jika γ adalah sudut antara a dan b maka  (v1 , v2 , v3 ) dimana
v1  a2b3  a3b2 , v2  a3b1  a1b3 , v3  a1b2  a2b1
 
dan |v| = a b sin  .
  
v  a b

b
γ

a
Apakah a  b
Arti geometris v dan | v |:

v adalah vektor tegak lurus thd a

dan b
| v | : luas jajaran genjang
?
 b a
???
Perkalian silang vektor basis standard: i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)
i x i, j x j, k x k
i x j, j x k, k x i
j x i, k x j, i x j
Cara menghitung:

Ingat penulisan v  (v1, v2 , v3 )  v1iˆ  v2 ˆj  v3kˆ , perkalian silang secara
simbolik sama dengan mencari determinan orde 3.
i
j
a  b  a1 a2
b1
b2
k
a3  (1)11
b3
a2
a3
b2
b3
i  (1)1 2
a1 a3
b1
b3
j  (1)13
a1
a2
b1
b2
Sifat umum perkalian silang
Perkalian tripel skalar


a

(
a
,
a
,
a
)
b
 (b1 , b2 , b3 ) dan c  (c1 , c2 , c3 ) ,
Diketahui tiga vektor
1
2
3 ,
perkalian tripel skalar, ditulis (a b c) , adalah

a (b  c) = a  v = a1v1  a2v2  a3v3 dimana v = (b  c)
Cara menghitung: (a b c) =
a1 a2
a3
a (b  c)  b1
b2
b3  a1
c1
c2
c3
a (b  c) =
a b  c cos 
Arti geometris: a (b  c)
b2
b3
c2
c3
 a2
b1 b3
c1 c3
 a3
b1 b2
c1 c2
k
 
a (b  c) : volume dari parallepipedum dibentuk oleh vektor a , b
dan c .
Sifat perkalian tripel scalar:
(ka b c)  k (a b c)
a (b  c)  (a  b) c
(a  b) c  c (a  b)
Untuk contoh penggunaannya, lihat buku Kreizig.